UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
&
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
DANIELA GUERRA
HANNAH LACERDA
WESLEY S. V. BATISTA
WILLIAN VALVERDE
Curitiba
2011
SUMÁRIO
Introdução......................................................................................................................................................02
1. Múltiplos e Divisores............................................................................................................................03
1.1 - Critérios de Divisibilidade..............................................................................................04
2. Números Primos.....................................................................................................................................07
3. Fatoração de um Número em Primos............................................................................................10
3.1 - Número de divisores de um número natural.........................................................11
4. Máximo Divisor Comum (m.d.c.).....................................................................................................13
5. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.)..................................................................................................15
6. Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números..................................................................17
7. Problemas Envolvendo m.m.c. e m.d.c..........................................................................................18
8. Plano de Aula...........................................................................................................................................22
Conclusão.......................................................................................................................................................26
Bibliografia....................................................................................................................................................28
INTRODUÇÃO
Esta apostila contém um material teórico abordando os conceitos de
divisibilidade e multiplicidade em ( ); uma introdução aos números primos;
fatoração de números naturais em fatores primos; Máximo Divisor Comum (m.d.c.),
suas propriedades e aplicações; Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.), suas propriedades
e aplicações; relações entre m.m.c. e m.d.c. de dois números.
Todos os conceitos abordados nesta apostila serão construídos dentro do
conjunto dos números naturais
= {0, 1, 2, 3, ...}.
É uma apostila elaborada para professores de matemática da educação básica,
visando ser uma referência teórica e prática para as aulas dos conteúdos abordados
nela, seja no ensino fundamental ou médio.
Tomamos o cuidado de mostrar mais de uma forma de se entender e calcular
os conceitos vistos aqui, ficando a cargo do professor a escolha de métodos e
definições utilizados em sala de aula.
Esta apostila contém também um plano de aula, visando atividades, não tão
triviais, envolvendo o conteúdo da mesma, além de alguns exercícios resolvidos.
2
1. MÚLTIPLOS E DIVISORES
Um número é divisível por outro quando, ao ser dividido, o resultado é sempre exato,
ou seja, o resto é sempre igual a 0.
Observe as divisões abaixo:
As três primeiras divisões têm resto zero. São as chamadas divisões exatas.
Nesses casos, dizemos que o número que está sendo dividido é múltiplo do número
que está dividindo e que o número que está dividindo é divisor do número que está
sendo dividido.
Nos exemplos acima temos que 10 é múltiplo de 2, ou seja, 2 é divisor de 10.
Temos que 12 é múltiplo de 3, ou seja, 3 é divisor de 12. Também temos que 15 é
múltiplo de 3 e 3 é divisor de 15.
Observe também:
Aqui temos que 10 é múltiplo de 2 pois o resto da divisão de 10 por 2 é 0. Note
que o resultado desta divisão é 5. Portanto 10 também é múltiplo de 5, uma vez que o
resto da divisão de 10 por 5 também é zero, sendo 2 o resultado.
No entanto 9 não é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 não é divisor de 9, nem
15 é múltiplo de 4, como 4 não é divisor de 15.
Obs: Note que 3 é divisor tanto de 15 quanto de 12 (e de outros números
também). Ou seja, um número pode ser divisor de vários outros. Note também que
um número pode ter mais que um divisor, por exemplo, 4 e 10 são divisores de 20.
Notação: Vamos denotar por M(a) o conjunto dos múltiplos de a e por D(a) o
conjunto dos divisores de a.
Exemplos:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... }
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
3
Obs: O conjunto dos múltiplos de um número (diferente de 0) é infinito. O
conjunto dos divisores de um número é finito. O primeiro múltiplo de qualquer
número é 0. O primeiro divisor de qualquer número é 1.
1.1 - CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Os critérios de divisibilidade são regras utilizadas para verificar se um número
é múltiplo ou divisor de outro sem efetuar a divisão. Essas regras são úteis
principalmente quando os números são muito grandes.
Divisibilidade por 2
Observe o conjunto:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... }
Note que todo múltiplo de dois é par, portanto para saber se um número é
múltiplo de dois, ou se dois é um divisor de um determinado número, basta verificar
se seu último algarismo é par.
Exemplo: 21 368 é múltiplo de 2 pois termina em 8, que é par.
Divisibilidade por 3
Observe o conjunto:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...}
Podemos observar que a soma dos algarismos múltiplos de 3 é um número
múltiplo de 3. Então basta somar os algarismos de um número e verificar se o
resultado é múltiplo de 3.
Exemplo: 25641 é múltiplo de 3 pois 2 + 5 + 6 + 4 + 1 = 18, que é múltiplo de 3.
Aplicando o mesmo critério em 18, temos 1 + 8 = 9, que é múltiplo de 3.
Divisibilidade por 4
Observe o conjunto:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... }
Um número é múltiplo de 4 se o número formado pelos seus dois últimos
algarismos é múltiplo de 4.
4
Exemplo: 7916 é múltiplo de 4 pois 16 é múltiplo de 4.
