ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
Dissertação
de
Mestrado
apresentada
ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Rio de Janeiro
Outubro de 2011
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.
________________________________________________
Prof. João Nazareno Nonato Quaresma, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 2011
Lage, Luciana Ferreira
Análise da Influência da Dependência em
Temperatura da Viscosidade na Convecção Forçada
com Nanofluidos/ Luciana Ferreira Lage. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XVII, 80 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Dissertação
(mestrado)
–
UFRJ/
COPPE/
Programa de Engenharia Mecânica, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 74-80.
1.
Convecção
forçada.
2.
Nanofluidos.
3.
Transformada integral. I. Cotta, Renato Machado et
al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.
Título.
Ao meu filho, Emanuel, por me mostrar a mais fascinante forma de Amar.
Ao meu marido, Carlos Erli, pela compreensão e apoio, o meu eterno amor.
Aos meus pais, José Manuel e Conceição, pelo estímulo dado
desde sempre, entrego a alegria desta conquista.
Ao meu irmão, Eduardo, pelo incentivo, o mais sincero afeto.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por sempre estar ao meu lado, principalmente nos
momentos mais difíceis, por ter sido Ele o grande responsável pela motivação
de sempre continuar lutando por tudo aquilo que acredito e por ter me dado a
oportunidade de conhecer pessoas tão especiais e brilhantes.
Ao meu filho Emanuel pela transformação em minha vida.
Ao meu marido Carlos Erli por nossa união e por todos os instantes
compartilhados, minha admiração e gratidão eternas.
Aos meus pais e ao meu irmão por todos os momentos de nossas vidas,
pelo apoio e ensinamentos que contribuíram para a realização deste sonho.
Ao Grande Mestre e Orientador Renato Machado Cotta pela confiança,
competência, paciência e conhecimento compartilhado, suas sugestões e
discussões foram indispensáveis para a realização desta conquista.
Ao Grande Mestre e Co-orientador João Nazareno Nonato Quaresma
pelo seu apoio, colaboração, compreensão e sugestões tornando possível a
realização deste trabalho.
Aos Meus Orientadores e aos Professores Antônio José da Silva Neto,
Carolina Palma Navieira Cotta e Helcio Rangel Barreto Orlande pela amizade e
pelo carinho.
A todos os meus amigos pelo companheirismo e força, em especial, à
Rayana Larissa Vasconcelos e à Vera Lúcia Pinheiro Santos Noronha.
À doutoranda Ivana Gabriela dos Santos Cerqueira pela colaboração.
A todos os citados e aos que involuntariamente tenham sido esquecidos,
do fundo do meu coração – Muito Obrigada.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA
VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Luciana Ferreira Lage
Outubro/2011
Orientadores: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Programa: Engenharia Mecânica
O termo nanofluido é comumente empregado para caracterizar suspensões de
nanopartículas de metais ou óxidos metálicos em líquidos normalmente utilizados
como fluidos térmicos, visando a intensificação da transferência de calor. Esta
dissertação analisa e avalia a influência da variação da viscosidade com a temperatura
no problema de convecção forçada interna de nanofluidos, em regime de escoamento
laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento
térmico no interior de tubos circulares, a partir de comparações entre resultados
teóricos e experimentais, próprios e disponíveis na literatura, das quantidades de
interesse prático como temperaturas de parede, temperaturas médias de mistura e
números de Nusselt. O modelo proposto admite a variação da viscosidade com a
temperatura na equação de momentum longitudinal simplificada, desprezando-se os
termos de inércia, a partir de um escoamento desenvolvido na entrada da seção
aquecida. O campo de velocidades então obtido desta formulação diferencial ordinária
é introduzido na equação de energia referente à região de entrada térmica ao longo do
duto. A metodologia aplicada na solução desta equação de energia não-linear consiste
vi
na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). Esta técnica híbrida
numérico-analítica propõe a expansão do campo de temperaturas no fluido em
autofunções ortogonais na direção transversal do duto e permite obter um sistema
transformado de equações diferenciais ordinárias na direção longitudinal, que é
resolvido numericamente através do uso da subrotina IVPAG da biblioteca IMSL, a
partir da implementação de um código computacional em Fortran 95. Os resultados
obtidos foram inicialmente verificados com outras implementações teóricas disponíveis
na literatura, para condições de contorno de temperatura e fluxo uniformes prescritos,
e subsequentemente validados com resultados experimentais obtidos no Laboratório
de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, para um
nanofluido comercial de água-óxido de silício.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF TEMPERATURE DEPENDENCY OF
THE VISCOSITY ON FORCED CONVECTION OF NANOFLUIDS
Luciana Ferreira Lage
October/2011
Advisors: Renato Machado Cotta
João Nazareno Nonato Quaresma
Department: Mechanical Engineering
The term nanofluid is commonly used to characterize suspensions of
nanoparticles of metals or metal oxides in liquids normally used as heat transfer fluids,
aiming at the intensification of heat transfer. This dissertation examines and evaluates
the influence of the viscosity with the temperature in the internal problem of forced
convection of nanofluids in laminar flow regime and incompressible, hydrodynamically
developed and developing heat inside circular tubes, based on comparisons between
theoretical results and experimental, fit and available in the literature, the quantities of
practical interest such as wall temperatures, average temperatures of mixing and
Nusselt numbers. The proposed model admits the change in viscosity with temperature
in the longitudinal momentum equation simplified by neglecting the terms of inertia,
from a developed flow at the entrance of the heated section. The velocity field obtained
then this formulation is introduced into the ordinary differential equation of energy on
the thermal entry region along the pipeline. The methodology applied in the solution of
energy equation is nonlinear in the Generalized Integral Transform Technique
(GITT). This hybrid numerical-technical analytics proposes expanding the field in the
fluid temperature in orthogonal eigenfunctions in the transverse direction of the pipeline
and allows for a transformed system of ordinary differential equations in the longitudinal
viii
direction, which is numerically solved by using the IMSL subroutine library IVPAG from
the implementation of a computer code in Fortran 95. The results were first checked
with other theoretical implementations available in the literature for boundary conditions
of prescribed uniform temperature and flow, and subsequently validated with
experimental results obtained at the Laboratório de Transmissão e Tecnologia de
Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, for nanofluid a commercial water-oxide silicon.
ix
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO...........................................................................
1
CAPÍTULO 2 - REVISÃO DA LITERATURA......................................................
5
2.1 – CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS......................................
5
2.2 – A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA............
11
CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE
SOLUÇÃO.........................................................................................................
13
3.1 – METODOLODIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO
GERAL................................................................................................................
13
3.2 – ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO
DE TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE..........................
22
3.2.1 - Metodologia de Solução..........................................................................
23
3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO
DE FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE.......................
26
3.3.1 - Metodologia de Solução..........................................................................
28
3.3.2 - Solução pelo Código UNIT (“Unified Integral Transforms”).....................
31
CAPÍTULO 4 - DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL .......................
36
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS E DISCUSSÃO..............................................
41
5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA...................................................................
41
5.1.1 – Análise da Convergência........................................................................
41
5.1.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([10] e [68])...............
46
5.2 - FLUXO PRESCRITO..................................................................................
51
5.2.1 – Análise da Convergência........................................................................
52
5.2.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([9] e [10]) ................
54
5.2.2.1 – Verificação da Importância dos Termos Convectivos na Formulação
do Problema para Fluxo Prescrito.......................................................................
56
5.2.3 – UNIT para Óleo Térmico LUBRAX OT-68-OF........................................
59
5.2.4 – Comparação com os Resultados Experimentais....................................
65
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES..........................................................................
72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................
74
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.2.1
Representação esquemática do problema de convecção
forçada em tubo circular para temperatura prescrita uniforme na
parede...........................................................................................
Figura 3.3.1
22
Representação esquemática do problema de convecção
forçada em tubo circular para fluxo de calor prescrito uniforme
na parede......................................................................................
26
Figura
Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de
4.1a,b
convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ)..........
37
Figura 4.2
Disposição esquemática do aparato experimental.......................
37
Figura 4.3
Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro)
(Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA)....................
Figura
Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura
5.1.2.1
prescrita e conforme Yang [10].....................................................
Figura
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
5.1.2.2
temperatura prescrita e ߛ=9,0 para ambas as formas de cálculo
e conforme referência [10]............................................................
Figura
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
5.1.2.3
temperatura prescrita e ߛ=-0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [10]................................................
Figura
Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da
5.1.2.4
temperatura prescrita e ߛ=-0,9 conforme referência [68].............
Figura
Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo
5.2.2.1
prescrito e l= -0,3 pela GITT e conforme referência [10].............
Figura
Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada
5.2.2.1.1
térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo
prescrito e l= 0,721295................................................................
Figura
Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico
5.2.3.1.a
(Re=2000, ∆Tb=20°C)..................................................................
Figura
5.2.3.1.b
Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo
(Re=2000, ∆Tb=20°C) ....................................................................
Figura
Distribuição
5.2.3.2.a
(Re=1200, ∆Tb=10°C) ...................................................................
Figura
Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo
5.2.3.2.b
(Re=1200, ∆Tb=10°C) ...................................................................
espacial
das
temperaturas
no
óleo
38
46
47
49
50
55
58
61
62
térmico
63
63
xi
Figura
Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em
5.2.3.3
diferentes posições...............................................................................
Figura
Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes
5.2.3.4
posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C
64
(pontos - presente simulação, linha continua - correlação de
Churchill & Ozoe)..................................................................................
Figura
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
5.2.4.1
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
65
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 1 –
SiO2 [75])...............................................................................................
Figura
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
5.2.4.2
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
70
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 7 –
SiO2 [75])...............................................................................................
Figura
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
5.2.4.3
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
70
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 9 –
SiO2 [75])...............................................................................................
Figura
Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
5.2.4.4
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as
71
propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 3 –
SiO2 [75])..............................................................................................
71
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1
Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante
Tabela
Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de
5.1.1.1
temperatura prescrita e ߛ=9,0....................................................
Tabela
Convergência da temperatura média no tubo para o caso de
5.1.1.2
temperatura prescrita e ߛ=9,0.....................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa)
5.1.1.3
para o caso de temperatura prescrita e ߛ=9,0.............................
Tabela
Convergência do número de Nusselt local (equação de energia)
5.1.1.4
para o caso de temperatura prescrita e ߛ=9,0.............................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
5.1.2.1
temperatura prescrita e ߛ=9,0 para ambas as formas de cálculo
e conforme referência [10]...........................................................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
5.1.2.2
temperatura prescrita e ߛ = -0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [68]................................................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local para o caso da
5.1.2.3
temperatura prescrita e ߛ = -0,9 para ambas as formas de
cálculo e conforme referência [10]................................................
Tabela
Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da
5.1.2.4
temperatura prescrita e ߛ = -0,9 conforme referência [68]............
Tabela
Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de
5.2.1.1
fluxo prescrito e ߣ= -0,3.................................................................
Tabela
Convergência da temperatura média no tubo para o caso de
5.2.1.2
fluxo prescrito e ߣ= -0,3...............................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo
5.2.1.3
prescrito e ߣ= -0,3........................................................................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo
5.2.2.1
prescrito e ߣ= -0,3 pela GITT e conforme referência [10].............
Tabela
Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso
5.2.2.2
de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e
conforme referência [9].................................................................
38
42
43
44
45
47
48
49
50
52
53
54
55
56
xiii
Tabela
Análise de convergência do número de Nusselt local para o
5.2.3.1
caso de viscosidade constante (l= 0) e comparação com
resultados de referência [9]..........................................................
Tabela
Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não
5.2.3.2
linear l= -0,3: Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina
dedicada e diferenças finitas [10].................................................
Tabela
Consolidação
5.2.4.1
experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as
de
parâmetros
relacionados
aos
60
60
casos
comparações................................................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios
5.2.4.2
considerando-se as propriedades constantes para a condição
de fluxo prescrito..........................................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios
5.2.4.3
considerando-se a viscosidade variável para a condição de
fluxo prescrito................................................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt médio para os dois
5.2.4.4
ensaios considerando-se as propriedades constantes para a
condição de fluxo prescrito..........................................................
Tabela
Convergência do número de Nusselt médio para os dois
5.2.4.5
ensaios considerando-se a viscosidade variável para a
condição de fluxo prescrito..........................................................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental
5.2.4.6
(medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo
prescrito.........................................................................................
Tabela
Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental
5.2.4.7
(medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo
prescrito........................................................................................
65
66
67
67
68
69
69
xiv
NOMENCLATURA
Letras Latinas
A
Coeficientes da expansão em autofunções
Bk
Operador linear da condição de contorno
d
Termo de dissipação linear
D
Diâmetro do tubo [m]
f
Distribuição inicial do potencial
g
Termo fonte
h
Coeficiente de transferência de calor [W/m2ºC]
k
Condutividade térmica [W/mºC]
L
Comprimento do tubo [m]
N
Norma (integral de normalização)
Nu
Número de Nusselt
NuZ
Número de Nusselt local
Nuav
Número de Nusselt médio
P
Termo fonte
qw
Fluxo de calor prescrito [W/m2]
Re
Número de Reynolds
t
Variável temporal
T
Temperatura [ºC]
Ti
Temperatura de entrada do canal [ºC]
Tw
Temperatura prescrita uniforme [ºC]
u
Velocidade do fluido [m/s]
uav
Velocidade média do fluido [m/s]
U
Velocidade adimensional
R
Coordenada radial adimensional
r
Coordenada radial dimensional
rw
Raio interno da parede do tubo
S
Superfície de contorno
V
Volume do meio
x
Coordenada espacial
Z
Coordenada axial adimensional
xv
z
Coordenada axial dimensional
w
Coeficiente do termo convectivo ou transiente
Letras Gregas
α
Difusividade térmica [m2/s]
αk
Coeficientes da condição de contorno
βk
Coeficientes da condição de contorno
φ
Termo fonte da condição de contorno
ߛ
Constante que relaciona a variação da viscosidade com a
temperatura definida na Eq. (3.2.b)
η
Coordenada radial do problema de Graetz
ϕ
Concentração volumétrica de nanopartículas
ߣ
Constante que relaciona a variação da viscosidade com a
temperatura definida na Eq. (3.13.b)
ߤ
Viscosidade dinâmica [m2/s]
ν
Viscosidade cinemática [m2/s]
θ
Temperatura adimensional
ξ
Coordenada axial do problema de Graetz
ψ
Autofunções
ζ
Autovalores
ζk
Autovalores do problema auxiliar
Subscrito
av
“average” - médio
i
inicial
f
índice que representa filtro
i
índice de autovalores e quantidades relacionadas
j
índice de autovalores e quantidades relacionadas
k
índice de autovalores e quantidades relacionadas
xvi
l
local
w
“wall” - parede
0
condição de entrada
Sobrescrito
-
Relativo a transformada
~
Relativo a autofunção normalizada
*
Relativo a solução homogênea
xvii
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O advento da nanotecnologia proporcionou grandes oportunidades na engenharia
moderna ao processar e produzir materiais com tamanho médio menor que 50 nm [1].
Dentre várias outras descobertas em diversos campos, Choi [1] reconheceu uma
oportunidade de se aplicar a nanotecnologia então emergente na engenharia térmica.
Em 1993, Choi propôs que partículas metálicas nanométricas, com tamanho médio
menor que 50 nm, fossem suspensas em fluidos de transferência de calor industriais,
como água, etileno glicol ou óleo, para produzir uma nova classe de fluidos projetados
com alta condutividade térmica. O autor deu a essa nova classe de fluidos o nome de
nanofluidos [2]. Experimentos subsequentes com nanofluidos indicaram aumentos
significativos na condutividade térmica, quando comparados com líquidos sem
nanopartículas ou partículas grandes [3], e variações significativas das propriedades
com a temperatura.
O nanofluido é uma suspensão de partículas ultrafinas em um fluido base
convencional que utilizado para melhorar as características de transferência de calor
do fluido original. Além disso, espera-se que os nanofluidos não sejam inviabilizados
em aplicações práticas, pelo aumento em perda de carga, apesar das nanopartículas
serem ultrafinas, aparentando comportamento como um fluido monofásico de uma
mistura sólido-líquido [4].
A fabricação de nanofluidos por processos simplificados com nanopartículas de
óxidos metálicos [5], tornou viável a extensão dessa tecnologia para diferentes
aplicações científicas e industriais.
A literatura científica já reporta algumas aplicações de nanofluidos diretamente
no setor de energia, como no caso de transformadores de energia elétrica [5] e em
sistemas híbridos de condicionamento de ar com desumidificação a partir de
dessecantes líquidos [6]. Entretanto, pode-se vislumbrar uma série de outras
possibilidades em processos e equipamentos de transferência de calor que afetam o
aumento da eficiência energética, como no caso da energia. Para tanto, é necessária
a consolidação da análise da variação das propriedades termofísicas com a
1
temperatura a fim de possibilitar a correta aplicação desses nanofluidos nos diferentes
sistemas de transferência de calor para que os equipamentos tenham a melhor
relação custo/benefício aliada ao desempenho e eficiência.
As pesquisas em transferência de calor convectiva utilizando suspensões de
partículas nanométricas sólidas em líquidos base começaram a apenas duas décadas.
As investigações recentes sobre nanofluidos indicam que as nanopartículas
suspensas ocasionam alterações nas propriedades de transporte e nas características
da transferência de calor da suspensão. Wang e Mujumdar [7] revisaram as recentes
pesquisas teóricas e investigações numéricas de várias propriedades térmicas e
aplicações de nanofluidos. Os mesmos autores também revisaram o comportamento
do escoamento e da transferência de calor de nanofluidos em situações de convecção
forçada e livre e as potenciais aplicações de nanofluidos [8].
Como a razão área superficial volume de partículas nanométricas é muito
maior que a de partículas de tamanhos convencionais (micropartículas), não só as
propriedades termofísicas podem ser melhoradas, mas também a estabilidade da
suspensão. Metais nanométricos podem ser apropriados para aplicações na qual o
fluido passa por pequenos orifícios, pois as nanopartículas metálicas são pequenas o
bastante para se comportarem como moléculas de líquidos. Dessa maneira, as
nanopartículas não obstruem os pequenos orifícios e melhoram a condutividade
térmica dos fluidos. Isso abriu a possibilidade de se usar nanopartículas mesmo em
microcanais para várias aplicações com altas taxas de transferência de calor [1].
O estudo teórico-experimental da convecção forçada com nanofluidos é um
assunto ainda pouco explorado, mas que despertou o interesse e a dedicação de
alguns pesquisadores devido à sua relevância. Até aqui, pode-se dizer que um dos
focos principais de pesquisa tem sido a análise teórica e experimental das
propriedades termofísicas inerentes ao nanofluido proposto.
O presente trabalho objetiva a comparação crítica entre modelos teóricos e
resultados experimentais, visando contribuir à avaliação da importância da variação
das propriedades termofisicas com a temperatura, no comportamento da convecção
forçada interna com nanofluidos.
Para
tanto,
desenvolveu-se
um
modelo
matemático e uma solução híbrida numérico-analítica baseada na Técnica da
Transformada Integral Generalizada para o problema de convecção forçada interna
com propriedades variáveis em tubos circulares. O código computacional construído
em Fortran 95 foi inicialmente verificado através de uma solução onde se considerou
as propriedades constantes e, em outra etapa, apenas com a viscosidade variável,
2
para comparação com os resultados disponíveis na literatura, nas referências [9] e
[10], respectivamente.
Além da análise dos resultados obtidos em relação aos já disponíveis na
literatura, realizou-se também uma comparação com os dados experimentais obtidos
recentemente no Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC,
Engenharia Mecânica, POLI & COPPE/UFRJ, objetivando consolidar os estudos
experimentais realizados com nanofluidos comerciais de água-sílica e evidenciar a
influência da viscosidade variável no comportamento da transferência de calor em
regime laminar.
Este trabalho faz parte de um projeto que vem sendo desenvolvido pela equipe
do LTTC, iniciado em 2006, com apoio do CENPES/Petrobras. Como parte dos
trabalhos já produzidos nesse esforço mais amplo, pode-se citar:
−
A medição de propriedades termofísicas de diferentes nanofluidos através de
técnicas experimentais e a comparação dos resultados experimentais com
modelos e correlações disponíveis na literatura para prever o aumento da
condutividade térmica de nanofluidos [11];
−
A análise experimental da convecção forçada com nanofluidos de alumina, em
diferentes frações volumétricas, no aumento da taxa de transferência de calor
no escoamento em regime laminar em tubos, para o problema de convecção
forçada interna [12];
−
A avaliação da intensificação térmica, através da simulação computacional, de
diferentes nanofluidos em tubos circulares para o problema da convecção
forçada turbulenta com propriedades constantes, ao longo da região de
desenvolvimento térmico [13];
−
A análise dos efeitos da intensificação térmica advindos da utilização de
nanofluidos comerciais de alumina e óxido de titânio dispersos em água, em
convecção forçada laminar em tubos circulares aquecidos eletricamente,
incluindo os efeitos de perdas de calor pelo isolamento térmico [14];
Este trabalho apresentará a análise da variação de propriedades termofísicas
com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de nanofluidos, no
regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e
em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares. Os tópicos a serem
explorados são os seguintes:
3
−
Simular a convecção forçada laminar para nanofluidos com variação da
viscosidade com a temperatura, considerando um modelo para a equação de
momentum na direção longitudinal que desconsidera os termos de inércia, a
partir de uma condição de entrada de escoamento desenvolvido, e avaliandose comparativamente com resultados de referência para o caso de viscosidade
constante;
−
Verificar a solução obtida com resultados teóricos disponíveis na literatura para
os casos de temperatura e fluxo de calor uniforme prescritos;
−
Validar o modelo e solução propostos com resultados experimentais
recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES para
nanofluidos comerciais de água-sílica.
De forma a elucidar os primeiros estudos para implementação do circuito
termohidráulico para altas temperaturas que será construído no LTTC, serão
analisados também neste trabalho uma simulação utilizando o código UNIT e
aplicando a metodologia de solução aqui descrita para o óleo térmico LUBRAX OT-68OF. Conforme realizado anteriormente, a formulação com o código UNIT será validada
a partir dos resultados deste trabalho.
Será apresentada a seguir uma revisão bibliográfica, com foco na análise da
variação de propriedades termofísicas com a temperatura para nanofluidos.
4
CAPÍTULO 2
REVISÃO DA LITERATURA
2.1 - CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS
Segundo Hwang et al. [15], em seu recente estudo, diversas nanopartículas, em
nanotubos de carbono de paredes múltiplas (MWCNT), como, por exemplo, fulereno,
óxido de cobre e dióxido de silício têm sido usados para produzir nanofluidos, cujos
líquidos bases mais utilizados foram água destilada, etileno glicol e óleo. Os autores
realizaram medidas da condutividade térmica e avaliaram a estabilidade do nanofluido
através do espectrofotômetro UV-vis. De acordo com suas análises, a condutividade
térmica do nanofluido aumenta com a fração de volume crescente de nanopartículas
exceto para o nanofluido à base de água e fulereno, pois este tem menor
condutividade térmica do que o fluido base. A estabilidade de nanofluido é fortemente
influenciada pelas características da interação entre o fluido base e as nanopartículas
suspensas, como por exemplo, pela morfologia das partículas, pela estrutura química
