UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP
ESCOLA DE MINAS – EM
COLEGIADO CURSO ENGENHARIA DE CONTROLE E
AUTOMAÇÃO (CECAU)
TIAGO KRUPOK MATIAS
CONTROLE DE DIREÇÃO DE UM AUTOMÓVEL DE PASSEIO UTILIZANDO
LINEARIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E
AUTOMAÇÃO
Ouro Preto, 2012
TIAGO KRUPOK MATIAS
CONTROLE DE DIREÇÃO DE UM AUTOMÓVEL DE PASSEIO UTILIZANDO
LINEARIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO
Monografia apresentada ao Curso de
Engenharia de Controle e Automação da
Universidade Federal de Ouro Preto como
parte dos requisitos para a obtenção do
grau de Engenheiro de Controle e
Automação.
Orientador: João Carlos Vilela de Castro
OURO PRETO
ESCOLA DE MINAS – UFOP
AGOSTO 2012
A meus pais, Zan e Beth, por terem sido verdadeiros anjos da guarda e guias na minha vida.
AGRADECIMENTOS
A Deus pela força concedida a mim. Aos meus pais Elizabeth Lobo Krupok Matias e Osmario
Zan Matias pelo amor e completo apoio a mim dedicado durante todos esses anos de estudo
fora de casa. Aos meus irmãos: Simone e Renan um porto seguro, por me amarem tanto e
serem sempre pacientes. A Juliana, por todo amor, carinho e compreensão nesses cinco anos
de graduação. A minha família de Ouro Preto, irmãos da República Tira Mágoa, pelos
momentos inesquecíveis, pela força e pelo carinho. Aos meus amigos de curso e de faculdade.
A turma de Engenharia e Controle e Automação 07.2 pelos momentos de sanidade na loucura
diária. Ao meu orientador professor João Carlos Vilela de Castro, por todo ensinamento e por
toda dedicação ao meu trabalho. A Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), pelos 5 anos
de ensino e aprendizado que me auxiliaram neste trabalho. Aos amigos de Ouro Preto, pelos
momentos e pelo aprendizado. A todos vocês, meu sincero obrigado.
“Transportai um punhado de terra todos os dias e fareis uma montanha.”
(Confúcio)
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
1.1 Considerações Iniciais: .............................................................................................. 1
1.2 Objetivos: .................................................................................................................. 3
1.3 Metodologia Adotada: ............................................................................................... 3
1.4 Estrutura do Trabalho: ............................................................................................... 4
2 MODELAGEM MATEMÁTICA .................................................................................... 6
2.1 Modelagem do Pneu: ................................................................................................. 7
2.2 Construção do modelo não linear: ............................................................................ 13
3 VALIDAÇÃO DO MODELO ........................................................................................ 22
3.1 Validação do modelo linear: .................................................................................... 23
3.2 Validação do modelo não linear: .............................................................................. 25
4 MÉTODO DE CONTROLE........................................................................................... 28
4.1 Linearização por Realimentação de Estados:............................................................ 29
4.2 Dinâmica Interna: .................................................................................................... 31
4.3 Regulador Linear Quadrático: .................................................................................. 33
5 SISTEMA DE CONTROLE ........................................................................................... 34
5.1 Dinâmica Interna: .................................................................................................... 35
6 RESULTADOS ............................................................................................................... 40
7 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 50
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 – Distribuição de massa do veículo ................................................................... 6
FIGURA 2.2 – Sistemas de Coordenadas SAE ....................................................................... 7
FIGURA 2.3 – Sistema de eixos do pneu ............................................................................... 8
FIGURA 2.4 – Ângulo de deriva ............................................................................................ 8
FIGURA 2.5 – Geometria de Ackerman para veículos ........................................................... 9
FIGURA 2.6 – Orientação de componentes das forças dos pneus ......................................... 11
FIGURA 2.7 – Diagrama do corpo livre para equilíbrio de torques ...................................... 15
FIGURA 3.1 – Modelo linear do veículo simulado no MATLAB/Simulink ......................... 23
FIGURA 3.2– Gráfico das saídas
em função do tempo ....................................... 24
FIGURA 3.3 – Gráfico da trajetória do veículo simulado ..................................................... 24
FIGURA 3.4 – Modelo não linear de um veículo simulado no MATLAB/Simulink ............. 25
FIGURA 3.5 – Gráfico das saídas
em função do tempo ...................................... 26
FIGURA 3.6 – Gráfico da trajetória do veículo simulado ..................................................... 26
FIGURA 4.1 – Método de controle ...................................................................................... 28
FIGURA 5.1 – Malha de Linearização ................................................................................. 38
FIGURA 6.1 – Simulação do método de controle no MATLAB/Simulink ........................... 40
FIGURA 6.2 – Bloco de simulação do sistema linearizado no MATLAB/Simulink.............. 40
FIGURA 6.3 – Gráfico das saídas
em função do tempo ....................................... 41
FIGURA 6.4 – Gráfico da trajetória do veículo simulado ..................................................... 42
FIGURA 6.5 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida ..... 42
FIGURA 6.6 – Bloco que gera o vetor referência dois .......................................................... 43
FIGURA 6.7 – Gráfico das saídas
em função do tempo ....................................... 43
FIGURA 6.8 – Gráfico da trajetória do veículo simulado ..................................................... 44
FIGURA 6.9 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida ...... 44
FIGURA 6.10 – Bloco que gera o vetor referência três......................................................... 45
FIGURA 6.11 – Gráfico das saídas
em função do tempo ..................................... 45
FIGURA 6.12 – Gráfico da trajetória do veículo simulado ................................................... 46
FIGURA 6.13 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida .... 46
RESUMO
O automóvel é um dos meios de transporte mais populares do mundo e os acidentes de
trânsito causados pelo mesmo representam o principal causador de vítimas letais no mundo.
Vale ressaltar que 90% desses acidentes são causados por erro humano, assim sendo,
poderiam ser evitados a partir da automatização dos veículos. Contudo, ainda não existe um
modelo comercial disponível ou uma legislação difundida que permita legalizar a circulação
de veículos sem motorista. Além de evitar mortes causadas por erros humanos, como outras
vantagens, temos a diminuição de congestionamentos, menores gastos com sinalização,
autonomia na locomoção de deficientes, maior confiabilidade, menores gastos no transporte
público terrestre, maior tempo livre para o ser humano, dentre tantas outras. Dessa maneira,
apresenta-se neste trabalho um estudo para o controle da trajetória de automóveis de passeio,
eliminando assim o fator direção humano. Levando em conta que a grande maioria de
publicações nesta área utilizam de um sistema físico real para desenvolvimento do controle, e
as dificuldades de disponibilidade do sistema físico em tal aplicação, apresenta-se neste
trabalho uma alternativa para o controle da direção de um automóvel em ambiente virtual.
Para tal controle, faz-se a modelagem analítica da dinâmica do veículo. Levando-se em conta
que o mesmo apresenta não linearidades inerentes ao sistema e que os controladores lineares
nem sempre são eficientes nesses casos, utiliza-se da metodologia de linearização por
realimentação para controle da trajetória desejada. Para demonstrar a eficiência do
controlador proposto, o modelo encontrado é testado e analisado através de simulação
computacional no MATLAB/Simulink com diferentes combinações de entradas e parâmetros.
Palavras - chave: Dinâmica Automotiva, Linearização por Realimentação de Estados,
Modelo Dinâmico, Controle Não Linear, Regulador Linear Quadrático.