Divisibilidade por 5
Observe o conjunto:
M(5)= {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...}
Note que todos os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5.
Exemplo: 45 785 é múltiplo de 5 pois termina em 5.
Divisibilidade por 6
Observe o conjunto:
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
A soma dos algarismos de um número múltiplo de 6 é múltipla de 3 e o
número é par.
Exemplo: 24 132 é múltiplo de 6 pois 2 + 4 + 1 + 3 + 2 = 12 , que é múltiplo de
3 24 132 é par.
Divisibilidade por 7
Para saber se um número é múltiplo de 7, devemos subtrair o dobro do seu
último algarismo do número formado sem seu último algarismo, e repetir o mesmo
processo até encontrar 7 ou um múltiplo dele.
Exemplo: 165928
Então devemos efetuar:
16592 (número sem o último algarismo de 165928)
-16 (dobro do último algarismo, de165928)
16576
Repetindo o processo:
1657
-12
1645
5
164
-10
154
15
-8
7
Concluímos que 165928 é múltiplo de 7.
Divisibilidade por 8
Para saber se um número é múltiplo de 8 basta verificar se seus três últimos
algarismos são múltiplos de 8.
Exemplo: 6144
Efetuando apenas 144:8 temos 18 como resultado e resto igual a 0. Então 6144
é múltiplo de 8.
Divisibilidade por 9
Observe o conjunto:
M(9) = {0, 18, 27, 36, 45, 56, 63, 72, 81, 90, 99, 108 ...}
Observe que a soma dos algarismos dos múltiplos de 9 é múltiplo de 9.
Exemplo: 8910 é múltiplo de 9 pois 8 + 9 + 1 + 0 = 18, que é múltiplo de 9.
Divisibilidade por 10
Observe o conjunto:
M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}
Todo múltiplo de 10 termina em 0.
Exemplo: 352 450 é múltiplo de 10 pois termina em 0.
Obs: Existem outros critérios de divisibilidade não citados aqui.
6
2. NÚMEROS PRIMOS
Dizemos que um número é primo quando ele é divisível somente por 1 e por
ele mesmo.
Observe os conjuntos:
D(4) = {1, 2, 4}
D(7) = {1, 7}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(19} = {1, 19}
Observe que 4 e 15 possuem mais divisores que 1 e ele mesmo, portanto esses
números não são primos.
No entanto, 7 e 19 possuem só dois divisores, 1 e o próprio número, então
dizemos que esses números são primos.
O número 1 é primo?
Essa é uma pergunta que não tem uma resposta precisa. Há literaturas que
consideram o número 1 como primo e outras que não. Não é certo ou errado
considerar ou desconsiderar 1 como tal, o errado é ser incoerente usando-o como
primo em alguns momentos e não o usando em outros.
Mais adiante, veremos alguns conceitos como fatoração de um número em
primos, m.m.c. e m.d.c.. Se considerarmos 1 como primo, perderemos a unicidade da
fatoração, a não ser que tomemos certos cuidados ao defini-la. Podemos também ter
certos problemas no cálculo do m.m.c., se não tomarmos os devidos cuidados.
Por outro lado, utilizando a fatoração, teremos dificuldades em calcular o
m.d.c. de números primos entre si, se desconsiderarmos 1 como primo. Mas isso
também pode ser resolvido tomando os devidos cuidados na definição de m.d.c..
Aqui não vamos considerar 1 como primo, mas faremos as observações
necessárias aos conceitos se o utilizarmos como tal.
7
Tabela dos números primos
O matemático grego Eratóstenes (276 à 194 a.C.) percebeu um processo para
determinar todos os primos até 100.
Observe a tabela:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
40
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Processo:
Risque o número 1 (se não for considerá-lo como primo)
Risque os múltiplo de 2, com exceção dele próprio.
Risque os múltiplos de 3, com exceção dele próprio.
Risque os múltiplos de 5, com exceção dele próprio.
Risque os múltiplos de 7, com exceção dele próprio.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Os números que não foram riscados (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97) são primos.
8
Obs: O conjunto dos números primos é infinito. A tabela acima, conhecida
como Crivo de Eratóstenes, mostra somente os primos menores que 100.
Reconhecimento de um número primo
Para sabermos se um número é primo devemos verificar se ele não é múltiplo
de nenhum número primo menor que ele. Para fazer isso, dividimo-lo pelos primos,
seguindo sua seqüência (2, 3, 5, 7, etc.), verificando se alguma divisão possui resto 0.
Se o resto de alguma divisão for 0, então o número não é primo, se nenhum
divisão tiver resto 0 então o número é primo.
Obs: Não é necessário dividir o número por todos os primos menor que ele, a
partir do momento em que o quociente da divisão for menor que o divisor, não é mais
necessário efetuar divisões.
Exemplo:
Vamos verificar se 113 é primo.
113 não é múltiplo de 2, pois seu último algarismo não é par.
113 não é múltiplo de 3, pois 1 + 1 + 3 = 5, que não é múltiplo de 3.
