Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
Prof. Romel Dias Vanderlei
CAPÍTULO 4:
DEFLEXÃO DE VIGAS
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Linha Elástica é a curva que representa o eixo da
viga após a deformação.
Linha Elástica
A deflexão “v” é
o deslocamento
de qualquer
ponto no eixo
da viga.
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto
ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e
a tangente à curva da linha elástica.
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dθ
θ
dθ
θ
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figura vemos que:
dθ
θ
ρ .d θ = ds
k=
1
ρ
=
dθ
ds
dθ em radianos
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figura vemos que:
dv
= tg θ
dx
dθ
θ
Inclinação da Linha Elástica
 dv 

 dx 
dx

cos
=
θ

ds
e: 
 sen θ = dv

ds
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θ = arctg
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ0
ds ≈ dx → k =
1
ρ
=
dθ
dx
dv
= θ , sendo θ em radianos.
dx
2
Logo, fazendo: dθ = d v
dx dx2
1 d 2 v Equação válida para
k= =
pequenas rotações
ρ dx 2
tgθ ≈ θ
→
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):
σ x = E⋅ ε x
∫σ
x
εx =
e
1
ρ
⋅y=k⋅y
⋅ dA ⋅ y = M → ∫ E ⋅ ( k ⋅ y ) ⋅ y ⋅ dA = M
A
A
E ⋅ k ∫ y 2 ⋅ dA = M → E ⋅ k ⋅ I z = M → k =
A
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Logo:
d 2v M
=
dx 2 EI z
M
E ⋅ Iz
Equação Diferencial da
Linha Elástica
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Convenções de Sinais:
y(+)
(1)Eixos:
x(+)
(2) Deflexão: v(+)
(3) Rotações: dv e θ
dx
(4) Curvatura k:
y
(+)
x
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Convenções de Sinais:
(5) Momentos:
(6) Carregamentos:
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Equações Adicionais:
dM
=V
dx
;
dV
= −q
dx
e
d 2M
= −q
dx 2
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Vigas Não Prismáticas : seção variável com x.
d 2v
M
=
dx 2 EI ( x )
d 2v
→ EI ( x ) ⋅ 2 = M
dx
dM
=V
dx
d
d 2v 
 EI(x) ⋅ 2  = V
→
dx 
dx 
dV
= −q
dx
d2 
d 2v 

→
EI ( x) ⋅ 2  = −q
2 
dx 
dx 
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Vigas Prismáticas: rigidez (EI) constante
Momento Fletor:
d 2v M
=
dx 2 EI z
Força de Cisalhamento:
dM
=V
dx
d 2v
→ EI z ⋅ 2 = M → EI z ⋅ v ′′ = M
dx
→ EI z ⋅
d 3v
=V
dx 3
→
EI z ⋅ v ′′′ = V
Carregamento:
dV
d 4v
= − q → EI z ⋅
= −q →
dx
dx 4
EI z ⋅ v ''' ' = − q
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações nos apoios.
→ v=0 e M =0
→ v=0 e M =0
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→ v = 0 e v′ = 0
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações em vigas biapoiadas.
x = 0 → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0

x = L → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações em vigas engastadas.
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 x = 0 → v = 0 e v′ = 0

 x = L → v ′′ = 0 pois M = 0
 x = L → v ′′′ = 0 pois V = 0

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Continuidade:
No ponto C:
(v )AC
= (v )CB
(v ′ )AC
= (v ′ )CB
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Exemplo1: Determine a equação da Linha
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Elástica para a viga abaixo. Determine também a
deflexão máxima δmáx e os ângulos de rotação θA
e θB nos apoios.
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
a) Expressão para o Momento Fletor:
Reações de apoio:
RVA = RVB =
q⋅L
2
Momento Fletor:
M =
qL
x qL
q
⋅x− q⋅x⋅ =
⋅ x − ⋅ x2
2
2
2
2
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação da Linha Elástica:
qL
q
⋅ x − ⋅ x 2 [.(dx)]
2
2
qL
q
EI z ⋅ v '' ⋅ dx =
⋅ x ⋅ dx − ⋅ x 2 ⋅ dx
2
2
EI z ⋅ v '' = M =
qL
q
x ⋅ dx − ∫ x 2 ⋅ dx
∫
2
2
2
 qL x q x 3