ABSTRACT
The car is one of the most popular means of transport in the world, being traffic accidents
caused by it the main cause of fatal victims in the world. It is noteworthy that 90% of these
accidents are caused by human error, therefore, those could be avoided with the automation of
vehicles. However, there is still no available commercial model or a spread legislation in the
world that legalizes the driverless vehicle. Besides preventing deaths caused by human error,
as other advantages, we have the decrease in congestion, lower expenses in signalization,
autonomous locomotion for disability people, higher reliability, lower expenses in public
transportation, more free time for humans, among many others. Thus, this work presents a
study to track the trajectory of passenger cars eliminating the human driving skills. Duo to the
difficulties of the physical system availability, this paper presents an alternative to control the
direction of a car in virtual environment. For such control, it is developed the analytical
modelling of vehicle dynamics. Taking into account that it presents nonlinearities inherent in
the system and that the linear controllers are not always effective in such cases, it is used the
feedback linearization methodology to control the desired trajectory. To demonstrate the
efficiency of the proposed controller, the model found is tested and analyzed through
computer simulation in MATLAB/Simulink with different combinations of inputs and
parameters.
Key words: Dynamic Automotive, Linearization by State Feedback, Dynamic Model,
Nonlinear Control, Linear Quadratic Regulator.
1 INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Iniciais:
O grande número de automóveis circulando traz além dos problemas de engarrafamento e
poluição, um importante problema social, os acidentes de trânsito. De acordo com a
Organização Mundial de Saúde (OMS), entre as principais causas de mortalidade no mundo,
os acidentes de trânsito ocupam a
posição, implicando em média um custo de 1% a 2% do
produto interno bruto de um país (MARÍN e QUEIROZ, 2000). Nesse cenário, o Brasil é
considerado o país com um dos trânsitos mais perigosos do mundo, ocorrendo um acidente
para cada 410 automóveis em circulação (PINHEIRO et al., 2006), sendo que segundo
relatório do Departamento Nacional de Trânsito (2012) a frota brasileira é composta por um
automóvel para cada cinco habitantes.
Para piorar, as estatísticas de trânsito não são muito confiáveis, costumando ser
subdimensionadas, uma vez que só são incluídos os acidentes de trânsito que chegam ao
conhecimento das autoridades competentes. Estima-se que 22% dos 5,4 milhões de pessoas
envolvidas em acidentes de trânsito não fatais, não fizeram ocorrência policial (MARÍN e
QUEIROZ, 2000).
Hoffman e Gonzáles (2003) dão importância especial ao papel do motorista na causa dos
acidentes devido à tomada de decisão no trânsito. Ele afirma que o controle do carro é afetado
por fatores como o emocional, juízo, percepção e concentração do indivíduo. Levando em
conta que o trânsito obriga a tomada de decisões rápidas relacionadas a uma infinidade de
possíveis situações, pode ocorrer uma tomada de decisão inadequada em razão de uma
perturbação transitória, como nos casos de fadiga, estresse, sobrecarga emotiva ou
embriaguez. Hoffman e Gonzáles (2003) estimam que 90% dos acidentes são causados por
erro humano.
Pensando numa solução para esse problema surge uma linha de pesquisa que trata sobre a
automatização dos veículos. Um veículo totalmente automatizado deve ser capaz de realizar
as capacidades humanas na direção da trajetória do mesmo. Isso inclui, controle do veículo
através do volante, acelerador, freio, marcha e sinais de alerta. Existem vários exemplos e
tentativas de alcançar tal utopia na literatura, mas ainda não existe um modelo comercial ou
legislação difundida para tornar legal o trânsito de veículos sem motorista. Ainda assim, o
2
mesmo, poderia causar mudanças drásticas de rotina e apresentar melhorias significativas no
trânsito.
Além de atenuar o problema dos acidentes de trânsito, um carro completamente automático
diminuiria, por exemplo, os engarrafamentos. O tempo de resposta de um veículo controlado
por software e hardware especializado, seria menor comparado com o de um ser humano,
otimizando assim o deslocamento de cada veículo. Além disso, há uma pesquisa para
desenvolvimento de uma linguagem de comunicação entre os veículos, tornando viável a
escolha de trajetórias alternativas para o destino pretendido de vários veículos ao mesmo
tempo, otimizando o trânsito nas vias de uma maneira geral.
Estão também entre os benefícios, um menor gasto com sinalização, autonomia na locomoção
de deficientes, maior confiabilidade, menores gastos no transporte público terrestre, maior
tempo livre para o ser humano, entre outras.
As primeiras tentativas documentadas de criar um carro automatizado surgiram nos anos 80.
O primeiro caso que se tem foi projetado por Ernst Dickmanns e sua equipe na Bundeswehr
University Munich (URMSON et al., 2008). O projeto consistia de uma Mercedes-Benz
guiada por visão robótica, alcançando 100 km/h em ruas sem trânsito. Em seguida, surgiu na
Europa um financiamento de 800 milhões de Euros para o projeto EC EUREKA Prometheus,
que visava a construção de veículos autônomos de 1987 a 1995 (URMSON et al., 2008).
A pesquisa nessa área começou a realmente se intensificar e dar resultados em 2003 quando
uma lei do congresso dos Estados Unidos da América definiu que um terço dos veículos
terrestres do exército norte americano deveriam ser não tripulados até 2015 (URMSON et al.,
2008). Com isso a Defense Advanced Reserch Projects Agency (DARPA) anunciou o
primeiro Grand Challange que consistia em uma corrida entre veículos autônomos.
Ocorreram três competições no total, sendo as duas primeiras, 2004 e 2005, no deserto e a
terceira, 2006, ocorreu num trajeto urbano de 97 km interagindo com outros veículos e
pedestres e obedecendo as leis de trânsito da Califórnia (URMSON et al., 2008).
O crescimento do interesse tanto de pesquisadores acadêmicos quanto de indústrias privadas
na pesquisa de um veículo autônomo foi impulsionado pelos eventos realizados pela DARPA.
No primeiro evento, nenhum carro conseguiu completar o percurso. No segundo ano, cinco
carros conseguiram finalizar os 244 km da corrida, sendo o tempo de corrida do primeiro
3
veículo a cruzar a linha de chegada aproximadamente de sete horas. O terceiro evento teve 89
times inscritos e 11 selecionados para a corrida.
A aplicação mais comum de controle nos veículos participantes das competições patrocinadas
pelo DARPA é alcançada através de diversos sensores acoplados ao veículo. Os sistemas de
atuação (acelerador, volante, freio e sinalização), são então acionados com base nos
parâmetros adquiridos pelos sensores e na lógica de controle desenvolvendo assim a trajetória
pretendida. Essa aplicação é restrita devido a necessidade de sensores, um veículo e um
ambiente real (pessoas, transito, obstáculos etc.) para teste. Além disso, na grande maioria dos
países, ainda não existe legislação que permita tais testes em vias públicas.
1.2 Objetivos:
Este trabalho tem como objetivo desenvolver uma alternativa para o controle da trajetória de
um veículo de passeio, visando a implementação e testes do controle em um ambiente virtual.
A partir de um modelo analítico da dinâmica do veículo será possível aplicar métodos de
controle retirados da teoria de controle para alcançar tal objetivo. Leva-se em conta que dessa
maneira o sistema poderá ser criado e testado em ambiente virtual, dispensando assim, num
primeiro momento, o uso do sistema físico propriamente dito. O modelo analítico e as
técnicas de controle propostas serão implementadas e testadas dentro do software
Simulink/MATLAB. Além disso, decide-se por um controle semiautomático (apenas um
sistema de atuação) pela maior simplicidade na realização dos testes, sendo possível a
extensão aos outros sistemas de atuação do veículo. É escolhido o controle da direção por esta
ter uma maior influência na trajetória.