113 não é múltiplo de 5 pois seu último algarismo não é 0 ou 5.
Vamos agora efetuar a divisão de 113 por 7:
113 : 7 = 16 resta 1
O quociente é maior que o divisor, então vamos efetuar a divisão de 113 por 11
113 : 11 = 10 resta 3
O quociente é menor que o divisor, então não é mais necessário efetuar
divisões e 113 é primo.
Para o professor:
“Uma divisão não exata com quociente menor que o divisor e o resto diferente
de zero. Neste caso o número é primo”.
Este método funciona porque é equivalente a testar se um número a é primo
ou não dividindo ele por todo primo p , tal que, p  a .
9
3. FATORAÇÃO DE UM NÚMERO EM PRIMOS
Fatorar, ou decompor, um número em fatores primos é o mesmo que expressálo através de um produto de números primos. Esta fatoração, ou decomposição é
única.
Por exemplo, podemos escrever o número 60 como:
60 = 2 . 2 . 3 . 5
Da mesma forma temos:
15 = 3 . 5
24 = 2 . 2 . 2 . 3
Obs: Aqui, se considerarmos 1 como primo, ao incluí-lo na fatoração, esta deixa
de ser única, por exemplo, 15 pode ser fatorado como:
15 = 1 . 3 . 5 ou
15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 3 . 5
Note que a quantidade de vezes que multiplicamos o 1 pelos demais números
não altera o valor do produto. Podemos resolver essa questão excluindo o 1 da
fatoração por definição ou definindo que ele deva aparecer somente uma vez na
mesma.
Obtendo a fatoração de um número em primos
Para obtermos a forma fatorada de um número em um produto de primos,
devemos dividi-lo pelo menor primo divisor do mesmo, e aplicar esta mesma idéia ao
quociente da divisão até que este seja 1. A forma fatorada será a multiplicação de
todos os primos que dividiram o número e/ou os quocientes.
Por exemplo, vamos fatorar o número 120.
O menor primo que divide 120 é 2, assim temos:
120 : 2 = 60
60 também é divisível por 2:
60 : 2 = 30
30 também é divisível por 2:
30 : 2 = 15
15 não é divisível por 2, então partiremos para o próximo primo, 3.
15 é divisível por 3, então:
15 : 3 = 5
10
5 não é divisível por 3, então partiremos para o próximo primo, 5.
5 é divisível por 5, então
5:5=1
Então a forma fatorada de 60 em primos é
2 . 2 . 2 . 3 . 5 que é igual a 60
Obs: se o conceito de potenciação já for conhecido, podemos fatorar 60 como
2³ . 3 . 5
Podemos também decompor um número em primos, utilizando a mesma idéia,
da seguinte forma:
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26→ forma fatorada. Todos os fatores são primos.
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois
ou mais fatores primos.
3.1 NÚMERO DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO NATURAL
Quantos são os divisores positivos de 120 ?
Os divisores positivos de 120 serão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24,
30, 40, 60 e 120, num total de 16 divisores.
11
Vamos mostrar uma forma de encontrar o número de divisores positivos de
120, utilizando um raciocínio conhecido com Princípio Fundamental da Contagem:
Fatorando o número 120, teremos: 120 = 8 . 3 . 5 = 2³ . 3 . 5 = 2³ . 3¹ . 5¹
Observe que sendo 120 = 2³ . 3¹ . 5¹, é claro que os divisores de 120 terão que
necessariamente serem números da forma: 2 x . 3 y . 5 z , onde:
x = 0, 1, 2 ou 3;
y = 0 ou 1 ;
z = 0 ou 1.
Portanto, existem 4 valores possíveis para x, 2 valores possíveis para y e 2
valores possíveis para z. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de
possibilidades será então dada pelo produto 4 x 2 x 2 = 16.
Resposta: 120 possui 16 divisores positivos.
12
4. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Observe os conjuntos dos divisores de 16 e 24.
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Note que 1, 2, 4 e 8 são divisores tanto de 16 quanto de 24. Destes, 8 é o maior
número, então dizemos que 8 é o máximo divisor comum (m.d.c.) de 16 e 24.
Notação: m.d.c.(a, b) = máximo divisor comum de a e b.
Definição: quando o m.d.c. de dois números for 1, dizemos que estes são
primos entre si.
Cálculo do m.d.c. de dois ou mais números
1° método:
Uma forma de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é a forma já vista no
exemplo anterior, observando o conjunto dos divisores de cada número, notando
quais os divisores comuns entre eles e dentre estes qual é o maior.
Exemplo: vamos calcular o m.d.c. de 20, 30 e 40.
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
Os divisores comuns de 20, 30 e 40 são 1, 2, 5 e 10. Destes o maior é 10.
Então, m.d.c.(10, 20, 30) = 10
2° método:
Outra forma de calcular o m.d.c. entre dois números é através da fatoração dos
mesmos. Tendo sido fatorados os números, o m.d.c. é o produto dos fatores primos
comuns a todas as fatorações.
Exemplo: vamos calcular o m.d.c. de 90, 135 e 180.
