Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
01
• a4 = a1 ⋅ q3
54 = 2 ⋅ q3
q3 = 27
q=3
• a5 = a1 ⋅ q4
a5 = 2 ⋅ 34
a5 = 162
Resposta: C
1
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
02
a8 = a2 ⋅ q4
243 =
1
⋅ q6
3
35 ⋅ 3 = q6
q6 = 36
Como os termos são positivos, q > 0; assim:
q=3
a5 = a2 ⋅ q3
a5 =
1
⋅ 33
3
a5 = 32
Resposta: D
Observação: Desconsidere o valor dado para os termos da P.G. no
enunciado do Caderno de Exercícios e considere os seguintes:
a2 =
1
e a8 = 243
3
2
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
03

3 –1 2 – 3 
,
,... 
 ...,1,
2
2


3 –1
3 –1
2
q=
=
1
2
Seja x o termo que precede o 1.
2
1
x=
⇒ x=1⋅
⋅
3 –1
3 –1
2
2⋅
2 ⋅ 3 +1
⇒ x=
⇒
x
=
2
3 –12
(
⇒x=
)
(
3 +1
3 +1
)
3 +1
⇒
⇒
2
3 +1
Resposta: E
3
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
04
•q=
12
4
⇒ q=3
• an = a1 ⋅ qn – 1 ⇒ an = 4 ⋅ 3n – 1
Resposta: C
4
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
05
(I)
a1 = 2 ⋅ q

a1 + a 2 = 40 (II)
Das equações (I) e (II), vem:
2q + a1 ⋅ q = 40
2q + 2q ⋅ q = 40
2q2 + 2q – 40 = 0
q2 + q – 20 = 0
Como q > 0, temos q = 4; assim:
a4 = a1 ⋅ q3
a4 = 2q ⋅ q3
a4 = 2 ⋅ 4 ⋅ 43
a4 = 512
Resposta: B
5
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
06
4x + 2 6x + 3
=
x + 3 4x + 2
⇒ (4x + 2)2 = (x + 3) ⋅ (6x + 3) ⇒
⇒ 16x2 + 16x + 4 = 6x2 + 3x + 18x + 19 ⇒
⇒ 10x2 – 5x – 5 = 0 ⇒ 2x2 – x – 1 = 0
Assim:
1
2
• Se x = 1, os lados do triângulo são 4, 6 e 9 e seu perímetro vale:
4 + 6 + 9 = 19
1
5
• Se x = – , os lados do triângulo são , 0 e 0, o que é impossível.
2
2
x = 1 ou x = –
Resposta: B
Observação: Desconsidere a expressão final, antes das alternativas, no
enunciado desta questão no Caderno de Exercícios, e considere a
seguinte:
6. (...) A medida do perímetro desse triângulo é, em u.c., igual a: (...)
6
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
07
sen α
tg α
=
sen α sen α
2
sen α ⋅ sen α =
2 sen α =
cos α =
(com 0º < α < 90º)
sen α
⋅ tg α
2
sen α
cos α
1
∴ α = 60º
2
Resposta: D
7
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
08
Considere esta figura:
• lado: ℓ
• perímetro: 4ℓ
• área: ℓ2
A sequência (ℓ. 4ℓ, ℓ2) é uma P.G., então:
4ℓ ℓ 2
=
4ℓ
ℓ
⇒ 4=
ℓ⋅ ℓ
4ℓ
⇒ ℓ = 16
• diagonal: d
Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆ADC,
d2 = ℓ2 + ℓ2 ⇒ d2 = 2ℓ2 ⇒ d =
2ℓ 2
⇒
d=ℓ 2
Como ℓ = 16, vem: d = 16 2
Resposta: A
8
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
09
Considere esta figura.
• lado: ℓ
• volume: ℓ3
A sequência (ℓ, ℓ 2 , ℓ3) é uma P.G., então:
ℓ 2
ℓ3
=
ℓ
ℓ 2
⇒
ℓ 2 ⋅ 2 = ℓ ⋅ℓ
⇒ 2 = ℓ2
Assim:
Área total = 6 ⋅ ℓ2 = 6 ⋅ 2 = 12
Resposta: E
9
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
10
Analisando o que se afirma em cada uma das alternativas:
a) a5 = a2 ⋅ q3 ⇒ 5.832 = 729 ⋅ q3 ⇒ q3 = 8 ⇒
⇒ q = 2 (correta)
b) a1 ⋅ a2 ⋅ a3 =
a2
⋅ a2 ⋅ a2 ⋅ q = a 32 = 7293 =
q
= (36)3 = 318 (correta)
c) a1 =
a2
q
⇒ a1 =
729
2
(correta)
d) Como a1 > 0 e q > 1, a progressão é crescente. (correta)
e) a7 = a5 ⋅ q2 ⇒ a7 = 5.832 ⋅ 22
⇒ a7 = 23 328 (incorreta)
Resposta: E
10
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
11
(I)
a2 – a1 = 9