Para tanto, considera-se os outros sistemas de atuação operados por um motorista que mantém
os mesmos com valores constantes. Isso significa que o veículo percorre a trajetória com uma
velocidade constante, não ocorrendo acionamentos do freio ou do pedal de aceleração.
1.3 Metodologia Adotada:
Para alcançar o objetivo proposto, contemplam-se as seguintes etapas:
 Avaliação do estado da arte;
 Desenvolvimento de um modelo analítico de um automóvel de passeio;
4
 Desenvolvimento de uma proposta de controle de um veículo de passeio;
 Avaliação dos resultados experimentais da proposta para o controle de um veículo de
passeio.
1.4 Estrutura do Trabalho:
De maneira a facilitar o entendimento dos problemas relacionados e da solução proposta, o
presente trabalho é dividido em sete capítulos.
No Capítulo 1 é feita uma breve introdução aos conceitos utilizados no desenvolvimento do
trabalho, explicitando a origem do trabalho, os objetivos a serem cumpridos e a importância
da presente monografia.
No Capítulo 2 são desenvolvidos dois modelos analíticos da dinâmica do automóvel a ser
controlado. Um modelo não linear e um linear. O sistema físico do automóvel é descrito em
termos matemáticos, sendo estabelecidas equações que correspondem aos princípios, leis
físicas, relações empíricas e todas as hipóteses apropriadas a dinâmica da trajetória de um
veículo de passeio. A partir do modelo não linear, mediante simplificações, chega-se ao
modelo linear.
No Capítulo 3 é apresentada a validação dos dois modelos através de uma simulação em
malha aberta no MATLAB/Simulink. É fornecida uma entrada em forma de ângulo de
esterçamento do volante, e assim, a similaridade dos modelos com a realidade é analisada
através dos gráficos de resposta encontrados.
O Capítulo 4 traz um método de controle não linear que visa linearizar o modelo não linear de
modo exato e um método de controle linear que visa controlar o novo modelo linearizado. A
linearização é alcançada através da Linearização da Realimentação de Estados e o controle é
feito utilizando a metodologia do Regulador Linear Quadrático (LQR).
O Capítulo 5 traz a aplicação dos métodos de controle explicitados no capítulo 4 no modelo
analítico não linear da dinâmica do veículo apresentado no capítulo 3.
No Capítulo 6 são apresentadas as simulações realizadas no MATLAB/Simulink para
validação do controle. São apresentados e explicados as montagens, entradas utilizadas e
resultados encontrados.
5
No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões do trabalho e as sugestões para trabalhos
futuros.
2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Para o modelo em questão, considera-se que o automóvel está com uma velocidade
longitudinal constante e que realiza movimentos com pequena variação angular. As
suposições limitam-se ao necessário para a análise do movimento do veículo em uma
superfície plana e suave. Para o controle da trajetória de um veículo de passeio, tais
suposições são suficientes.
A dinâmica lateral é responsável por representar o comportamento do veículo no seu
movimento curvilíneo. Ela recebe como excitação as componentes das forças laterais das
quatro rodas que irão determinar deslocamentos, velocidades e acelerações laterais, ao longo
do eixo
e em torno do seu eixo vertical. Segundo Will e Zak (1997), esses movimentos,
conhecidos como Yaw, correspondente à velocidade de rolagem em torno de um eixo
localizado no centro de gravidade do veículo, e Sideslip, correspondente ao deslizamento que
o veículo sofre ao realizar uma curva, irão afetar diretamente a trajetória que o veículo
desempenha sendo o alvo principal do controle a ser proposto neste trabalho.
O modelo físico adotado é composto por um corpo principal suspenso, conectado através de
amortecedores aos pares de rodas traseiras e dianteiras. O conjunto das rodas traseiras e
dianteiras são modelados, cada par, como um único corpo rígido, dianteiro e traseiro. Esse
esquema é representado pela figura 2.1. Tem-se então o automóvel composto por três massas
distintas: a massa suspensa
parte traseira
do chassi, a massa dos pneus/rodas na parte dianteira
, sendo que a massa total
e na
do veículo é dada pela equação 2.1.
(2.1)
FIGURA 2.1 – Distribuição de massa do veículo
7
Os movimentos do veículo são definidos com referência a um sistema de coordenadas
ortogonais fixa ao centro de gravidade (CG) do veículo e pela convenção da Society of
Automotive Engineers (SAE). Existem seis possíveis movimentos, sendo três de translação,
em
,
e , e três de rotação, rolagem/roll, arfagem/pitch e guinada/yaw, com medidas
angulares φ, ρ e θ, representando a velocidade de rolagem em torno do eixo
,
e
respectivamente. O esquema de coordenadas utilizado é representado pela figura 2.2.
FIGURA 2.2 – Sistemas de Coordenadas SAE
Fonte: ERICSSON, 2008.
O pneu é o principal componente que interage com a estrada e por isso as principais forças e
momentos que definem o movimento de um veículo terrestre são aplicadas através do contato
pneu-solo. Além disso, o pneu faz o acoplamento com todos os subsistemas de atuação,
(frenagem, propulsão e direção) do veículo. A dinâmica dos pneus é particularmente
importante durante baixas velocidades e/ou aceleração elevada (BARBIERI, 1993). Tem-se
então o modelo do pneu como elemento central no estudo da dinâmica veicular.
2.1 Modelagem do Pneu:
Para este trabalho foi usado, inicialmente, um modelo não linear para os pneus. A construção
de tal modelo é feito pela composição de cargas atuantes que irão gerar as funções de entrada
do modelo dinâmico do veículo. Esse processo é realizado para cada um dos pneus
separadamente. O pneu modelado neste trabalho é descrito pela figura 2.3.
8
FIGURA 2.3 – Sistema de eixos do pneu
Fonte: RILL, 2006.
O modelo da roda do veículo é definido com referência a um sistema de coordenadas
ortogonais fixa a base do mesmo. Existe uma força e um momento atuando em cada uma dos
eixos ,
e : força de tração e momento de sobrerolagem no eixo , força lateral e momento
de resistência a rotação axial no eixo
e força normal e torque de alinhamento no eixo .
Antes de descrever as forças que geram tais cargas, deve-se considerar uma resultante da
dinâmica lateral do veículo: o ângulo
de deriva. Esse ângulo determina o deslizamento do
pneu durante um movimento curvilíneo e atua diretamente no pneu, afetando as forças por ele
geradas. É a diferença entre trajetória pretendida e a trajetória percorrida e está ilustrado na
figura 2.4.
FIGURA 2.4 – Ângulo de deriva
Fonte: RETTORI, 2005.
9
Segundo Jazar (2008), o modelo da bicicleta é apresentada na figura 2.4 e pode ser adotado
como uma boa aproximação da realidade. Tal modelo, considera o sistema do carro composto
apenas por uma roda dianteira e uma roda traseira, facilitando assim a modelagem analítica.
Com isso, desconsidera-se a geometria de Ackerman na definição dos ângulos de
esterçamento das rodas direita e esquerda. De acordo com a geometria de Ackerman, o
veículo possui um centro próprio de viragem no encontro das linhas perpendiculares a cada
pneu durante a execução de uma curva. Essa geometria diz ainda que o ângulo de
esterçamento da roda interna é diferente do da roda externa sendo representado pela figura
2.5.