Observe as fatorações:
90 = 2 . 3 . 3 . 5
135 = 3 . 3 . 3 . 5
180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5
13
Note que o 3 e o 5 aparecem em todas as fatorações, sendo que o 3 aparece
pelo menos duas vezes em cada uma.
Então o m.d.c.(90, 135, 180) = 3 . 3 . 5 = 45
Obs: Se o conceito de potenciação já for conhecido, podemos considerar o m.d.c.
de dois ou mais números, como o produto dos fatores comuns a todos os números, cada
qual com seu menor expoente.
Podemos também, utilizando a fatoração, calcular o m.d.c. da seguinte forma:
Então o m.d.c.(80, 40) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40
Aqui fizemos um processo em que, de certa forma, fatoramos os números
simultaneamente, dividindo eles pelos primos que eram divisores de todos e
repetindo o processo com os quocientes da divisão até que os mesmos não fossem
divisíveis pelo mesmo primo em comum.
Obs: Se não considerarmos 1 como sendo primo, ele não aparecerá na
fatoração dos números, então, quando tivermos números primos entre si, não
teríamos nem um fator em comum, fazendo-se assim necessário definir que quando
isso ocorre, o m.d.c. dos números em questão é 1, e conseqüentemente, eles são
primos entre si.
Exemplo: calcular o m.d.c. entre 9 e 14 pela fatoração, sem considerar 1 como
primo:
9=3.3
14 = 2 . 7
Não há fatores em comum na fatoração de 9 e 14, então, m.d.c.(9, 14) = 1
Daí segue que 9 e 14 são primos entre si.
14
5. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.), de dois ou mais números, é o menor
número, diferente de 0, que é múltiplo de todos eles.
Observe os conjuntos:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...}
Note que 0, 6, 12, 18, 24, ... são múltiplos tanto de 2 quanto de 3, destes, o
menor valor, diferente de 0, é 6.
Então dizemos que 6 é o m.m.c. de 2 e 3.
Notação: m.m.c.(a,b) = mínimo múltiplo comum de a e b.
Cálculo do m.m.c. de dois ou mais números
1° método:
Uma forma de calcular o m.m.c. de dois ou mais números é a forma já vista no
exemplo anterior, observando o conjunto dos múltiplos de cada número, notando
quais os múltiplos em comum entre eles e dentre estes qual é o menor, diferente de 0.
Exemplo: vamos calcular o m.m.c. de 15, 20 e 30:
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135,...}
M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...}
M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, ...}
Temos que 0, 60, 120, ... são múltiplos comum de 15, 20 e 30, destes, o de
menor valor, diferente de 0, é 60.
Então, m.m.c.(15, 20, 30) = 60.
2° método:
Outra forma de calcular o m.m.c. entre dois ou mais números é através da
fatoração. Tendo sido feita a fatoração dos números, basta multiplicar todos os
fatores diferentes que aparecem nas fatorações. Caso um número apareça mais que
uma vez em alguma fatoração, multiplicamos o máximo de vezes que ele aparece em
uma única fatoração.
15
Obs: Se o conceito de potenciação já for conhecido, podemos considerar o m.m.c.
de dois ou mais números, como o produto dos fatores comuns a todos os números, cada
qual com seu maior expoente.
Exemplo: vamos calcular o m.m.c. de 5, 8 e 12.
Fatorando os números temos:
5=5
8=2.2.2
12 = 2 . 2 . 3
Note que apareceram 2, 3 e 5 nas fatorações, sendo que a maior quantidade de
vezes que o 2 aparece é três vezes, na fatoração de 8. E 3 e 5 aparecem somente uma
vez.
Então, m.m.c. (5, 8, 12) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120
Podemos também, utilizando a fatoração, calcular o m.m.c. da seguinte forma:
Então o m.m.c.(20, 40) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40
Aqui, fizemos um processo em que, de certa forma, fatoramos os números
simultaneamente. Observamos qual é o menor primo que divide pelo menos um
deles, então dividimos ele por este primo, e o(s) outro(s) também, caso sejam
divisíveis. Repetimos o processo para os quocientes até que todos os quocientes
sejam iguais a 1.
Observações:



Note que não consideramos aqui 1 como sendo primo, caso 1 seja considerado
como tal, devemos tomar o cuidado de excluí-lo deste método de cálculo do
m.m.c., caso contrário, ficaríamos dividindo os números por 1 infinitamente.
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses
números.
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6. RELAÇÃO ENTRE O M.D.C. E O M.M.C. DE DOIS
NÚMEROS
O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. pelo seu m.m.c.
Exemplo:
Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 14 e 21
m.d.c.:
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(21) = {1, 3, 7, 21}
Os divisores comum de 14 e 21 são 1 e 7, estes o maior é 7.
Então, m.d.c.(14, 21) = 7
m.m.c.:
M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, ...}
M(21) = {0, 21, 42, 63, 84, 105, ...}
Os múltiplos comuns de 14 e 21 são: 0, 42, 84, ..., destes, o menor, diferente de
0, é o 42.