a5 – a 4 = 576 (II)
Da equação (I), vem:
a1q – a1 = 9
a1 ⋅ (q – 1) = 9 (III)
Da equação (II), vem:
a1 ⋅ q4 – a1 ⋅ q3 = 576
a1q3 (q – 1) = 576 (IV)
Dividindo a equação (IV) pela equação (III), vem:
a1 q3 (q – 1) 576
=
9
a1 (q – 1)
q3 = 64
q=4
Substituindo q = 4 na equação (III), vem:
a1 ⋅ (4 – 1) = 9
a1= 3
Resposta: A
11
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
12
Observe que a figura 1 apresenta 1 triângulo escuro, a figura 2 apresenta
3 triângulos escuros, a figura 3 apresenta 9 triângulos escuros.
Dessa forma, a figura 4 deve apresentar 27 triângulos escuros, o que
ocorre na alternativa c.
Resposta: C
12
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
13
a1 = 1

q = 2
n = 1 001

S1 001 =
(
)
1⋅ 21001 – 1
2 –1
⇒ S1 001 = 21 001 –1
Resposta: A
13
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
14
(1, 3, 9, 27, ...) → P.G.
a1 = 1

q = 3
S = 3 280
 n
1⋅ (3n – 1)
3 280 =
3 –1
3 280 ⋅ 2 = 3n – 1
3n = 6 561
3n = 38
n=8
Resposta: B
14
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
15
x+
x
x
x
x
+
+
+
+ … = 40
2
4
8 16
1
 x x 
Observe que:  x, , ,...  é uma P.G. com a1 = x e q =
2
 2 4 
Assim:
x
1
= 40 ⇒ x = 40 ⋅
1
2
1–
2
⇒ x = 20
Resposta: C
15
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
16
Observe que (0,5; 0,05; 0,005; …) é uma P.G. com:
1
1
a1 =
eq=
2
10
Assim: 0,5 + 0,05 + 0,005 + ... =
1
2
1–
1
10
=
5
9
Resposta: B
16
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
17
1 2 4

Observe que  , 2 , 3 , ...  é uma P.G. com:
x
x x

1
z
a1 =
eq=
x
x
Daí:
1
2
4
8
+ 2 + 3 + 4 + ... = 1 é equivalente a:
x
x
x
x
1
x = 1 ⇒ 1 = 1– 2 ⇒ 1 + 2 = 1 ⇒
2
x
x
x x
1–
x
⇒
3
=1 ⇒ x = 3
x
Resposta: C
17
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
18
a 2 = q

S ∞ = 2
• a2 = q ⇒ a1 ⋅ q = q ⇒ a1 = 1
• S∞ = 2 ⇒
a1
1
=2 ⇒ q=
1– q
2
 1
• a4 = a1 ⋅ q = 1 ⋅  
2
3
3
⇒ a4 =
1
8
Resposta: B
18
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
19
S ∞ = 3a1