FIGURA 2.5 – Geometria de Ackerman para veículos
Fonte: MERLING, 2007.
Assim, para ambas as rodas direita e esquerda, os valores dos ângulos são iguais, passando a
haver somente dois ângulos de deriva: o ângulo de deriva dianteiro
dianteiro de pneus e o ângulo de deriva traseiro
para o conjunto
para o conjunto traseiro de pneus. Esses
ângulos são representados pelas equações 2.2 e 2.3, respectivamente (SMITH, 1995).
(2.2)
(2.3)
Onde,
10
- distância entre o CG e o eixo dianteiro;
- distância entre o CG e o eixo traseiro;
- bitola do eixo dianteiro;
- bitola do eixo traseiro;
- ângulo de esterçamento dianteiro;
- ângulo de esterçamento traseiro.
Ainda segundo Jazar (2008), no modelo simplificado da bicicleta, o ângulo de esterçamento
das rodas traseiras,
é bastante pequeno, podendo ser desprezado. Além disso, para
pequenos deslocamentos angulares, o arco tangente de um ângulo pode ser considerado o
próprio ângulo. Daí, tem-se então
e
descritos pelas equações 2.4 e 2.5.
(2.4)
(2.5)
Após modelar-se o ângulo de esterçamento constrói-se a composição de cargas atuantes no
pneu começando pelas forças laterais. A equação para as forças laterais ( ) é expressa como
uma relação entre o ângulo de deriva e da rigidez lateral em curvas dos pneus e deve ser
calculada para cada um dos quatro pneus. Para uma carga vertical constante, pequenos
deslocamentos angulares e deriva longitudinal nula,
pode ser expressa pela equação 2.6
(JAZAR, 2008).
(2.6)
Sendo,
- rigidez de frenagem do pneu;
11
DE – dianteiro esquerdo;
DD – dianteiro direito;
TE – traseiro esquerdo;
TD – traseiro direito.
Com isso, passa a ser possível escrever as forças em ,
e o momento resultante. Define-se
agora a somatória de forças que atuam no eixo longitudinal ( ), somatório das forças laterais
e somatório de momentos (Γ). Essas resultantes são utilizadas como funções de entrada
(
do sistema. De acordo com a figura 2.6, cada uma das componentes em ,
e do momento de
cada um dos pneus é descrita conforme o equacionamento a seguir.
FIGURA 2.6 – Orientação de componentes das forças dos pneus
Em
a parcela de cada pneu ficaria como indicado nas equações 2.7 a 2.10.
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Sendo,
- deslocamento do pedal de freio.
12
Por este modelo tratar de um veículo de passeio com velocidade longitudinal
constante, o
deslocamento do pedal de freio é igual a zero.
O somatório das equações 2.7 a 2.10 é a força aplicada na direção
representada pela
equação 2.11.
(2.11)
Em
a parcela de cada pneu ficaria como indicado nas equações 2.12 a 2.15.
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
O somatório das equações 2.12 a 2.15 é a força aplicada na direção
representada pela
equação 2.16.
(2.16)
O momento aplicado por cada pneu é descrito a seguir pelas equações 2.17 a 2.20.
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
13
O momento total
em torno do centro de gravidade é apresentado pela equação 2.21 e
corresponde à soma das quatro parcelas apresentadas pelas equações 2.17 a 2.20.
(2.21)
Quando se usa a aproximação para senos e cossenos levando em conta pequenos
deslocamentos angulares para
e
, tem-se a simplificação das equações 2.11, 2.16 e 2.21.
O resultado final, o qual será utilizado como sinal de entrada para as simulações é dado pelas
equações 2.22 a 2.24.
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Feita a modelagem dos pneus falta a descrição das forças e momentos atuantes no veículo.
2.2 Construção do modelo não linear:
Como já mencionado, a dinâmica lateral irá afetar diretamente a trajetória que o veículo
desempenha, sendo esta o alvo principal do controle a ser proposto neste trabalho. Assim,
deve-se derivar as equações de movimento que descrevem a dinâmica lateral do automóvel.
Para a dinâmica lateral do veículo, se considera o equilíbrio de forças em
equações de momento. Tem-se o somatório,
somatório,
, em
e as
, das forças que atuam no eixo longitudinal, o
, das forças laterais e o somatório, , dos momentos gerados pelas forças
atuantes em cada roda. Segundo Jazar (2008), o equilíbrio de forças em
e
são
representados pelas equações 2.25 e 2.26 respectivamente.
(2.25)
(2.26)
Onde,
14
- Forças atuantes no eixo longitudinal de cada roda;
- Aceleração longitudinal;
- Forças laterais atuantes em cada uma das rodas;
- Aceleração lateral.
As equações de
e
são válidas para pequenos ângulos e são deduzidas por prova
geométrica ao longo de uma trajetória curvilínea (JAZAR, 2008). De acordo com a figura 2.7
deduz-se a equação 2.27.
(2.27)
Por semelhança, para
chega-se a equação 2.28:
(2.28)
FIGURA 2.7 – Acelerações em x e y para um movimento circular
Fonte: MERIAM e KRAIGE, 2009.
Para este modelo, é considerada uma velocidade longitudinal constante e movimentos com
pequena variação angular. Logo, despreza-se qualquer variação para o movimento de pitch do
carro (rotação em torno do eixo lateral). Resta calcular as equações de torque, para o
15
movimento de yaw, em torno do eixo vertical, e para o movimento de roll, em torno do eixo
longitudinal.
Segundo Meriam e Kraige, o momento em um determinado ponto pode ser calculado como o
somatório das forças perpendiculares aplicadas em uma alavanca multiplicado pela distância
entre o ponto de aplicação e o eixo de rotação, no caso posicionado no CG. Com isso, o
somatório de momentos referentes ao movimento de yaw (θ) do veículo é encontrado
analisando-se as forças perpendiculares ao eixo . Pela figura 2.7, chega-se a equação 2.29.
(2.29)
Onde,
- Momento de inércia em torno do eixo Z.
FIGURA 2.7 – Diagrama do corpo livre para equilíbrio de torques
Já para o equacionamento de momentos no movimento de roll (φ), é preciso considerar o
amortecimento e a rigidez de rolagem (
e amortecimento das quatro suspensões (
), que dependem dos coeficientes de rigidez
) mais as bitolas traseiras e dianteiras,
equações 2.30 e 2.31 (ERICSSON, 2008).
(2.30)
16
(2.31)
A equação que relaciona o momento para o movimento de rolagem é descrita pela equação
2.32 (ERICSSON, 2008).
(2.32)
Por este modelo tratar de pistas suaves considera-se pequenas variações angulares de
seja
, ou
. Com isso chega-se a equação simplificada para o movimento de rolagem 2.33.
(2.33)
Onde,
- momento de inércia de rolagem do veículo;
- altura entre o CG e o centro de rolagem;
- aceleração da gravidade;
- ângulo de rolagem (roll).
Para representar a dinâmica não linear do automóvel, agrupam-se as equações 2.25, 2.26, 2.29
e 2.33 na forma de espaço de estados, sendo o vetor de estados composto pelas velocidades
lineares em , , de guinada (yaw) e de rolagem (roll). Como distância
é bastante pequena,
a mesma é igualada a zero nesta resolução, resultando nas equações 2.34 a 2.37.
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Essas equações são escritas na forma matricial como a equação de movimento 2.38.
17
(2.38)
Conhecidas as equações de movimento, em sua forma de espaço-estado e as funções de
entrada,
e , expandidas é possível verificar quais forças estão atuando no carro.