'
EI
v
(
⋅
)
=
∫ z
∫  2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 + C1 
EI z ∫ v '' ⋅ dx =
1ª integração
2ª integração
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qL x 3 q x 4
EI z ⋅ v =
⋅ − ⋅
+ C1 ⋅ x + C 2
4 3 6 4
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condições de Contorno:
(I) x = 0 → v = 0
(II) x = L → v = 0
(I)
(II)
0 =
e
x=
L
→ v′ = 0
2
x = 0 → v = 0∴ 0 = 0 − 0 + 0 + C2 → C2 = 0
qL
q
.L3 −
.L4 + C 1 .L + 0
12
24
4
4
qL
qL
qL 3
−
+ C 1 .L =
+ C 1 .L → C 1 = −
24
24
24
x = L → v = 0∴ 0 =
qL 4
12
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
EI z ⋅ v =
qL
q
⋅ x3 −
⋅ x 4 + C1 ⋅ x + C 2
12
24
1
v =
EI z
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q
v=
EI z
→
deflexão
 qL

q
qL 3
3
4

⋅x −
⋅x +
⋅ x 
24
24
 12

 L

1
L3
3
4

⋅x −
⋅x +
⋅ x  Linha Elástica
24
24 
 12
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
EI z ⋅ v′ =
v′ =
v′ =
q
EI z
qL 2 q 3
⋅ x − ⋅ x + C1
4
6
1
EI z
→ rotação
 qL 2 q 3 qL3 


⋅x − ⋅x −
4
6
24


 L 2 1 3 L3 
 ⋅ x − ⋅ x −

4
6
24


→
rotação θ
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
c) Deflexão máxima x = L/2:
q
vmáx =
EI z
 L  L 3 1  L 4 L3 L 
 ⋅  − ⋅  − ⋅ 
12  2  24  2  24 2 
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q  L4 L4 L4 
vmáx =
− 
 −
EI z  96 384 48 
5qL4
vmáx = −
384 ⋅ EI z
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
d) Ângulos de rotação: θA
θ A → x = 0∴
θB → x = L∴
e θB
v ′A = −
qL 3
24 EI z
qL 3
v ′B =
24 EI z
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Exemplo 2: Calcular a deflexão e a inclinação
(rotação) do ponto D indicado na viga
representada abaixo, adotando E = 10GPa.
1,2kN/m
16cm
A
B
D
2,2m
3m
6cm
a) Reações de apoio:
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RVA = RVB =
qL 1,2 × 5,20
=
= 3,12 KN
2
2
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação diferencial da linha elástica:
EI z ⋅ v '''' = − q = − 1, 2
EI z ⋅ v ′′′ = − 1, 2 ⋅ x + C1
x2
EI z ⋅ v ′′ = − 1, 2 ⋅
+ C1 ⋅ x + C 2
2
x3
x2
EI z ⋅ v ′ = − 1, 2 ⋅
+ C1 ⋅
+ C 2 ⋅ x + C3
6
2
x4
x3
x2
EI z ⋅ v = − 1, 2 ⋅
+ C1 ⋅
+ C2 ⋅
+ C3 ⋅ x + C4
24
6
2
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
c) Condições de Contorno:
(I) x = 0 → V A = 3,12 KN = v′′′ ⇒ C1 = 3,12
(II) x = 0 → M A = 0 = v′′ ⇒ C 2 = 0
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L
= 2,60 → v′ = 0
2
2 .6 3
2,6 2
0 = −1,2 ⋅
+ 3,12 ⋅
+ 0 ⋅ x + C 3 ⇒ C 3 = −7 ,03
6
2
(III) x =
(IV) x = 0 → vA = 0 ⇒ C4 = 0
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
d) Rotações e deflexões:
E = 10 GPa = 10 × 10 6
kN
m2
bh 3 0 , 06 × 0 ,16 3
Iz =
=
= 2 , 048 . 10 − 5 m 4
12
12
EI z = 204 ,8 kN ⋅ m 2
(
)
v′ =
1
⋅ − 0 , 2 ⋅ x 3 + 1,56 ⋅ x 2 − 7 , 03
EI z
v=
1
. − 0 , 05 ⋅ x 4 + 0 ,52 ⋅ x 3 − 7 , 03 ⋅ x
EI z
(
)
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
e) Deflexão e Rotação no Ponto D:
Para x = 2,20m
(
)
1
⋅ − 0,2 × 2,23 + 1,56 × 2,2 2 − 7,03 = −7,9 ×10−3 rad
204,8
1
v=
⋅ − 0,05 × 2,2 4 + 0,52 × 2,23 − 7,03 × 2,2 = −5,65 ×10−2 m
204,8
v′ =
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(
)
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Exemplo 3: Determine a equação da Linha
Elástica para uma viga engastada mostrada
abaixo. Determine também θB e δB na
extremidade livre.
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Reações de apoios:
RVA = qL
qL2
MA =
2
a) Momento Fletor na viga:
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qL2
x
M =−
+ qLx − qx
2
2
qL2
x2
M =−
+ qLx − q
2
2
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação da Linha Elástica:
qL2
qx 2
EI z ⋅ v = M = −
+ qLx −
2
2
2
2
q  L
x 
∫ v′′ = ∫ EI z ⋅  − 2 + Lx − 2 
''
 L

