BANCO DO BRASIL
Matemática Básica
Módulo 01: Números Inteiros e Racionais
Módulo 02: Problemas com Conjuntos
Módulo 03: Múltiplos e Divisores
Prof. Weber Campos
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2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
Matemática Básica
ÍNDICE
Módulo 01: Números Inteiros e Racionais
Exercícios
Gabarito
3
12
22
Módulo 02: Problemas com Conjuntos
Exercícios
Gabarito
23
29
30
Módulo 03: Múltiplos e Divisores
Exercícios
Gabarito
31
37
40
Concurso do BANCO DO BRASIL/2012
Matemática Básica: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais;
problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e
proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas.
Estatística: Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta.
Matemática Financeira: Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros:
nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização
de Empréstimos e Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de
financiamento, empréstimo e investimento. Taxas de Retorno.
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MÓDULO 01: NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS
1. DESCRIÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das
operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N = {0, 1, 2, 3, 4, K} é o conjunto dos números naturais (inteiros não-negativos).
b) Z = {K, - 3 , - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, K} é o conjunto dos números inteiros.
ì
c) Q = í x | x =
î
pü
ý , sendo p Î Z, q Î Z e q ¹ 0, é o conjunto dos números racionais.
qþ
São exemplos de números racionais: -
9
8
3
, - , + , + 0,28 , - 2,755.
5
2
3
São exemplos de números irracionais: p = 3,14159 K ,
2 = 1,41421K ,
3 = 1,73205K,
d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais.
® Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do
conjunto. Assim, temos:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,K}
® Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os
números negativos do conjunto.
Z + = { 0,1, 2, 3, K} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
® Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos
os números positivos do conjunto. Assim, temos:
Z - = {K, - 3 , - 2, - 1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.
® Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z + , Z - . Se excluímos o zero destes
conjuntos, teremos:
Z *+ = {1, 2, 3, K} → números inteiros estritamente positivos.
Z *- = {K, - 3 , - 2, - 1} → números inteiros estritamente negativos.
® Notemos a propriedade: N Ì Z Ì Q Ì R , isto é, todo número natural é inteiro, todo número
inteiro é racional, todo número racional é real.
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2. Operações Básicas
® ADIÇÃO
7 + 3 + 8 = 18
parcelas
soma
- A ordem das parcelas não altera o resultado.
® SUBTRAÇÃO
8 – 3 = 5
minuendo
subtraendo
diferença
® MULTIPLICAÇÃO:
9 x 4 = 36
multiplicando multiplicador produto
(fator)
(fator)
- A ordem dos fatores não altera o produto.
® DIVISÃO:
dividendo
21
5
1
4
resto
quociente divisor
Importante: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
Exemplo: 21 = 5 x 4 + 1
Atenção:
- O maior resto possível é igual ao divisor menos um.
- Não existe divisão com o divisor zero.
- Quando o dividendo for zero o quociente também será zero.
- Na divisão exata dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor.
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3. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS
3.1. “SOMA OU ADIÇÃO” E “SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA”
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando
os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último.
É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal
do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o
de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais
(+).
a) (+10) + (+2) = +10 + 2 = +12
b) (+10) + (-2) = +10 - 2 = +8
c) (-10) + (+2) = -10 + 2 = -8
d) (-10) + (-2) = -10 - 2 = -12
e) (+10) - (+2) = +10 - 2 = +8
f)
(+10) - (-2) = +10 + 2 = +12
g) (-10) - (+2) = -10 - 2 = -12
h) (-10) - (-2) = -10 + 2 = -8
à Números Simétricos: dois números a e b são ditos simétricos (ou opostos) quando a
soma deles for zero.
Exemplos: -3 e 3 são simétricos; o oposto de 5 é -5; o oposto de zero é o próprio zero.
3.2. “MULTIPLICAÇÃO” E “DIVISÃO”
Para as operações de multiplicação e divisão vale a seguinte regra: “Números de mesmo
sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à
resultados negativos”.
a)
(+10) ´ (+2) = +20
b)
(+10) ´ (-2) = -20
c)
(-10) ´ (+2) = -20
d)
(-10) ´ (-2) = +20
e)
(+10) ¸ (+2) = +5
f)
(+10) ¸ (-2) = -5
g)
(-10) ¸ (+2) = -5
h)
(-10) ¸ (-2) = +5
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3.3. POTENCIAÇÃO
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta
operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de
fatores iguais a este número, sendo representada por:
® expoente
a p® base
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o
sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.
a)
(+ 2)4 = (+ 2) ´ (+ 2) ´ (+2) ´ (+ 2) = 16
b)
(-2)4 = (- 2) ´ (- 2) ´ (- 2) ´ (- 2) = 16
c)
(+ 2)3 = (+ 2) ´ (+ 2) ´ (+ 2) = 8
d)
(-2)3 = (- 2) ´ (- 2) ´ (- 2) = -8
É interessante notar a diferença entre a potenciação sequencial e a potenciação
escalonada, que serão analisadas logo a seguir.
a) Potenciação Sequencial:
(2 ) = (4)
2 3
3
= 64 , que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e
multiplicando-se os expoentes:
(2 )
2 3
= 2 2´3 = 2 6 = 64
b) Potenciação Escalonada:
3
2 2 = 28 = 256
( )
Ou seja: 2 2
3
¹ 22
3
® Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do
denominador do expoente do numerador.
1
2
a ´a ´a ´a = a
3
2
4
3+ 2+ 4+
1
2
=a
19
2
b8
= b 8 -5 = b 3
b5
x2
= x 2 -5 = x -3
5
x
y3
= y 3-( -4) = y 7
-4
y
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® Expoente Nulo
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade: a 0 = 1 .
Obs.: São exceções 0 0 e ¥ 0 , que não têm qualquer significado numérico.
® Expoente Negativo
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e
-n
o denominador é a potência com o expoente positivo, ou seja: a =
a) 2- 4 =
1
1
=
4
2 16
b) 3- 2 =
1 1
=
32 9
c)
1
.
an
1
= 5 2 = 25
-2
5
® Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
a) 2 000 = 2 ´ 103
b) 4 000 000 = 4 ´ 106
c) 0,0003 = 3 ´ 10-4
d) 0,0000003 = 3 x 10-7
e) 0,0025 = 25 ´ 10 -4
f)
0,72 = 72 ´ 10 -2
0,0025 = 2,5 ´ 10 -3 (notação científica)
ou
ou
0,72 = 7,2 ´ 10 -1 (notação científica)
3.4. RADICIAÇÃO
a) Raiz n-ésima de um número:
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
a = bn
e ela é representada por
n
a =b
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas
operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
ìO sinal
é o radical
ï
Temos então: íO número " a" é o radicando
ïO número " n" é o índice do radical
î
Assim sendo
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9 = 3 porque 32 = 9 .