Para facilitar o projeto de um controlador para o sistema é útil isolar o vetor de estados. Para
tanto inverte-se a matriz de inércia da equação 2.38, chegando no modelo não linear
representado pela equação 2.39.
(2.39)
A equação 2.39 representa o modelo não linear feito a partir de um referencial local, situado
no CG do próprio veículo. Sendo a proposta do trabalho criar um controlador que garanta que
um sistema real mantenha uma determinada trajetória fixa no espaço, deve-se pensar numa
maneira de modificar o referencial de local, interior do carro, para global, pista onde o veículo
se locomove. Esta transformação é feita ao se considerar as velocidades longitudinal e lateral
do referencial global, mostrada na Equação 2.40.
(2.40)
Com isso escreve-se o modelo não linear em uma nova representação de espaço estados e
expande-se o vetor de estados, renomeando-o, de maneira a comportar os deslocamentos e
velocidades, lineares e angulares, e os deslocamentos no referencial global. Também,
renomeia-se o vetor de entradas de maneira a facilitar a descrição do modelo indicado na
equação 2.41.
18
(2.41)
Ao juntar-se as equações 2.22 a 2.24 e 2.39 a 2.41, tem-se o modelo não linear completo,
descritivo do comportamento da dinâmica lateral do automóvel, como observado na equação
2.42.
(2.42)
Para simplificar a proposta de controle, são feitas as seguintes considerações sobre algumas
constantes pertencentes ao sistema. Vale lembrar que a saída de interesse é o deslocamento
global em .
Aproximação por senos e cossenos devido a pequenos deslocamentos angulares;
: altura das massas suspensa e não suspensa;
: deslocamento do pedal de freio a velocidade longitudinal constante;
: ângulo de esterçamento traseiro;
: deriva longitudinal a velocidade longitudinal constante;
: velocidade longitudinal constante.
19
Fazendo as devidas modificações na equação 2.42, se chega na equação 2.43.
(2.43)
De acordo com o novo sistema de equações diferenciais, podem ser desconsiderados
por serem constantes;
local (
e
);
e
e
por ter perdido o sentido realizar a integração da velocidade lateral
, por constituírem um sistema interno, dependentes somente das variáveis
(variáveis de rolagem), sendo aqui considerado um movimento de pequena amplitude
e, portanto, desprezível; e
por representar o deslocamento longitudinal global, o que não
interessa inicialmente pelo fato do carro estar em movimento com velocidade constante.
Assim sendo, o novo conjunto de equações que descrevem o sistema não linear é dado pela
equação 2.44.
(2.44)
Substituindo
e
na equação 2.44, o novo sistema de equações diferenciais pode ser escrito
em forma de espaço estado; como indicado na equação 2.45.
20
(2.45)
A equação 2.45 representa o modelo dinâmico não linear do veículo e pode ser linearizada
considerando pequenos deslocamentos para o ângulo de guinada
. Daí tem-se então a
equação linearizada 2.46.
(2.46)
Ambas as equações 2.45 e 2.46 estão escritas na forma de estados (equação 2.48) facilitando
assim a simulação no Simulink. Tem-se o vetor , representado pela equação 2.47, como os
estados do veículo,
representado pelo ângulo de esterçamento
como a variável de
controle e , representado pela equação 2.49, como a saída do sistema. A saída
é escolhida
de forma a mostrar a posição global do veículo, facilitando assim a análise e validação do
modelo.
(2.47)
21
(2.48)
(2.49)
3 VALIDAÇÃO DO MODELO
Antes de realizar o controle propriamente dito, deve-se verificar se o modelo dinâmico
construído para o veículo corresponde à uma boa aproximação da realidade. Através de uma
malha de controle aberta pode-se construir os sistemas não linear e linear representados pelas
equações de estado 2.45 e 2.46 no Simulink. Aplica-se então uma entrada ao sistema,
representada pelo ângulo de esterçamento
e verifica-se se a saída
corresponde a trajetória
real de um veículo. Utiliza-se a forma da equação de estados 3.1 para a simulação com
Para o caso linear em especial
.
.
(3.1)
Para compor o modelo da dinâmica lateral de um veículo em particular e validar o modelo
construído, usam-se as constantes apresentadas no trabalho de Will e Zak (1997).
;
;
;
;
;
.
Para ambos os modelos (linear e não linear) utiliza-se como entrada,
esterçamento do volante
(deslocamento angular),
. Analisa-se então as respostas
(velocidade angular) e
o ângulo de
(velocidade no eixo y),
(posição global em Y). As respostas
se encontram em um referencial fixo ao centro de gravidade (CG) do corpo do carro,
enquanto Y está fixo no eixo referencial fixo do sistema. Essas diferentes saídas são
conseguidas variando-se os elementos do vetor
que são dadas pelas equações 3.2 a 3.5.
(3.2)
23
(3.3)
(3.4)
(3.5)
É ‘plotado’ um gráfico com cada uma das respostas em relação ao tempo. Além disso, ‘plotase’ também um gráfico utilizando as posições globais
pelo veículo. Para
e
tendo assim a trajetória realizada
, uma trajetória circular deve ser traçada.
3.1 Validação do modelo linear:
Substituindo as constantes na equação 2.46, encontra-se a matriz da dinâmica
entrada
e a matriz de
da equação de estados dados pelas equações 3.6 e 3.7.
(3.6)
(3.7)
Utilizando esses parâmetros, tem-se a simulação do modelo linear da dinâmica de um veículo
representados pela figura 3.1.
FIGURA 3.1 – Modelo linear do veículo simulado no MATLAB/Simulink
24
Os gráficos das saídas
em função do tempo e o gráfico da trajetória são dados
pelas figuras 3.2 e 3.3 respectivamente.
FIGURA 3.2– Gráfico das saídas
em função do tempo
FIGURA 3.3 – Gráfico da trajetória do veículo simulado
25
Ao observar os cinco gráficos, nota-se uma irregularidade no gráfico de
tempo. Por se tratar de uma curva constante a posição
em função do
deveria fornecer um gráfico em
relação ao tempo em forma de senoide. Em vez disso, tem-se a posição
decrescendo
indefinidamente em função do tempo indicando uma trajetória na direção diagonal negativa.
Essa constatação é confirmada pelo gráfico da trajetória do veículo simulado. Na figura 3.3
um veículo se desloca numa direção diagonal curvilínea infinitamente, sem nunca finalizar a
curva.
Com isso constata-se que o modelo linear não corresponde a realidade para deslocamentos
angulares
maiores que
.
3.2 Validação do modelo não linear:
Substituindo as constantes na equação 2.45, tem-se a simulação do modelo não linear da
dinâmica de um veículo representado pela figura 3.4.
FIGURA 3.4 – Modelo não linear de um veículo simulado no MATLAB/Simulink
Os gráficos das saídas
em função do tempo e o gráfico da trajetória são dados
pelas figuras 3.5 e 3.6, respectivamente.
26
FIGURA 3.5 – Gráfico das saídas
em função do tempo
FIGURA 3.6 – Gráfico da trajetória do veículo simulado
No caso do modelo não linear verifica-se que este corresponde com a realidade. Ao manter
um ângulo de esterçamento positivo e constante, tem-se uma trajetória elíptica, apresentada
claramente na figura 3.6. Os gráficos das saídas também correspondem com o esperado: uma
27
velocidade constante em
e em . Um crescimento constante no deslocamento angular .
Uma variação senoidal da posição global
em função do tempo.