Então, o m.m.c.(14, 21) = 42
Vamos calcular agora o produto do m.d.c.(14, 21) pelo m.m.c.(14, 21):
7 . 42 = 294
Vamos calcular também o produto de 14 por 21.
14 . 21 = 294
Com isso temos que vale a seguinte propriedade:
m.d.c.(a,b) . m.m.c.(a,b) = a . b
17
7. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. E M.D.C.
1) Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3
m respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível.
Qual deve ser o comprimento de cada parte?
Transformando as medidas em centímetros, vem: 240, 270 e 300 cm. Agora basta
calcular o m.d.c. entre estes números.
Teremos, então: m.d.c. (240, 270, 300) = 30.
Logo, o carpinteiro deverá cortar pedaços de madeira de 30 cm de comprimento.
2) Sabe-se que o m.d.c. (máximo divisor comum) de dois números é igual a 6 e
o m.m.c. desses mesmos números é igual a 60. Calcule o produto desses números.
Uma propriedade bastante conhecida é:
Dados dois números inteiros e positivos a e b , é válido que:
m.m.c.(a,b) . m.d.c.(a,b) = a . b
Daí, vem imediatamente que: a . b = m.m.c.(a,b) . m.d.c.(a,b) = 6 . 60 = 360
3) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a
cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de
dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas
receberão manutenção no mesmo dia.
Temos que determinar o m.m.c. entre os números 3, 4 e 6.
m.m.c. (3, 4, 6) = 2 x 2 x 3 = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas.
Portanto, dia 14 de dezembro.
18
4) Qual o número de divisores positivos de 3200?
Fatorando o número 3200, vem: 3200 = 27 x 52 .
Portanto, o número de divisores positivos de 3200 será igual a:
(7+1) . (2+1) = 8 x 3 = 24.
Portanto, 3200 possui 24 divisores positivos.
Nota: o número de divisores positivos de am . bn é dado pelo produto (m + 1).(n + 1) .
5) A passagem conjunta de dois cometas pela terra acontece a cada 2.280 anos.
Se o período de um deles é de 120 anos, então qual poderia ser o período do outro.
2280/120 = 19
O período do outro cometa poderia ser de 19 anos.
Mas existem outras soluções para este problema, para isso é necessário saber por
quais números 120 é divisível,
fazendo a decomposição:
120 | 2
..60 | 2
..30 | 2
..15 | 3
....5 | 5
....1
120 = 2³ x 3 x 5
Então 120 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 (além de 1 e 120).
Para calcular outros períodos para o 2º cometa, basta multiplicar 19 pelos números
divisíveis por 120.
19 x 1 = 19 anos (aquele que foi calculado anteriormente)
19 x 2 = 38 anos
19 x 3 = 57 anos
19 x 4 = 76 anos
19 x 5 = 95 anos
19 x 6 = 114 anos
19 x 8 = 152 anos
19 x 10 = 190 anos
19 x 12 = 228 anos
19 x 15 = 285 anos
19 x 20 = 380 anos
19 x 24 = 456 anos
19 x 30 = 570 anos
19 x 40 = 760 anos
19
19 x 60 = 1.140 anos
19 x 120 = 2.280 anos
Estes são os outros períodos para o 2º cometa.
6) Na fila da bilheteria de um teatro há menos de 50 pessoas. Contando essas
pessoas de 6 em 6 sobram 5. Contando de 7 em 7 também sobram 5. Quantas pessoas
estão na fila nesse momento?
Seja x o número de pessoas na fila.
Temos que ( x  5) é múltiplo de 6, pois se contarmos essas pessoas de 6 em 6 sobram
5.
Temos também que ( x  5) é múltiplo de 7, pois se contarmos essas pessoas de 7 em
7 sobram 5.
Então vamos considerar ( x  5)  y , então y é múltiplo de 6 e de 7.
Calculando o mínimo múltiplo comum de 6 e de 7 teremos: m.m.c.(6, 7) = 2 x 3 x 7 =
42.
Agora vamos considerar y  42 , com isso temos: ( x  5)  y  42
 x  42  5
 x  47

x  5  42
Como o enunciado diz que há menos de 50 pessoas na fila, a única solução possível é
x  47
7) Estão participando da gincana da escola 80 meninos e 60 meninas. A
professora quer formar equipes masculinas e femininas com o maior número possível
de alunos. Quantas equipes serão formadas? Quantos alunos terá cada equipe?
Primeiramente vamos calcular o m.d.c.(80, 60)
m.d.c.(80, 60) = 20, agora sabemos que o maior número de alunos para cada equipe
terá que ser 20, pois é o máximo divisor comum a 80 e 60.
Temos que 80 + 60 = 140, ou seja no total teremos 140 alunos.
Se cada equipe será formada por 20 alunos, então teremos 140/20 = 7 que será o
número de equipes formadas.
R: são 7 equipes formadas cada uma por 20 alunos.