3
8 = 2 porque 23 = 8 .
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
® Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador
da fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
p
q
aq = ap
Determinar os resultados das seguintes operações:
2
3
a) 8 = 8 = 64 = 4
3
2
3
c) 4
-
1
2
=
1
4
1
2
=
1
4
=
1
2
1
b) 16 2 = 16 = 4
4. NÚMEROS DECIMAIS
® Fração
3
5
numerador
denominador
® Fração Ordinária – O denominador não possui potência de 10.
Exemplos:
31
6
7
,
,
48
5
9
® Fração Decimal – O denominador só possui potência de 10;
Exemplos:
7
23
51
,
,
10 100 1000
® Operações
# Adição e Subtração
Obs.: Coloca-se um número abaixo do outro, ficando vírgula embaixo de vírgula.
Exemplos:
a) 1,35 + 0,2 + 4,027 + 6 = 11,577
b) 8,25 – 2,035 = 6,215
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# Multiplicação
3 casas decimais
2,047
x
1 casa decimal
5,8
16376
+ 10235__
4 casas decimais
11,8726
Obs.: Você pode multiplicar os números sem considerar a vírgula. A quantidade de casas
decimais do resultado (produto) corresponderá à soma das quantidades de casas decimais dos
fatores.
- Multiplicação por 10, 100, 1000 etc.
Basta deslocar a vírgula para a direita dependendo dos zeros da potência de 10.
Exemplos:
a) 1,343 x 10 = 13,43
b) 1,343 x 100 = 134,3
c) 1,343 x 1000 = 1343
d) 1,343 x 10000 = 13430
- Potência de números decimais
(0,4)2 = 0,4 x 0,4 = 0,16
(1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44
# Divisão
- Divisão com potências de 10
Desloca-se a vírgula para a esquerda dependendo da quantidade de zeros.
839
= 83,9
10
Exemplos:
839
= 8,39
100
839
= 0,839
1000
– Divisão de dois números naturais
Exemplo:
63
= ?
4
63
4
23
30
20
0
15,75
Resposta:
63
= 15,75
4
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- Divisão de dois números quaisquer
Iguale as casas decimais dos dois números completando com zeros.
Exemplo:
1051,12
= ?
28
1051,12 1051,12 105112
=
=
28
28,00
2800
Você pode dividir 105112 por 28, e ao final dividir o resultado por 100.
105112
211
151
28
3754
112
0
Como dito anteriormente, o resultado 3754 será dividido por 100:
3754
= 37,54
100
Resposta:
1051,12
= 37,54
28
:
Exemplo:
1685,52
= ?
2,4
1685,52 1685,52 168552
=
=
2,4
2,40
240
Você pode dividir 168552 por 24, e ao final dividir o resultado por 10.
168552
05
055
24
7023
72
0
Como dito anteriormente, o resultado 7023 será dividido por 10:
7023
= 702,3
10
Resposta:
1685,52
= 702,3
2,4
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- Transformação de frações ordinárias em números decimais
Regra Geral:
a) Divide-se o numerador pelo denominador. Se a divisão for exata, o quociente será um nº
decimal exato.
b) Se a divisão do numerador pelo denominador não for exata o quociente será uma dízima
periódica.
Exemplos:
4
= 0,8
5
(número decimal exato)
2
= 0,666K (é uma dízima periódica simples)
3
2
= 0,1333K (é uma dízima periódica composta)
15
- Transformar número decimal em fração ordinária
a) Número decimal exato
Exemplos:
0,25 =
1,8 =
25 1
=
100 4
18 9
=
10 5
b) O número decimal é uma dízima periódica.
Exemplos:
0,333K =
3 1
=
9 3
0,5454 K =
54 6
=
99 11
0,235235235K =
0,1566666K =
235
999
156 - 15 141 47
=
=
900
900 300
0,472616161K =
47261 - 472 46789
=
99000
99000
2,666K =
26 - 2 24 8
=
=
9
9 3
1,7555K =
175 - 17 158 79
=
=
90
90 45
4,24515151K =
42451 - 424 42027 14009
=
=
9900
9900
3300
Chamamos de GERATRIZ a fração ordinária que deu origem à dízima periódica.
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EXERCÍCIOS DO MÓDULO 01
01. (BB 2011 FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números inteiros e maiores
que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.
A15B
– 2CD3
4218
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
(A) A < B < C < D
(B) B < A < D < C
(C) B < D < A < C
(D) D < A < C < B
(E) D < A < B < C
02. (Oficial de Chancelaria 2009 FCC) Zeus é um aficionado em matemática, pois quando lhe
perguntaram sobre sua idade, ele respondeu: “Para saber a minha idade você deve decifrar o
criptograma aritmético seguinte, que corresponde, de modo codificado, à adição de dois
números naturais. Decifrado o criptograma, a minha idade é igual à soma dos algarismos que
correspondem às letras da palavra FISCO.”
FOSSO
+FOSSO
C ISCO
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, quantos anos tem Zeus?
(A) 28
(B) 22
(C) 30
(D) 24
(E) 25
03. (Perito/Delegado PC/MA 2006 FCC) No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação
de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C e
D.
AB2C
x4
157D2
Completado o diagrama corretamente, é verdade que
(A) C =D + 1
(B) B = A2
(C) A + B = C + D
(D) A −C = 5
(E) A =D0
04. (BB 2011 FCC) Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é ímpar,
considere as seguintes afirmações:
I. x + y é ímpar.
II. x − 2y é ímpar.
III. (3x) . (5y) é impar.
É correto afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I, II e III são falsas.
(C) apenas I é verdadeira.
(D) apenas I e II são verdadeiras.
(E) apenas II e III são verdadeiras.
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05. (TRT9 Tec Jud 2010 FCC) Dois números inteiros positivos x e y têm, cada um, 5 algarismos
distintos entre si. Considerando que x e y não têm algarismos comuns e x > y, o menor valor
que pode ser obtido para a diferença x − y é:
(A) 257.
(B) 256.
(C) 249.
(D) 247.