das partículas e o fluido base. Além disso, a adição de surfactante, SDS, pode
melhorar a estabilidade das suspensões. Em suma, a melhora da condutividade
térmica depende da fração de volume das partículas em suspensão, da condutividade
térmica das partículas e do fluido base.
Nguyen et al. [16] investigaram experimentalmente o comportamento e o
aumento da transferência de calor de um nanofluido com nanopartículas de alumina
(Al2O3) dispersas em água, fluindo dentro de um sistema fechado que é destinado à
refrigeração de microprocessadores e outros componentes eletrônicos. Os autores
obtiveram dados experimentais para o regime de escoamento turbulento, e tais
resultados mostraram que a inclusão das nanopartículas em água destilada, produziu
uma melhora no coeficiente de transferência de calor convectivo do bloco refrigerado.
Além disso, os autores atestaram que um aumento da concentração de partículas
produziu uma clara diminuição da temperatura do componente aquecido.
Kwak e Kim [17] estudaram a relação entre as propriedades reológicas de
nanofluidos de óxido de cobre (CuO) com partículas de 10-30 nm, em etileno glicol,
com o aumento da condutividade térmica. De acordo com os autores, a melhora
5
substancial da condutividade térmica é atingível somente quando a concentração de
partículas é inferior ao limite de solubilidade. O estudo também sugere que, para um
nanofluido ser eficiente, as partículas devem ter formato esférico para promover um
limite de diluição crítico alto.
Mintsa et al. [18] apresentaram medidas de condutividade térmica efetiva dos
nanofluidos de alumina/água e de óxido de cobre/água. Também investigaram os
efeitos da fração de volume das partículas, da temperatura e do tamanho das
partículas, através de experimentos com leituras à temperatura ambiente e variandose a temperatura para várias frações volumétricas de partículas. Segundo os autores,
o efeito global prevê um aumento efetivo da condutividade térmica com o aumento da
fração volumétrica de partículas e com uma diminuição no tamanho das partículas.
Além disso, ocorreu um aumento relativo da condutividade térmica que se mostrou
mais significativo em altas temperaturas.
Palm et al. [19] promoveram um estudo do escoamento radial em sistemas de
refrigeração,
incluindo
propriedades
dependentes
da
temperatura,
mais
especificamente, a viscosidade dinâmica e a condutividade térmica foram analisadas
para distribuições dependentes da temperatura com concentrações de nanopartículas
de 1% a 4%. Os resultados confirmaram que o uso de nanopartículas aumentou a
capacidade de transferência de calor para o escoamento radial do sistema de
arrefecimento, porém ocorreram aumentos similares para a tensão de cisalhamento na
parede. A inclusão da dependência da temperatura mostrou um aumento na taxa de
transferência de calor quando comparado com a análise sob uma propriedade
constante.
Namburu et al. [20] analisaram numericamente o escoamento turbulento e a
transferência de calor de três diferentes nanofluidos fabricados com óxido de cobre
(CuO), alumina (Al2O3) e óxido de silício (SiO2), em uma mistura de etileno glicol e
água que flui através de um tubo circular sob condição de fluxo de calor prescrito
constante. Os autores apresentaram uma revisão de novas correlações para a
viscosidade para até 10% em fração volumétrica para estes nanofluidos, como uma
função da fração volumétrica e da temperatura, que foram desenvolvidas a partir dos
experimentos. Conforme o estudo numérico realizado, todas as propriedades
termofísicas de nanofluidos dependem da temperatura. Além disso, verificou-se que
nanofluidos contendo nanopartículas de menor diâmetro apresentaram maior
viscosidade e maiores valores de números de Nusselt. Portanto, constatou-se que a
viscosidade de nanofluidos aumenta à medida que diminui o diâmetro da partícula. O
coeficiente de transferência de calor de nanofluidos aumenta com o aumento da
concentração volumétrica de nanopartículas e do número de Reynolds. A operação de
6
nanofluidos a temperaturas elevadas produz um maior aumento percentual na taxa de
transferência de calor. Já o número de Prandtl dos nanofluidos aumenta com a
diminuição da temperatura de operação, uma vez que a viscosidade desempenha um
papel dominante. Para a mesma concentração de nanopartículas a um dado número
de Reynolds, os nanofluidos de óxido de cobre obtiveram um desempenho superior no
que diz respeito à transferência de calor, seguidos pelo de alumina e do de óxido de
silício. A perda de carga aumenta com o aumento na fração volumétrica de partículas
dos nanofluidos.
Cotta et al. [21] investigaram aspectos da modelagem e simulação em
convecção forçada laminar relacionada com a melhoria da eficiência energética pelo
aumento da transferência de calor no escoamento laminar em dutos. Três linhas de
pesquisa complementares foram exploradas, considerando-se a modificação do fluido
base com a dispersão de nanopartículas de óxido metálico (nanofluidos), a análise
conjugada dos efeitos de transferência de calor em microcanais e o estudo do
aumento de transferência de calor em dutos de parede ondulada na microescala.
Segundo os autores, foi observado que a dependência da temperatura com a
condutividade térmica e com a viscosidade desempenham algum papel na previsão do
comportamento convectivo dos nanofluidos, mas, além disso, é necessário levar em
consideração as variações da concentração de nanopartículas nos fluidos ao longo da
operação dos equipamentos de troca de calor.
Mansour et al. [22] pesquisaram o efeito das incertezas nos valores das
propriedades físicas da dispersão de água com alumina gama (γ-Al2O3), sobre o seu
desempenho termohidráulico para convecção forçada com escoamento plenamente
desenvolvido, laminar e turbulento, em um tubo com fluxo de calor prescrito uniforme.
Os autores analisaram dois tipos de problemas: a substituição de um fluido simples
por um nanofluido em uma determinada instalação e o projeto de uma instalação
elementar de transferência de calor. Segundo eles, as condições operacionais e os
parâmetros de projeto variam de forma significativa com as propriedades termofísicas
do nanofluido. No entanto, visto que, os efeitos de certas características do nanofluido,
tais como, o tamanho médio das partículas e a distribuição espacial de nanopartículas,
sobre estas propriedades não são atualmente conhecidas com precisão, é muito difícil
concluir sobre as vantagens estimadas dos nanofluidos sobre fluidos de transferência
de calor convencionais.
Yang [10] obteve soluções analíticas para convecção laminar forçada de
líquidos escoando em tubos circulares com viscosidade dependente da temperatura
7
para duas condições de contorno: temperatura prescrita na parede do tubo e fluxo de
calor na parede prescrito e uniforme. A acurácia deste procedimento analítico foi
demonstrada através da comparação com resultados obtidos para problemas
isotérmicos cuja solução exata era possível.
Ferrouillat et al. [23] investigaram experimentalmente a transferência de calor
convectiva de suspensões coloidais SiO2/água (5-34 wt.%) em um circuito com uma
seção de testes de tubo horizontal cuja temperatura da parede foi imposta.
Experimentos foram realizados em diferentes temperaturas de entrada (20, 50, 70 °C)
no resfriamento e / ou nas condições de aquecimento para várias vazões (200 <Re
<10000). Os resultados indicaram que utilizando-se o nanofluido, os valores dos
coeficientes de transferência de calor aumentaram entre 10% a 60% em comparação
com aqueles de água pura. Eles também mostraram que a tendência geral dos
padrões das correlações foram respeitados.
Escher et al. [24] apresentaram uma caracterização sistemática de suspensões
de nanopartículas de sílica em água até uma concentração volumétrica de 31%. Eles
determinaram a morfologia das nanopartículas através de imagens microscópicas e a
condição da dispersão pelas medidas dos dispersantes. Também obtiveram medidas
experimentais das propriedades termofísicas dos fluidos, a saber, calor específico,
densidade, condutividade térmica e viscosidade dinâmica. O número de Nusselt foi
extraído dos resultados experimentais e comparados com as previsões teóricas,
considerando-se as propriedades da mistura. Através destas análises eles
demonstraram um desvio menor que 10%. Concluíram que as correlações usuais
podem ser utilizadas para estimar a transferência de calor por convecção dos
nanofluidos. Também variaram as propriedades termofísicas individualmente no
circuito refrigerante e estudaram estes impactos na performance da transferência de
calor no canal submerso. Eles demonstraram que o aumento da condutividade térmica
relativa deve ser maior que o aumento da viscosidade relativa a fim de conseguir um
considerável benifício na performance. Além disso, eles mostraram que é preferível
aumentar o calor específico volumétrico do nanofluido do que aumentar a
condutividade térmica.
Heidary e Kermani [25] estudaram numericamente a transferência de calor e o
campo do escoamento no microcanal de parede ondulada. A temperatura do fluido de
entrada introduzido no canal era menor que a temperatura da parede. O sistema de
equações governantes foi resolvido numericamente no domínio através de uma
aproximação por um volume de controle baseado na técnica SIMPLE. O nanofluido
considerado na simulação é uma mistura de cobre e água. Um amplo espectro de
8
simulações foram realizadas com um intervalo de Reynolds entre 5 e 1500, com fração
volumétrica do nanofluido entre 0 e 20% e amplitude da onda entre 0 e 0,3. Os efeitos
desses parâmetros foram investigados através dos números de Nusselt local e médio
e do fator de fricção. Os autores concluíram que a transferência de calor nos canais
pode aumentar em 50% pela adição das nanopartículas e utilizando-se a parede
horizontal ondulada.
Anoop et al. [26] investigaram experimentalmente as características da
transferência de calor por convecção forçada em um duto com escoamento em
desenvolvimento e com fluxo de calor constante, realizado com nanofluido aluminaágua. O objetivo principal era avaliar o efeito do tamanho das nanopartículas na
transferência de calor por convecção na região de escoamento laminar. Foram
utilizadas nos experimentos duas nanopartículas, uma com média menor que 45 nm e
outra com aproximadamente 150 nm. Os autores observaram que ambos os
nanofluidos mostraram alta capacidade de transferência de calor comparando-se com
o fluido base e o nanofluido com as nanopartículas de menor tamanho apresentou
maior coeficiente de transferência de calor que o nanofluido com nanopartículas de
150 nm. Eles também notaram que na região em desenvolvimento, os coeficientes de
transferência de calor mostraram-se maiores
que na região de escoamento
completamente desenvolvido.
Kakaç e Pramuanjaroenkij [27] revisaram e resumiram as mais importantes
publicações sobre a intensificação da transferência de calor por convecção forçada
com nanofluidos. Este levantamento mostrou que os nanofluidos melhoram
significativamente a capacidade de transferência de calor em comparação com a
utilização dos fluidos convecionais, tais como óleo e água com nanopartículas
suspensas nestes fluidos base. Adicionalmente, modelos teóricos e trabalhos
experimentais sobre condutividade térmica efetiva e difusividade aparente são
necessários para demonstrar o completo potencial dos nanofluidos para a melhoria da
convecção forçada.
Vajjha e Das [28] investigaram experimentalmente, através da determinação da
condutividade térmica, três nanofluidos contendo óxido de alumínio, óxido de cobre e
óxido de zinco em nanopartículas dispersas no fluido base feito de uma mistura de
etileno glicol e água, na proporção (em massa) de 60 para 40. A concentração
volumétrica de nanopartículas dos nanofluidos testados foram de até 10% e o intervalo
de temperatura nos experimentos foi de 298 a 363K. O resultados mostraram um
aumento na condutividade térmica dos nanofluidos comparados com o fluido base
bem como com o aumento da concentração volumétrica das nanopartículas. A
9
condutividade térmica também aumenta substancialmente com o aumento da
temperatura. Os autores compararam vários modelos existentes para estimar a
condutividade térmica com dados experimentais obtidos para estes nanofluidos, no
entato eles não mostraram boa concordância. Logo, um modelo foi desenvolvido, o
qual tratava-se de um refinamento de um modelo já existente e que incorporava o
modelo clássico de Maxwell e o efeito do movimento Browniano para representar a
condutividade térmica de nanofluidos como função da temperatura, da concentração
volumétrica das nanopartículas, das propriedades das nanopartículas e do fluido base,
o qual concorda com os dados experimentais.
Mirmasoumi e Behzadmehr [29] estudaram numericamente a convecção mista
em regime laminar de um nanofluido de água e Al2O3 em um duto horizontal. Um
modelo para mistura bifásica foi empregado para investigar o comportamento térmico
e hidrodinâmico do nanofluido para uma elevada gama de números de Grashof e
Reynolds. As comparações com trabalhos de análises experimentais e numéricas para
convecção mista em dutos horizontais ofereceram boa concordância entre os
resultados. Foram apresentados os parâmetros térmicos e hidrodinâmicos, para um
determinado diâmetro de nanopartículas, em relação ao efeito da fração volumétrica
de nanopartículas. Os resultados mostraram que na região de escoamento
completamente desenvolvido a concentração de nanopartículas não influencia
significativamente os parâmetros hidrodinâmicos. No entanto, os efeitos sobre os
parâmetros térmicos foram relevantes. A concentração das nanopartículas é maior na
parte inferior do duto e próxima à parede.
Raisee e Moghaddami [30] examinaram os efeitos da melhora da transferência
de calor por convecção forçada a partir da adição de nanopartículas metálicas de
alumina gama (γ-Al2O3) na água no escoamento em duto circular avaliando-se,
conforme o caso, duas condições de contorno distintas, ou seja, temperatura na
parede constante ou fluxo de calor na parede uniforme. Dois modelos de nanofluidos
foram utilizados nas simulações. O primeiro modelo (simpler model) foi desenvolvido
por Maiga et al. [31], enquanto o segundo modelo, o qual considerou-se o movimento
Browniano das nanopartículas, foi proposto por Koo e Kleinstreuer [32] baseados nos
dados experimentais de Das et al. [33]. Os resultados foram obtidos utilizando-se um
código de volumes finitos bidimensionais. O campo de pressões foi obtido através do
algoritmo SIMPLE. O fluxo advectivo do volume de controle foi aproximado utilizandose o esquema QUICK. As comparações entre os resultados obtidos numericamente e
os dados experimentais de Zeinali et al. [34] mostraram que o segundo modelo previa
com maior confiabilidade os níveis de transferência de calor. Além disso, o primeiro
10
modelo também apresentava maior perda de carga que o segundo. Como esperado, a
adição de nanopartículas melhora a transferência de calor. Segundo os autores, a
menor melhora da transferência de calor foi de aproximadamente 10% para uma
fração volumétrica de nanopartículas 1%, enquanto que a maior ficou em torno de
30%, considerando-se uma fração de 4%. Eles também concluíram que a utilização de
nanofluidos produz uma melhora mais significante para menores números de
Reynolds.
Chen et al. [35] realizaram experimentos para investigar a condutividade
térmica efetiva, o comportamento reológico e a transferência de calor por convecção
forçada com nanofluidos. Nanotubos de titânio foram sintetizados, caracterizados e
preenchidos com água para formar nanofluidos estáveis na proporção de 0.5, 1.0 e
2.5 (wt.%) dos nanotubos. Os resultados mostraram uma pequena melhora da
condutividade térmica em torno de 3% em 25ºC e aproximadamente 5% para 40ºC,
considerando-se o nanofluido de (2.5 wt.%). Os nanofluidos encontrados eram fluidos
não-Newtonianos com comportamento pseudoplástico, ou seja, a viscosidade diminuiu
com o aumento da tensão de cisalhamento para baixas taxas de cisalhamento. Apesar
da pequena melhora em relação a condutividade térmica, segundo os autores,
observou-se uma excelente melhora do coeficiente de transferência de calor por
convecção. Conforme os autores, comparando-se com nanofluidos contendo
nanopartículas esféricas de TiO2 sob condições similares, constatou-se que a melhora
de ambos os parâmetros (condutividade térmica e coeficiente de transferência de calor
por convecção) em relação ao nanofluido do nanotubo de titânio foi consideravelmente
maior; indicando, inclusive, o papel primordial que o formato da nanopartícula exerce
na melhora da transferência de calor.
2.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA
Métodos numéricos discretos para formulações diferenciais parciais em convecçãodifusão pertencem hoje em dia ao trabalho rotineiro dos engenheiros térmicos
envolvidos em tarefas de projeto e desenvolvimento, e não são mais restritos aos
ambientes de pesquisa científica. Os diferentes métodos e enfoques estão fartamente
discutidos em livros texto e de referência [36] e muitos estão disponíveis na forma de
aplicativos comerciais. No entanto, e não apenas por curiosidade científica, existe
ainda uma forte motivação para a otimização das técnicas já existentes, bem como,
para o desenvolvimento de novas técnicas de simulação que se beneficiem dos
progressos mais recentes em análise numérica e computação mista simbólicanumérica.
11
Nesse contexto, técnicas de solução para equações diferenciais parciais que
exploram a base de conhecimento em métodos analíticos e se apoiam em plataformas
de computação simbólica, têm chamado muita atenção da comunidade científica e
oferecido algumas vantagens sobre as técnicas numéricas clássicas em diversas
aplicações. Dentro desta ampla frente de pesquisa pode-se situar os avanços na
Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) [37-42], empregada na solução
híbrida numérico-analítica de problemas de convecção-difusão ao longo de cerca de
30 anos. Neste caso, a ênfase é a extensão do método clássico de transformação
integral para tratar problemas não transformáveis a priori, permitindo flexibilidade
suficiente para tratar mesmo problemas com coeficientes não lineares nas
formulações [43-50]. Várias classes de problemas em transferência de calor e em
mecânica dos fluidos foram tratados pela GITT, incluindo formulações baseadas nas
equações de camada limite e de Navier-Stokes para escoamentos externos, em
cavidades e canais, aqui revisados apenas para escoamentos em dutos em função do
interesse mais próximo da presente aplicação [51-67]. No entanto, apenas em
algumas poucas situações [59-60] a natureza totalmente não linear dessas equações
foi tratada, incluindo-se não apenas os termos convectivos não lineares usuais, mas
também a variação das propriedades físicas com a temperatura em particular.
Segundo Oliveira Filho et al. [68] a variação da viscosidade com relação a
temperatura do fluido influencia fortemente os perfis de velocidade e de temperatura e,
às vezes, apresentam desvios significativos no problema típico de propriedades
constantes. Um dos pesquisadores pioneiros na indentificação desta característica foi
Yang [10] e em reconhecer estas diferenças no estudo da convecção forçada laminar
de líquidos com dependência da viscosidade em temperatura [68]. Objetivando
explorar mais profundamente o problema da convecção forçada interna nas situações
onde a variação da viscosidade com a temperatura é levada em consideração, os
autores, também aplicaram a GITT para a formulação apresentada por Yang [10], no
entanto, o trabalho consistiu somente na análise do caso da temperatura prescrita na
parede. Embora estes autores tenham utilizado a mesma metodologia proposta neste
trabalho, a formulação aqui empregada é distinta e mais abrangente pois contempla
ambos os casos abordados por Yang [10]. Contudo, faremos aqui uma comparação
entre os resultados obtidos nestas publicações e àqueles apresentados neste trabalho.
Esta análise é bastante enriquecedora dadas as similaridades entre as metodologias
face às diferenças nas formulações.
12
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
A solução da formulação matemática adimensional do problema de convecção forçada
laminar em tubo circular considerado neste trabalho, baseou-se na Técnica da
Transformada Integral Generalizada (GITT). A Técnica da Transformada Integral
Generalizada foi introduzida por Özisik e Murray [69] e Mikhailov [70], a partir da
Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT), desenvolvida entre outros por
Mikhailov & Özisik [71], a fim de possibilitar a solução analítica de um maior número de
problemas de engenharia. Nesta técnica aplica-se o operador de transformação
integral
no
sistema
diferencial
parcial
mesmo
que
contendo
termos
não
transformáveis, ao contrário do procedimento aplicando-se a CITT. Dependendo da
classe do problema e da rigidez das EDOs (Equações Diferencias Ordinárias), podese resolver estes problemas através da solução analítica aproximada ou empregandose uma solução híbrida numérico-analítica.
3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL
Na presente seção apresenta-se um procedimento de tranformação integral geral que
evita a construção de um sistema transformado com acoplamento do termo transiente
a partir de uma matriz de coeficientes não linear, que exigiria tediosas inversões ao
longo do processo de integração do sistema diferencial ordinário para o campo
transformado. Assim, uma formulação do problema original é preferida, trazendo
vantagens na computação dos potenciais transformados.
Para permitir uma análise acurada dos modelos teóricos de convecção forçada
de nanofluidos a serem aqui considerados, foi proposta uma extensão da Técnica da
Transformada Integral Generalizada (GITT) para tratar de forma unificada formulações
bem gerais não lineares de convecção-difusão, em que se permitem coeficientes
dependentes da temperatura em cada termo da equação de energia e das condições
de contorno. A metodologia híbrida numérico-analítica proposta é aplicável tanto a
situações em regime permanente quanto transiente, e o processo de transformação
integral é promovido de forma a se obter um sistema transformado explícito, evitandose assim permitir coeficientes não lineares no termo transiente (ou variável espacial
13
equivalente), e com isso reduzir o custo computacional na solução numérica do
sistema transformado a partir de rotinas de solução de problemas de valor inicial. Para
demonstrar os passos da técnica de solução, considera-se uma formulação
suficientemente geral de convecção-difusão, que inclui os problemas não lineares em
convecção de calor interna de interesse no presente estudo. Um conjunto de
potenciais, Tk ( x , t ) , k , l = 1, 2, …, M , dependentes da posição x e do tempo t (ou
variável espacial equivalente) como temperatura, concentrações, componentes de
velocidade, pressão, etc., encontra-se definido na região V com superfície de contorno
S , e obedece a seguinte formulação com coeficientes não lineares em todos os
coeficientes da equação e das condições de contorno:
wk* ( x ,Tl )
∂Tk ( x , t )
∂t
d
*
k
+ u ( x , t ,Tl ) ⋅∇Tk ( x , t ) = ∇ ⋅ kk* ( x , t ,Tl ) ∇Tk ( x , t ) −
( x, t ,Tl ) Tk ( x, t ) + P ( x, t ,Tl ) ,
*
k
(3.1.a)
x ∈V , t > 0, k , l = 1, 2, …, M
com condições iniciais e de contorno
Tk ( x , t ) = f k ( x ) ,
(3.1.b)
x ∈V
α k* ( x , t ,Tl ) Tk ( x, t ) + β k* ( x, t ,Tl ) kk* ( x, t ,Tl )
∂Tk ( x , t )
= φk* ( x , t ,Tl ) ,
∂n
x∈S
(3.1.c)
O procedimento híbrido baseado em transformação integral se inicia com a
proposição de uma solução formal em termos de uma expansão em autofunções para
os potenciais desejados,
Tk ( x, t ) , com os coeficientes dependentes de t
correspondentes a ser determinados:
∞
Tk ( x , t ) = ∑Ak ,i ( t )ψ k ,i ( x )
(3.2)
i =1
onde
as
autofunções,ψ k ,i ( x ) ,
são obtidas
de um
problema
de autovalor
representativo que contém tanta informação quanto possível do problema original, na
forma:
∇ ⋅ kk* ( x ) ∇ψ k ,i ( x ) + (ζ k2,i wk ( x ) − d k ( x ) )ψ k ,i ( x ) = 0,
α k ( x ) ψk ,i ( x ) + β k ( x ) kk ( x )
∂ψ k ,i ( x )
∂n
= 0,
x∈S
x ∈V , t > 0
(3.3.a)
(3.3.b)
14
Os coeficientes wk ( x ) , kk ( x ) , d k ( x ) , α k ( x ) e β k ( x ) do problema auxiliar (3.3)
são esperados incluir informações relacionadas aos coeficientes não lineares originais
das Eqs. (3.1). Note que o termo convectivo na Eq. (3.1.a) não foi representado no
problema auxiliar (3.3), uma vez que assim resultaria um problema de autovalor não
auto-adjunto.
Embora esta situação tenha sido considerada com alguma vantagem na
literatura de GITT, pelo objetivo de unificação da presente solução, somente
problemas de Sturm-Liouville de comportamento espectral bem estabelecido serão
aqui considerados.
Assim,
o problema (3.3)
oferece uma propriedade de
ortogonalidade das autofunções que é muito relevante na aplicação desta
metodologia, a qual é escrita como:
∫w ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) dv = δ
k
k ,i
k,j
i, j
(3.4.a)
N k,i
V
onde o delta de Kronecker δi, j é igual a 1 para i = j ou 0 para i ≠ j e N k ,i são as
integrais de normalização que são calculadas por:
N k,i = ∫wk ( x ) ψ k,i2 ( x ) dv
(3.4.b)
V
Com ajuda da Eq. (3.4.a), pode-se operar na expansão proposta, Eq. (3.2),
∫
com o operador integral wk ( x ) ψ k,i ( x ) _dv , para obter os coeficientes da expansão:
V
*
Ak,j
(t) =
1
wk ( x ) ψk,j ( x )Tk ( x ,t ) dv
N k,j V∫
(3.5)
Uma vez que todos os termos da soma infinita da Eq. (3.2) são anulados,
exceto aquele para o qual i = j . Então, as Eqs. (3.2) e (3.5) fornecem o par de
fórmulas
de transformação
integral,
chamadas
de transformada
e
inversa,
respectivamente:
Tk ,i (t) = ∫wk ( x ) ψ k,i ( x )Tk ( x , t ) dv ,
transformada
(3.6.a)
V
∞
Tk ( x , t ) = ∑ ψ k ,i ( x ) Tk ,i (t) ,
inversa
(3.6.b)
i =1
15
Nas Eqs. (3.6.a,b) acima adotou-se uma autofunção normalizada, repartindo a
contribuição da norma entre as duas fórmulas, transformada e inversa, na forma:
ψ k,i ( x ) =
ψ k,i ( x )
(3.6.c)
N k,i
O próximo passo na GITT é então a transformação integral das Eqs. (3.1.a)
fazendo uso do par transformada-inversa definido acima. O procedimento tradicional
envolveria a operação de transformação integral, com ajuda da fórmula da
transformada, Eq. (3.6.b), em ambos os lados da Eq. (3.1.a), o que para essa
formulação totalmente não linear resultaria em uma matriz de coeficientes não lineares
no lado esquerdo do sistema transformado, devido à natureza não linear do coeficiente
do termo transiente no problema original,
w*k ( x ,Tl ) . Sob o ponto de vista
computacional, essa formulação explícita não linear iria requerer que a matriz de
acoplamento fosse invertida diversas vezes ao longo do processo de integração
numérica do sistema transformado, como inerente aos procedimentos das rotinas de
solução de problemas de valor inicial, resultando em custos computacionais
consideráveis. Entretanto, antes de prosseguir nesse caminho, mostra-se vantajoso
reescrever a formulação do problema de forma a oferecer uma transformação linear
explícita para a transformação integral do termo transiente. Como o resultado final da
transformação integral será a construção de um problema de valor inicial para se obter
os potenciais transformados, Tk,i (t) , é sem dúvida mais interessante para o algoritmo
de solução numérica dessas equações diferenciais ordinárias, lidar com um sistema
explícito e linear no operador transiente, evitando-se assim inversões da matriz não
linear que seria usualmente obtida. Desta forma, o coeficiente do termo transiente
pode ser reescrito na forma:
w*k ( x ,Tl )= wk ( x )
w*k ( x ,Tl )
= wk ( x ) Ck−1( x ,t,Tl )
wk ( x )
(3.7)
Que resulta na seguinte versão da equação (3.1a):
wk ( x )
∂Tk ( x , t )
∂t
= Ck ( x , t ,Tl ) [∇ ⋅ kk* ( x , t ,Tl ) ∇Tk ( x , t ) − d k* ( x , t ,Tl ) Tk ( x, t )
− u ( x , t ,Tl ) ⋅∇Tk ( x , t ) + Pk* ( x , t ,Tl )], x ∈V , t > 0
(3.8)
16
,ou simplesmente:
wk ( x )
∂Tk ( x , t )
∂t
= H k ( x , t ,Tl )
(3.9.a)
t > 0, l , k = 1, 2,..., M
onde:
H k ( x , t ,Tl ) = Ck ( x , t ,Tl ) [∇ ⋅ kk* ( x , t ,Tl ) ∇Tk ( x , t ) − d k* ( x , t ,Tl ) Tk ( x, t )
− u ( x , t ,Tl ) ⋅∇Tk ( x , t ) + Pk* ( x , t ,Tl )]
(3.9.b)
com as condições iniciais dadas pelas equações (3.1.b) e condições de contorno
também reescritas na forma:
α k ( x ) Tk ( x, t ) + β k ( x ) kk ( x )
∂Tk ( x , t )
∂n
= φk ( x , t ,Tl ) ,
x∈S
(3.9.c)
onde:
φk ( x, t ,Tl ) = φk* ( x , t ,Tl ) + α k ( x ) − α k* ( x, t ,Tl )  Tk ( x, t ) +
 β k ( x ) kk ( x ) − β
*
k
( x, t ,Tl )
∂T ( x, t )
k ( x, t ,Tl )  k
∂n
(3.9.d)
*
k
O processo de transformação integral é então realizado operando-se a
∫
equação (3.9.a) com o operador ψ k,i ( x ) _dv , para obter:
V
dTk ,i ( t )
dt
= ∫ψ k,i ( x ) H k ( x, t ,Tl ) dv, t > 0,i = 1,2,...
(3.10.a)
V
A princípio, a integração direta do lado direito da eq. (3.10.a) forneceria um
vetor, a partir da substituição da fórmula da inversa, eq. (3.6.a), nos termos nãolineares, que no entanto não traria nenhuma informação sobre os termos fonte da
condição de contorno, φk ( x , t ,Tl ) . Assim, para levar em conta a contribuição da
condição de contorno, primeiro dividimos o lado direito da equação acima em dois
termos, como se segue:
17
dTk ,i ( t )
dt
= ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x , t ,Tl ) ∇ ⋅ kk* ( x , t ,Tl ) ∇Tk ( x , t ) dv +
V
(3.10.b)
∫ψ ( x ) C ( x,t ,T )  P ( x, t,T ) − d ( x,t ,T ) T ( x, t ) − u ( x, t,T ) ⋅ ∇T ( x, t ) dv
k,i
k
*
k
l
*
k
l
l
k
l
k
V
O primeiro termo no lado direito pode ser avaliado empregando-se a 2ª fórmula
de Green, para obter-se:
∫ψ ( x ) C ( x, t ,T ) ∇ ⋅ k ( x, t ,T ) ∇T ( x, t ) dv = ∫T ( x, t ) ∇ ⋅ k ( x, t,T ) ∇ ψ ( x ) C ( x, t ,T ) dv +
k,i
k
*
k
l
l
k
V
k
*
k
l
k,i
k
l
V