Conclui-se que ao linearizar o modelo considerando pequenos deslocamentos para o ângulo
de guinada , representado pela variável
, o mesmo se distanciou da realidade, sendo que o
modelo não linear não se mostrou variável para grandes deslocamentos angulares
fornecendo uma resposta na trajetória
passeio.
e
de acordo com o esperado para um veículo de
4 MÉTODO DE CONTROLE
Para se controlar o sistema não linear do automóvel descrito no Capítulo 2 pela equação 2.45,
é necessário primeiramente linearizá-lo. Ao contrário da linearização realizada no Capítulo 2
alcançada através de uma aproximação, busca-se agora uma linearização exata. Para tanto,
utiliza-se uma técnica muito comum na área de controle não linear: A linearização por
realimentação (EL’YOUSSEF, 2007). Através dessa técnica, se gera um sinal de controle que
é capaz de cancelar as não linearidades presentes no sistema. A linearização é alcançada
aplicando-se uma técnica de mapeamento conhecida como difeomorfismo. Tal técnica será
detalhada mais a frente.
No sistema já linearizado é possível então aplicar técnicas de controle linear, sendo essas bem
difundidas e consolidadas na literatura. O diagrama mostrado na figura 4.1 ilustra o princípio
de funcionamento desse método.
FIGURA 4.1 – Método de controle
Fonte: SOARES, 2011.
Existe uma primeira malha de realimentação que transforma o sistema não linear em um
sistema linear e, então, uma segunda malha com um controlador linear que atua sobre a
primeira malha. É realizada uma transformação exata do sistema não linear em um sistema
linear ao invés de uma simples aproximação. Na figura 4.1,
é a referência de controle,
representa a lei de controle linearizante (transformação da entrada),
difeomorfismo (transformação de estados),
estados do sistema linearizado e
representa o
são os estados do sistema não linear,
são os
representa uma nova entrada de controle para o sistema
linearizado. Essa nova entrada é projetada utilizando técnicas de controle linear. O sistema
visto de
a
é linear e pode ser tratado como tal.
29
Inicialmente, é necessário definir quais condições o sistema, sobre o qual aplicar-se à o
método, deve satisfazer para que o mesmo possa ser linearizado com realimentação.
4.1 Linearização por Realimentação de Estados:
Considere um sistema não linear descrito pela equação 4.1.
(4.1)
(4.2)
Em
que
representando
o
estado,
a
entrada
controle
e
campos vetoriais suaves definidos em um subconjunto aberto de
.
O sistema é dito linearizável no sentido entrada-estado numa região
de
contida em
se
existirem
Um difeomorfismo:
(4.3)
Uma lei de controle:
(4.4)
De modo que o novo conjunto de variáveis (transformação de coordenadas) dado pela
equação 4.5.
(4.5)
E a nova variável de controle
satisfaça o sistema linear e invariante no tempo:
(4.6)
Onde
e
são um par controlável dado pelas equações 4.7 e 4.8 respectivamente. A
dimensão das matrizes
tendo a matriz
e
dimensões
são dadas em função do grau relativo do sistema não linear,
e a matriz
dimensões
.
(4.7)
30
(4.8)
A nova variável de estado
é designada por estado linearizado, e a lei de controle é chamada
Lei de Controle Linearizante. O difeomorfismo
vai provocar uma transformação de estados
onde as não linearidades vão estar relacionadas diretamente com as entradas de controle.
Segundo Rohr, difeomorfismo é dado pela definição 4.1.
Definição 4.1 (Difeomorfismo): Uma função
, definida em uma região
chamada de difeomorfismo se for suave e sua função inversa
é
existir e também for suave.
O método linearizante, propõe encontrar uma relação diferencial entre a saída
do sistema e
uma nova entrada , que cancele as parcelas não lineares encontradas durante o processo de
determinação de . A aproximação consiste em diferenciar a saída do sistema (
vezes quantas forem necessárias, até que a entrada
), tantas
apareça explicitamente na nova
expressão. O grau relativo do sistema é então definido como o número de vezes que é
necessário derivar a saída do sistema para atingir a entrada de controle (SILVA, 2003). Usa-se
como ferramenta matemática, a derivada direcional ou derivada de Lie. A seguir define-se
tanto Derivada de Lie quanto grau relativo, ambas extraídas da literatura (SILVA, 2003).
Definição 4.2 (Derivada de Lie): Dada uma função escalar
defini-se derivada de Lie de
em relação a
e um campo vetorial
,
pela equação 4.9.
(4.9)
Pode-se definir repedidas derivadas de Lie de forma recursiva conforme apresentado na
equação 4.10.
(4.10)
Sejam
e
dois campos vetoriais. Defini-se
pela equação 4.11.
(4.11)
31
Definição 4.3 (Grau relativo): O sistema SISO possui grau relativo
em uma região Ω se
para todo
(4.12)
No caso de grau relativo
igual ao grau do sistema , diz-se que há uma linearização por
entrada-estado, onde todos os estados são observáveis, podendo ser controlados. Caso o grau
relativo do sistema seja menor que o grau do próprio sistema, existirá uma dinâmica interna,
não observável, que precisará ser analisada separadamente para que o método possa ser
empregado (ARAÚJO, 2007).
Para iniciar a análise de linearização entrada-saída, posiciona-se o sistema em uma região
aberta no espaço de estados e deriva-se a saída
que
para algum
verificada em uma vizinhança finita,
, em
de
da equação 4.2 usando derivada de Lie até
. Por continuidade, a relação linear é
. Assim tem-se a equação 4.13.
(4.13)
Em
a transformação de entrada (Lei de Controle) passa a ser escrita como:
(4.14)
E por substituição simples escreve-se a relação entre a entrada e a saída do sistema, descrita
pela equação 4.15, sendo
o seu grau relativo.
(4.15)
4.2 Dinâmica Interna:
Se houver uma dinâmica interna (
) deve-se fazer a análise de sua estabilidade. Somente
se for estável, será possível implementar a lei de controle expressa pela equação 4.14. Uma
forma para verificar esta condição, é calcular a forma normal do sistema.
Em uma vizinhança
de um ponto
conforme as equações 4.16 e 4.17.
, a forma normal das equações 4.1 e 4.2, é escrita
32
(4.16)
(4.17)
Onde o sistema não linear simbolizado aqui pelo vetor
corresponde há equação 4.18.
(4.18)
E a saída é definida pela equação 4.19.
(4.19)
Para demonstrar que esta transformação na forma normal pode ocorrer, é preciso provar que a
transformação de estado adotada corresponde a um difeomorfismo. Para tanto, deve se
construir uma função
que garanta as afirmações das definições 4.1 e 4.4.
Definição 4.4: Seja o difeomorfismo
. Se a matriz Jacobiana
uma função suave definida em uma região
for não singular em um ponto
de
, então
define um difeomorfismo local em uma sub-região de .
(4.20)
Neste momento ocorre uma transformação do sistema original em outro sistema, cuja
dinâmica pode ser decomposta em duas partes distintas. A primeira parte compreende os
modos oberváveis do sistema que podem ser controlados via linearização da realimentação de
estados, sendo esta representada pelas primeiras
equações diferenciais. O controlador deve
garantir a estabilidade assintótica destes modos. A segunda parte corresponde aos modos não
observáveis, representados pelas últimas
equações diferenciais. A primeira e a segunda
parte componentes do sistema são representadas pelas equações 4.16 e 4.17 respectivamente.
Sendo todos os pré-requisitos atendidos, é possível projetar um controlador para os modos
observáveis do sistema dinâmico onde a nova entrada deve assumir a forma apresentada pela
equação 4.21.