(E) 246.
06. (TRT22-Piauí Técnico Judiciário 2010 FCC) Seja XYZ um número inteiro e positivo em que X,
Y e Z representam os algarismos das centenas, das dezenas e das unidades,
respectivamente. Sabendo que 36 935 ÷ (XYZ) = 83, é correto afirmar que
(A) X = Z
(B) X . Y = 16
(C) Z − Y = 2X
(D) Y = 2X
(E) Z = X + 2
07. (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de 2493 por um
certo número inteiro, encontrou o produto 668 124. Só então notou que, ao copiar os números
para efetuar a operação, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador,
escrevendo 6 ao invés de 3. Assim, o verdadeiro produto seria
(A) 643 194
(B) 618 264
(C) 598 274
(D) 593 334
(E) 568 404
08. (TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos. Sabendo-se que
X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z – W é igual a
(A) 5
(D) 2
(B) 4
(E) 1
(C) 3
09. (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de 1932. Nessa
data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número
formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito
surpreso quando seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o
mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva
entre as idades de meu pai e desse meu bisavô, em anos, é
(A) 40
(D) 47
(B) 42
(E) 50
(C) 45
10. (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Sabe-se que em um sistema decimal de numeração, ou seja,
em que a base é 10, o número inteiro 3087, por exemplo, pode ser decomposto na forma
3.103+0.102+8.101+7.100. Sabe-se também que em um sistema de numeração em que a base
é 3, os dez primeiros números inteiros positivos são 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 e 101.
Nessas condições, calculando-se 2012 + 201, em que as parcelas são números do sistema
de base 3, a soma obtida corresponde, neste mesmo sistema, ao número
(A) 2220
(B) 2210
(C) 2020
(D) 1210
(E) 1220
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11. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o
sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como:
N = an.10n + an-1 .10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a1 .101 + a0 .10 0,
em que 0 ≤ ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n.
Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras
eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter
gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco
notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda
brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele
recebeu de troco, em deltas, era
(A) 155.
(B) 152.
(C) 145.
(D) 143.
(E) 134.
12. (TRF 1ª região Téc. Jud. 2007 FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um
manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que,
excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e,
ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram
numeradas é
(A) 97
(B) 99
(C) 111
(D) 117
(E) 126
13. Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 10 – 30 – 40 + 120 – 5 x 25 x (40 + 010 + 10)
b) 4 + 72 ¸ 4 x 2 – [12 x 4 ¸ 2 – 10 x (–50 + 40)]
14. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Simplificando-se a expressão
obtém-se um número:
(A) quadrado perfeito.
(B) divisível por 5.
(C) múltiplo de 6.
(D) primo.
(E) ímpar.
15. (BB 2011 FCC) O valor da expressão (A2 – B3)/(AB+BA), para A = 2 e B = −1, é um número
compreendido entre
(A) −2 e 1.
(B) 1 e 4.
(C) 4 e 7.
(D) 7 e 9.
(E) 9 e 10.
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16. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Simplificando a expressão
2–
1
2–
2–
_
1
_
1 _
2– 1_
2
obtém-se
(A) 1,8.
(B) 1,75.
(C) 1,5.
(D) 1,25.
(E) 1,2.
17. (TRF4 - Tec Jud - 2010 FCC) A expressão N ¸ 0,0125 é equivalente ao produto de N por
(A) 1,25.
(B) 12,5.
(C) 1/80.
(D) 80.
(E) 125/100.
18. (TRT12-SC Téc. Jud. 2010 FCC) Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração
x/y é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se
então x + y é igual a
(A) 53.
(B) 35.
(C) 26.
(D) 17.
(E) 8.
19. (BB 2011 FCC) Qual das expressões seguintes NÃO é equivalente a 0,0000000625?
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15
Matemática Básica
20. (TRT15 - Téc Jud – Área Adm. 2009 FCC) Muitas vezes nos deparamos com um número
expresso na chamada notação científica, ou seja, representado como produto de um número
x, com 1 ≤ × < 10, por uma potência de 10, como mostram os exemplos: 12 300 = 1,23 × 10 4
e 0,00031 = 3,1 × 10−4. Na notação científica, a representação do valor da expressão
(A) 1,25 × 103
(B) 2,5 × 103
(C) 1,25 × 102
(D) 2,5 × 10−2
(E) 1,25 × 10−2
21. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo
produto de um número racional x por 10n, sendo 1 ≤ x < 10 e n um número inteiro. Dessa
forma, a expressão do número
N = 0,000000245 . 1872 000 000
0,0000000325 . 49 000
na notação científica é
(A) 2,08 ×103.
(B) 2,88 ×104.
(C) 2,08 ×104.
(D) 2,88 ×105.
(E) 2,08 ×105.
22. (Banese 2012 FCC) Considere o problema abaixo.
“Márcio escolheu um número racional e somou o dobro do seu quadrado com sua terça parte. Do
resultado encontrado, subtraiu a soma de 21,08 com o quádruplo desse número. Ao final do
cálculo, Márcio obteve N como resposta. Qual foi o número escolhido por Márcio?”
Para que 5,7 seja uma das possíveis respostas desse problema, o valor de N deve ser
(A) 23.
(B) 24.
(C) 25.
(D) 26.
(E) 27.
23. (Agente Administrativo/Campinas 2011 IBFC) A diferença entre 12,8333..e 5,171717... é
equivalente à fração:
a) 7,6616
b) 758/90
c) 7585/999
d) 1517/198
Problemas Matemáticos com Inteiros e Racionais
24. (CEF 2000 FCC) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma
agência bancária contou t moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5
centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas
de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10
centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial
A) acrescida de R$ 1,35
B) diminuída de R$ 1,35
C) acrescida de R$ 1,65
D) diminuída de R$ 1,75
E) acrescida de R$ 1,75
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16
Matemática Básica
25. (TRT-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Serena fez um saque em um caixa eletrônico que
emitia apenas cédulas de 10, 20 e 50 reais e, em seguida, foi a três lojas nas quais gastou
toda a quantia que acabara de retirar. Sabe-se que, para fazer os pagamentos de suas
compras, em uma das lojas ela usou todas (e apenas) cédulas de 10 reais, em outra usou
todas (e apenas) cédulas de 20 reais e, na última loja todas as cédulas restantes, de 50 reais.