20
8) Seja P o único ponto de passageiros que é comum nas duas linhas circulares
de ônibus. Dois ônibus, A e B, com velocidades médias iguais, circulam
ininterruptamente. O percurso feito pelo ônibus A tem 6Km de extensão, enquanto o
percurso feito pelo ônibus B tem 15Km. Se eles partirem ao mesmo tempo do ponto P,
a próxima oportunidade de se encontrarem novamente no ponto P será depois que o
ônibus A tiver completado quantas voltas?
Vamos calcular o m.m.c. de 6 e 15, m.m.c.(6, 15) = 30.
Agora sabemos que até eles se encontrarem novamente no ponto P, o ônibus A terá
dado 5 voltas em seu percurso enquanto o ônibus B terá dado apenas 2 voltas.
R: O ônibus A terá dado 5 voltas.
9) Sempre que determinada pessoa anda 650cm, 800cm e 1000cm, ela dá um
número exato de passos. Qual é o maior comprimento possível de cada passo dado
por essa pessoa?
Para resolver este problema basta calcular o m.d.c. entre 650, 800 e 1000.
Vamos decompor esses números em fatores primos:
650 = 2 x 5 x 5 x 13
800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
1000= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
Agora multiplicamos os fatores primos comuns aos três números:
m.d.c.(650, 800, 1000) = 2 x 5 x 5 = 50
R: O maior comprimento possível de cada passo é de 50 cm.
10) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é
divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.
Ser divisível por 4, 8, 12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o m.m.c.
m.m.c. (4, 8, 12) = 24
Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo
de 24 que tenha três algarismos.
Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120
O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste modo
é o número procurado.
21
8. PLANO DE AULA
Conteúdo: m.m.c. e m.d.c.
Duração: Duas aulas.
Materiais: Quadro e giz.
Objetivos Gerais:
 Compreensão do problema, pensando sobre qual é a incógnita, quais são os
dados fornecidos, e os artifícios de que dispomos para a resolução dos
problemas;
 Estabelecimento de um plano para a resolução dos problemas, pensando se
algo semelhante já foi visto e/ou conexões com situações parecidas;
 Comparação de maneiras diferentes de resolver problemas, compreendendo
os conceitos de m.m.c. e m.d.c. como instrumentos para a resolução dos
mesmos;
 Após a resolução dos problemas, verificação do resultado, pensando se é
possível chegar a ele por outro caminho. Qual é o melhor caminho?
Objetivos Específicos:
 Execução do plano para a resolução de problemas aplicando os conceitos de
m.m.c. e m.d.c.
Metodologia: Resolução de Problemas.
Segundo Maria Ignez Diniz (2001), a Resolução de Problemas como “processo
de aplicar conhecimentos previamente adquiridos a situações novas”, traz o enfoque
no caminho para se chegar à resposta, que não é simplesmente o objetivo final. Ela
completa dizendo que, dessa forma, nos preocupando em ensinar a resolver
problemas, os alunos aprendem Matemática.
Para que essa metodologia seja eficaz, não podemos adotar apenas problemas
convencionais que, com o tempo, podem levar o aluno a uma fragilidade frente
desafios maiores, afirma Diniz (2001). Portanto, os problemas devem apresentar
situações que não apresentem soluções evidentes e que exijam que aluno combine
seus conhecimentos e faça a escolha por um determinado caminho para se chegar à
resposta.
Diniz (2001) afirma ainda que o aluno deve participar da elaboração das
ideias, construindo o conhecimento. Dessa forma, o caminho não é só de ida. Após o
fim da resolução, deve-se pensar sobre os resultados obtidos, e fazer novos
questionamentos.
Aulas:
Pensando nos objetivos gerais e na metodologia, propomos retomar os
conteúdos de m.m.c. e m.d.c. através da Resolução de Problemas. Para isso, é
necessário que o professor estimule os alunos a proporem ideias e a construir
resoluções. As perguntas podem ser encaminhadas para se chegar aos cálculos do
m.m.c. e do m.d.c. como estratégias finais.
22
Problema 1 - Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na
máquina A, a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6
dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após
quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?
O que a gente procura?
Procuramos saber o próximo dia de manutenção comum às três máquinas.
Podemos observar um calendário e encontrar os dias de manutenção de cada
uma das máquinas.
DEZEMBRO
Segunda
Terça
02
01
(A,B,C)
08
09
(A,C)
15
16
22
(B)
29
(A)
23
(A)
30
(B)
Quarta
Quinta
03
04
10
(B)
17
(A)
11
(A)
18
(B)
24
25
31
...
Sexta
05
(A)
Sábado
06
(B)
Domingo
12
13
14
(A,B,C)
19
20
(A,C)
21
26
(A,B,C)
27
28
07
Mas e se tivéssemos mais máquinas, ou se a manutenção demorasse mais a
acontecer? Demoraríamos muito construindo um calendário e analisando cada
situação. Vamos então procurar outro método para a resolução desse problema.
Vamos pensar qual o conteúdo matemático envolvido nesse problema, ou seja,
o que ele diz matematicamente.
