AULA 28:
CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA:
Y
Y0
C(X0,Y0)
R
P(x,y)
X0
(X – X0)2 + (Y – Y0)2 = R2
X
EXERCÍCIOS DE CLASSE:
01- Determine o centro e o raio das circunferências:
a) (x + 8)2 + (y + 4)2 = 16
C(-8,-4 ) e R = 4
b) X2 + (y + 3)2 = 7
C(0,-3 ) e R = 7
c) (x – 8)2 + y2 = 25
C(8,0 ) e R = 5
d) X2 + y2 = 6
C(0,0) e R = 6
Observação: Equação Geral
Para se encontrar a equação geral da circunferência, basta
se desenvolver a equação reduzida.
02- Ache a equação geral da circunferência de centro C(4,-3) e raio R = 6.
Solução:
(x – 4)2 + (y + 3)2 = 36
x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 36 = 0
x2 + y2 – 8x + 6y – 11 = 0
03- Determine as coordenadas do centro das circunferências:
a) x2 + y2 – 8y + 2x -3 = 0
C( -1,4 )
b) x2 + y2 + 6y – 1 = 0
C( 0,-3 )
c) x2 + y2 – 5x – 2 = 0
C(
)
d) 4x2 + 4y2 + 12x – 16y = 0 (4)
x2 + y2 + 3x – 4y = 0
C(
)
04- Ache a equação geral da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R.
Solução:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2
x2 – 2x x0 + x02 + y2 – 2y y0 + y02 – R2 = 0
Colocando-se os termos constantes no final da
equação temos:
x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + x02 + y02 – R2 = 0
F
(x02 + y02 – R2) representara o termo independente
da equação geral da circunferência.
Fazendo-se x02 + y02 – R2 = F ⇒
x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + F = 0
Expressão do Raio:
Sabemos que x02 + y02 – R2 = F ⇒
x02 + y02 – F = R2 ⇒
Condição de Existência:
x02 + y02 – F > 0
05 – Determine o centro e o raio das circunferências:
a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0
Solução:
a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0
xo = 3
yo = -4
F = -11
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0 (3)
xo = 1
yo = -2
F=
06- (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem
centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseção
da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triângulo APQ.
Solução:
A(-5,1)
t: 4x -3y -2 = 0
P
Ponto de tangência da reta t com a circunferência.
Q
Ponto de interseção da reta t com o eixo Ox.
t: 4x -3y -2 = 0
P/ y = 0 ⇒ 4x = 2 ⇒
R = dist A(-5,1)
A(-5,1)
R=
P
4x – 3y – 2 = 0
Solução:
Equação da Circunferência:
A(-5,1)
R=5
⇒ 3x + 4y + 11 = 0
(x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
x2 +
10x + 25 +
⇒ 4y – 4 = - 3x - 15
y2
– 2y + 1 = 25
x2 + y2 + 10x – 2y + 1 = 0
Equação da reta r que passa pelo
centro A(-5,1) e é perpendicular à
reta t: 4x -3y -2 = 0 :
Cálculo do ponto P:
4x – 3y = 2
(4)
3x + 4y = -11
(3)
16x – 12y = 8
9x + 12y = -33
25x = -25 ⇒ x = -1
A(-5,1)
r
m=
y = -2
⇒ P(-1,-2)
Solução:
SAPQ ?
A(-5,1)
P(-1,-2)
07- (UFJF 2007) Considere a circunferência  : x2 + y2 -4x – 6y – 3 = 0 e
a reta r: x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
 e é perpendicular à reta r.
b) Determine a equação da circunferência concêntrica à circunferência 
e tangente à reta r.
Solução:
: x2 + y2 - 4x – 6y – 3 = 0
C(2,3)
C(2,3)
r: x + y = 0
R
t: passa pelo centro e é
perpendicular a r .
mr = -1 ⇒
t
mt = 1
(2,3)
R = dist (2,3)  r: x + y = 0
R=
m=1
x–2=y-3
x–y+1=0
’: circunferência concêntrica a  e
tangente a r.
C(2,3)
’
R=
(x – 2)2 + (y – 3)2 =
08 – (UNICAMP 2009) A circunferência de centro em (2,0) e
tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida
pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e
faz ângulo de 30º com o eixo x, conforme a figura a seguir.
y
P
C
30º
x
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
Solução:
C : x2 + y2 = 4 ⇒ O(0,0)
y
R=2

P
 : A(2,0) R = 2
C
2
o
30º
2
No
60º
A 1
H
APH :
x
AH = 1 (Cateto oposto a 30º)
PH =
(Cateto oposto a 60º)
⇒ P (3,
)
Solução:
∆OMA = ∆OAN (Equiláteros)
y
M
ST ⇒ Região tracejada é um
segmento circular.
C
2
o
60º
60º
2
H
2
A
2
N
S
ST = SSETOR – S∆OMN
x
Solução:
S = Área sombreada pedida
y
M
S = SCÍRCULO – 2 . ST
C
2
o
60º
60º
2
H
2
A
2
N
S
x
09- (FGV 2008) Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor
possível de x, e q é o maior valor possível de y, então 3p + 4q é igual a:
a) 73
b) 76
c) 85
d) 89
e) 92
Solução:
x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0
xo = 7
yo = 3
3p + 4q ?
3(15) + 4(11) = 45 + 44 = 89
10- (Fuvest 2008) A circunferência dada pela equação
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos
pontos A e B, conforme a figura.
N
B
C
M
A
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da
circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale:
a) π – 2
b) π + 2
c) π + 4
d) π + 6
e) π + 8
Solução:
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0
S = Área Pedida
=2
C(2,2)
S= S
S=
N
2
B
S=
C (2,2)
45º
2
45º
2
2
2
M
45º
2
A
ABC
+ S2 setores de 45º