q = a1
• S∞ = 3a1 ⇒
a1
1– a1
= 3 a1
⇒ 1 = 3 – 3a1 ⇒ 3a1 = 2
2
3
a1 + a2 + a3 = a1 + a1 ⋅ a1 + a1 ⋅ a 12
• a1 =
2
a1 + a2 + a3 =
a1 + a2 + a3 =
a1 + a2 + a3 =
a1 + a2 + a3 =
2 2 2
+
+
3  3   3 
2
4
8
+
+
3
9
27
9 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 1⋅ 8
27
38
27
3
Resposta: E
19
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
20
Considere a figura.
• PABC = 4 + 4 + 4 = 12 cm
• PDEF = 2 + 2 + 2 = 6 cm
• PGHI = 1 + 1 + 1 = 3 cm
Observe que (12, 6, 3, …) é uma P.G. com a1 = 12 e q =
1
.
2
Queremos calcular a soma 12 + 6 + 3 + ... ; assim:
12 + 6 + 3 + ... =
12
= 24 cm
1
1–
2
Resposta: D
20
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
21
Seja x reais o valor que deve ser disponibilizado mensalmente.
Do enunciado, devemos ter:
• Depósito inicial: x
• Após 1 mês: 1,01 x + x
• Após 2 meses: 1,01 ⋅ (1,01x + x) = 1,012x + 1,01x + x
⋮
• Após 360 meses: 1,01360 ⋅ x + 1,01359 ⋅ x + ... + 1,01x + x
Observe que (x; 1,01x; 1,012x; ... ; 1,01360x) é uma P.G. com:
a1 = x, q = 1,01 e n = 361.
Daí:
x ⋅ (1,01361 – 1)
= 1 000 000
1,01– 1
x ⋅ (36 – 1)
= 1 000 000
0,01
x ⋅ 35 = 10 000
x ≈ 286
Resposta: B
21
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
22
• Depósito inicial: 1 real
• Após 1 mês: 2 reais
• Após 2 meses: 4 reais
⋮
• Após n meses: 2 048 reais
Observe que (1, 2, 4, ..., 2 048) é uma P.G. com a1 = 1, q = 2 e an = 2 048.
Daí:
2 048 = 1 ⋅ 2n – 1
211 = 2n – 1
n = 12
Dessa maneira, temos:
1, 2, 4,...,2 048 , 1, 2, 4,...,2 048 , ... 1, 2, 4,...,2 048
1o aniversário
2o aniversário
1 + 2 + 4 + ... + 2 048 =
21o aniversário
1⋅ (212 – 1)
= 4 095
2–1
O montante total dos depósitos é dado por:
21 ⋅ 4 095 = 85 995
Resposta: D
22
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
23
Considere estas figuras.
• A1 = 12 = 1
2
1
 1
• A2 =   =
4
2
2
1
 1
• A3 =   =
16
4
1
 1 1

Observe que  1, , , ...  é uma P.G. com a1 = 1 e q = .
4
 4 x

Daí:
1+
1
1
1
4
+
+ ... =
=
1
4 16
3
1–
4
Resposta: E
23
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
24
• V1 = 23 = 23 = 8
• V2 = 13 = 1
3
1
 1
• V3 =   –
8
2
1 
1

Observe que  8, 1, , ...  é uma P.G. com a1 – 8 e q = .
8 
8

Daí:
1
8
64
8+1+
+ ... =
=
1
8
7
1–
8
Resposta: C
24
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
25
Os divisores positivos de 32 004 são:
30, 31, 32, 33, ... , 32 004
Ou seja, formam uma P.G. com a1 = 30 = 1, q = 3 e n = 2 005.
Assim:
0
1
2
3 + 3 + 3 + ... + 3
2 004
1⋅ (32 005 – 1)
32 005 – 1
=
=
3 –1
2
Resposta: C
25
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
26
1
• a1 =
5 = 52
• a2 =
5 =
4
5 = 54
5 =
8
5 = 58
1
1
• a3 =
4
1
1
1
1 1 1
+ + +...
4 8
Queremos calcular 5 2 ⋅ 5 4 ⋅ 5 8 ⋅ ..., ou seja, 5 2
.
1
1
1 1 1 
Observe que  , , ,...  é uma P.G. com a1 =
eq= .
2
2
2 4 8 
Daí:
1
2
1 1 1
+ + + ... =
=1
1
2 4 8
1–
2
Dessa forma:
5
1 1 1
+ + +...
2 4 8
= 51 = 5
Resposta: E
26
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
27
Do enunciado, temos:
• (x –r, x, x + r) → P.A.
x − r + x + x + r = 15 ⇒
x=5
•
( 7 – r,10,18 + r ) → P.G.
10
18 + r
=
⇒ 102 = (7 – r) ⋅ (18 + r) ⇒
7–r
10
⇒ 100 = 126 + 7r – 18r – r2 ⇒ r2 + 11r – 26 = 0
Daí: r = –13 (Não convém.) ou r = 2
Para r = 2, a P.G. é (5, 10, 20); logo, seu maior número vale 20.
Resposta: A
27
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
28
• (1, a, b) → P.A.
a – 1 = b – a ⇒ b = 2a – 1
(I)
• (1, 7, a + 46) → P;G;
7 a + 46
=
⇒ 7 ⋅ 7 = a + 46 ⇒ a = 3
1
7
Substituindo a = 3 na equação (I), vem:
b=2⋅3–1=5
Assim, a + b = 3 + 5 = 8
Resposta: B
28
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
29
a = 9, b = 12, c = 16
Como (a, b, c) é uma P.G. de razão q =
4
, temos:
3
4
a
3
16
•c=
a
9
A sequência (a –1, b, c) é uma P.A., então:
•b=
b – (a – 1) = c – b ⇒ b – a + 1 = c – b ⇒ 2b – a + 1 = c ⇒
4
16
8
16
⇒ 2⋅
a–a+1=
a ⇒
a–a+1=
a ⇒
3
9
3
9
16
8
16a – 24a + 9a
⇒
a–
a+a=1 ⇒
=1 ⇒ a = 9
9
3
9
Portanto:
4
•b=
⋅ 9 = 12 ⇒ b = 12
3
16
•c=
⋅ 9 = 16 ⇒ c = 16
9
Resposta: a = 9, b = 12, c = 16
29
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
30
x+y