(4.21)
33
O polinômio característico deve ter todas as suas raízes estritamente no semiplano esquerdo
do plano dos complexos, garantindo assim a estabilidade do sistema como um todo. A entrada
de controle
é construída utilizando a equação 4.21, garantindo que
estabiliza o
sistema localmente.
Para finalizar o controle resta apenas determinar o vetor ganho k.
4.3 Regulador Linear Quadrático:
A teoria do Regulador Linear Quadrático (LQR), permite a adoção de um índice de
desempenho através do qual otimiza-se parâmetros do controle, sendo usado para definir o
ganho
.
Esse ganho
é encontrado como a solução da equação diferencial matricial de Riccati, dada
na sua forma geral pela equação 4.22 (CUBILLOS, 2008).
(4.22)
Para o caso do sistema ser completamente controlável e as matrizes
constantes, tem-se um ganho
também constante e
,
,
e
serem
(CUBILLOS, 2008). Tem-se
então a equação simplificada 4.23.
(4.23)
Onde
e
são as matrizes componentes da equação 4.6. Já as matrizes
e
são
selecionadas de forma empírica representando a penalização imposta ao estado obtido e ao
controle empregado ao longo do tempo respectivamente. Não existe uma forma sistemática
para definição desses pesos (CUBILLOS, 2008).
5 SISTEMA DE CONTROLE
Considerando o sistema não linear descrito pela equação 4.2 e aplicando o sistema de
equações diferenciais 2.45, que descreve o modelo simplificado da dinâmica do automóvel,
chega-se as equações 5.1 a 5.3.
(5.1)
(5.2)
(5.3)
Onde,
;
;
;
;
;
.
Tendo adequado o modelo dinâmico ao sistema de controle, deve-se determinar seu grau
relativo. Para tanto se aplica a Definição 4.2 ao modelo descrito pelas equações 5.1 a 5.3.
35
(5.4)
(5.5)
A equação 5.5 apresenta a entrada
do sistema explicitamente. Para satisfazer a Definição
4.2 falta verificar se a equação 5.6 é verdadeira.
(5.6)
A qual é verdadeira, se e somente se o ângulo de guinada
não assumir o valor
no referencial local, com assumindo um valor inteiro maior que zero, visto
que o cosseno deste valor igualaria a equação 5.6 a zero. Logo, de acordo com a Definição 4.2
e levando em conta essa singularidade, o grau relativo
do sistema é igual a dois.
O sistema modelado pelas equações 5.1 a 5.3 tem ordem
e, portanto, existe uma
dinâmica interna que precisa ser analisada quanto a estabilidade para definir-se a lei de
controle (
).
5.1 Dinâmica Interna:
Transformam-se então as equações 6.1 a 6.3 na sua forma normal descrito pelas equações 5.7
e 5.8.
36
(5.7)
(5.8)
Para garantir essa transformação contrói-se um difeomorfismo local
.
Utilizando a equação 4.16 chega-se a equação 5.9.
(5.9)
O difeomorfismo da equação 5.9 deve satisfazer as afirmações das definições 4.1 e 4.4 e
provar que é um difeomorfismo local. Para tanto é preciso verificar se seu Jacobiano é
inversível ou similarmente, se os gradientes
Para provar que o gradiente
são linearmente independentes.
é independente, aplica-se a Definição 4.2 a equação 5.7.
Considera-se apenas o segundo termo da equação 5.10. Isto é feito, pois é o termo que
determina o critério de parada com o aparecimento de .
(5.10)
Tem-se então as equações 5.11e 5.12.
(5.11)
(5.12)
Assim como a equação 5.5, a equação 5.12 só vai satisfazer
valor
no referencial local.
Pela equação 5.7 tem-se que
é dado pela equação 5.13.
se
não assumir o
37
(5.13)
Os termos
, são escolhidos de modo que os mesmos sejam linearmente independentes. Tem-
se então o difeomorfismo representado pela equação 5.14.
(5.14)
O difeomorfismo da equação 5.14 é responsável por explicitar os estados observáveis e não
observáveis, devendo satisfazer as afirmações das definições 4.1 e 4.4 e provar que é um
difeomorfismo local. Para tanto é preciso verificar se seu Jacobiano é inversível. Tal
constatação é feita derivando-se a equação 5.14 e verificando se o determinante da equação
5.15 resultante é diferente de zero.
(5.15)
(5.16)
Como
só será igual a zero para os valores
já eliminados da superfície
de controle, comprova-se através da equação 5.16 a inversibilidade do Jacobiano do
difeomorfismo e por conseguinte a estabilidade da dinâmica interna do sistema. Com isso fica
provado que é possível o projeto de um controlador por linearização da realimentação de
estados.
Reescreve-se o sistema descrito pela equação 2.47 reorganizando a equação 5.14 e fazendo as
substituições cabíveis.
(5.17)
Utilizando a equação de controle 4.12 encontra-se a equação 5.18.
(5.18)
38
Aplicando-se a lei de controle
e o difeomorfismo
ao sistema não linear é possível
construir a malha linearizante como linearização exata do modelo da dinâmica de um carro de
passeio representado pela figura 5.1. Utiliza-se apenas os dois primeiros termos do
difeomorfismo , pois são eles os responsáveis pela dinâmica observável do sistema.
FIGURA 5.1 – Malha de Linearização
Com isso tem-se um sistema linear com uma nova entrada de controle
e saída . O novo
sistema é descrito pela equação 5.19.
(5.19)
Onde
e
são descritos, de acordo com as equações 4.7 e 4.8 pelas matrizes representadas
pelas equações 5.20 e 5.21 respectivamente.
(5.20)
(5.21)
O controle do mesmo é feito pelo método de controle linear LQR explicado no capítulo 4.
Para aplica-lo, deve-se calcular o ganho
termos Q e
e escolher a referência a ser usada. Utilizando os
representados pelas equações 5.22 e 5.23 em conjunto com as matrizes
possível calcular o ganho
no MATLAB através da função
e ,é
.
(5.22)
(5.23)
39
Sendo o objetivo do sistema controlar a trajetória de um carro de passeio, deve-se escolher
como referência do novo sistema linearizado a trajetória desejada. O controlador vai então
fornecer ao modelo o valor das variáveis necessárias para atingir tal trajetória dada. Sendo
, define-se como referência um vetor 2x1 na forma da equação 5.24.
(5.24)
Onde
representa a posição global
da trajetória desejada e
desenvolvida pelo veículo simulado durante esta trajetória. A nova entrada
a velocidade
é dada então
pela equação 5.25.
(5.25)
A simulação, validação e análise do sistema através do software MATLAB/Simulink são
realizadas a seguir.
40
6 RESULTADOS
O teste do controlador é feito através da simulação representada pela figura 6.1.
FIGURA 6.1 – Simulação do método de controle no MATLAB/Simulink
Onde o sistema linearizado é composto pela lei de controle
, pelo difeomorfismo
e
pelo sistema não linear, sendo representado pela figura 6.2.
FIGURA 6.2 – Bloco de simulação do sistema linearizado no MATLAB/Simulink
O controle do sistema linear é feito através do método LQR pelo bloco
, sendo utilizadas
três trajetórias diferentes para o teste do controlador, onde cada uma dessas trajetórias é
gerada de uma maneira diferente. Tem-se então três referências diferentes fornecidas pelos
blocos
,
e
cada um responsável por uma trajetória testada. Modifica-se a
referência utilizada na simulação através de uma chave manual. Vale lembrar que a referência
se encontra na forma da equação 6.1.