∂ ψ k,i ( x ) Ck ( x, t ,Tl )  
∂Tk ( x , t )
*
k
x
,
t
,
T
ψ
x
C
x
,
t
,
T
−
T
x
,
t
(
)
(
)
(
)
(
)

 ds
k
l
k,i
k
l
k
∫S
∂n
∂n


(3.10.c)
ou,
∫ψ ( x ) C ( x, t ,T ) ∇ ⋅ k ( x, t ,T ) ∇T ( x, t ) dv = ∫T ( x, t ) ∇ ⋅ k ψ
k,i
k
*
k
l
l
V
k
k
*
k
k,i
∇Ck + ∇ ⋅ kk*Ck ∇ψ k,i  dv +
V



∫k ( x, t,T ) C ( x, t,T ) ψ ( x )
*
k
l
S

k
l
k,i
∂Tk ( x , t )
∂ψ ( x ) 
∂Ck ( x, t ,Tl ) 
− Tk ( x , t ) k,i
 ds
 − Tk ( x , t ) ψ k,i ( x )
∂n
∂n 
∂n

(3.10.d)
Desta forma, o sistema transformado pode ser escrito na forma sintética
abaixo:
dTk ,i ( t )
dt
= hk ,i ( t , Tl , j ) ,
(
onde o vetor hk ,i t , Tl , j
t > 0, k = 1, 2,..., M , i = 1, 2,...
(3.11.a)
) é formado pelas seguintes contribuições:
hk ,i ( t , Tl , j ) = h k*,i ( t , Tl , j ) + qk ,i ( t , Tl , j ) + g k ,i ( t , Tl , j )
(3.11.b)
com,
h k*,i ( t , Tl , j ) = ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x , t ,Tl )  Pk* ( x , t ,Tl ) − d k* ( x , t ,Tl ) Tk ( x , t ) − u ( x , t ,Tl ) ⋅∇Tk ( x, t )  dv
V
(3.11.c)
18
qk ,i ( t , Tl , j ) = ∫Tk ( x , t ) ∇ ⋅ kk*ψ k,i∇Ck + ∇ ⋅ kk*Ck ∇ψ k,i  dv
(3.11.d)
V


∂Tk ( x , t )
∂ψ ( x )  
− Tk ( x , t ) k,i
Ck ( x , t ,Tl ) ψ k,i ( x )

∂n
∂n  

*

g k ,i ( t , Tl , j ) = ∫kk ( x , t ,Tl ) 
 ds
S
∂Ck ( x , t ,Tl )


−Tk ( x , t ) ψ k,i ( x )