Considerando que, ao fazer o saque, Serena recebeu 51 cédulas e que gastou quantias
iguais nas três lojas, o valor total do saque que ela fez foi de
(A) R$ 900,00.
(B) R$ 750,00.
(C) R$ 600,00.
(D) R$ 450,00.
(E) R$ 300,00.
26. (Banese 2012 FCC) O departamento de informática de um banco dividiu as agências de um
município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse responsável por dar suporte
às agências de um desses grupos. Nessa divisão, porém, sobrou uma agência, tendo um dos
técnicos de ficar responsável por quatro agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu
as mesmas agências em grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as
agências de cada grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre
os números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município é
(A) 15.
(B) 19.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 25.
27. (TRT15 – An. Jud. – Área Adm. 2009 FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição
Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de
um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9
processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem
colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a
outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de
processos do lote é um número
(A) par.
(B) divisível por 5.
(C) múltiplo de 3.
(D) quadrado perfeito.
(E) primo.
28. (BB 2011 FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de
dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente
do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que
Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a
fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de
pessoas das duas filas era:
(A) 24.
(B) 26.
(C) 30.
(D) 32.
(E) 36.
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29. (BB 2010 FCC) Suponha que, para a divulgação de produtos oferecidos pelo Banco do Brasil
no primeiro trimestre deste ano, 1 295 folhetos foram entregues aos clientes em janeiro e que
o total entregue nos dois meses seguintes foi o dobro desse valor. Se o número de folhetos
entregues em março ultrapassou o de fevereiro em 572 unidades, a soma dos números de
folhetos entregues em janeiro e fevereiro foi
(A) 2 018
(B) 2 294
(C) 2 304
(D) 2 590
(E) 2 876
30. (TRT8 Pará Téc. Jud. 2010 FCC) Sabe-se que em 1.000 lâminas há um total de 350 registros
de células do tipo X, e que em nenhuma das lâminas há mais do que 4 células do tipo X. O
número de lâminas em que não há registros de células do tipo X é, no máximo,
(A) 913.
(B) 912.
(C) 400.
(D) 125.
(E) 120.
31. (TRT15 – An. Jud. – Área Jud. 2009 FCC) Um aluno resolveu vender livros para ajudar a
pagar seus estudos. Um colega duvidou que ele conseguisse fazê-lo. Fizeram então uma
aposta: ele ofereceria os livros a um certo número de pessoas; se a pessoa comprasse algum
livro, o colega lhe daria R$ 2,00; caso contrário, ele daria R$ 1,00 ao colega. Ele contatou 38
pessoas e ganhou R$ 49,00 na aposta. É verdade que o número de pessoas que
(A) não compraram seus livros é um número par.
(B) não compraram seus livros é múltiplo de 5.
(C) compraram seus livros é maior do que 30.
(D) compraram seus livros é o triplo do número das que não compraram.
(E) compraram seus livros é um número primo.
32. (TRT15 – An. Jud. – Execução de Mandatos 2009 FCC) Em certo ano, os analistas de dois
grupos executaram 210 intimações. Os do primeiro grupo executaram 120 delas e os do
outro, com 3 analistas a menos, executaram as restantes. Se todos os analistas executaram o
mesmo número de intimações, então
(A) cada analista executou 10 intimações.
(B) cada analista executou 12 intimações.
(C) o número de analistas do primeiro grupo era 10.
(D) o número de analistas do segundo grupo era 12.
(E) o número total de analistas era 20.
33. (Banese 2012 FCC) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista para ocorrer na
cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias depois, em 5 de agosto de
2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses
dados, é possível concluir que a abertura da Copa de 2014 ocorrerá em
(A) uma quarta-feira.
(B) uma quinta-feira.
(C) uma sexta-feira.
(D) um sábado.
(E) um domingo.
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34. (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Em certo momento, o número de funcionários presentes em
uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo
resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na
agência passaria a ser
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
35. (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é
vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em
reais, é calculada pela expressão R(x) = 80000x – 8000x², então, para que seja gerada uma
receita mensal de R$ 200 000, 00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por:
(A) R$ 6,00
(B) R$ 5,50
(C) R$ 5,00
(D) R$ 4,50
(E) R$ 4,00
36. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo artigo
ao preço de R$ 28,00 a unidade. Suponha que Salma estime que, se cada artigo for vendido
ao preço unitário de X reais, ela conseguirá vender (84 − X) unidades. De acordo com essa
estimativa, para que seja obtido o maior lucro possível, o número de artigos que deverão ser
vendidos é
(A) 84.
(B) 70.
(C) 56.
(D) 42.
(E) 28.
37. (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Na saída do trabalho, um grupo de amigos foi a uma padaria e
três deles se encarregaram de pagar as despesas. O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafés e 2
pães com manteiga. O segundo pagou RS 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga. O
terceiro pagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga, a quantia de
(A) R$ 1,80
(B) R$ 1,90
(C) R$ 2,00
(D) R$ 2,10
(E) R$ 2,20
38. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de
algumas unidades de certo tipo de caneta esferográfica que estava em promoção e, como
bonificação, recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que cada
caneta que tinha comprado havia saído por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por
(A) R$ 6,20.
(B) R$ 6,00.
(C) R$ 5,80.
(D) R$ 5,20.
(E) R$ 5,00.
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39. (BB 2011 FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de
formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma
máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas
as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento?
(A) 36.
(B) 35,5.
(C) 34.
(D) 33,3.
(E) 32.
40. (BB 2011 FCC) Gertrudes e Rubem - funcionários de uma Agência do Banco do Brasil receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgação de serviços e
produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu
total de folhetos para Rubem, então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É
correto concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número
compreendido entre
(A) 10 e 25.
(B) 25 e 50.
(C) 50 e 75.
(D) 75 e 100.
(E) 100 e 125.
41. (Banese 2012 FCC) O tempo médio de atendimento dos clientes nos caixas de um banco é
de 6 minutos. Sabe-se que 10% do total de atendimentos são mais complexos, sendo o
tempo médio, apenas para esses atendimentos, de 15 minutos. Por isso, a direção do banco
resolveu criar um caixa especial para tais atendimentos complexos, que serão identificados
por um funcionário logo na entrada das agências. Considerando que todos os atendimentos
complexos sejam desviados para o caixa especial, o tempo médio de atendimento nos
demais caixas cairá para
(A) 5 minutos.
(B) 4,5 minutos.
(C) 4 minutos.
(D) 3,5 minutos.
(E) 3 minutos.
42. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Relativamente ao total de registros de candidaturas
protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários, sabe-se que: 8/15 foi protocolado por
Alciléia, 5/12 por Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada
por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês?
(A) 5%.
(D) 17,5%.
(B) 12,5%.
(E) 20%.
(C) 15%.
43. (TRE-PI An Jud - Análise de Sistemas 2009 FCC) A prefeitura de um pequeno município
estabeleceu que 2/7 da sua receita anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 3/5
deve ser destinado à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o
restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e
habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e
habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi
(A) 600
(B) 1.200
(C) 1.500
(D) 2.100
(E) 3.000
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44. (TRT15 - Téc Jud – Área Adm. 2009 FCC) Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um
texto quando eram decorridos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos
61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho
apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de
tal texto foi de
(A) 2 horas e 30 minutos.
(D) 3 horas e 40 minutos.
(B) 2 horas e 45 minutos.
(E) 3 horas e 45 minutos.
(C) 3 horas e 20 minutos.
45. (Banese 2012 FCC) Depois de realizar 40% de uma obra, a empreiteira A foi dispensada, por
não ter cumprido alguns requisitos contratuais. A empreiteira B foi então contratada para
finalizar a obra, comprometendo-se a executar 2/23 dela a cada mês. Nessas condições, se a
empreiteira B iniciou seu trabalho no primeiro dia de janeiro de 2012, deverá finalizá-lo
durante o mês de
(A) junho de 2012.
(B) julho de 2012.
(C) agosto de 2012.
(D) setembro de 2012.
(E) outubro de 2012.
46. (Banese 2012 FCC) Após a morte do Sr. Cunha, o imóvel que ele possuía foi vendido por R$
720.000,00. O dinheiro da venda foi dividido da seguinte maneira: primeiro, foram destinados
6% do valor total para a comissão da imobiliária e 10%, desse mesmo total, para impostos e
honorários advocatícios. Metade do restante foi para a viúva do Sr. Cunha e a outra metade
foi dividida igualmente entre seus três filhos. O valor, em reais, destinado a cada filho do Sr.
Cunha foi
(A) 120.000,00.
(B) 102.600,00.
(C) 100.800,00.
(D) 12.600,00.
(E) 10.800,00.
47. (TRT15 – An. Jud. – Área Adm. 2009 FCC) Do total de projetos que estavam em um arquivo,
sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse
arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre
(A) 10 e 50.
(B) 60 e 100.
(C) 110 e 160.
(D) 150 e 170.
(E) 180 e 220.
48. (TRT22-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários
receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:
Anabela: "6/11 do total das licitações receberam meu parecer."
Benivaldo: "A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do número de
pareceres emitidos por Anabela."
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das
quantidades que cada um emitiu era um número compreendido entre 100 e 150, então:
(A) X < 50.
(B) 50 < X < 100.
(C) 100 < X < 150.
(D) 150 < X < 200.
(E) X > 200.
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GABARITO
01
C
02
B
03
B
04
C
05
D
06
B
07
D
08
E
09
E
10
A
11
E
12
C
13
-260 e -84
14
C
15
B
16
E
17
D
18
A
19
A
20
A
21
D
22
A
23
D
24
A
25
A
26
E
27
E
28
E
29
C
30
B
31
E
32
A
33
B
34
E
35
C
36
E
37
C
38
D
39
A
40
D
41
A
42
A
43
D
44
D
45
B
46
C
47
D
48
D
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22
Matemática Básica
MÓDULO 02 – PROBLEMAS COM CONJUNTOS
1. TEORIA DOS CONJUNTOS
1) Relações de Pertinência
Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não
pertence a um conjunto é feita pelos símbolos: Î (pertence) e Ï (não pertence).
Exemplo 1:
a) 2 Î {0, 1, 2}
b) 4 Ï {0, 1, 2}
2) Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de inclusão: Ì
(está contido), Ë (não está contido), É (contém) e É(não contém).
Exemplo 2:
a) {2, 5} Ì {0, 1, 2, 5}
b) {2, 7} Ë {0, 1, 2, 5}
c) {0, 1, 2, 5} É {2, 5}
d) {0, 1, 2, 5} É {2, 7}
3) Subconjunto
Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B.
Exemplo 3:
a) {2} é subconjunto de {1, 2, 3}
b) {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5}
4) Conjunto das Partes de um Conjunto
O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), é o conjunto cujos elementos
são todos partes (subconjuntos) de A.
O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2n, em que n é o número
de elementos de A.
Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A.
Solução:
Como A tem 3 elementos, P(A) terá 8 elementos (=23).
O conjunto P(A) é { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Æ }. Onde o símbolo Æ
representa o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto.
5) Operações com Conjuntos
Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada
operação com conjuntos:
a) União (È)
A união entre dois conjuntos, AÈB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A
e de B. Simbolicamente: AÈB = {x | xÎA ou xÎB}.
Exemplo 5: {1, 2, 3} È {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!)
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23
Matemática Básica
A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte desenho:
U
A
B
b) Interseção (Ç)
A intersecção entre dois conjuntos, AÇB, é o conjunto formado pelos elementos que são
comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AÇB = {x | xÎA e xÎB}.
Exemplo 6: {1, 2, 3} Ç {2, 5, 8} = {2} (Resposta!)
Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos:
c) Diferença (–)
A diferença entre dois conjuntos, B–A, é o conjunto formado pelos elementos de B que não
pertencem a A. Simbolicamente: B–A = {x | xÎB e xÏA}.
Exemplo 7: {1, 2, 3} – {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!)
A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo seguinte
desenho:
d) Complementar (')
O complementar do conjunto A, simbolizado por A', é o conjunto formado pelos elementos
do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: A'={xÎU|xÏA}.
A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte desenho:
U
A
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24
Matemática Básica
f) Fórmula da União
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos
conjuntos individuais. A fórmula é dada por:
à n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB)
Se forem três conjuntos a fórmula será:
à n(AÈBÈC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AÇB)–n(AÇC)–n(BÇC)+n(AÇBÇC)
Exemplo 9: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos
seguintes dados: n(A)=10, n(B)=7, n(AÇB)=5.
Solução:
Substituiremos os dados na fórmula da união. Teremos:
à n(AÈB) = n(A)+n(B)–n(AÇB) = 10+7-5
à n(AÈB) = 12 (Resposta!)
Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. Fazendo o desenho dos círculos e
escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos à mesma resposta!
Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os
círculos representam os conjuntos A e B.
U
B
A
1
2
3
10
6
7
4
5
8
9
11
13
12
Com base no desenho, determine:
a) O conjunto A
Sol.:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A)=5
b) O conjunto B
Sol.:
B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(B)=6
c) O número de subconjuntos de A
Sol.:
2n = 25 = 32
subconjuntos
d) O número de subconjuntos de B
Sol.:
2n = 26 = 64
subconjuntos
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25
Matemática Básica
e) A união de A e B
Sol.:
A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
f) A intersecção entre A e B
Sol.:
A Ç B = {4, 5}
g) A diferença A–B
Sol.:
A-B = {1, 2, 3}
h) A diferença B–A
Sol.:
B - A = {6, 7, 8, 9}
i) O complementar de A
Sol.:
A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
j) O complementar de B
Sol.:
B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13}
QUESTÕES RESOLVIDAS DE CONJUNTOS
01. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3,
x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o
valor da expressão y-(3x + 3) é igual a
a) -28
b) -19
c) 32
d) 6
e) 0
Sol.:
O conjunto resultante da intersecção de A e B é igual a: AÇB={2, 9, 6}.
Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B.
Observe que o número 2 é o primeiro elemento da intersecção entre A e B. Como o número 2
faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. Mas veja que o
elemento 2 não está presente no conjunto A, então devemos fazer x igual a 2. Acabamos, então, de
descobrir que x é 2!
O número 9 é o segundo elemento da intersecção entre A e B. Como ele faz parte da
intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o
elemento 9, mas no conjunto B não aparece o elemento 9, então devemos fazer y igual a 9.
Acabamos de descobrir o valor de y!
Encontramos que: x=2 e y=9.
O enunciado solicita o valor da expressão y–(3x+3), substituindo x e y por 2 e 9,
respectivamente, obteremos:
à 9–(3.2+3) = 9–(9) = 0 (resposta!)
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26
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02. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos.
O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩
Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y X é igual a:
a) 4
d) vazio
b) 6
e) 1
c) 8
Sol.:
O número de subconjuntos de um dado conjunto é calculado por 2n, onde n é o número de
elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, então o número de elementos de
X pode ser obtido a partir da igualdade: 2n=64. Resolvendo, vem:
à 2n=64
à 2n=26
à n=6
Portanto, o conjunto X tem 6 elementos.
O conjunto Y tem 256 subconjuntos, então o número de elementos de Y pode ser obtido a
partir da igualdade: 2n=256. Resolvendo, vem:
à 2n=256
à 2n=28 à n=8
Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos.
Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que:
à n(X)=6;
à n(Y)=8;
à n(XÇY)=2.
Vamos lançar esses dados no desenho dos círculos X e Y.
X
Y
6
4
2
8
6
A quantidade 4, dentro do círculo X, foi obtida da diferença entre 6 e 2. E ela significa que
há 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do círculo Y, foi obtida da diferença entre 8
e 2. E ela significa que há 6 elementos apenas em Y.
A questão pede o número de elementos do conjunto diferença Y-X. A região dos círculos
correspondente a diferença Y-X é a região do círculo Y que está fora da intersecção. E nesta região
há 6 elementos.
Resposta: Alternativa B!
03. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o número de alunos que praticam futebol é o triplo
da quantidade de alunos que só praticam natação. Metade dos alunos dessa turma não
pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma que
praticam somente natação é:
a) 10,0%
b) 12,5%
c) 17,0%
d) 22,5%
e) 25,0%
Sol.:
Temos os seguintes dados:
à a turma tem 32 alunos;
à o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam
natação;
à metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes.
Definiremos os seguintes conjuntos:
F = conjunto dos alunos que praticam Futebol.
N = conjunto dos alunos que praticam Natação.
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27
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O conjunto universo é formado pela turma de 32 alunos.
Turma de 32 alunos
N
F
3x
x
16
Como metade dos alunos dessa turma não praticam nenhum desses esportes, então existem
16 (= 32/2) alunos fora dos círculos.
Designamos por x o número de alunos que praticam apenas natação. Logo, o número de
alunos que praticam futebol é igual a 3x.
Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (círculo azul) com a
quantidade de pessoas que não praticam futebol (fora do círculo azul), o resultado deve ser igual
ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que:
à Pessoas que praticam futebol = 3x
à Pessoas que não praticam futebol = x + 16
Somando as quantidades acima tem que dar 32, então:
à 3x + (x + 16) = 32
Resolvendo, vem:
à 4x = 16
à x = 4 (logo, 4 praticam apenas natação!)
A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natação é igual a razão entre o
número de alunos que praticam apenas natação e o número total de alunos. Assim, teremos:
à 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5% (Resposta: Alternativa B)
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28
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EXERCÍCIOS DO MÓDULO 02: PROBLEMAS COM CONJUNTOS
01. (TC/SE 2011 FCC) Duas modalidades de esporte são oferecidas para os 200 alunos de um
colégio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol
e 20 não praticam nenhuma destas modalidades. O número de alunos que praticam uma e
somente uma destas modalidades é
(A) 120.
(D) 60.
(B) 100.
(E) 40.
(C) 80.
02. (Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para
somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem
estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os
dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer
idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é
(A) 245
(D) 224
(B) 238
(E) 217
(C) 231
03. (BB 2010 FCC) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo
menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento
forneceu as informações de que
I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e
48% são formados em Economia.
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
A porcentagem de Auditores desse banco que são formados em pelo menos dois daqueles cursos
citados é
(A) 58%
(B) 56%
(C) 54%
(D) 52%
(E) 48%
04. (BAHIAGÁS 2010 FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que:
− 15 nunca foram vacinadas;
− 32 só foram vacinadas contra a doença A;
− 44 já foram vacinadas contra a doença A;
− 20 só foram vacinadas contra a doença C;
− 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C;
− 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças.
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas
as doenças B e C é
(A) 10.
(D) 13.
(B) 11.
(E) 14.
(C) 12.
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05. (CEF 2000 FCC) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de
homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número
de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é
A) 42
B) 43
C) 45
D) 48
E) 49
06. (BB 2011 FCC) Dos 36 funcionários de uma Agência do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7
são fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são mulheres que não fumam. Com base nessas
afirmações, é correto afirmar que o
(A) número de homens que não fumam é 18.
(B) número de homens fumantes é 5.
(C) número de mulheres fumantes é 4.