x 2 x3
⋅  − ⋅ x + L ⋅ − + C1  → Rotação
2 6
 2


q  L2 x 2 Lx 3 x 4
v=
⋅  −
+
−
+ C1 ⋅ x + C 2  → Deflexão
EI z 
4
6
24

q
∫ v = ∫ EI z
'
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno:
(I) x = 0 → v' = 0
(II) x = 0 → v = 0
q
⋅ (− 0 + 0 − 0 + C1 ) ⇒ C1 = 0
EIz
q
(II) 0 =
⋅ (− 0 + 0 − 0 + C2 ) ⇒ C2 = 0
EIz
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(I)
0=
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Rotação:
q
v =
EI z
'
v' =
 L2
L 2 x3 
⋅  − ⋅ x + ⋅ x − 
2
6 
 2
(
qx
⋅ − 3L2 + 3 Lx − x 2
6 EI z
θB = v′B → x = L ∴
)
qL3
v′B = −
6EIz
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Deflexão:
q
v=
EI z
 L2 2 L 3 1 4 
⋅  − ⋅ x + ⋅ x − ⋅ x 
6
24
 4

(
qx 2
v=
⋅ − 6 L2 + 4 Lx − x 2
24 EI z
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δ B = vB → x = L ∴
)
qL4
vB = −
8EIz
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Exemplo 4: Determine a equação da Linha
Elástica, os ângulos de rotação θA e θB nos
apoios, a deflexão máxima δmáx e a deflexão δC
no ponto médio.
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Reações de apoio:
RVA =
P⋅b
L
e
RVB =
P⋅ a
L
a) Momentos Fletores:
Pb
⋅ x (0 ≤ x ≤ a)
L
Pb
M = ⋅ x − P ⋅ (x − a) (a ≤ x ≤ L)
L
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M=
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação da Linha Elástica:
Pb
⋅x
(0 ≤ x ≤ a)
L
Pb
EI ⋅ v ′′ =
⋅ x − P ⋅ (x − a )
(a ≤ x ≤ L)
L
EI ⋅ v ′′ =
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Integrando temos: Rotações
Pb 2
⋅ x + C1
2L
Pb 2 P ⋅ ( x − a ) 2
EI ⋅ v ′ =
⋅x −
+ C2
2L
2
EI ⋅ v ′ =
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Integrando novamente: Deflexões
Pb 3
EI ⋅ v =
⋅ x + C1 ⋅ x + C 3
6L
Pb 3 P ⋅ ( x − a ) 3
+ C2 ⋅ x + C4
EI ⋅ v =
⋅x −
6L
6
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno:
(I) x = 0 → v = 0
(II) x = L → v = 0
′ = v′dir
(III) x = a → vesq
(IV) x = a → vesq = vdir
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno:
(I)
x = 0→ v = 0
⇒
C3 = 0
PbL3 P ⋅ ( L − a)3
(II) x = L → v = 0∴ 0 =
−
+ C2 ⋅ L + C4
6L
6
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Pba2
Pba2 P(a − a)2
(III) x = a →
+C1=
−
+ C2 ⇒ C1 = C2
2L
2L
2
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno:
Pba 3
Pba 3 P ( a − a ) 3
(IV) x = a →
+ C2 ⋅ a + C4
+C 1⋅a =
−
6L
6L
6
C1 ⋅ a = C 2 ⋅ a + C 4 ⇒ C1 ⋅ a = C1 ⋅ a + C 4 ⇒ C 4 = 0
PbL 2 Pb 3
(II)
−
+ C 2 ⋅L + C 4 = 0
6
6
Pb
⋅ L2 − b 2 = − C 2 ⋅ L
6
Pb
C2 = −
⋅ L2 − b 2 = C1
6L
(
)
(
)
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Deflexões:
1
v=
EI
v=
(
 Pbx 3 Pb 2
⋅
−
⋅ L − b2
6L
 6L
(
Pbx
⋅ x 2 − L2 + b 2
6 LEI
)
)x 