Como precisamos encontrar um dia em comum para a manutenção de todas as
máquinas, temos que encontrar um múltiplo comum a todos os intervalos de tempo
para manutenção de cada máquina. Mas como queremos saber o próximo dia, esse
múltiplo deve ser o menor deles, ou seja, procuramos o mínimo múltiplo comum,
m.m.c..
Temos que determinar o m.m.c. entre os números 3, 4 e 6.
Quais são os métodos que temos para encontrar o m.m.c.?
Podemos encontrar os primeiros múltiplos de cada número, até um que seja
comum a todos eles.
M(3)=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...
M(4)=0,4,8,12,16,20,24,...
M(6)=0,6,12,...
Como queremos o próximo dia, não podemos usar o zero como o m.m.c.. Dessa
forma, temos que m.m.c.(3,4,6)=12.
A decomposição simultânea em números primos é outra possibilidade:
23
m.m.c. (3, 4, 6) = 2 x 2 x 3 = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas.
Portanto, dia 14 de dezembro.
Problema 2 - Seja P o único ponto de passageiros que é comum nas duas linhas
circulares de ônibus. Dois ônibus, A e B, com velocidades médias iguais,
circulam ininterruptamente. O percurso feito pelo ônibus A tem 6 km de
extensão, enquanto o percurso feito pelo ônibus B tem 15 km. Se eles partirem
ao mesmo tempo do ponto P, a próxima oportunidade de se encontrarem
novamente no ponto P será depois que o ônibus A tiver completado quantas
voltas?
O que procuramos?
Procuramos saber quantas voltas o ônibus A terá dado até que ele o ônibus B
se encontrem novamente no ponto P.
Para isto, pensemos o seguinte: o ônibus A deve dar um número X de voltas de
modo que esse número coincida como o número de voltas que o ônibus B dará.
Assim, devemos calcular o mínimo múltiplo comum de 6 e de 15.
Vamos calcular o m.m.c. de 6 e 15.
m.m.c.(6, 15) = 30.
Assim, quando o ônibus B tiver dado 2 voltas, (ou seja, 2.15 km = 30 km), o
ônibus A terá que ter dado 6.x km = 30 km, ou seja x = 5 voltas.
Agora sabemos que até eles se encontrarem novamente no ponto P, o ônibus A
terá dado 5 voltas em seu percurso enquanto o ônibus B terá dado apenas 2 voltas.
Problema 3 - Sempre que uma pessoa anda 650cm, 800cm e 1000cm, ela dá um
número exato de passos. Qual é o maior comprimento possível de cada passo
dado por essa pessoa?
O que procuramos neste problema?
Procuramos o maior comprimento do passo dado pela pessoa.
Como fazer isso?
Vamos pensar qual o conteúdo matemático pode estar envolvido neste
problema.
Precisamos encontrar o maior comprimento do passo, para isso, basta que
calculemos o m.d.c. entre 650, 800 e 1000.
Para isso, vamos decompor cada um desses números em fatores primos:
650 = 2 x 5 x 5 x 13
800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
1000= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
24
Agora, consideremos apenas os fatores que são comuns aos três números, ou
seja, o fator 2 aparece comum aos três números uma vez; o fator 5 aparece comum
aos três números por duas vezes.
Assim, multiplicamos os fatores primos comuns aos três números, que será o
m.d.c. dos números procurados:
m.d.c.(650, 800, 1000) = 2 x 5 x 5 = 50
Ou, seja, o maior comprimento possível de cada passo dado pela pessoa é de
50 cm.
Problema 4 - Na fila da bilheteria de um teatro há menos de 50 pessoas.
Contando essas pessoas de 6 em 6 sobram 5. Contando de 7 em 7 também
sobram 5. Quantas pessoas estão na fila nesse momento?
O que procuramos?
A quantidade de pessoas na fila, sabendo que essa quantidade menos 5
pessoas é múltipla de 6 e de 7. Vamos então, pensar em incógnitas. Seja x o número de
pessoas na fila.
Temos que (x-5) é múltiplo de 6, pois se contarmos essas pessoas de 6 em 6
sobram 5.
Temos também que (x-5) é múltiplo de 7, pois se contarmos essas pessoas de 7
em 7 sobram 5.
Vamos considerar (x-5) = y, então y é múltiplo de 6 e de 7.
Temos que encontrar um número que seja tanto múltiplo de 6, quanto de 7.
Existem várias possibilidades, mas sabemos que esse número deve ser menor do que
50. Dessa forma, podemos calcular o menor deles.
Calculando o mínimo múltiplo comum de 6 e de 7 teremos: m.m.c.(6, 7) = 2 x 3
x 7 = 42.
Agora vamos considerar y=42, com isso temos: x-5 = y = 42  x-5 = 42
 x = 42+5  x = 47
Como o enunciado diz que há menos de 50 pessoas na fila, a única solução possível é
x=47pessoas.