(D) total de funcionários do sexo feminino é 15.
(E) total de funcionários não fumantes é 28.
07. (BB 2010 FCC) Das 87 pessoas que participaram de um seminário sobre A Segurança no
Trabalho, sabe-se que:
− 43 eram do sexo masculino;
− 27 tinham menos de 30 anos de idade;
− 36 eram mulheres com 30 anos ou mais de 30 anos de idade.
Nessas condições, é correto afirmar que
(A) 16 homens tinham menos de 30 anos.
(B) 8 mulheres tinham menos de 30 anos.
(C) o número de homens era 90% do de mulheres.
(D) 25 homens tinham 30 anos ou mais de 30 anos de idade.
(E) o número de homens excedia o de mulheres em 11 unidades.
GABARITO
01
A
02
E
06
A
07
B
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03
B
04
C
05
B
30
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MÓDULO 03 - MÚLTIPLOS E DIVISORES
1. Múltiplo de um número é o produto desse número pelos números inteiros.
Exemplos: Múltiplos não-negativos do número 5:
5x0=0
5x1=5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
M(5) = {0, 5, 10, 15, …}
Todos os múltiplos de um número também compreendem os números negativos:
M(5) = {0, ±5, ±10, ±15, …}
Obs.: - O conjunto dos múltiplos de um número é INFINITO.
- O zero é múltiplo de todos os números.
2. Divisores – Se a divisão de dois números naturais é exata, dizemos que o primeiro é divisível
pelo segundo e o segundo é divisor do primeiro.
Ex.: 15 : 3 = 5.
15 é divisível por 3 (ou múltiplo de 3).
3 é divisor de 15 (ou fator de 15).
Divisores positivos de 15: D(15) = {1, 3, 5, 15}
Obs.:
- O conjunto dos divisores de um número é finito com exceção dos divisores de
zero que é infinito.
- O número 1 é divisor de todos os números inteiros.
3. Divisibilidade
a) Um número é divisível por 2 quando for par (termina em 0, 2, 4, 6, 8).
Exemplo: O número 357918 é divisível por 2, pois é par.
b) Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: O número 591 é divisível por 3, pois a soma dos algarismos (5 + 9 + 1 = 15) é
divisível por 3.
c) Um número é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita for 00 ou for divisível
por 4.
Exemplo: O número 7983795316 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos da direita
(16) é divisível por 4.
d) Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco.
Exemplo: O número 413315 é divisível por 5, pois termina em 5.
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e) Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3.
Exemplo: O número 918318 é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 e também por 3.
f) Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos for
divisível por 8.
Exemplo: O número 7983795104 é divisível por 8, pois os três últimos algarismos da direita
(104) é divisível por 8.
g) Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 9.
Exemplo: O número 6891021 é divisível por 9, pois a soma dos seus algarismos
(6+8+9+1+0+2+1 = 27) é divisível por 9.
h) Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo: O número 89730 é divisível por 10, pois termina em zero.
i) Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar
e de ordem par for um número divisível por 11.
Exemplo: No número 23859, os algarismos de ordem ímpar, a partir do algarismo das
unidades, são 9, 8 e 2 cuja soma resulta: 9+8+2 = 19. Os algarismos de ordem par são 5 e 3
cuja soma resulta: 5+3 = 8. A diferença entre essas duas somas é: 19 – 8 = 11. Como 11 é
divisível por 11, então o número 23859 é divisível por 11.
j) Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4.
Exemplo: O número 1918320 é divisível por 12, pois ele é divisível por 3 e também por 4.
4. Número Primo é todo número que tem apenas dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um nº primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, logo 17 é um nº primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
- Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
- Números primos até 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Obs.: O único número primo par é 2.
5. Reconhecimento de um Número Primo:
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7,
11 etc. até que tenhamos:
® uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo; ou
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® uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso
o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
- não é par, assim não é divisível por 2;
- a soma dos algarismos é 1+6+1 = 8, assim não é divisível por 3;
- não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
- vamos fazer a divisão por 7:
161
21
7
23
0
Como o resto foi zero, então o número 161 não é primo.
2) O número 113:
- não é par, assim não é divisível por 2;
- A soma dos algarismos é 1+1+3 = 5, assim não é divisível por 3;
- não termina em 0 nem em 5, assim não é divisível por 5;
- vamos fazer a divisão por 7:
113
43
7
16
1
Como o resto não é zero, então 7 não é divisor de 113. E como o quociente (16)
ainda é maior que o divisor (7), continuaremos a dividir 113 pelo próximo número primo.
- vamos fazer a divisão por 11:
113
11
03
10
3
Como o resto não é zero, então 11 não é divisor de 113. E como o quociente (10) já
é menor que o divisor (11), então não é mais necessário continuar a dividir. Assim,
podemos afirmar que 113 é um número primo.
6. Decomposição em Fatores Primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
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Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos.
Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos
para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura abaixo mostra a fatoração do número 630.
630
2
315
3
105
3
35
5
7
7
1
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
7. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
O MMC de dois ou mais números é o menor número positivo que seja múltiplo de todos os
números dados.
Exemplo:
M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ...}
M(120) = {0, 120, 240...}
Múltiplos Comuns: {0, 120, 240,...}
O mínimo múltiplo comum de 30 e 120 é o próprio 120.
® Processo Prático
1º) Divisões sucessivas
Ex.: MMC (12, 15, 10) =
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® Casos Especiais do MMC
a) O MMC de dois números primos entre si é o produto deles;
Exemplo: MMC (7,8) = 7 x 8 = 56; MMC(3, 5) = 3 x 5 = 15.
b) O MMC de dois números em que o maior é divisível pelo menor, é o maior deles;
Exemplo: MMC (18, 6) = 18; MMC (24, 4) = 24.
c) O MMC entre zero e outro número é zero;
Exemplo: MMC (7,0) = 0.
d) O MMC(ka , kb) = k x MMC(a , b)
Exemplo: MMC(20, 50) = 10 x MMC(2, 5)
8. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Consiste em se obter o maior divisor comum de dois números dados. Como divisor ele tem
que ser menor ou igual ao menor dos dois números dados.
Exemplo: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(27) = {1, 3, 9, 27}
D(18) Ç D(27) = {1, 3, 9} o maior é 9 à MDC = (18,27) = 9
® Processo Prático
1º) Divisões Sucessivas
a) Divide-se os dois maiores em ordem decrescentes;
b) Divide-se em seguida o resultado da 1º divisão pelo outro maior;
c) Assim sucessivamente até obter divisão exata;
d) O último divisor é o MDC;
Ex.: Determine o MDC de 36 e 48.