(0 ≤ x ≤ a)
2

1  Pbx 3
P ⋅ (x − a )
Pb
v =
⋅
−
−
⋅ L2 − b 2 ⋅ x 
EI  6 L
6
6L

3
Pbx
P ⋅ ( x − a)
v=−
⋅ L2 − b 2 − x 2 −
(a ≤ x ≤ L)
6 LEI
6 EI
(
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(
)
)
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Rotações:
(
)

1  Pbx 2 Pb 2
⋅
−
⋅ L − b2 
EI  2 L
6L

Pb
v′ = −
⋅ L2 − b 2 − 3 x 2
(0 ≤ x ≤ a)
6 LEI
v′ =
(
)
2
1  Pbx 2
P ⋅ (x − a )
Pb
v′ =
⋅
−
−
⋅ L2 − b 2
EI  2 L
2
6L
2
Pb
P ⋅ (x − a )
'
2
2
2
v =−
⋅ (L − b − 3 x ) −
(a ≤ x ≤
6 LEI
2 EI
(
)

L)
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Cálculo de θA:
θ A = v ′A → x = 0
( L + b) ⋅ ( L − b)
(
Pb
⋅ L2 − b 2
6 LEI
Pab (L + b )
v ′A = −
6 LEI
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v ′A = −
)
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Cálculo de θB:
θ B = v′B → x = L
Pb
v′B = −
⋅
6 LEI
Pb
v ′B = −
2 EI
P (L − a )
L − b − 3L −
2 EI
2
2
 (− 2 L − b )

⋅
+ b
3L


2
2
2 L + b − 3 Lb 

3L

(
2

⋅ 

Pab ⋅ ( L + a )
v ′B =
6 LEI
v ′B =
Pb
2 EI
(b)
2
2
)
2
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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Deflexão máxima δmáx:
Ponto de máximo v′ = 0
−
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δ máx = vmáx
para ( x = x1 )
(
x1 =
vmáx

Pb
L2 − b 2  L2 − b 2
=
⋅
⋅

6 LEI
3
3

vmáx
Pb ⋅ L2 − b 2
=−
9 3 ⋅ LEI
(
)
3
)
Pb
⋅ L2 − b 2 − 3 x 2 = 0
6 LEI
L2 − b 2
3
2


 − L2 + b 2 




2
(a ≥ b)
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Deflexão no ponto médio x = L/2:
δ
C
= vC
x =
para
L
2
L
 L  2

2
2
2
=
⋅ 
 − L + b 
6 LEI
  2 

Pb ⋅
vC
 L2
Pb
⋅ 
− L2 + b
12 EI  4
Pb
=
⋅ − 3 L2 + 4b 2
48 EI
vC =
vC
(
2
)



(a ≥ b)
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
São vigas em que o número de reações excede o
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número de equações de equilíbrio da estática.
∑
∑
Fx = 0 ⇒ H
∑
M
A
= 0
FY = 0 ⇒ R A + R B − qL = 0
A
= 0⇒ M
A
− qL .
3 reações
2 equações
Estaticamente Indeterminadas
L
+ R B .L = 0
2
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
São necessárias equações adicionais para obter todas
as reações.
O número de reações em excesso ao número de
equações de equilíbrio é chamado de Grau de
Hiperestaticidade.
Grau = (nº Reações) – (nº Equações)
Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
As equações adicionais podem ser obtidas
considerando as deformações da estrutura.
Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais
da linha elástica:
EI z ⋅ v′′ = M
EI z ⋅ v′′′ = Q
EI z ⋅ v '''' = −q
O procedimento para resolução é o mesmo usado para
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vigas isostáticas.
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
Como exemplo, analisaremos a viga anterior
determinando as rotações e deflexões da viga.
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
a) Estaticidade da estrutura:
HA = 0
M A , RVA , RVb → 3 reações desconhecidas
,
∑F
Y
∑M = 0
=0 e
→ 2 equações de equilíbrio
Grau = 3 – 2 = 1 Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1
b) Equações de equilíbrio:
(1) R + R
= qL
VA
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(2)
VB
M A + RVB ⋅ L =
qL2
2
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
c) Equação no momento fletor:
Reação redundante reação em excesso que pode ser
liberada da estrutura, porém, deixando-a estável e
estaticamente determinada.
Escolhemos RVB como reação redundante, e as outras
reações serão escritas em função desta.
RVA = qL − RVB
qL2
MA =
− RVB ⋅ L
2
 qL2
 qx 2
qx 2