25
CONCLUSÃO
Aplicamos as aulas nos Colégios Estaduais Roberto Langer Junior e Lúcia
Bastos, em Curitiba, em duas turmas de 7ª série, e em uma turma de 6a série do
Ensino Fundamental, respectivamente. Cada turma dispôs de duas aulas para as
atividades.
A nossa maior preocupação era com a disciplina da turma. Gostaríamos que os
alunos prestassem atenção na aula, se interessassem pelo assunto e tentassem
resolver os problemas propostos.
Optamos então por intrigá-los, por desafiá-los de tal forma que não ficasse
evidente o que de fato estávamos fazendo ali. Buscávamos quebrar aquele medo já
natural dos alunos de uma aula tradicional. Por este motivo, optamos por uma
metodologia de resolução de problemas.
Quando chegamos à primeira sala de 7a série, encontramos uma turma bem
agitada, os alunos levaram alguns minutos para se sentarem em seus lugares.
Enquanto um professor fez uma breve apresentação do grupo, outro escreveu o
enunciado do primeiro problema no quadro.
Ao ler o enunciado do problema, verificou-se que boa parte dos alunos
começou a se interessar pelo mesmo, tentando encontrar alguma forma para resolvêlo.
Se tivéssemos dado uma breve revisão do conteúdo, ou se simplesmente
tivéssemos dito que se tratava de um problema de M.M.C., certamente os alunos
teriam mais facilidade para resolvê-lo, no entanto, esse não é o nosso objetivo, pois
eles poderiam simplesmente aplicar o conteúdo sem se preocupar em entendê-lo e
saber por que ele se aplica àquele problema.
Após um tempo pensando, com algumas dicas e questionamentos direcionados
feitos pelo professor, surgiu a idéia de montar um calendário e marcar os dias que
seriam feita manutenção nas máquinas. Sem muita dificuldade, verificou-se a
resposta. No entanto, ao serem questionamos pelo professor, se esse método seria o
mais eficaz para encontrar a resposta caso as máquinas levassem mais tempo para
que outra manutenção fosse feita, como 27, 49 e 63 dias, por exemplo, os alunos
perceberam que montar um calendário poderia ser algo muito demorado.
Então os alunos começaram a perceber, com o auxilio do professor, quais as
propriedades que estavam pro trás do problema e da solução, e foram construídos os
conceitos de múltiplos, múltiplo comum e de mínimo múltiplo comum. Ao relembrar
como se calculava o M.M.C. de dois números, também foi trabalhado o conceito de
número primo e regras de divisibilidade.
Partimos então, para o segundo problema.
Com o auxilio do professor, inicialmente os alunos perceberam que haveria
diversas soluções possíveis, mas não tinham certeza que a sua solução era de fato a
maior possível, então analisando essas possíveis soluções verificou-se que elas se
tratavam de divisores comuns dos números em questão. Como queríamos a maior
solução, bastava então calcular o M.D.C. para se obter a resposta. Novamente, os
conceitos foram construídos analisando o problema.
Fomos então para segunda turma, a primeira aula se desenrolou da mesma
forma. Já na segunda aula foram passados outros dois exercícios para os alunos.
26
No primeiro problema notou-se certa relutância dos alunos em fazê-lo devido
ao enunciado ser um pouco mais extenso do o que eles estavam acostumados. Com o
segundo problema, com enunciado mais curto, notou-se uma maior facilidade.
Voltamos então à primeira turma para aplicarmos estes dois últimos
problemas. Percebemos que esta turma demonstrou maior interesse em solucioná-los
e, no geral, tiveram maior facilidade para encontrar a solução.
No geral, os alunos mostraram um bom domínio de aritmética, sabiam realizar
as operações necessárias e sabiam calcular os conceitos necessários, no entanto
demonstram muito dificuldade em aplicar esse conhecimento em problemas que
envolviam interpretação. Isso se dá devido à ausência desse tipo de problemas no
cotidiano escolar dos alunos.
Nas sextas séries, o comportamento dos alunos em relação à metodologia foi
semelhante, no entanto houve uma dificuldade muito grande dos alunos em resolver
os problemas. Verificamos que apesar de que os alunos já devessem ter certa ideia do
conteúdo, muitos nunca tinham sequer visto os conceitos de múltiplo, divisor, etc.
Então foi necessária uma quantidade maior de aulas para completar o plano de aula.
Concluímos que a metodologia de resolução de problemas resgata a questão de
interpretação de problemas, e a suas soluções através de conceitos matemáticos.
Além do mais, este método, quando utilizado para construir conceitos, faz com que
estes façam mais sentido, assim como a matemática como um todo.
27
BIBLIOGRAFIA

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
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
SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I.. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades para
aprender matemática. Porto Alegre: ARTMED, 2001.
POLYA, G. A.. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
DOS SANTOS, J. A.. Matemática para concursos – 6ª parte. Acedido em: 21 de
abril de 2011.
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos006.asp
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22 de abril de 2011.
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Klick Educação - Múltiplos e Divisores. Acedido em 20 de abril de 2011.
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-9455584,00.html
SODRÉ, U.. Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade, Acedido em 20 de
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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm
28