∂n


(3.11.e)
O vetor de coeficientes contendo a contribuição do divergente da autofunção
pode também ser reescrito de forma mais conveniente para fins computacionais como:
qk ,i ( t , Tl , j ) = ∫Tk ( x , t ) ∇ ⋅ kk*∇Ck + ∇kk* ⋅ ∇Ck  ψ k,i dv +
V
∫T ( x, t )( 2γ
k
k
(3.11.f)
∇Ck + Ck ∇γ k ) ⋅ ( kk ∇ψ k,i ) dv + ∫Tk ( x , t ) γ k Ck ∇ ⋅ ( kk ∇ψ k,i ) dv
V
V
O problema de autovalor, eq.(3.3.a), pode ser empregado para simplificar mais
esse vetor, fornecendo:
qk ,i ( t , Tl , j ) = ∫Tk ( x , t ) ∇ ⋅ kk*∇Ck + ∇kk* ⋅ ∇Ck + γ k Ck d k  ψ k,i ( x ) dv +
V
∫T ( x, t )( 2γ
k
k
∇Ck + Ck ∇γ k ) ⋅ ( kk ∇ψ k,i ( x ) ) dv − ζ
V
(3.11.g)
2
i
∫T ( x, t ) γ
k
k
Ck wk ∇ψ k,i ( x ) dv
V
onde,
γ k ( x, t , Tl ) =
kk* ( x, t , Tl )
kk ( x )
(3.11.h)
A contribuição do termo fonte do contorno pode ser reescrita explicitamente
manipulando-se as duas condições de contorno, do problema original e do problema
auxiliar, eqs.(3.9.d) and (3.3.b), respectivamente, obtendo-se:

∂ψ k,i ( x ) 
 ψ k,i ( x ) − kk ( x )

∂n  ds
g k ,i ( t , Tl , j ) = ∫γ k Ckφk ( x , t ,Tl ) 
α k ( x ) + βk ( x )


S


∂C ( x , t ,Tl )
− ∫kk* ( x , t ,Tl ) Tk ( x , t ) ψ k,i ( x ) k
ds
∂n
S
(3.11.i)
19
Embora formal e exata, a manipulação acima para levar em conta os termos
fonte da condição de contorno introduz complexidade adicional à solução ao requerer
a avaliação de derivadas
dos
coeficientes não-lineares,
como
Ck ( x, t ,Tl ) .
Alternativamente, pode-se preferir um procedimento mais direto de incluir a
contribuição do contorno, como agora descrito. Partindo da eq. (3.10.b), somamos e
subtraimos a contribuição do termo do divergente do fluxo, ou seja:
dTk ,i ( t )
dt
= ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x , t , Tl ) − 1 ∇ ⋅ kk* ( x , t , Tl ) ∇Tk ( x , t ) dv
V
+ ∫ψ k,i ( x ) ∇ ⋅ kk* ( x , t , Tl ) ∇Tk ( x , t ) dv
(3.11.j)
V
 Pk* ( x , t , Tl ) − d k* ( x , t , Tl ) Tk ( x , t ) 
+ ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x , t , Tl ) 
 dv
−
u
x
t
T
⋅
∇
T
x
t
,
,
,
(
)
(
)


V
l
k


Agora, a Segunda formula de Green é aplicada somente ao segundo termo do
lado direito da equação, que corresponde à transformação integral do termo de
divergência do fluxo original, na forma:
dTk ,i ( t )
dt
= ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x , t , Tl ) − 1 ∇ ⋅ kk* ( x , t , Tl ) ∇Tk ( x , t ) dv +
V
+ ∫Tk ( x , t ) ∇ ⋅ kk* ( x , t , Tl ) ∇ψ k,i ( x ) dv +
V

∂Tk ( x , t )
∂ψ k,i ( x ) 
k
x
,
t
,
T
ψ
x
−
T
x
,
t
(
)
(
)
(
)

 ds +
l
k,i
k
∫S
∂
n
∂
n


(3.11.k)
*
k
 Pk* ( x , t , Tl ) − d k* ( x , t , Tl ) Tk ( x , t ) 
 dv
∫ψ k,i ( x ) Ck ( x, t, Tl )  −u ( x, t , T ) ⋅ ∇T ( x, t )

V
l
k

como:
Logo, o sistema transformado alternativo pode ser escrito em forma sintética
dTk ,i ( t )
dt
= hˆk,i* ( t , Tl , j ) ,
t > 0, k = 1, 2,..., M = 1, 2, ...
(3.11.l)
20
onde o vetor ,
hˆk,i* ( t , Tl , j )
, é agora formado pelas três novas contribuições abaixo:
hˆk ,i ( t , Tl , j ) = hˆ k*,i ( t , Tl , j ) + qˆk ,i ( t , Tl , j ) + gˆ k ,i ( t , Tl , j )
3.11.m)
com,
hˆ k*,i ( t , Tl , j ) = ∫ψ k,i ( x ) Ck ( x, t ,Tl ) − 1 ∇ ⋅ kk* ( x , t ,Tl ) ∇Tk ( x , t ) dv +
(3.11.n)
V
∫ψ ( x ) C ( x, t ,T )  P ( x, t ,T ) − d ( x,t ,T ) T ( x, t ) − u ( x,t ,T ) ⋅∇T ( x, t ) dv
k,i
k
l
*
k
l
*
k
l
k
l
k
V
qˆk ,i ( t , Tl , j ) = ∫Tk ( x , t ) ∇ ⋅ kk* ( x , t , Tl ) ∇ψ k,i ( x ) dv
(3.11.o)
V

∂T ( x , t )
∂ψ ( x ) 
gˆ k ,i ( t , Tl , j ) = ∫kk* ( x , t ,Tl ) ψ k,i ( x ) k
− Tk ( x , t ) k,i
 ds
∂n
∂n 
S

(3.11.p)
O sistema transformado alternativo, eqs.(3.11.l)-(3.11.p), apresenta expressões
finais mais simples, especialmente ao evitar derivadas dos coeficientes não-lineares
originais.
As eqs.(3.11.a) ou (3.11.l) requerem condições iniciais transformadas para
cada
potencial,
a
partir
da
transformação
integral
da
eq.(3.1.b)
com
∫w ( x ) ψ ( x ) _dv ∫ (x), resultando em:
k
k,i
V
Tk ,i ( 0 ) = ∫wk ( x ) ψ k,i ( x ) f k ( x ) dv
(3.11.q)
V
As eqs. (3.11.l) a (3.11.q) formam um sistema infinito acoplado de equações
diferenciais ordinárias não-lineares para os potenciais transformados,
Tk ,i ( t )
, que
dificilmente permitiria a obtenção de uma solução analítica. Entretanto, algoritmos
confiáveis para a solução numérica de tais sistemas encontram-se disponíveis, após o
truncamento em uma ordem suficientemente grande para a precisão final desejada
pelo usuário. O sistema Fortran 95 oferece a subrotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]
para resolver sistemas rígidos de EDO´s como aquele aqui obtido, com controle
automático do erro relativo. Uma vez que o sistema tenha sido resolvido, o Fortran
21
também prove funções de interpolação para aproximar o comportamento dos campos
transformados na variável t em forma contínua. A fórmula de inversão pode então ser
chamada para reconstruir o potencial desejado em forma implícita e analítica nas
variáveis espaciais.
Para os estudos e análises específicos deste trabalho foram utilizados dois
casos distintos de condições de contorno, ou seja, temperatura prescrita uniforme na
parede (caso 1) e fluxo de calor prescrito uniforme na parede (caso 2).
3.2 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE
TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE
T = Tw = constante
u0
T0
T = Tw = constante
Figura 3.2.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular
para temperatura prescrita uniforme na parede.
Considera-se escoamento laminar incompressível na região de entrada térmica
de um tubo circular onde as paredes do mesmo estão sujeitas a uma temperatura
prescrita uniforme Tw, enquanto na entrada a temperatura é admitida ser constante e
dada por T0. Ainda, considera-se que o escoamento seja completamente desenvolvido
com propriedades físicas constantes, exceto a viscosidade que varia com a
temperatura numa forma funcional dada por Yang [10]. Com essas hipóteses, a
formulação matemática desse problema na forma adimensional é dada por:
U ( R, Z )
∂ T ( R, Z ) 1 ∂  ∂ T ( R, Z ) 
=
R
, 0<R<1, Z>0
∂Z
∂ R 
R ∂ R 
T ( R , 0) = 1,
0 ≤ R ≤1
∂ T (0, Z )
= 0;
∂R
T (1, Z ) = 0,
(3.12.a)
(3.12.b)
Z>0
(3.12.c,d)
22
Despreza-se então o termo de convecção na direção radial. Na Eq. (3.12.a)
U(R,Z) é o perfil de velocidade completamente desenvolvido, porém com dependência
na variável axial Z, devido à consideração de variação de viscosidade com o campo de
temperatura. Este perfil é obtido ao integrar-se duas vezes a componente axial da
equação de conservação de quantidade de movimento linear, resultando em:
1
U ( R, Z ) =
2
∫
1
R
 1
R
∫0  ∫R
1
η
dη
µ (T )

η
dη  dR
µ (T ) 
(3.13.a)
A forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a
mesma do trabalho de Yang [10] e é dada por:
µ (T ) =
µ * (T * )
1
=
*
µw
1 + γ T ( R, Z )
(3.13.b)
onde, γ é um parâmetro de viscosidade, o qual assume um valor positivo para
resfriamento e negativo para aquecimento.
Na obtenção da formulação matemática do problema acima, os seguintes
grupos adimensionais foram introduzidos:
R=
T *(r , z ) − Tw
r
αz
u (r , z )
; Z = 2 ; U ( R, Z ) =
; T ( R, Z ) =
rw
rw uav
uav
Ti − Tw
(3.14.a-d)
3.2.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
Seguindo o formalismo da GITT [51-67] o primeiro passo nesta técnica consiste na
definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o seguinte
problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:
d  dψ i ( R ) 
R
+ Rζ i2ψ i ( R ) = 0 ,
dR 
dR 
dψ i (0)
= 0;
dR
ψ i (1) = 0
0<R<1
(3.15.a)
(3.15.b,c)
23
O problema definido pelas Eqs. (3.15) acima é resolvido analiticamente para
fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,
ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:
J 0 (ζ i ) = 0;
1
N i = ∫ Rψ i2 ( R )dR =
0
1
∫ Rψ ( R)ψ
0
i
(3.16.a,b)
ψ i ( R ) = J 0 (ζ i R);
j
J12 (ζ i )
,
2
i = 1,2,3,...
i≠ j
0,
( R)dR = 
 Ni , i= j
(3.16.c)
(3.16.d)
O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.15) permite a definição do
seguinte par transformada-inversa:
1
Ti (Z ) = ∫ Rψ i ( R) T ( R, Z )dR ,
0
transformada
(3.17.a)
inversa
(3.17.b)
∞
T ( R, Z ) = ∑ψ i ( R )Ti (Z ) ,
i =1
onde, ψ i ( R ) = ψ i ( R ) / N i , são as autofunções normalizadas.
A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.17.b), nas Eqs. (3.13) para
o campo de velocidade, obtém-se:
∞
2(1 − R 2 ) + 4γ ∑ Ai ( R )Ti (Z )
U ( R, Z ) =
(3.18.a)
i =1
∞
1 + 8γ ∑ BiTi (Z )
i =1
1
Ai ( R ) = ∫ ηψ i (η )dη ;
R
1
Bi = ∫ RAi ( R)dR
0
(3.18.b,c)
O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da
EDP (Equação Diferencial Parcial) original. Para isso, a Eq. (3.12.a) é multiplicada por
Rψ i ( R) e integrada no domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada
pela Eq. (3.17.b) nos termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o
24
cálculo dos potencias transformados, Ti (Z ) . Similarmente, o mesmo procedimento é
realizado na condição de entrada dada pela Eq. (3.12.b), resultando finalmente:
∞
∑C
ij
(Z )
j =1
dT j (Z )
dZ
= Di ( Z ),
(3.19.a)
Z >0
(3.19.b)
Ti (0) = fi
onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.19) são dados por:
∞
1
1
Cij ( Z ) = 2δ ij − 2 ∫ R 3ψ i ( R )ψ j ( R )dR + 4γ ∑  ∫ R 3ψ i ( R )ψ j ( R ) Ak ( R )dR  Tk (Z ) (3.20.a)
 0
0

k =1 
∞


Di ( Z ) = −ζ i2Ti (Z ) 1 + 8γ ∑ B jT j (Z ) 
j =1


1
f i = ∫ Rψ i ( R)dR
0
(3.20.b)
(3.20.c)
O sistema definido pelas Eqs. (3.19) constitui-se em um problema de valor
inicial não linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos
computacionais, é necessário truncar as expansões infinitas em um número de termos
NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais transformados Ti (Z ) . Na
solução deste sistema, devido à sua característica de rigidez (problema stiff) subrotinas apropriadas devem ser empregadas, como a rotina IVPAG da biblioteca IMSL
[72]. Esta sub-rotina fornece uma característica importante de controle automático do
erro relativo na solução do sistema de equações diferenciais ordinárias, possibilitando
ao usuário estabelecer a princípio o erro de interesse para obter os potenciais
desejados. Então, uma vez solucionado este sistema, a fórmula de inversão dada pela
Eq. (3.17.b) é utilizada para fornecer o campo de temperatura T(R,Z), bem como o
campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.18.a).
A partir do campo de temperatura, quantidades de interesse prático podem ser
calculadas, tais como a temperatura média de mistura e números de Nusselt local e
médio. Portanto, de suas definições usuais, tem-se:
1
Tav ( Z ) = 2∫ RU ( R, Z )T ( R, Z )dR
0
(3.21.a)
25
Nu ( Z ) =
h( z ) D
=
k
Nuav ( Z ) =
1
Z
∫
Z
0
∂T (1, Z )
∂R
Tav ( Z )
−2
(3.21.b)
(3.21.c)
Nu (ξ )dξ
Portanto, introduzindo-se a fórmula de inversão dada pela Eq. (3.17.b) e a Eq.
(3.18.a) para o campo de velocidade nas Eqs. (3.21.a,b), obtém-se
∞


∞
∑  E + 8γ ∑ F T (Z )  T (Z )
Tav ( Z ) =
i =1

i
ij
j
j =1

i
(3.22.a)
∞
1 + 8γ ∑ BiTi (Z )
i =1
∞
dψ i (1)
Ti (Z )
dR
i =1
Tav ( Z )
−2∑
Nu ( Z ) =
(3.22.b)
1
Bi = 4 ∫ R(1 − R 2 )ψ i ( R)dR
(3.22.c)
0
1
Fij = ∫ Rψ i ( R) Aj ( R)dR
(3.22.d)
0
3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE
FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE
q = qw = constante
u0
T0
q = qw = constante
Figura 3.3.1 – Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular
para fluxo de calor prescrito uniforme na parede.
26
As hipóteses para este caso são similares ao do caso de temperatura prescrita
uniforme, entretanto na parede do tubo circular aplica-se um fluxo de calor uniforme
qw. A viscosidade também varia com a temperatura numa forma funcional dada no
trabalho de Yang [10]. Com essas hipóteses, a formulação matemática desse
problema na forma adimensional é dada por:
U( R, Z )
∂ T ( R, Z ) 1 ∂  ∂ T ( R, Z ) 
=
R
, 0<R<1, Z>0
R ∂ R 
∂Z
∂ R 
T ( R , 0) = 0,
0 ≤ R ≤1
∂ T (0, Z )
= 0;
∂R
∂ T (1, Z )
= 1,
∂R
(3.23.a)
(3.23.b)
Z>0
(3.23.c,d)
O perfil de velocidade completamente desenvolvido, U(R,Z), para este caso é
dado por:
U ( R, Z ) =
µ (T ) =
1
2
∫
1
R
 1
R
∫0  ∫R
1
η
dη
µ (T )

η
dη  dR
µ (T ) 
µ * (T * )
1
=
*
µi
1 + λ T ( R, Z )
(3.24.a)
(3.24.b)
Onde a forma funcional da dependência da viscosidade com a temperatura é a
também dada no trabalho de Yang [10]. Na Eq. (3.24.b), λ é um parâmetro de
viscosidade, o qual assume um valor positivo para aquecimento e negativo para
resfriamento.
Na obtenção da formulação matemática do problema desta seção, os mesmos
grupos adimensionais dados pelas Eqs. (3.14) foram introduzidos, exceto a
temperatura adimensional, a qual para este caso é dada por:
T *(r , z ) − Ti
T ( R, Z ) =
(qw rw / k )
(3.25)
Neste ponto, a fim de se homogeneizar a condição de contorno dada pela Eq.
(3.23.d), o seguinte filtro é proposto:
27
T ( R, Z ) =
R2
+ θ ( R, Z )
2
(3.26)
Portanto, introduzindo-se a Eq. (3.26) nas Eqs. (3.23), o seguinte problema
homogeneizado é obtido:
U( R, Z )
∂θ ( R, Z ) 1 ∂  ∂θ ( R, Z ) 
=
R
+ 2, 0<R<1, Z>0
R ∂ R 
∂Z
∂ R 
θ ( R, 0) =
R2
,
2
(3.27.b)
0 ≤ R ≤1
∂θ (0, Z )
= 0;
∂R
(3.27.a)
∂θ (1, Z )
= 0,
∂R
(3.27.c,d)
Z>0
3.3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
Da mesma forma como no caso anterior, aplicando-se a metodologia da GITT [51-67]
temos a definição de um problema de autovalor auxiliar. Para esse propósito, o
seguinte problema de autovalor do tipo Sturm-Liouville é escolhido:
d  dψ i ( R ) 
R
+ Rζ i2ψ i ( R ) = 0 ,


dR 
dR 
dψ i (0)
= 0;
dR
(3.28.a)
0<R<1
dψ i (1)
=0
dR
(3.28.b,c)
O problema definido pelas Eqs. (3.28) acima é resolvido analiticamente para
fornecer a equação transcendental para o cálculo dos autovalores, ζi, as autofunções,
ψi(R), as normas, Ni, e a propriedade de ortogonalidade, respectivamente, como:
J1 (ζ i ) = 0;
(3.29.a, b)
ψ i ( R) = J 0 (ζ i R);
1
N i = ∫ Rψ i2 ( R )dR =
0
J 02 ( βi )
,
2
i = 1,2,3,...
(3.29.c)
i≠ j
0,
R
ψ
(
R
)
ψ
(
R
)
dR
=

j
∫0 i
 Ni , i= j
1
(3.29.d)
28
O problema de autovalor dado pelas Eqs. (3.28) permite a definição do
seguinte par transformada-inversa:
1
Ti (Z ) = ∫ Rψ i ( R) T ( R, Z )dR ,
0
transformada
(3.30.a)
inversa
(3.30.b)
∞
T ( R, Z ) = ∑ψ i ( R )Ti (Z ) ,
i =1
onde, ψ i ( R ) = ψ i ( R ) / N i , são as autofunções normalizadas.
A partir da introdução da fórmula de inversão, Eq. (3.30.b), nas Eqs. (3.26) para
o campo de velocidade, obtém-se:
∞
(1 − R 2 ) λ
+ (1 − R 4 ) − λ ∑ Fi ( R )Ti (Z )
1
2
8
i =1
U ( R, Z ) =
∞
1 λ
2
+ + λ ∑ GiTi (Z )
8 24
i =1
(3.31.a)
onde:

 Fi ( R) =


 F ( R) =
 i

( R 2 − 1)
2 Ni
para i = 1;
RJ1 (ζ i R)
para i > 1.
ζ i Ni
1

Gi = 8 N
i


G = J 0 (ζ i )
 i ζ i2 N i

para i = 1;
(3.31.b,c)
para i > 1.
Utilizidando-se a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da
continuidade, após que integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,
obtém-se a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,z):
∞
 R
 ∞
dT (Z ) 
R2 λ R
R4
(1 − ) + λ ∑ H i ( R)Ti (Z )  λ ∑ Gi i
  (1 − ) +
dZ 
2
16
3
1 4
i =1
  i =1
V ( R, Z ) =  
2
∞
2
1 λ

 8 + 24 + λ ∑ GiTi (Z ) 


i =1



dTi (Z )  
H
(
R
)
λ
∑

i

dZ  
i =1

−

∞
1 λ

 8 + 24 + λ ∑ GiTi (Z )  

i =1

(3.32.a)
∞
onde:

R(2 − R 2 )
C
(
R
)
=
para i = 1;
 i
8
N
i


 F ( R) = 1  RJ (ζ R) − 2 J (ζ R) 
 0 i

 i
ζi 1 i 
N i ζ i2 

(3.32.b)
para i > 1.
29
O próximo passo na aplicação da GITT diz respeito à transformação integral da
EDP original. Para isso, a Eq. (3.25.a) é multiplicada por Rψ i ( R) e integrada no
domínio [0,1] em R. Após o uso da fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) nos
termos não transformáveis, obtém-se o sistema de EDOs para o cálculo dos potencias
transformados, Ti (Z ) . Similarmente, o mesmo procedimento é realizado na condição
de entrada dada pela Eq. (3.25.b), resultando:
∞
∑ A (Z )
dT j (Z )
ij
dZ
j =1
= Bi ( Z ),
(3.33.a)
Z >0
(3.33.b)
Ti (0) = g i
onde, os coeficientes integrais que aparecem nas Eqs. (3.33) são dados por:
Aij ( Z ) =
∞ C (Z )
1
λ
λ T (Z )
δ ij − aij ) + (δ ij − bij ) + i
δ ij − aij ) − λ ∑ ijk
Tk (Z )
(
(
2
8
2 Ni
Nk
k =2 ζ k
(3.34.a)
∞
 1 λ λ T1 (Z )

J (µ )
Bi ( Z ) =  −ζ i2Ti (Z ) + g i (R )   + +
+ 2λ ∑ 20 k Tk (Z ) 
Nk
k =2 ζ k
 4 12 4 N1

1
aij = ∫ R 3ψ i ( R)ψ j ( R)dR,
0
1
bij = ∫ R 5ψ i ( R )ψ j ( R)dR
0
(3.34.b)
(3.34.c,d)
1
Cijk = ∫ R 2ψ i ( R)ψ j ( R) J1 (ζ k R)dR
(3.34.e)
0
 1