M = RVA ⋅ x − M A −
= (qL − RVB ) ⋅ x − 
− RVB .L  −
2
2

 2
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
d) Equação diferencial da Linha Elástica:
 qL2
 qx 2
′
′

EI z ⋅ v = M = (qL − RVB ) ⋅ x − 
− RVB ⋅ L  −
2

 2
Integrando:

x 2  qL2
qx 3


−
− RVB ⋅ L  ⋅ x −
+ C1
2  2
6

 x 2 qx 4
x 3  qL2
EI z ⋅ v = (qL − RVB ) ⋅ − 
− RVB ⋅ L  ⋅ −
+ C1 ⋅ x + C2
6  2
 2 24
EI z ⋅ v ′ = (qL − RVB ) ⋅
3 incógnitas C1, C2 e RVB
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São necessárias 3 condições de contorno
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
e) Condições de contorno:
(I)
(II)
(III)
(I ) →
x = 0 → v' = 0
x=0→v=0
x=L→v=0
0 = 0 − 0 − 0 + C1 ⇒ C1 = 0
( II ) → 0 = 0 − 0 − 0 + 0 + C 2 ⇒ C 2 = 0
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
(III) → 0 = (qL − R VB ) ⋅
L 3  qL 2
− 
− R VB ⋅ L
6
 2
 L2
qL 4
 ⋅
−
24
 2
qL 4
R VB L3 qL 4
R VB L3 qL 4
0=
−
−
+
−
6
6
4
2
24
1 1
1 1 1 
RVB L3 ⋅  −  = qL4 ⋅  − − 
6 2
 6 4 24 
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RVB =
∴
-
RVB
qL
=−
3
8
3qL
8
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
f) Rotações e Deflexões:

3qL  x 2  qL2 3qL 
qx3 


⋅  qL −
⋅
−
−
⋅
L
⋅
x
−



8  2  2
8
6 


qx
v' =
⋅ − 6 L 2 + 15 L ⋅ x − 8 ⋅ x 2
48 EI z
v' =
1
EI z
(
v=
1
EI z
)

3qL  x3  qL2 3qL  x 2 qx4 
⋅  qL −
−
⋅ L  ⋅ −
 ⋅ − 

8
6
2
8


 2 24 

qx 2
v = −
48 EI
(
⋅ 3 L2 − 5 L ⋅ x + 2 ⋅ x 2
z
)
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4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
g) Reações nos apoios:
RVA = qL − RVB = qL −
3qL 5qL
=
8
8
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qL2
qL2 3qL
qL2
MA =
− RVB ⋅ L =
−
⋅L =
2
2
8
8
4.3 Método da Superposição
Em uma viga submetida a várias cargas, os
deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido
somando-se algebricamente os deslocamentos, no
mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo
isoladamente.
Exemplo 1:
P
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4.3 Método da Superposição
P
(v B )q
qL4
=−
8 EI z
(θ B )q
qL3
=−
6 EI z
(v B )P
PL3
=−
3 EI z
(θ B )P
PL2
=−
2 EI z
4.3 Método da Superposição
v B = (v B )q + (v B )P
qL 3
PL 3
=−
−
8 EI z 3 EI z
θ B = (θ B )q + (θ B )P
qL3
PL 2
=−
−
6 EI z 2 EI z
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4.3 Método da Superposição
Exemplo 2:
4.3 Método da Superposição
δ c = (vC )q + (vC )P
θ A = (v′A ) q + (v′A ) P 
 −θA = θB
θ B = (v′B ) q + (v′B ) P 
(vC )q
5qL4
=−
384 EI z
− (v′A )q = (v′B )q
qL3
=
24 EI z
(vC )P
PL3
=−
48EI z
− (v ′A )P = (v ′B )P =
PL 2
16 EI z
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4.3 Método da Superposição
5 qL4
PL3
δC = −
−
384 EI z 48 EI z
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qL3
PL2
−θ A = θB =
+
24EIz 16EIz
4.3 Método da Superposição
Exemplo 3: Determine δB e θA
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4.3 Método da Superposição
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∑M
A
2
= aF − ⋅ aP = 0
3
2
F = ⋅P
3
4.3 Método da Superposição
Viga Engastada:
(vB )q
qb4
=
8EI
(vB )F
Fb3
=
3EI
 qb4 Fb3   qb4 2Pb3 
 = −