® Casos Especiais do MDC
a) O MDC(ka , kb) = k x MDC(a , b)
Exemplo: MDC(40, 50) = 10 x MDC(4, 5)
b) O MDC de dois números primos entre si é um.
Exemplo: MDC(15, 19) = 1
c) O MDC de dois ou mais números, sendo um deles um é igual a um.
Exemplo: MDC(150, 240, 1) = 1
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d) O MDC de dois números em que o maior é múltiplo do menor corresponde ao menor.
Exemplo: MDC(18, 6) = 6
e) O MDC entre zero e outro número corresponde ao outro número.
Exemplo: MDC (50,0) = 50
f) MMC(a,b) x MDC(a,b) = a x b
Exemplo: MMC (12, 20) x MDC(12, 20) = 12 x 20 = 240.
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EXERCÍCIOS DO MÓDULO 03: MÚLTIPLOS E DIVISORES
01. (TRT22-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N
por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a
(A) 6 480.
(B) 6 686.
(C) 6 840.
(D) 5 584.
(E) 5 960.
02. (TRF4 Tec Jud - Seg e Transp 2010 FCC) Seja X um número inteiro compreendido entre 1 e 60,
que satisfaz as seguintes condições:
− é ímpar;
− é divisível por 3;
− a soma e o produto de seus dígitos são números compreendidos entre 8 e 15.
É correto afirmar que X é um número
(A) maior que 40.
(B) cubo perfeito.
(C) múltiplo de 7.
(D) quadrado perfeito.
(E) menor que 25.
03. (CEF 2000 FCC) Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um
quadrado perfeito?
A) 18
B) 21
C) 27
D) 35
E) 42
04. (TRT12-SC Téc. Jud. 2010 FCC) Em uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho foi realizada
uma palestra sobre “Legislação Trabalhista” na qual cada um dos ouvintes, cuja quantidade
estava entre 50 e 100, pagou uma mesma taxa de participação que correspondia a um
número inteiro de reais. Se, pelo pagamento da taxa de participação foi arrecadado o total de
R$ 585,00, então a quantidade de ouvintes que havia na palestra era um número
(A) primo.
(B) divisível por 13.
(C) múltiplo de 11.
(D) divisível por 7.
(E) par.
05. Qual é o maior número de três algarismos que é divisível por 7?
06. Qual é o menor número de quatro algarismos que é divisível por 11?
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07. Qual é o maior número de três algarismos que dividido por 12, 15, 18 ou 24 deixa sempre um
resto igual a 10?
08. Certa quantia X é superior a R$ 200,00 e inferior a R$ 300,00. Contando-a de R$ 20,00 em R$
20,00, de R$ 30,00 em R$ 30,00 ou de R$ 40,00 em R$ 40,00 sempre sobram R$ 15,00. O valor
dessa quantia X é:
a) 200 < X £ 220
b) 220 < X £ 240
c) 240 < X £ 260
d) 260 < X £ 280
09. (TRF4 Analista Jud. 2010 FCC) Ao conferir a elaboração dos cálculos em um processo, um
Analista do Tribunal Regional Federal percebeu que o total apresentado era maior que o valor
real. Ele comunicou ao responsável pela elaboração dos cálculos que a diferença encontrada,
em reais, era igual ao menor número inteiro que, ao ser dividido por 2, 3, 4, 5 ou 6, resulta
sempre no resto 1, enquanto que, quando dividido por 11, resulta no resto 0. Dessa forma, se
o valor real era R$ 10 258,00, o total apresentado era
(A) R$ 10 291,00.
(B) R$ 10 345,00.
(C) R$ 10 379,00.
(D) R$ 10 387,00.
(E) R$ 10 413,00.
10. (CEF 2000 FCC) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada
72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos
partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos
voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
11. (TRT12-SC Téc. Jud. 2010 FCC) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem
horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou
feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável
coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em
(A) 12 de março 2011.
(B) 12 de fevereiro de 2011.
(C) 14 de janeiro de 2011.
(D) 15 de dezembro de 2010.
(E) 9 de dezembro de 2010.
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38
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12. (TRF4 Tec Jud 2010 FCC) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições − X , Y e Z −
realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z
de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto
concluir que uma nova coincidência ocorrerá em
(A) julho de 2015.
(B) junho de 2014.
(C) julho de 2013.
(D) janeiro de 2012.
(E) fevereiro de 2011.
13. (TRT15 – An. Jud. – Área Jud. 2009 FCC) Um escritório de advocacia recebeu três lotes de
fichas para atualização; um com 540 unidades, outro com 630 e o terceiro com 720. Pretendese distribuí-las em pastas, obedecendo ao seguinte critério:
− todas as pastas deverão ter a mesma quantidade de fichas;
− em cada pasta, as fichas deverão ser de um mesmo lote;
− a quantidade de fichas em cada pasta deverá ser a maior possível.
Nessas condições,
(A) será utilizado um total de 18 pastas.
(B) será utilizado um total de 21 pastas.
(C) o número de fichas em cada pasta deverá ser 9.
(D) o número de fichas em cada pasta deverá ser 45.
(E) o número de fichas em cada pasta deverá ser 180.
14. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral
há disponível: 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual
com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que:
− todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e
encaminhados a diferentes setores dessa Unidade;
− todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos;
− cada pacote deverá conter um único tipo de objeto.
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número
compreendido entre:
(A) 10 e 20.
(D) 40 e 50.
(B) 20 e 30.
(E) 50 e 60.
(C) 30 e 40.
15. (BB 2011 FCC) Suponha que 60 funcionários do Banco do Brasil − 60% dos quais lotados em
certa Agência de Florianópolis e, os demais, em determinada Agência de Chapecó − serão
divididos em grupos, a fim de participar de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal.
Considerando que todos os grupos deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que
todos os funcionários de cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor
quantidade de grupos que poderão ser formados é um número
(A) menor que 4.
(B) primo.
(C) divisível por 3.
(D) par.
(E) maior que 8.
Prof. Weber Campos
39
Matemática Básica
GABARITO
01
E
02
B
03
B
04
B
05
994
06
1001
07
730
08
C
09
C
10
D
11
B
12
D
13
B
14
B
15
B
Prof. Weber Campos
40