•  3,3 x ,3 2  → P.G.


Assim:
x+y
3x 3 2
=
3
3x
2+ x + y
32x = 3 2
2+ x+y
2x =
2
3x – 2 = y (I)
• (2, y, 3x) → P.A.
Assim:
y – 2 = 3x – y
2y = 3x + 2 (II)
Das equações (I) e (II)
2 ⋅ (3x – 2) = 3x + 2
6x – 4 = 3x + 2
3x = 6
x=2
Substituindo x = 2 na equação (I),
y=3⋅2–2
y=4
Portanto:
y–x=4–2=2
Resposta: D
30
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
31
• (x – r, x, x + r) → P.A.
x –r + x + x +r = 30
x = 10
• (14 – r, 6, 1 + r) → P.G.
6
1+ r
=
14 – r
6
2
6 = (1 + r) ⋅ (14 – r)
36 = 14 – r + 14r – r2
r2 – 13r + 22 = 0
r = 2 ou r = 11
• Se r = 2, temos a P.A. (8, 10, 12)
• Se r = 11, temos a P.A. (–1, 10, 21) (Não convém)
Resposta: C
31
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
32
• (a, b, a + b) → P.A.
b – a = a +b – b
b = 2a
(I)
• (2a, 16, 2b) → P.G.
16 2b
=
2a 16
162 = 2a ⋅ 2b
28 = 2a + b
a + b = 8 (II)
Das equações (I) e (II), vem:
8
a + 2a = 8 ⇒ a =
3
Resposta: E
32
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
33
• (a1, a2, a3, ...) → P.G. com a > 0, a6 = –9 3 e razão q.
• (a1, a5, a9, ...) → P.G. com q’ = 9, a5 = 9a1
Mas:
a5 = a1 ⋅ q4
a1 ⋅ q4 = 9 a1
q4 = 9
Como a1 > 0 e a6 = –9 3 , temos q < 0.
q=
4
32
q= – 3
• a1 = 1
(
)
• a2 = a1 ⋅ q = 1 ⋅ – 3 = – 3
(
• a7 = a2 ⋅ q5 = – 3 ⋅ – 3
)
5
= 27
• a2 ⋅ a7 = – 3 ⋅ 27
Resposta: A
33
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
34
∞
∑x
k =0
2k
=
9
8
9
8
Observe que (x0, x2, x4, x6, ...) é uma P.G. com a1 = x0 = 1 e q = x2
x0 + x2 + x4 x6 + ... =
Assim:
1
9
=
2
1– x
8
8 = 9 – 9x2
9x2 = 1
1
x2 =
9
1
1
x = ou x = –
3
3
1  1
+–  = 0
3  3
Resposta: D
34
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 15 - Progressão geométrica
35
Lembrando que o comprimento de uma circunferência de raio r vale 2πr, o
comprimento da trajetória descrita pela partícula é dado por:
R
π
2π ⋅
2π ⋅
2 πR
2 +
4 + ...
+
2
2
2
πR πR
πR +
+
+ ...
2
4
πR πR 
1

,
,...  é uma P.G. com a1 = πR e q = .
Observe que  πR,
2 4
2


Assim:
πR +
πR
πR
πR
+
+ ... =
= 2πR
1
2
4
1–
2
Resposta: E
35