+
+
8
EI
3
EI
8
EI
9
EI

 

δ B = −
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4.3 Método da Superposição
P
θ2
Viga Apoiada:
θ1
δB
θ1 =
δB
a
=
qb 4
2 Pb 3
+
8 aEI
9 aEI
a
a
 2a   a  
P ⋅
 ⋅  ⋅ a + 
Pab ⋅ (L + b )
4 Pa 2
3  3 
3

θ2 =
=
=
6 L ⋅ EI
6 a ⋅ EI
81 ⋅ EI
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θ A = −θ 1 − θ 2 = −
qb 4
2 Pb 3 4 Pa 2
−
−
8 aEI
9 aEI
81 EI
4.3 Método da Superposição
Exemplo 4: Determinar θA ; δB ; θC ; θD e δD
20 kN/m
30 kN
20 kN
10 kN/m
A
B
3m
C
3m
D
2m
Sistema Equivalente:
20 kN/m
30 kN
20 kN
10 kN/m
A
C
B
3m
40 kN
3m
60kNm
C
D
2m
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4.3 Método da Superposição
Rotação em A:
θA = −
qL 3
3 qL 3
PL 2
ML
−
−
+
24 EI 128 EI 16 EI
EI
10 × 63 3 ×10 × 63 30 × 6 2 60 × 6
148,125
θA = −
−
−
+
=−
24 EI
128EI
16 EI
6 EI
EI
Flecha em B:
δB = −
5 qL 4
5 qL 4
PL 3
ML 2
−
−
+
384 EI
768 EI
48 EI
16 EI
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5 ×10 × 64 5 ×10 × 6 4 30 × 63 60 × 62
253,125
δB = −
−
−
+
=−
384EI
768EI
48EI
16EI
EI
4.3 Método da Superposição
Rotação em C:
qL3
7 qL3
PL 2
ML
θC = +
+
+
−
24 EI 384 EI 16 EI 3 EI
10 × 63 7 ×10.63 30 × 62 60 × 6 76,875
θC = +
+
+
−
=
24EI
384EI
16EI
3EI
EI
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4.3 Método da Superposição
Flecha em D:
θC
δ’D
δ D' = θC × L =
δ’’D
δD
θ’D
10 × 2 4 20 × 2 3
73,333
=−
−
=−
8 EI
3 EI
EI
''
73,333 153,750 80,417
+
=
EI
EI
EI
δ D = δ D '' + δ D ' = −
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76,875
153,750
×2 =
EI
EI
4.3 Método da Superposição
Rotação em D :
θC
δ’D
δ’’D
θ’D
10 × 23 20 × 22
53,333
θD = −
−
=−
6EI
2EI
EI
'
θ D = θ D ' + θC = −
53,333 76,875 23,542
+
=
EI
EI
EI
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4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 5: Determine as reações dos apoios da
viga abaixo usando o Método da Superposição.
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a) Estaticidade:
Grau = 4(eq.) – 3(reações) = 1 Hiperestática
Reação Redundante RVB
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
b) Equação de Equilíbrio:
∑F
Y
= 0 ∴ RVA + RVB − qL = 0 ⇒ RVA = qL − RVB
qL2
qL2
∑ M A = 0 ∴ M A + RVB ⋅ L − 2 = 0 ⇒ M A = 2 − RVB ⋅ L
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4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
c) Compatibilidade de deslocamento:
(δ B )q + (δ B )R
VB
=0
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qL 4
R VB ⋅ L 3
−
+
= 0
8 EI
3 EI
⇒
R VB =
3 qL
8
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
d) Reações dos apoios:
RVA = qL − RVB = qL −
RVB =
3qL 5 qL
=
8
8
3qL
8
qL2
qL2 3qL
qL2
MA =
− RVB ⋅ L =
−
⋅L =
2
2
8
8
Prof. Romel Dias Vanderlei
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 6: Determinar:
a) a reação em cada apoio;
b) a declividade da linha elástica na extremidade A.
q
A
C
B
2L/3
L/3
L
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a) Estaticidade:
4 - 3 = 1 Hiperestática
RVB Reação Redundante
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
b) Equações de Equilíbrio:
∑F
∑F
Y
X
= 0 ⇒ R HC = 0
= 0 ⇒ RVA + RVB + RVC = qL∴RVA + RVC = qL− RVB
2L
qL2
qL 2R
∑ M A = 0 ⇒ RVB. 3 + RVC .L = 2 ∴ RVC = 2 − 3VB
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4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
c) Compatibilidade de deslocamento:
q
A
2L/3
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C
B
A
C
L/3
2L/3
RVB
L/3
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
(v )q
(δ B )q
(v )R
(δ B )R
VB
(
)
qx
2L
⋅ L3 − 2 Lx 2 + x 3
onde x =
24 EI
3
2
3
q 2L  3
qL4
 2 L   2L  
=−
⋅ ⋅  L − 2L  +    = −0,01132
24EI 3 
EI
 3   3  
= −
VB
= −
=−
(
Pbx
⋅ L2 − b 2 − x 2
6 LEI
)
onde
(− RVB ) ⋅  L 
x=
2L
3
2
2
2
 3  ⋅ 2 L ⋅  L2 −  L  −  2 L   = RVB ⋅ L ⋅ 4 L
    