gi ( R) = 2∫ Rψ i ( R)dR =  N i
0
0

1
para
i = 1;
para
i > 1.
(3.34.f)
O sistema definido pelas Eqs. (3.33) constitui um problema de valor inicial não
linear de equações diferenciais ordinárias acopladas. Para propósitos computacionais,
conforme já explicado anteriormente, é necessário truncar as expansões infinitas em
um número de termos NT suficientemente grande, e assim computar os potenciais
transformados Ti (Z ) . Na solução deste sistema, também, devido à sua característica
de rigidez (problema stiff) sub-rotinas apropriadas devem ser empregadas, como a
rotina IVPAG da biblioteca IMSL [72]. Logo, uma vez solucionado este sistema, a
fórmula de inversão dada pela Eq. (3.30.b) é utilizada para fornecer o campo de
temperatura T(R,Z), bem como o campo de velocidade U(R,Z) dado pela Eq. (3.31.a).
A partir do campo de temperaturas, as mesmas quantidades de interesse
prático podem ser calculadas, de forma equivalente ao exposto anteriormente.
30
3.3.2 – SOLUÇÃO PELO CÓDIGO UNIT (“Unified Integral Transforms”)
A versão 1D - Mathematica do código UNIT [73-74] utilizado pelo presente trabalho
inclui todos os cálculos simbólicos necessários que foram descritos para a solução
formal via Técnica da Transformada Integral Generalizada para o caso unidimensional,
além de todos os cálculos numéricos envolvidos na solução do problema de autovalor
escolhido e do sistema de EDO's para os potenciais transformados resultantes. De
fato, o usuário essencialmente necessita especificar a formulação do problema,
escolher os coeficientes a serem utilizados no problema de autovalor e determinar
como apresentar os resultados. A seguir é feita uma descrição do algoritmo
implementado no código UNIT 1D utilizado neste trabalho para a solução formal do
problema geral de convecção-difusão.
O código trata a seguinte formulação matemática unidimensional transiente:
wk ( x)
∂Tk ( x, t )
= Gk ( x, t , T j ), k , j = 1, 2,..., M P , x0 < x < x1 , t > 0
∂t
Tk ( x,0) = fk ( x), x0 ≤ x ≤ x1
α k ( x)Tk ( x, t ) + β k ( x)kk ( x)
(3.35.a)
(3.35.b)
∂Tk ( x, t )
= φk ( x, t , T j ), x = x0 , x1 , t > 0
∂n
(3.35.c)
onde M P é a quantidade de potenciais presentes no sistema modelado. Em todos os
resultados apresentados neste trabalho o único potencial da formulação é o campo de
temperatura e, portanto, M P = 1 .
No módulo “Input & Problem Definition” do código UNIT, os seguintes termos
devem ser definidos pelo usuário de acordo com o modelo físico em análise:
G k ( x , t , T j ) que deve incluir os termos de difusão, dissipação e fonte, lineares ou nãolineares. Também devem ser definidos pelo usuário a forma funcional de fk ( x) , que é
a condição inicial do modelo; os coeficientes
αk ( x) , βk ( x) e kk (x) , que permitem
várias combinações, definindo diferentes tipos de condições de contorno e, finalmente,
φk ( x, t , T j ) , que é o termo-fonte do contorno, podendo ser linear ou não-linear.
31
Definida a formulação matemática do problema como supracitado, o usuário
deve fornecer valores para a seguinte lista de parâmetros, ainda no módulo “Input &
Problem Definition”:
−
M, que corresponde ao M P na formulação do problema, sendo o número de
potenciais envolvidos no modelo. Como já destacado, neste trabalho o único
potencial presente na formulação é o campo de temperatura e M =1;
−
Neig, que corresponde à ordem de truncamento na expansão em autofunções
do campo de temperatura;
−
Ifilter, este parâmetro pode ter os valores 0 ou 1, sendo 0 para ativar o filtro
linear automático ou 1 quando o usuário pretende fornecer o filtro
manualmente.
−
Iintegral, que permite ao usuário escolher a maneira como serão executadas as
integrações de transformação dos termos-fonte. Os valores possíveis são: 0
para a integração semi-analítica automática, 1 para a integração através de
quadraturas gaussianas, 2 para integração analítica (função Integrate) ou 3
para integração numérica automática intrínseca ao Mathematica (função
NIntegrate);
−
Intorder, o valor deste parâmetro deve ser definido caso o usuário opte pela
integração semi-analítica automática, neste caso, o valor deste parâmetro
define a forma funcional do integrando de cada sub-região, sendo 0 para ordem
zero, 1 para aproximação linear (1ª ordem) e 2 para aproximação quadrática
(2ª ordem);
−
Mreg, que também deve ser definido caso o usuário opte pela integração semianalítica automática. Este parâmetro define o número de sub-regiões utilizados
na integração. Também pode ser definido como Mregauto, neste caso o
número de regiões é definido automaticamente;
−
ngauss, que define a ordem da integração Gaussiana, caso o usuário opte por
este tipo de integração. Também pode ser definido como ngauto, neste caso o
valor é escolhido automaticamente;
−
tfinal, que corresponde ao maior tempo de interesse na solução do problema;
−
Nerror, que corresponde à quantidade de termos que aproximam o resíduo na
análise de convergência da expansão do potencial em autofunções.
Ainda os parâmetros a seguir, que na realidade são opções da função NDSolve
utilizada na solução do sistema transformado, podem ser definidos manualmente.
32
Entretanto, ressalta-se que a configuração default deve funcionar para a maior parte
dos problemas.
−
maxstepsize, que é o tamanho máximo do passo no tempo na solução
numérica do problema transformado;
−
startingstepsize, é o tamanho inicial do passo no tempo na solução numérica
do problema transformado;
−
accuracyODE,
acurácia
desejada
na
solução
numérica
do
problema
precisão
desejada
na
solução
numérica
do
problema
transformado;
−
precisionODE,
transformado;
−
methodODE, método para a solução numérica do problema transformado .
Neste momento o problema já está devidamente formulado, mas o usuário
ainda deve fornecer qual deve ser a escolha do problema auxiliar de autovalor através
da definição dos coeficientes k*(x), w*(x) e d*(x), todos devidamente indicados no
módulo “Input & Problem Definition”, que devem ser especificados e então o problema
auxiliar de autovalor é automaticamente gerado. A partir deste ponto começa a
solução propriamente dita do problema.
Primeiro, o módulo de filtragem automático é iniciado e utiliza ou o filtro
fornecido pelo usuário ou o filtro linear automático, dependendo de qual foi a escolha
do usuário.
Na sequência, o problema auxiliar de autovalor é resolvido empregando a
função DSolve do Mathematica, e a equação transcendental que gera os autovalores e
as respectivas autofunções normalizadas são determinados analiticamente pela
plataforma de computação simbólica.
Então, a condição inicial transformada é calculada. Como já destacado nesta
seção, o código utiliza a forma de integração definida pelo usuário no parâmetro
Iintegral, que pode ser a integração analítica automática (função Integrate), a
integração numérica automática (função NIntegrate), a integração semi-analítica ou
ainda a integração numérica com quadraturas gaussianas. O mesmo acontece para
obtenção dos coeficientes do sistema de EDO's para o potencial transformado, onde
integrações devem ser efetuadas. A importância da opção de utilização da integração
semi-analítica reside principalmente na sua maior eficácia na integração destes
termos-fonte, que usualmente exigem integrações numéricas internas à rotina de
33
solução do problema de valor inicial, especialmente em formulações não-lineares. Na
opção de integração semi-analítica a transformação integral do termo-fonte se dá da
seguinte maneira:
M
g i (t , T j ) = ∫ ψ i ( x )G ( x, t , T) dv = ∑ ∫ ψ i ( x )Gˆ m ( x, t , T) dv
v
m =1
vm
(3.36)
ˆ
onde Gm (x, t ,T) são formas funcionais mais simples analiticamente integráveis do
termo-fonte, definas em M sub-regiões Vm. A escolha mais simples é a utilização de
valores uniformes dentro de cada sub-região (aproximação de ordem zero), mas
aproximações lineares (primeira ordem) e quadráticas (segunda ordem) também estão
implementadas no código e o usuário deve optar por uma delas no caso de escolha da
utilização da integração semi-analítica, como já citado, através da escolha adequada
do parâmetro Intorder no módulo “Input & Problem Definition”.
A esta altura o sistema de EDO's para o potencial transformado é montado e o
próximo passo é a sua solução. Como discutido anteriormente, este sistema é
resolvido numericamente através da função NDSolve, intrínseca à plataforma
Mathematica. O código UNIT em sua configuração default utiliza o método BDF,
intrínseco à função NDSolve.
Com o sistema de EDO's para o potencial transformado resolvido, o campo de
temperatura é calculado a partir da expansão em autofunções. Neste ponto o usuário
deve verificar se a convergência da expansão está satisfatória e eventualmente
diminuir/aumentar a ordem de truncamento N de modo a atender seus requisitos. Por
exemplo, pode ser usada a seguinte fórmula para este teste de convergência:
N
∑ ψ (x)Ti (t )
i
ε (t ) = max
i = N *+1
N
T f (x; t ) + ∑ψ i (x)Ti (t )
i =1
(3.37)
O numerador na Eq. 3.37 diz respeito aos termos que a princípio poderiam ser
extraídos da expansão da temperatura, para fornecer uma estimativa do resíduo da
solução, e verificar o atendimento da tolerância admitida pelas especificações do
usuário. O número de termos usados para este teste de convergência é controlado
34
pelo parâmetro Nerror. Neste trabalho foram sempre escolhidos alguns pontos
diferentes do domínio de modo a se avaliar qual o maior erro de truncamento dentre
estes pontos. Ressalta-se que não está disponível um sistema automático de
convergência e o usuário deve observar se a convergência está dentro de suas
pretensões e então aumentar/diminuir a ordem de truncamento, conforme suas
necessidades de precisão e custo computacional.
Finalmente, a expansão em autofunções é realizada e o usuário então dispõe
de uma função contínua em x e t para os potenciais e então, no módulo “Results”,
pode utilizar as ferramentas do Mathematica para apresentar os resultados de acordo
com suas necessidades, como gráficos, tabelas, comparações, etc.
35
CAPÍTULO 4
DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL
Para validação dos resultados obtidos através deste estudo teórico e contribuir mais
efetivamente com o avanço das pesquisas nesta linha, utilizou-se dados experimentais
próprios aquisitados no LTTC para um nanofluido comercial água-sílica, no contexto
do projeto COPPE-CENPES [75]. Portanto, para um entendimento adequado sobre os
resultados experimentais obtidos, far-se-á uma breve descrição a respeito do aparato
experimental e dos experimentos correspondentes.
O aparato experimental para estudos de convecção forçada com nanofluidos
objetiva a determinação de coeficientes de transferência de calor locais e médios para
escoamento em tubos retos de seção circular, em função do número de Reynolds,
variando-se a vazão do escoamento, bem como em função da posição axial ao longo
do tubo e da concentração de nanopartículas no fluido.
No desenvolvimento deste trabalho, foram considerados alguns aspectos
relevantes em função das mais recentes
inovações e modificações na bancada
experimental já disponível no LTTC, originalmente projetada e construída no projeto
precursor junto ao CENPES/Petrobras [76]. O histórico de todas estas melhorias no
circuito termohidráulico estão amplamente abordadas e justificadas nos relatórios de
progressos e podem ser disponibilizados para consulta [75].
O circuito termohidráulico, mostrado nas Figuras 4.1 a,b e esquematizado na
Figura 4.2 abaixo, está dividido em cinco partes: Aquecimento, Seção de Testes,
Circuito Hidráulico, Sistema de Rejeição de Calor e Aquisição de Dados [14].
36
Figura 4.1.a,b – Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de convecção forçada
de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ).
Figura 4.2 – Disposição esquemática do aparato experimental.
37
Para os estudos inerentes a este trabalho foi utilizado e avaliado um nanofluido
comercial de óxido de silício (SiO2)-água [45, 50 e 53], o qual foi adquirido da empresa
americana Nanostructured & Amorphous Materials, Inc. A ficha técnica fornecida pelo
fabricante do nanofluido utilizado é apresentada na tabela 4.1 mostrada abaixo e o
recipiente comercializado é ilustrado na Figura 4.1.
Tabela 4.1 – Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante.
Tipo da nanopartícula
SiO2
Tamanho da nanopartícula
30 nm
Densidade da nanopartícula
2.2 g/cm3
pH
6-7
Concentração de nanopartículas
25 % em massa
Figura 4.3 – Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro) (Nanostructured &
Amorphous Materials Inc., EUA).
Foram empregados 2,5 litros do nanofluido no circuito, com uma concentração
volumétrica nominal, antes da realização do experimento, de 12,794% de
38
nanopartículas de óxido de silício (25% em massa), posteriormente avaliada mais
adequadamente de acordo com as medidas de fração volumétrica efetuadas no
laboratório, com auxílio da estufa e da balança de precisão.
O sistema de aquisição de dados é responsável pela aquisição e
armazenamento dos dados, a partir do processamento automático das informações
proveniente de sensores, bem como pelo monitoramento nos componentes de suporte
dos equipamentos do aparato experimental.
A aquisição de dados em um experimento típico do circuito térmohidráulico de
convecção forçada inclui os arquivos de aquisição de vazão produzidos pelo programa
“GramaTempo”, o arquivo de aquisição de temperaturas e voltagens gerado pelo
Agilent, e outros dados de controle anotados pelo operador (temperatura ambiente,
corrente na resistência aquecedora, etc.).
O programa “GramaTempo” é um aplicativo em C construído no LTTC, que
permite a comunicação com a balança de precisão e o computador, registrando as
medidas de tempo e massa e oferecendo ao operador o controle do início e final da
operação enquanto estima a vazão durante a aquisição. Um grande volume de dados
é gerado pela aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, que captura todo o
processo transiente desde o ligamento do circuito térmico até o estabelecimento do
regime permanente, requerendo um tratamento estatístico seguido pela apresentação
gráfica e devidas comparações com previsões teóricas. Para tal fim foi construído um
notebook* na plataforma Mathematica [77] “ExperimentoNanofluido”. Este notebook é
modular podendo ser executado na íntegra ou apenas nos conjuntos de células de
interesse para uma dada situação. Os grupos de células mais importantes podem ser
assim descritos:
*
notebook – terminologia utilizada para designar o código computacional no
Mathematica.
a. Propriedades Termofísicas da Água e do Nanofluido
A partir de dados da literatura, efetuam-se interpolações para as propriedades
termofísicas da água e empregam-se as fórmulas de correção para o nanofluido
correspondente; pode-se também empregar os dados próprios de propriedades para o
nanofluido.
b. Parâmetros Experimentais: Vazão, Temperaturas, Voltagens e Outros Dados
O Módulo principal que lê os dados aquisitados de vazão, temperaturas e
voltagens, tratando esses dados a seguir. Para o tratamento dos dados de vazão
despreza-se 10% das medidas no início e final do processo, empregando-se a rotina
39
Regress* do Mathematica para análise estatística desses dados e obtenção da
estimativa da vazão. São efetuadas em geral seis réplicas para obtenção de médias,
desvios-padrão e incertezas (intervalo de confiança de 95%). A utilização da função
Regress forneceu excelente concordância, o que foi observado na totalidade dos
experimentos aqui observados, e a incerteza associada, por exemplo, à vazão média
permaneceu em torno de 3%.
*
Regress – função padrão do Mathematica que faz uma estimativa para os
coeficientes de curvas a partir de um conjunto de dados, neste caso a curva é linear.
Já da aquisição de temperaturas e voltagens do Agilent, é selecionada uma
janela de tempo dentro do período constatado como em regime permanente para
obtenção das médias e incertezas de cada medida. Foi adotada aqui uma janela de
cinco minutos em todas as estimativas, que se mostrou representativa em todos os
experimentos, cujo tempo para atingir regime permanente variou de 15 minutos até
cerca de 120 minutos em alguns casos, dependendo da vazão, condição inicial e
potência fornecida.
Por fim, os resultados experimentais são consolidados pelo Mathematica, onde
a primeira linha corresponde à temperatura de entrada do fluido e as demais
correspondem aos termopares posicionados na parede externa do tubo nas posições
axiais ali apresentadas. Observou-se que as incertezas destas medidas eram
inferiores a 0,1 ºC em todas as posições.
40
CAPÍTULO 5
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A seguir serão apresentados os resultados numéricos a partir da solução proposta,
obtidos através de uma implementação computacional em Fortran 95. Ambas as
condições de contorno, de temperatura ou fluxo de calor prescritos, foram simuladas e
seus resultados comparados com a literatura e, no caso específico do fluxo de calor
prescrito, foi efetuada a validação com resultados experimentais obtidos no LTTC para
um nanofluido comercial de água-sílica.
Para a efetiva verificação do código computacional construído, foram
considerados diferentes casos com variação de ߛ e ߣ, parâmetros que caracterizam a
variação da viscosidade com a temperatura, definidos, respectivamente, na Eq.
(3.13.b) e na Eq. (3.24.b), conforme apresentado na literatura [10]. Além disso,
buscou-se realizar uma análise da convergência dos resultados a fim de avaliar a
incerteza dos resultados.
5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA
5.1.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA
No presente estudo, para confirmar a convergência dos resultados variou-se o número
de termos da expansão, até que os resultados obtidos fossem considerados
convergidos. Observou-se, como esperado, que quanto menor a distância axial
considerada, ou seja, quanto mais próximo da entrada do tubo, mais termos na
expansão são necessários para atingir a convergência em um dado número de dígitos
significativos.
Caso analisado: ߛ = 9,0
Para as análises apresentadas nas tabelas 5.1.1 - 4 abaixo, optou-se por uma
variação de 10 em 10 termos na expansão. Das Tabelas 5.1.1 e 5.1.2 pode-se
observar que a velocidade no centro do tubo e a temperatura média na seção atingem
convergência em cinco dígitos significativos em todas as posições axiais
apresentadas, para NT<80. Claramente, ordens de truncamento bem menores podem
ser empregadas para critérios de convergência menos rígidos, ou seja, convergência
41
em quatro dígitos significativos pode ser obtida mesmo com ordens de truncamento
NT<40.
Tabela 5.1.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de temperatura
prescrita e ߛ=9,0.
VELOCIDADE NO CENTRO
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
2,1042
2,1278
2,137
2,1377
2,1381
2,1383
2,1384
2,1384
0,0002
0,0001
2,1305
2,1717
2,1727
2,1735
2,1737
2,1738
2,1739
2,1739
0,0003
0,00015
2,1553
2,1967
2,1978
2,1983
2,1985
2,1986
2,1986
2,1986
0,0004
0,0002
2,1784
2,2161
2,2175
2,2179
2,2180
2,2181
2,2182
2,2182
0,0005
0,00025
2,1997
2,2325
2,234
2,2343
2,2345
2,2345
2,2346
2,2346
0,0006
0,0003
2,2192
2,2470
2,2483
2,2487
2,2488
2,2488
2,2488
2,2489
0,0007
0,00035
2,2370
2,2599
2,2611
2,2614
2,2615
2,2615
2,2616
2,2616
0,0008
0,0004
2,2531
2,2716
2,2726
2,2729
2,2730
2,2730
2,2731
2,2731
0,0009
0,00045
2,2677
2,2822
2,2832
2,2834
2,2835
2,2836
2,2836
2,2836
0,001
0,0005
2,2808
2,2921
2,293
2,2932
2,2933
2,2933
2,2933
2,2933
0,002
0,001
2,3633
2,3647
2,3652
2,3653
2,3654
2,3654
2,3654
2,3654
0,003
0,0015
2,4116
2,4139
2,4143
2,4144
2,4144
2,4144
2,4145
2,4145
0,004
0,002
2,4495
2,4521
2,4524
2,4524
2,4525
2,4525
2,4525
2,4525
0,005
0,0025
2,4811
2,4835
2,4838
2,4838
2,4839
2,4839
2,4839
2,4839
0,006
0,003
2,5083
2,5104
2,5106
2,5106
2,5107
2,5107
2,5107
2,5107
0,007
0,0035
2,5321
2,5339
2,5341
2,5341
2,5341
2,5342
2,5342
2,5342
0,008
0,004
2,5532
2,5548
2,5550
2,5550
2,5550
2,5551
2,5551
2,5551
0,009
0,0045
2,5723
2,5737
2,5738
2,5739
2,5739
2,5739
2,5739
2,5739
0,01
0,005
2,5896
2,5909
2,5910
2,5910
2,5911
2,5911
2,5911
2,5911
0,02
0,01
2,7082
2,7088
2,7089
2,7089
2,7089
2,7089
2,7089
2,7089
0,03
0,015
2,7776
2,7781
2,7781
2,7781
2,7781
2,7781
2,7781
2,7781
0,04
0,02
2,8240
2,8243
2,8243
2,8243
2,8243
2,8243
2,8243
2,8243
0,05
0,025
2,8565
2,8567
2,8567
2,8567
2,8567
2,8567
2,8567
2,8567
0,06
0,03
2,8797
2,8799
2,8799
2,8799
2,8799
2,8799
2,8799
2,8799
0,07
0,035
2,8963
2,8964
2,8964
2,8964
2,8964
2,8964
2,8964
2,8964
0,08
0,04
2,9077
2,9078
2,9078
2,9078
2,9078
2,9078
2,9078
2,9078
0,09
0,045
2,9153
2,9153
2,9153
2,9153
2,9153
2,9153
2,9153
2,9153
0,1
0,05
2,9197
2,9197
2,9197
2,9197
2,9197
2,9197
2,9197
2,9197
0,2
0,1
2,8741
2,8740
2,8740
2,8740
2,8740
2,8740
2,8740
2,8740
0,3
0,15
2,7698
2,7697
2,7697
2,7697
2,7697
2,7697
2,7697
2,7697
0,4
0,2
2,6540
2,6539
2,6539
2,6539
2,6539
2,6539
2,6539
2,6539
0,5
0,25
2,5392
2,5391
2,5391
2,5391
2,5391
2,5391
2,5391
2,5391
0,6
0,3
2,432
2,4319
2,4319
2,4319
2,4319
2,4319
2,4319
2,4319
0,7
0,35
2,3367
2,3367
2,3367
2,3367
2,3367
2,3367
2,3367
2,3367
0,8
0,4
2,2561
2,2560
2,2560
2,2560
2,2560
2,2560
2,2560
2,2560
0,9
0,45
2,1906
2,1906
2,1906
2,1906
2,1906
2,1906
2,1906
2,1906
1
0,5
2,1394
2,1394
2,1394
2,1394
2,1394
2,1394
2,1394
2,1394
2
1
2,0041
2,0041
2,0041
2,0041
2,0041
2,0041
2,0041
2,0041
3
1,5
2,0001
2,0001
2,0001
2,0001
2,0001
2,0001
2,0001
2,0001
4
2
2,0000
2,0000
2,0000
2,0000
2,0000
2,0000
2,0000
2,0000
42
Tabela 5.1.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de temperatura
prescrita e ߛ=9,0.
TEMPERATURA MÉDIA (Tav)
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
0,9985
0,9968
0,9968
0,9968
0,9968
0,9968
0,9967
0,9967
0,0002
0,0001
0,9960
0,9950
0,9949
0,9948
0,9948
0,9948
0,9948
0,9948
0,0003
0,00015
0,9939
0,9934
0,9932
0,9932
0,9932
0,9932
0,9932
0,9932
0,0004
0,0002
0,9922
0,9919
0,9917
0,9917
0,9917
0,9917
0,9917
0,9917
0,0005
0,00025
0,9906
0,9905
0,9904
0,9903
0,9903
0,9903
0,9903
0,9903
0,0006
0,0003
0,9893
0,9892
0,9891
0,9891
0,9890
0,9890
0,9890
0,9890
0,0007
0,00035
0,9880
0,9880
0,9879
0,9878
0,9878
0,9878
0,9878
0,9878
0,0008
0,0004
0,9869
0,9868
0,9867
0,9867
0,9867
0,9867
0,9867
0,9867
0,0009
0,00045
0,9859
0,9857
0,9856
0,9856
0,9856
0,9856
0,9856
0,9856
0,001
0,0005
0,9849
0,9846
0,9845
0,9845
0,9845
0,9845
0,9845
0,9845
0,002
0,001
0,9759
0,9752
0,9751
0,9751
0,9751
0,9751
0,9751
0,9751
0,003
0,0015
0,9678
0,9672
0,9671
0,9671
0,9671
0,9671
0,9671
0,9671
0,004
0,002
0,9606
0,9600
0,9600
0,9600
0,9600
0,9599
0,9599
0,9599
0,005
0,0025
0,9539
0,9534
0,9534
0,9533
0,9533
0,9533
0,9533
0,9533
0,006
0,003
0,9476
0,9472
0,9471
0,9471
0,9471
0,9471
0,9471
0,9471
0,007
0,0035
0,9417
0,9413
0,9412
0,9412
0,9412
0,9412
0,9412
0,9412
0,008
0,004
0,9361
0,9357
0,9356
0,9356
0,9356
0,9356
0,9356
0,9356
0,009
0,0045
0,9306
0,9302
0,9302
0,9302
0,9302
0,9302
0,9302
0,9302
0,01
0,005
0,9254
0,9250
0,9250
0,9250
0,9250
0,9249
0,9249
0,9249
0,02
0,01
0,8799
0,8796
0,8795
0,8795
0,8795
0,8795
0,8795
0,8795
0,03
0,015
0,8417
0,8415
0,8414
0,8414
0,8414
0,8414
0,8414
0,8414
0,04
0,02
0,8079
0,8077
0,8076
0,8076
0,8076
0,8076
0,8076
0,8076
0,05
0,025
0,7771
0,7769
0,7769
0,7769
0,7769
0,7769
0,7769
0,7769
0,06
0,03
0,7486
0,7484
0,7484
0,7484
0,7484
0,7484
0,7484
0,7484
0,07
0,035
0,7220
0,7218
0,7217
0,7217
0,7217
0,7217
0,7217
0,7217
0,08
0,04
0,6969
0,6967
0,6966
0,6966
0,6966
0,6966
0,6966
0,6966
0,09
0,045
0,6731
0,6729
0,6729
0,6729
0,6729
0,6729
0,6729
0,6729
0,1
0,05
0,6505
0,6503
0,6503
0,6503
0,6503
0,6503
0,6503
0,6503
0,2
0,1
0,4686
0,4685
0,4684
0,4684
0,4684
0,4684
0,4684
0,4684
0,3
0,15
0,3389
0,3388
0,3388
0,3388
0,3388
0,3388
0,3388
0,3388
0,4
0,2
0,2439
0,2438
0,2438
0,2438
0,2438
0,2438
0,2438
0,2438
0,5
0,25
0,1743
0,1742
0,1742
0,1742
0,1742
0,1742
0,1742
0,1742
0,6
0,3
0,1238
0,1237
0,1237
0,1237
0,1237
0,1237
0,1237
0,1237
0,7
0,35
0,0874
0,0874
0,0874
0,0874
0,0874
0,0873
0,0873
0,0873
0,8
0,4
0,0614
0,0614
0,0614
0,0614
0,0614
0,0614
0,0614
0,0614
0,9
0,45
0,0430
0,0430
0,0430
0,0430
0,0430
0,0430
0,0430
0,0430
1
0,5
0,0300
0,0300
0,0300
0,0300
0,0300
0,0300
0,0300
0,0300
2
1
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
3
1,5
0
0
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
0
0
0
0
43
Tabela 5.1.1.3 – Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa) para o caso de
temperatura prescrita e ߛ=9,0.
Número de Nusselt local (Nu) – Fórmula da Inversa
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
0,0001
0,00005
35,4863
35,3665
28,4273
0,0002
0,0001
31,5665
22,9289
22,4788
0,0003
0,00015
28,1472
19,4849
19,4361
0,0004
0,0002
25,1889
17,7480
0,0005
0,00025
22,6500
16,4888
0,0006
0,0003
20,4879
15,4899
0,0007
0,00035
18,6598
14,6751
14,5002
0,0008
0,0004
17,1239
13,9985
13,8587
0,0009
0,00045
15,8400