41
(6.1)
Para
, utiliza-se um bloco step e se escolhe como trajetória de teste uma mudança de
faixa. Neste caso define-se apenas o vetor
em ambos os casos para
e com um
inicial e final, sendo os valores iguais a zero
inicial igual a zero e final igual a 1. Essa referência
é limitada, pois fornece apenas o valor inicial e final das variáveis de controle, com uma
transição linear entre as mesmas. Isso impede a simulação de trajetórias mais complexas
como um retorno ou mudanças seguidas de faixa. Neste caso, o gráfico
seria semelhante a
uma mudança de faixa simples.
Os gráficos resultantes dos estados
trajetória da referência
com a trajetória
, da posição global
e o comparativo da
realizada pelo carro simulado para a referência
, são dados pelas figuras 6.3, 6.4 e 6.5 respectivamente.
FIGURA 6.3 – Gráfico das saídas
em função do tempo
42
FIGURA 6.4 – Gráfico da trajetória do veículo simulado
FIGURA 6.5 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida
Através da figura 6.4 é possível observar que o veículo simulado consegue realizar a mudança
de faixa proposta, saindo de uma faixa mais a direita (
mais a esquerda (
) e se deslocando para uma faixa
). A figura 6.3 mostra o desenvolvimento dos valores das variáveis de
estado ao longo da simulação, sendo esses valores os responsáveis pela trajetória percorrida.
No caso da figura 6.5, nota-se que apesar da simulação ter desenvolvido com sucesso a
trajetória proposta, esta não foi capaz de acompanhar com perfeição a trajetória da referência.
Existe uma defasagem e um tempo de assentamento, sendo a trajetória real mais abaulada.
Isso acaba por fazer sentido, pois uma trajetória com curvas de noventa graus, não poderia ser
executada devido as limitações físicas do veículo.
43
Para
, utiliza-se o bloco representado pela figura 6.6.
FIGURA 6.6 – Bloco que gera o vetor referência dois
Neste caso, em vez de fornecer apenas a posição inicial e final da trajetória, utiliza-se um
gerador de onda senoidal para fornecer os valores da posição
e deriva-se esse sinal para conseguir o segundo termo
durante o tempo da trajetória
do vetor referência. A trajetória de
teste é então dada por um zigue zague. Os gráficos resultantes dos estados
posição global
e o comparativo da trajetória da referência
com a trajetória
pelo carro simulado, são dados pelas figuras 6.7, 6.8 e 6.9 respectivamente.
FIGURA 6.7 – Gráfico das saídas
em função do tempo
, da
realizada
44
FIGURA 6.8 – Gráfico da trajetória do veículo simulado
FIGURA 6.9 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida
Através da figura 6.8 é possível observar que o veículo simulado consegue realizar a trajetória
proposta. A trajetória assume uma forma senoidal em torno de
com amplitude igual a
um. A figura 6.7 mostra o desenvolvimento dos valores das variáveis de estado ao longo da
simulação, sendo esses valores os responsáveis pela trajetória percorrida. No caso da figura
6.9, nota-se que ao contrário da figura 6.5, a simulação é capaz acompanhar com perfeição a
trajetória da referência.
45
Para
, utiliza-se um modelo linear do veículo para gerar a referência, sendo representado
pela figura 6.10.
FIGURA 6.10 – Bloco que gera o vetor referência três
Neste caso, se fornece ao sistema linear o ângulo de esterçamento responsável pela trajetória.
O sistema linear vai então fornecer uma saída referente a posição global
tempo. Para conseguir o segundo termo
em relação ao
do vetor referência, deriva-se o sinal
. A
trajetória escolhida para a referência um é uma manobra de retorno, alcançada através de um
ângulo de esterçamento constante e maior que zero para realizar um retorno para a direita,
assumindo um valor igual a zero após finalizar o retorno. Os gráficos resultantes dos estados
, da posição global
trajetória
e o comparativo da trajetória da referência
com a
realizada pelo carro simulado, são dados pelas figuras 6.11, 6.12 e 6.13
respectivamente.
FIGURA 6.11 – Gráfico das saídas
em função do tempo
46
FIGURA 6.12 – Gráfico da trajetória do veículo simulado
FIGURA 6.13 – Gráfico comparativo entre trajetória de referência e trajetória percorrida
Através da figura 6.13 é possível observar que o veículo simulado consegue realizar a
trajetória proposta. A trajetória inicia no ponto
, realiza uma curva para a direita,
devido ao ângulo de esterçamento constante e positivo, finalizando o retorno e mantendo uma
trajetória retilínea a partir de então. A figura 6.12 mostra o desenvolvimento dos valores das
47
variáveis de estado ao longo da simulação, sendo esses valores os responsáveis pela trajetória
percorrida. Assim como na trajetória anterior, através da figura 6.13 é possível constatar que a
simulação é capaz acompanhar com perfeição a trajetória da referência.
7 CONCLUSÃO
O estudo apresentado neste trabalho conseguiu alcançar o objetivo de desenvolver um
controle para a direção de um veículo de passeio. Mostrou-se que o modelo matemático
consegue prever o comportamento de um veículo real dado uma entrada de controle. Resta
saber se esse comportamento, definido por uma trajetória, consegue se aproximar em valores
numéricos da trajetória real. Em ambiente virtual, as simulações comprovaram a viabilidade
do controle do sistema não linear proposto.
Como observado nos resultados apresentados no capítulo seis, o controlador projetado foi
capaz de acompanhar a trajetória desejada. Entretanto, os resultados obtidos são reflexos da
formulação matemática e das referências utilizadas, sendo estas últimas as responsáveis pela
complexidade da trajetória realizada. Apenas com isso, não é possível determinar se é
possível construir um controlador com os valores encontrados. Deve-se fazer um estudo
complementar quanto às limitações físicas do modelo quando transportado para o mundo real
podendo dessa forma buscar propostas da implementação prática do controlador teórico
simulado, assim como possíveis mudanças na formulação do problema.
Além disso, o modelo matemático utilizado recebeu demasiadas simplificações e dessa
maneira pode ter diminuído o escopo de aplicabilidade do controlador. Uma possibilidade
para contornar tal problema seria considerar um trajeto composto por vários trechos menores,
sendo que cada trecho seria considerado como a trajetória do veículo e como tal deveria
respeitar as restrições de velocidade constante, pistas e manobras suaves. Para tanto se faz
necessário o projeto e teste de um sistema auxiliar de controle capaz de controlar a divisão do
trajeto e dos parâmetros.
Sendo o objetivo de um trabalho futuro alcançar um carro completamente automático, deve-se
também buscar a extensão desse projeto de controlador aos outros sistemas de atuação do
carro, no caso aceleração, freio e sinalização. Obviamente é necessária também uma interface
com o usuário e entre os módulos de controle do veículo de modo a alcançar uma sinergia na
determinação da trajetória em comum. Um ponto importante na determinação dessa trajetória,
como foi apresentado neste trabalho, é a referência a ser utilizada. Sendo como um
mapeamento do trajeto a ser percorrido, deve-se incluir na determinação das manobras a
serem realizadas para realizar determinada trajetória, fatores externos ao veículo como
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sinalização, pedestres, obstáculos, entre outros. Para tanto faz-se necessário um sistema de
aquisição de dados com utilização de sensores.
Uma validação final para o sistema de controle desenvolvido neste trabalho seria a construção
de um protótipo para testes em ambiente real.
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