6 LEI
3 
 3   3   27 EI 9
(δ B )V
B
= 0 , 01646 ⋅
R VB ⋅ L3
EI
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4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Sabendo-se que δB = 0 e
δB = (δB )q + (δB )R
VB
qL
RVB ⋅ L3
0 = −0,01132 ⋅
+ 0,01646 ⋅
⇒ RVB = 0,688 ⋅ qL
EI
EI
4
Logo:
RVC =
qL 2 RVB qL 2
−
=
− ⋅ 0,688 qL = 0,0413 ⋅ qL
2
3
2 3
RVA + RVC = qL − RVB
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RVA = qL − 0 ,688 ⋅ qL − 0 ,0413 ⋅ qL = 0 , 271 ⋅ qL
4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
d) Declividade no apoio A:
θA = (θA )q + (θA )R
VB
qL3
(θ A )q = −
24EI
(θ A )R
VB
(θ A )R
Pab⋅ (L + b)
=
=
6LEI
VB
L
 2L   L  
RVB ⋅   ⋅   ⋅  L + 
3
 3   3 
6LEI
 8L3 

0,688 ⋅ qL ⋅ 
27  0,03398⋅ qL3

=
=
6LEI
EI
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4.4 Método da Superposição Aplicado em
Vigas Estaticamente Indeterminadas
d) Declividade no apoio A:
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qL3 0,03398 ⋅ qL3
qL3
θA = −
+
= −0,00769 ⋅
24 EI
EI
EI
Aplicações
Aplicação 1: Sabendo que a viga AE é um perfil
laminado de aço S310x47,3, que q = 50kN/m, a = 1,5m
e E = 200GPa, determinar: (a) a declividade em B; (b) a
deflexão no centro C da viga.
Perfil S310x47,3 A = 6032mm2; Ix = 90,7x106mm4;
Iy = 3,9x106mm4
q
A
B
a
C
2a
D
E
a
Prof. Romel Dias Vanderlei
Aplicações
Aplicação 2: Para a viga em balanço com
carregamento mostrado, determine a declividade e a
deflexão nos pontos B e D.
q
A
B
Prof. Romel Dias Vanderlei
a
D
C
a
a
Aplicações
Aplicação 3: A viga em balanço tem seção circular
com diâmetro de 45mm e está submetida ao
carregamento mostrado. Determine a inclinação e a
deflexão nos pontos B e C. Considera E = 200GPa.
0,6kN
2,6kN/m
B
A
0,75m
C
0,25m
Prof. Romel Dias Vanderlei
Aplicações
Aplicação 4: Para o carregamento mostrado na figura,
sabendo-se que as vigas AC e BD têm mesma rigidez à
flexão, determine a reação em B.
10kN/m