13,4275
13,3177
0,001
0,0005
14,7709
12,9387
0,002
0,001
10,2131
10,2052
0,003
0,0015
8,9340
8,9129
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
28,3543
28,0278
27,9216
27,8727
27,8504
22,1675
22,0902
22,0625
22,0518
22,0468
19,2875
19,2526
19,2412
19,2362
19,2337
17,5642
17,4895
17,4705
17,4639
17,4608
17,4590
16,2622
16,2169
16,2049
16,2003
16,1980
16,1967
15,2802
15,2488
15,2403
15,2368
15,2349
15,2339
14,4769
14,4703
14,4674
14,4660
14,4651
13,8407
13,8353
13,8329
13,8317
13,8310
13,3033
13,2988
13,2967
13,2957
13,2951
12,8526
12,8407
12,8368
12,8351
12,8341
12,8336
10,1874
10,1832
10,1816
10,1809
10,1806
10,1804
8,9033
8,9009
8,9000
8,8996
8,8993
8,8992
0,004
0,002
8,1639
8,1040
8,0976
8,096
8,0954
8,0951
8,0949
8,0948
0,005
0,0025
7,5936
7,5321
7,5274
7,5261
7,5257
7,5255
7,5254
7,5253
0,006
0,003
7,1497
7,0981
7,0944
7,0935
7,0931
7,0929
7,0928
7,0928
0,007
0,0035
6,7938
6,7532
6,7503
6,7495
6,7492
6,7490
6,7490
6,7489
0,008
0,004
6,5014
6,4701
6,4676
6,4669
6,4667
6,4666
6,4665
6,4665
0,009
0,0045
6,2563
6,2319
6,2298
6,2292
6,2290
6,2289
6,2288
6,2288
0,01
0,005
6,0470
6,0277
6,0258
6,0253
6,0251
6,0251
6,0250
6,0250
0,02
0,01
4,8822
4,8761
4,8754
4,8752
4,8752
4,8751
4,8751
4,8751
0,03
0,015
4,3465
4,3430
4,3425
4,3424
4,3424
4,3424
4,3424
4,3424
0,04
0,02
4,0244
4,0220
4,0218
4,0217
4,0217
4,0216
4,0216
4,0216
0,05
0,025
3,8064
3,8047
3,8045
3,8045
3,8044
3,8044
3,8044
3,8044
0,06
0,03
3,6487
3,6474
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
0,07
0,035
3,5297
3,5286
3,5285
3,5285
3,5284
3,5284
3,5284
3,5284
0,08
0,04
3,4373
3,4364
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
0,09
0,045
3,3642
3,3635
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
0,1
0,05
3,3057
3,3051
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
0,2
0,1
3,0934
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
0,3
0,15
3,1084
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
0,4
0,2
3,1703
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
0,5
0,25
3,2427
3,2425
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
0,6
0,3
3,3154
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
0,7
0,35
3,3836
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
0,8
0,4
3,4441
3,4438
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
0,9
0,45
3,4954
3,4950
3,4950
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
1
0,5
3,5370
3,5365
3,5368
3,5364
3,5364
3,5364
3,5364
3,5364
2
1
3,6537
3,6532
3,6531
3,6519
3,6531
3,6522
3,6496
3,6538
3
1,5
3,6639
3,6568
3,6567
3,6870
3,6567
3,6567
3,6567
3,6507
4
2
3,6578
3,6645
4,1313
3,6568
3,6568
3,6568
3,6568
3,6568
44
Tabela 5.1.1.4 – Convergência do número de Nusselt local (equação de energia) para o caso
de temperatura prescrita e ߛ = 9,0.
Número de Nusselt Local(Nu) – Balanço de Energia
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
27,2681
30,9964
27,9788
28,0033
27,9064
27,8723
27,8538
27,8432
0,0002
0,0001
24,7322
22,2936
22,2044
22,1018
22,0718
22,0577
22,0504
22,0462
0,0003
0,00015
22,5170
19,2951
19,3194
19,2663
19,2483
19,2401
19,2358
19,2333
0,0004
0,0002
20,5954
17,5775
17,5141
17,4813
17,4690
17,4634
17,4605
17,4588
0,0005
0,00025
18,9396
16,3262
16,2373
16,2133
16,2042
16,2000
16,1978
16,1966
0,0006
0,0003
17,5213
15,3496
15,2660
15,2469
15,2398
15,2365
15,2348
15,2338
0,0007
0,00035
16,3125
14,5623
14,4914
14,4757
14,4699
14,4672
14,4658
14,4650
0,0008
0,0004
15,2863
13,9116
13,853
13,8399
13,835
13,8327
13,8316
13,8309
0,0009
0,00045
14,4173
13,3624
13,3139
13,3027
13,2985
13,2966
13,2956
13,295
0,001
0,0005
13,6821
12,8906
12,85
12,8402
12,8366
12,8349
12,8341
12,8336
0,002
0,001
10,1977
10,2014
10,1868
10,1830
10,1815
10,1809
10,1805
10,1803
0,003
0,0015
8,9372
8,9115
8,903
8,9007
8,8999
8,8995
8,8993
8,8992
0,004
0,002
8,1455
8,1032
8,0974
8,0959
8,0953
8,095
8,0949
8,0948
0,005
0,0025
7,5703
7,5315
7,5272
7,5261
7,5256
7,5254
7,5253
7,5253
0,006
0,003
7,1294
7,0976
7,0943
7,0934
7,0931
7,0929
7,0928
7,0928
0,007
0,0035
6,7784
6,7529
6,7501
6,7494
6,7492
6,7490
6,7490
6,7489
0,008
0,004
6,4905
6,4698
6,4675
6,4669
6,4667
6,4666
6,4665
6,4665
0,009
0,0045
6,2488
6,2316
6,2297
6,2292
6,229
6,2289
6,2288
6,2288
0,01
0,005
6,0420
6,0274
6,0257
6,0253
6,0251
6,0250
6,0250
6,0250
0,02
0,01
4,8813
4,8760
4,8754
4,8752
4,8752
4,8751
4,8751
4,8751
0,03
0,015
4,3458
4,3429
4,3425
4,3424
4,3424
4,3424
4,3424
4,3424
0,04
0,02
4,0239
4,0220
4,0217
4,0217
4,0217
4,0216
4,0216
4,0216
0,05
0,025
3,8060
3,8047
3,8045
3,8044
3,8044
3,8044
3,8044
3,8044
0,06
0,03
3,6483
3,6473
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
3,6472
0,07
0,035
3,5293
3,5286
3,5285
3,5284
3,5284
3,5284
3,5284
3,5284
0,08
0,04
3,4370
3,4364
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
3,4363
0,09
0,045
3,3640
3,3635
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
3,3634
0,1
0,05
3,3055
3,3051
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
3,3050
0,2
0,1
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
3,0932
0,3
0,15
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
3,1082
0,4
0,2
3,17
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
3,1701
0,5
0,25
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
3,2424
0,6
0,3
3,3150
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
3,3151
0,7
0,35
3,3831
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
3,3832
0,8
0,4
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
3,4437
0,9
0,45
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
3,4949
1
0,5
3,5364
3,5364
3,5368
3,5364
3,5364
3,5364
3,5364
3,5364
2
1
3,6531
3,6531
3,6531
3,6530
3,6531
3,653
3,6527
3,6531
3
1,5
3,6624
3,6567
3,6567
3,6664
3,6567
3,6567
3,6567
3,6492
4
2
3,6571
3,6644
4,0295
3,6568
3,6568
3,6568
3,6568
3,6568
45
Na avaliação do número de Nusselt local, para o caso de temperatura prescrita
na parede, foram utilizadas duas formas de cálculo, uma através do balanço integral
da equação de energia e outra pelo cálculo direto da derivada da temperatura na
parede a partir da fórmula da inversa. Claramente, como ilustrado nas Tabelas 5.1.1.3
e 5.1.1.4 abaixo, o cálculo baseado na integração da equação de energia apresenta
uma convergência melhor que no caso da substituição direta da fórmula da inversa
para estimar o fluxo de calor na parede. Não obstante, ambas formas de cálculo levam
ao mesmo resultado final para ordens de truncamento suficientemente grandes.
5.1.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([10] e [68])
A seguir apresentamos uma breve verificação do código implementado, a partir de
comparações com resultados numéricos apresentados por Yang [10]. Para ajudar a
visualizar as sensíveis variações da viscosidade nos casos apresentados em [10],
mostramos na Figura 5.1.2.1 abaixo, as diferentes curvas para a viscosidade em
função da temperatura, para os valores de ߛ utilizados por Yang [10], tanto positivos
quanto negativos.
10
Casos de Yang [10]
γ = -0,3
γ = -0,6
γ = -0,9
γ = 3,0
γ = 6,0
µ(T)
γ = 9,0
1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T
Figura 5.1.2.1 – Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura prescrita e
conforme Yang [10].
46
Caso analisado: ߛ = 9,0 ([10])
Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.1 foram considerados 80 termos
na expansão do campo de temperaturas.
Tabela 5.1.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ߛ = 9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
Z
0,0008
0,0086
0,0342
0,0812
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1
X
0,0004
0,0043
0,0171
0,0406
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Nu
13,8310
6,3193
4,1905
3,4266
3,0932
3,1082
3,1701
3,2424
3,3151
(1) Nu local (Inversa)
2
Nu
13,8309
6,3193
4,1905
3,4266
3,0932
3,1082
3,1701
3,2424
3,3151
Nu [10]
14,203
6,382
4,231
3,531
3,115
3,193
3,276
3,360
3,438
(2)Nu local (Energia)
24
Nusselt Local (γ = 9,0)
Yang [10]
Nu(Z) - Inversa
Nu(Z) - Energia
20
Nu(Z)
16
12
8
4
0
0
0.2
Z
0.4
0.6
Figura 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ߛ=9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
47
As duas formas de calcular o número de Nusselt aqui adotadas, a partir do
balanço integral e da fórmula da inversa, apresentam total concordância entre si, após
ser atingida a convergência (como esperado), como mostrado na Tabela 5.1.2.1, e tem
uma razoável concordância com os resultados pioneiros de Yang [10], como também
pode ser observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.2.
Caso analisado: ߛ = -0,9 ([10] e [68])
De forma análoga ao caso anterior, na sequência é apresentada uma nova
verificação do código implementado, a partir de comparações com resultados
numéricos apresentados por Yang [10], bem como com resultados mais recentes de
Oliveira Filho et al. [68]. Estes autores consideraram para esta publicação resultados
com erro relativo de 10-6 na obtenção dos campos transformados e ordem de
truncamento de 40 termos.
Nos resultados apresentados na Tabela 5.1.2.2 foram considerados 80 termos
na expansão do campo de temperaturas. As duas formas de calcular o número de
Nusselt aqui empregadas, a partir do balanço integral e da fórmula da inversa,
apresentam total concordância entre si, após ser atingida a convergência, como
mostrado nas Tabelas 5.1.2.2 e 5.1.2.3, e não apresentam concordância com os
resultados mais recentes Oliveira Filho et al. [68], Tabela 5.1.2.2, no entanto
apresentam boa concordância com Yang [10], Tabela 5.1.2.3, como também pode ser
observado em escala gráfica na Figura 5.1.2.3.
Tabela 5.1.2.2 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ߛ = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [68].
Z=X
0,0001
0,001
0,005
0,01
0,05
0,1
0,2
0,3
0,5
1,0
1,6
2,0
(1)
1
Nu
59,268
24,287
12,740
9,664
5,364
4,429
3,944
3,812
3,721
3,661
3,764
3,773
Nu local (Inversa)
2
Nu
59,126
24,283
12,740
9,664
5,364
4,429
3,944
3,812
3,721
3,662
3,750
3,757
Nu [68]
372,296
94,251
33,428
21,232
8,065
5,833
4,646
4,243
3,907
3,694
3,661
3,657
(2)Nu local (Energia)
48
Tabela 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ߛ = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
1
2
Z
0,003
X
0,0015
Nu
15,646
Nu
15,645
Nu [10]
16,004
0,0188
0,0094
7,570
7,570
7,685
0,052
0,026
5,298
5,298
5,317
0,0988
0,0494
4,441
4,441
4,447
0,2
0,1
3,944
3,944
3,912
0,3
0,15
3,812
3,812
3,829
0,4
0,2
3,754
3,754
3,781
0,5
0,25
3,721
3,721
3,752
0,6
0,3
3,700
3,700
3,734
(2)
Nu local (Inversa)
(2)Nu local (Energia)
20
Nusselt Local (γ = -0,9)
Yang [10]
Nu(Z) - Inversa
Nu(Z) - Energia
16
Nu(Z)
12
8
4
0
0
0.2
0.4
0.6
Z
Figura 5.1.2.3 – Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita
e ߛ=-0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10].
49
Por outro lado, através da Tabela 5.1.2.4 e da Figura 5.1.2.4 as comparações
considerando-se a velocidade no centro do tubo demonstrou excelente concordância
com os resultados de Oliveira Filho et al. [68]. Aparentemente houve um equívoco nos
resultados reportados para o número de Nusselt na ref.[68], sendo este o único
conjunto de dados disponível para comparação direta naquela referência.
Tabela 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura
prescrita e ߛ = -0,9 conforme referência [68].
Z=X
0,0001
0,001
0,005
0,01
0,05
0,1
0,2
0,3
0,5
1,0
1,6
2,0
U
1,606
1,433
1,372
1,377
1,504
1,620
1,763
1,847
1,931
1,990
1,999
2,000
U [68]
1,609
1,433
1,371
1,377
1,504
1,620
1,763
1,846
1,931
1,990
1,999
2,000
2
Velocidade no centro (γ = -0,9)
Oliveira Filho et al. [68]
GITT
U(Z)
1.8
1.6
1.4
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
Z
Figura 5.1.2.4 – Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura
prescrita e ߛ=-0,9 conforme referência [68].
50
5.2 - FLUXO PRESCRITO
5.2.1 - ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA
Para este caso foi realizado procedimento semelhante ao descrito anteriormente, para
o caso da temperatura na parede prescrita, quanto à variação do número de termos na
expansão, no entanto, observou-se uma maior rigidez deste problema em relação ao
anterior, e que quanto maior o valor absoluto de ߣ , menor a taxa de convergência e
maior o custo computacional requerido.
Caso analisado: ߣ= -0,3
Para as análises apresentadas nas tabelas 5.2.1 - 3 abaixo, optou-se por uma
variação de 10 em 10 termos na expansão. Observa-se uma excelente convergência
para a velocidade no centro do tubo, para a temperatura média na seção, bem como
para o número de Nusselt local. Pelo menos quatro dígitos significativos encontram-se
convergidos para o número de Nusselt com NT=80.
51
Tabela 5.2.1.1 – Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de fluxo prescrito e
ߣ= -0,3.
VELOCIDADE NO CENTRO
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
2,0008
2,0011
2,0012
2,0012
2,0012
2,0012
2,0012
2,0012
0,0002
0,0001
2,0014
2,0019
2,0019
2,0019
2,0019
2,0019
2,0019
2,0019
0,0003
0,00015
2,0021
2,0025
2,0025
2,0025
2,0025
2,0025
2,0025
2,0025
0,0004
0,0002
2,0026
2,003
2,003
2,0031
2,0031
2,0031
2,0031
2,0031
0,0005
0,00025
2,0032
2,0035
2,0035
2,0035
2,0035
2,0035
2,0035
2,0035
0,0006
0,0003
2,0037
2,0040
2,0040
2,0040
2,0040
2,0040
2,0040
2,0040
0,0007
0,00035
2,0042
2,0044
2,0044
2,0044
2,0044
2,0044
2,0044
2,0044
0,0008
0,0004
2,0046
2,0048
2,0048
2,0048
2,0048
2,0048
2,0048
2,0048
0,0009
0,00045
2,0050
2,0052
2,0052
2,0052
2,0052
2,0052
2,0052
2,0052
0,001
0,0005
2,0054
2,0056
2,0056
2,0056
2,0056
2,0056
2,0056
2,0056
0,002
0,001
2,0087
2,0087
2,0087
2,0087
2,0087
2,0087
2,0087
2,0087
0,003
0,0015
2,0112
2,0112
2,0112
2,0112
2,0112
2,0112
2,0112
2,0112
0,004
0,002
2,0134
2,0134
2,0134
2,0134
2,0134
2,0134
2,0134
2,0134
0,005
0,0025
2,0153
2,0153
2,0153
2,0154
2,0154
2,0154
2,0154
2,0154
0,006
0,003
2,0171
2,0171
2,0171
2,0171
2,0171
2,0171
2,0171
2,0171
0,007
0,0035
2,0187
2,0187
2,0187
2,0187
2,0187
2,0187
2,0187
2,0187
0,008
0,004
2,0202
2,0203
2,0203
2,0203
2,0203
2,0203
2,0203
2,0203
0,009
0,0045
2,0216
2,0217
2,0217
2,0217
2,0217
2,0217
2,0217
2,0217
0,01
0,005
2,0230
2,0230
2,0230
2,0230
2,0230
2,0230
2,0230
2,0230
0,02
0,01
2,0337
2,0337
2,0338
2,0338
2,0338
2,0338
2,0338
2,0338
0,03
0,015
2,0416
2,0416
2,0416
2,0416
2,0416
2,0416
2,0416
2,0416
0,04
0,02
2,0479
2,0479
2,0480
2,0480
2,0480
2,0480
2,0480
2,0480
0,05
0,025
2,0532
2,0532
2,0532
2,0532
2,0532
2,0532
2,0532
2,0532
0,06
0,03
2,0578
2,0578
2,0578
2,0578
2,0578
2,0578
2,0578
2,0578
0,07
0,035
2,0617
2,0617
2,0617
2,0617
2,0617
2,0617
2,0617
2,0617
0,08
0,04
2,0652
2,0653
2,0653
2,0653
2,0653
2,0653
2,0653
2,0653
0,09
0,045
2,0684
2,0684
2,0684
2,0684
2,0684
2,0684
2,0684
2,0684
0,1
0,05
2,0712
2,0712
2,0712
2,0712
2,0712
2,0712
2,0712
2,0712
0,2
0,1
2,0898
2,0898
2,0898
2,0898
2,0898
2,0898
2,0898
2,0898
0,3
0,15
2,1012
2,1012
2,1012
2,1012
2,1012
2,1012
2,1012
2,1012
0,4
0,2
2,1116
2,1116
2,1116
2,1116
2,1116
2,1116
2,1116
2,1116
0,5
0,25
2,1230
2,1230
2,1230
2,1230
2,1230
2,1230
2,1230
2,1230
0,6
0,3
2,1366
2,1366
2,1366
2,1366
2,1366
2,1366
2,1366
2,1366
0,7
0,35
2,1534
2,1534
2,1534
2,1534
2,1534
2,1534
2,1534
2,1534
0,8
0,4
2,1749
2,1749
2,1749
2,1749
2,1749
2,1749
2,1749
2,1749
0,9
0,45
2,2035
2,2035
2,2035
2,2035
2,2035
2,2035
2,2035
2,2035
1
0,5
2,2433
2,2433
2,2433
2,2433
2,2433
2,2433
2,2433
2,2433
52
Tabela 5.2.1.2 – Convergência da temperatura média no tubo para o caso de fluxo prescrito e
ߣ= -0,3.
TEMPERATURA MÉDIA (Tav)
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
1,41E-04
1,93E-04
1,98E-04
1,99E-04
1,99E-04
1,99E-04
1,99E-04
2,00E-04
0,0002
0,0001
3,41E-04
3,92E-04
3,97E-04
3,98E-04
3,99E-04
3,99E-04
3,99E-04
3,99E-04
0,0003
0,00015
5,40E-04
5,91E-04
5,96E-04
5,97E-04
5,98E-04
5,98E-04
5,98E-04
5,98E-04
0,0004
0,0002
7,39E-04
7,90E-04
7,95E-04
7,96E-04
7,97E-04
7,97E-04
7,97E-04
7,97E-04
0,0005
0,00025
9,38E-04
9,89E-04
9,94E-04
9,95E-04
9,96E-04
9,96E-04
9,96E-04
9,96E-04
0,0006
0,0003
1,14E-03
1,19E-03
1,19E-03
1,19E-03
1,20E-03
1,20E-03
1,20E-03
1,20E-03
0,0007
0,00035
1,34E-03
1,39E-03
1,39E-03
1,39E-03
1,39E-03
1,39E-03
1,39E-03
1,39E-03
0,0008
0,0004
1,53E-03
1,59E-03
1,59E-03
1,59E-03
1,59E-03
1,59E-03
1,59E-03
1,59E-03
0,0009
0,00045
1,73E-03
1,79E-03
1,79E-03
1,79E-03
1,79E-03
1,79E-03
1,79E-03
1,79E-03
0,001
0,0005
1,93E-03
1,98E-03
1,99E-03
1,99E-03
1,99E-03
1,99E-03
1,99E-03
1,99E-03
0,002
0,001
3,92E-03
3,97E-03
3,98E-03
3,98E-03
3,98E-03
3,98E-03
3,98E-03
3,98E-03
0,003
0,0015
5,90E-03
5,96E-03
5,96E-03
5,96E-03
5,96E-03
5,96E-03
5,96E-03
5,96E-03
0,004
0,002
7,89E-03
7,94E-03
7,95E-03
7,95E-03
7,95E-03
7,95E-03
7,95E-03
7,95E-03
0,005
0,0025
9,87E-03
9,93E-03
9,93E-03
9,93E-03
9,93E-03
9,93E-03
9,93E-03
9,93E-03
0,006
0,003
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
1,19E-02
0,007
0,0035
1,38E-02
1,39E-02
1,39E-02
1,39E-02
1,39E-02
1,39E-02
1,39E-02
1,39E-02
0,008
0,004
1,58E-02
1,59E-02
1,59E-02
1,59E-02
1,59E-02
1,59E-02
1,59E-02
1,59E-02
0,009
0,0045
1,78E-02
1,79E-02
1,79E-02
1,79E-02
1,79E-02
1,79E-02
1,79E-02
1,79E-02
0,01
0,005
1,98E-02
1,99E-02
1,99E-02
1,99E-02
1,99E-02
1,99E-02
1,99E-02
1,99E-02
0,02
0,01
3,96E-02
3,97E-02
3,97E-02
3,97E-02
3,97E-02
3,97E-02
3,97E-02
3,97E-02
0,03
0,015
5,95E-02
5,95E-02
5,96E-02
5,96E-02
5,96E-02
5,96E-02
5,96E-02
5,96E-02
0,04
0,02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
7,94E-02
0,05
0,025
9,92E-02
9,93E-02
9,93E-02
9,93E-02
9,93E-02
9,93E-02
9,93E-02
9,93E-02
0,06
0,03
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
1,19E-01
0,07
0,035
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
1,39E-01
0,08
0,04
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
1,59E-01
0,09
0,045
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
1,79E-01
0,1
0,05
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
1,99E-01
0,2
0,1
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
3,98E-01
0,3
0,15
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
5,97E-01
0,4
0,2
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
7,97E-01
0,5
0,25
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
9,96E-01
0,6
0,3
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
1,20E+00
0,7
0,35
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
1,39E+00
0,8
0,4
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
1,59E+00
0,9
0,45
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1,79E+00
1
0,5
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
1,99E+00
53
Tabela 5.2.1.3 – Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= 0,3.
Número de Nusselt local (Nu)
Z
X
NT=10
NT=20
NT=30
NT=40
NT=50
NT=60
NT=70
NT=80
0,0001
0,00005
62,9132
53,1291
49,2223
49,0226
48,9521
48,9155
48,8975
48,8875
0,0002
0,0001
48,1523
38,4086
37,7176
37,6496
37,6189
37,6057
37,599
37,5952
0,0003
0,00015
39,8168
32,5545
32,3923
32,3439
32,3269
32,3194
32,3156
32,3134
0,0004
0,0002
34,4725
29,1787
29,1022
29,0695
29,0581
29,0530
29,0505
29,0490
0,0005
0,00025
30,7604
26,8618
26,798
26,7743
26,7659
26,7622
26,7603
26,7593
0,0006
0,0003
28,0349
25,1205
25,061
25,0426
25,0361
25,0332
25,0318
25,0309
0,0007
0,00035
25,9502
23,7409
23,6866
23,6717
23,6665
23,6641
23,6629
23,6623
0,0008
0,0004
24,3045
22,6097
22,5612
22,5489
22,5445
22,5425
22,5415
22,541
0,0009
0,00045
22,9719
21,6588
21,616
21,6055
21,6018
21,6001
21,5993
21,5988
0,001
0,0005
21,8702
20,8441
20,8064
20,7973
20,7941
20,7927
20,7919
20,7915
0,002
0,001
16,3772
16,243
16,2283
16,2247
16,2235
16,2229
16,2226
16,2225
0,003
0,0015
14,1290
14,0731
14,0646
14,0626
14,0618
14,0615
14,0613
14,0612
0,004
0,002
12,7729
12,7275
12,7217
12,7203
12,7198
12,7196
12,7195
12,7194
0,005
0,0025
11,8214
11,7824
11,7781
11,7771
11,7767
11,7766
11,7765
11,7764
0,006
0,003
11,1018
11,069
11,0656
11,0648
11,0645
11,0644
11,0643
11,0643
0,007
0,0035
10,5318
10,5042
10,5015
10,5008
10,5006
10,5005
10,5004
10,5004
0,008
0,004
10,0654
10,0420
10,0397
10,0392
10,039
10,0389
10,0388
10,0388
0,009
0,0045
9,6743
9,6542
9,6522
9,6517
9,6516
9,6515
9,6514
9,6514
0,01
0,005
9,3399
9,3223
9,3206
9,3202
9,3201
9,3200
9,3200
9,3199
0,02
0,01
7,4691
7,4619
7,4612
7,4610
7,4610
7,4610
7,4609
7,4609
0,03
0,015
6,6078
6,6035
6,6031
6,6030
6,6029
6,6029
6,6029
6,6029
0,04
0,02
6,0880
6,0850
6,0847
6,0847
6,0846
6,0846
6,0846
6,0846
0,05
0,025
5,7335
5,7312
5,731
5,731
5,7309
5,7309
5,7309
5,7309
0,06
0,03
5,4741
5,4723
5,4721
5,4721
5,4720
5,4720
5,4720
5,4720
0,07
0,035
5,2755
5,2739
5,2738
5,2738
5,2737
5,2737
5,2737
5,2737
0,08
0,04
5,1185
5,1172
5,1171
5,1170
5,1170
5,1170
5,1170
5,1170
0,09
0,045
4,9916
4,9904
4,9903
4,9903
4,9903
4,9903
4,9903
4,9903
0,1
0,05
4,8872
4,8861
4,8860
4,8860
4,8860
4,8860
4,8860
4,8860
0,2
0,1
4,4127
4,4121
4,4120
4,4120
4,4120
4,4120
4,4120
4,4120
0,3
0,15
4,2906
4,2901
4,2901
4,2900
4,2900
4,2900
4,2900
4,2900
0,4
0,2
4,2495
4,2490
4,2490
4,2490
4,2490
4,2490
4,2490
4,2490
0,5
0,25
4,2288
4,2284
4,2283
4,2283
4,2283
4,2283
4,2283
4,2283
0,6
0,3
4,212
4,2115
4,2115
4,2115
4,2115
4,2115
4,2115
4,2115
0,7
0,35
4,1935
4,1931
4,1931
4,1931
4,1931
4,1931
4,1931
4,1931
0,8
0,4
4,171
4,1706
4,1706
4,1705
4,1705
4,1705
4,1705
4,1705
0,9
0,45
4,1418
4,1414
4,1414
4,1414
4,1414
4,1414
4,1414
4,1414
1
0,5
4,1021
4,1018
4,1017
4,1017
4,1017
4,1017
4,1017
4,1017
5.2.2 - VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS COM OS DA LITERATURA ([9] e [10])
A seguir, efetua-se a verificação do código construído, por comparação direta com
alguns resultados apresentados nos trabalhos de Quaresma [9] e Yang [10]. Nos
54
resultados apresentados na Tabela 5.2.4 abaixo foram considerados 80 termos na
expansão, comparando-se o número de Nusselt local em algumas posições axiais. Os
resultados tem uma razoável concordância com Yang [10], como também confirmado
pela comparação gráfica apresentada na Figura 5.2.1.
Tabela 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= 0,3 pela GITT e conforme referência [10].
Z
X
Nu
Yang [10]
0,0082
0,0041
9,9561
9,754
0,015
0,0242
0,0075
0,0121
8,1683
7,0382
8,024
6,918
0,0356
0,0178
6,2859
6,170
0,0494
0,0652
0,0247
0,0326
5,7490
5,3628
5,647
5,277
40
Nusselt Local (λ= -0,3)
Yang [10]
GITT
Nu(Z)
30
20
10
0
0
0.02
Z
0.04
0.06
Figura 5.2.2.1 – Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= 0,3 pela GITT e conforme referência [10].
A seguir apresentamos uma verificação da solução aqui proposta, para o caso
de viscosidade constante, comparada aos resultados de referência obtidos por
Transformação Integral Clássica (CITT) por Quaresma [9], no qual o respectivo autor
considerou 50 termos na expansão. Para a análise dos resultados apresentados na
Tabela 5.2.5 foram considerados 25 termos na expansão da presente solução. A
presente solução com um número relativamente menor de termos permitiu verificar a
55
boa aderência com a solução benchmark da ref. [9], e serviu para definir um limite da
ordem de truncamento a ser utilizada nos exemplos subsequentes da formulação não
linear.
Tabela 5.2.2.2 – Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso de fluxo
prescrito e propriedades constantes, pela GITT e conforme referência [9].
Z
z
Nuz
Quaresma [9]
Nuav
Quaresma [9]
0,0004
0,0001
27,357
27,276
38,111
38,405
0,0008
0,0002
21,591
21,557
31,070
31,191
0,0012
0,0003
18,809
18,790
27,404
27,477
0,0016
0,0004
17,062
17,095
25,023
25,074
0,002
0,0005
15,823
15,813
23,300
23,339
0,0024
0,0006
14,880
14,872
21,972
22,003
0,0028
0,0007
14,129
14,123
20,904
20,929
0,0032
0,0008
13,511
13,506
20,017
20,038
0,0036
0,0009
12,990
12,985
19,264
19,283
0,004
0,0010
12,542
12,538
18,614
18,630
0,008
0,0020
9,988
9,986
14,840
14,846
0,012
0,0030
8,773
8,772
13,001
13,005
0,016
0,0040
8,021
8,020
11,844
11,847
0,02
0,0050
7,494
7,494
11,024
11,026
0,024
0,0060
7,099
7,099
10,401
10,403
0,028
0,0070
6,788
6,788
9,906
9,908
0,032
0,0080
6,536
6,536
9,500
9,502
0,036
0,0090
6,326
6,326
9,159
9,160
0,04
0,0100
6,148
6,148
8,867
8,868
0,08
0,0200
5,198
5,198
7,227
7,228
0,12
0,0300
4,816
4,816
6,479
6,473
0,16
0,0400
4,621
4,621
6,037
6,037
0,2
0,0500
4,514
4,514
5,742
5,742
0,24
0,0600
4,452
4,452
5,532
5,532
0,28
0,0700
4,416
4,416
5,375
5,375
0,32
0,0800
4,399
4,399
5,253
5,253
0,36
0,0900
4,382
4,382
5,157
5,157
0,4
0,1000
4,375
4,375
5,079
5,079
0,8
0,2000
4,364
4,364
4,723
4,723
5.2.2.1 - VERIFICAÇÃO DA IMPORTÂNCIA DOS TERMOS CONVECTIVOS NA
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PARA FLUXO PRESCRITO
A fim de verificar a importância dos termos convectivos no cálculo do campo de
temperatura para o problema com condição de contorno de fluxo prescrito, deve-se,
primeiramente, calcular a componente radial do campo de velocidade. Para esse
propósito, se utiliza a Eq. (3.31.a) para a velocidade U(R,Z) na equação da
56
continuidade, em seguida integra-se o resultado no domínio de [0,R] na direção radial,
obtendo-se assim a seguinte expressão para a velocidade radial V(R,Z):
∞
 R
 ∞
dT (Z ) 
R2 λ R
R4
(1 − ) + λ ∑ H i ( R)Ti (Z )  λ ∑ Gi i
  (1 − ) +
2
16
3
dZ 
1  4
i =1
i =1


V ( R, Z ) = 
2
∞
2
1 λ

 8 + 24 + λ ∑ GiTi (Z ) 


i =1


∞

dTi (Z )  
λ ∑ H i ( R) dZ  
 
−  i =1

∞
1 λ

 8 + 24 + λ ∑ GiTi (Z )  

i =1

(5.1.a)
onde:

R(2 − R 2 )
H
(
R
)
=
para i = 1;
 i
8
N
i


 H ( R) = 1  RJ (ζ R) − 2 J (ζ R) 
 0 i

 i
ζi 1 i 
N i ζ i2 

(5.1.b)
para i > 1.
As Eqs. (5.1) acima juntamente com a componente axial de velocidade dada
pelas Eqs. (3.31) e o campo de temperatura dado pelas Eqs. (3.26) e (3.30.b) servem
para calcular os termos convectivos e verificar as suas respectivas importâncias para
esse problema de entrada térmica com condição de contono de fluxo prescrito.
Neste ponto, antes de prosseguir com as análises será feita uma verificação da
importância dos termos convectivos U ( R, Z )
∂ T ( R, Z )
∂ T ( R, Z )
∂ Z e V ( R, Z )
∂ R no
campo de temperatura e quantidades de interesse prático, tais como números de
Nusselt. Para esse propósito, observou-se a variação desses referidos termos ao
longo da entrada térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo calo
prescrito constante e adotando-se λ=0,721295. Observa-se das Figuras 5.2.2.1.1 que o
termo
U ( R, Z ) ∂ T ( R , Z )
∂ T ( R, Z )
∂ Z é sempre superior ao V ( R, Z )
∂ R para quase
todas as posições axiais, exceto para Z=0,0001, onde a ordem de magnitude desses
termos são bem próximas em uma determinada faixa de posição radial, embora
próximo da parede R=1, os gradientes de U ( R, Z )
∂ T ( R, Z )
∂ Z sejam bem maiores, o
que influenciará diretamente os valores de números de Nusselt. À medida que Z
aumenta, a importância do termo convectivo radial vai diminuindo consideravelmente.
57
Dessa forma, justifica-se a hipótese adotada no presente trabalho de se desprezar o
termo convectivo radial face à importância do termo convectivo axial.
10
24
22
Z=0.0001
20
U(∂T/∂Z)
18
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
8
V(∂T/∂R)
7
Termos Convectivos
16
Termos Convectivos
Z=0.001
9
14
12
10
8
6
4
6
5
4
3
2
2
1
0
0
-2
-1
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5.0
0.7
0.8
0.9
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
4.0
Z=0.1
Z=0.01
4.5
3.5
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
4.0
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
3.0
Termos Convectivos
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
2.5
2.0
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
R
R
4.0
Z=1.0
3.5
U(∂T/∂Z)
V(∂T/∂R)
3.0
Termos Convectivos
Termos Convectivos
0.6
R
R
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
R
Figura 5.2.2.1.1 – Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada térmica como
função da coordenada radial para o caso de fluxo prescrito e l= 0,721295.
58
5.2.3 – UNIT PARA ÓLEO TÉRMICO LUBRAX OT-68-OF
Inicialmente será apresentada uma breve verificação da solução obtida pelo código
UNIT para a convecção forçada laminar, utilizando o valor l= 0, correspondente à
situação de viscosidade constante, para o qual resultados benchmark estão
disponíveis a partir da solução exata por transformada integral [9]. A tabela 5.2.3.1
abaixo apresenta uma análise de convergência para o número de Nusselt local da
solução híbrida proposta, que deve ser comparada em sua ordem de truncamento
mais elevada, N=30, com a solução de referência em [9], apresentada na última
coluna. Apresentamos também a solução por GITT acima detalhada, como obtida pela
rotina dedicada escrita em Fortran 95 do presente trabalho. A solução pelo código
UNIT foi obtida com um máximo de 30 termos na expansão em autofunções,
empregando o filtro automático acima definido, e evitando-se o sistema transformado
implícito, levando-se o campo de velocidades U(R,Z) para o denominador do termo
fonte geral. Foi empregada integração numérica por Gauss não adaptatitiva com 464
pontos nodais. Claramente, a solução obtida pelo UNIT encontra-se convergida em
pelo menos três dígitos significativos, em toda a faixa de variável dependente
considerada. Pode-se também observar que a solução automática concorda pelo
menos em mais ou menos um nesse mesmo dígito em relação às duas soluções
apresentadas, a solução exata na ref.[9] e o algoritmo dedicado deste trabalho. Essa
comparação fornece a necessária confiança para empregar esse conjunto de
parâmetros na obtenção dos resultados para o caso específico do óleo térmico.
Já a Tabela 5.2.3.2 apresenta uma comparação específica dos números de
Nusselt locais para o caso não-linear apresentado por Yang [10] com l= -0,3. Além dos
resultados de Yang na última coluna, apresentamos os resultados da simulação com o
código UNIT e com a rotina dedicada por GITT deste trabalho. Pode-se observar uma
maior discrepância entres os resultados da presente análise e o trabalho pioneiro e
aproximado de Yang [10], mas uma diferença apenas no terceiro dígito entre a
presente simulação e o código dedicado do presente trabalho.
59
Tabela 5.2.3.1 - Análise de convergência do número de Nusselt local para o caso de
viscosidade constante (l= 0) e comparação com resultados de referência [9].
Número de Nusselt local (Nu)
Z
N=5
N=10
N=15
N=20
N=25
N=30
Nuz
Ref. [9]
0,0012
20,0317
18,8936
18,6568
18,6288
18,6151
18,6034
18,809
18,790
0,0016
18,1671
17,0779
16,9452
16,9249
16,9154
16,9074
17,062
17,095
0,002
16,7967
15,8107
15,7282
15,7122
15,7050
15,699
15,823
15,813
0,0024
15,734
14,8569
14,8004
14,7873
14,7817
14,7769
14,880
14,872
0,0028
14,8789
14,1021
14,0601
14,0492
14,0446
14,0406
14,129
14,123
0,0032
14,1718
13,4834
13,4501
13,4408
13,4369
13,4336
13,511
13,506
0,0036
13,5745
12,9631
12,9352
12,9272
12,9238
12,921
12,990
12,985
0,004
13,0615
12,5165
12,4923
12,4853
12,4824
12,4799
12,542
12,538
0,008
10,1816
9,97263
9,96148
9,95855
9,9573
9,95625
9,988
9,986
0,012
8,86583
8,76196
8,75504
8,75324
8,75248
8,75184
8,773
8,772
0,016
8,07336
8,01148
8,00656
8,00528
8,00474
8,00428
8,021
8,020
0,02
7,52877
7,48642
7,48263
7,48165
7,48123
7,48087
7,494
7,494
0,024
7,12441
7,0923
7,08922
7,08841
7,08807
7,08779
7,099
7,099
0,028
6,80862
6,78247
6,77988
6,7792
6,77891
6,77867
6,788
6,788
0,032
6,55316
6,53083
6,52858
6,5280
6,52775
6,52751
6,536
6,536
0,036
6,34109
6,32142
6,31944
6,31892
6,3187
6,31849
6,326
6,326
0,04
6,16154
6,14385
6,14208
6,14161
6,14142
6,14123
6,148
6,148
0,08
5,2053
5,19587
5,19495
5,19471
5,19461
5,19452
5,198
5,198
0,12
4,82069
4,8138
4,81314
4,81296
4,81289
4,81282
4,816
4,816
0,16
4,62554
4,61978
4,61922
4,61908
4,61902
4,61896
4,621
4,621
0,2
4,51774
4,51256
4,51206
4,51193
4,51187
4,51182
4,514
4,514
0,24
4,4559
4,45105
4,45058
4,45045
4,4504
4,45036
4,452
4,452
0,28
4,41976
4,4151
4,41461
4,41452
4,41448
4,41443
4,416
4,416
0,32
4,39844
4,39388
4,3934
4,39332
4,39327
4,39323
4,399
4,399
0,36
4,38578
4,38128
4,38081
4,38074
4,38068
4,38064
4,382
4,382
0,4
4,37824
4,37378
4,37332
4,37324
4,37319
4,37315
4,375
4,375
0,8
4,36713
4,36273
4,36227
4,36219
4,36214
4,3621
4,364
4,364
Tabela 5.2.3.2 - Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não linear l= -0,3:
Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina dedicada e diferenças finitas [10].
Z
UNIT
Nuz GITT/Fortran
Yang [10]
0,0082
9,93846
9,9561
9,754
0,015
8,18838
8,1683
8,024
0,0242
7,0665
7,0382
6,918
0,0356
6,31145
6,2859
6,17
0,0494
5,76738
5,749
5,647
0,0652
5,37234
5,3628
5,277
60
A seguir serão apresentados resultados referentes ao óleo térmico LUBRAX
OT-68-OF, cujas propriedades podem ser consultadas na ref. [75]. O primeiro caso
considerado refere-se a uma temperatura de entrada de 150°C, uma variação de
temperatura média de 20°C na seção térmica, e um número de Reynolds de Re=2000,
praticamente no limite superior do regime laminar. Para o comprimento aquecido de
L=4,95m e o raio interno da tubulação de rw=0,0079m, prescreve-se então uma
potência total (desprezando as perdas) de Qw=3077,4 W, distribuídos nas doze
resistências que compõem a seção de testes. O ajuste do parâmetro da variação de
viscosidade fornece o valor l= 18,99 nesse caso, a uma velocidade média de
um=0,394 m/s. Este caso foi rapidamente descartado, pois observou-se os altos
valores da temperatura da parede alcançados, chegando-se a 369,6°C na saída da
seção de testes, bem acima das temperaturas de fulgor VA (254°C), do ponto de
combustão (284°C) e quase até de auto-ignição do óleo (366°C). Esse resultado é
ilustrado nas Figuras 5.2.3.1.a,b abaixo que ilustram a distribuição espacial da
temperatura do fluido e os gráficos das temperaturas na parede, média e no centro
para esta situação, respectivamente. Outro aspecto importante observado é que o
comprimento de entrada de Le=0,51 m seria insuficiente para o desenvolvimento
hidrodinâmico do escoamento até a entrada da seção térmica, e que seria necessário
um comprimento de 1,77m.
Figura 5.2.3.1.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico
(Re=2000, ∆Tb=20°C)
61
Tb, T0 & Tw @ºC D
350
300
250
200
1
2
3
4
5
z @mD
Figura 5.2.3.1.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo
(Re=2000, ∆Tb=20°C)
Em função dessas considerações, optou-se então por considerar um aumento
menos acentuado na temperatura média do fluido ao longo da seção, bem como uma
redução no número de Reynolds para Re=1200, e considerando-se um ∆Tb=10°C.
Nesse caso, a potência pré-dimensionada resultou em Qw=974,2 W, desta feita
distribuídos entre apenas 10 resistências. As duas primeiras resistências são então
desconectadas para prover um comprimento de desenvolvimento hidrodinâmico
adequado. Estima-se que nesse caso o comprimento de entrada Lh seria de 1,06m e
portanto, com a distância disponível e o comprimento das duas resistências
desligadas, chega-se ao valor novo disponível de Le=1,3m. O comprimento de
desenvolvimento térmico estimado é de cerca de 62m tendo em vista o alto número de
Prandtl do óleo térmico. O parâmetro de viscosidade então assume o valor l= 7,105 e
a velocidade média é um=0,252 m/s e a vazão cerca 2,4 kg/min.
As Figuras 5.2.3.2.a,b então ilustram a distribuição espacial da temperatura no
fluido e as temperaturas na parede, média de mistura e no centro do canal,
respectivamente. Neste caso, chega-se à temperatura máxima de parede de 248,1°C,
portanto abaixo da temperatura de fulgor VA de 254°C. Naturalmente, essa estimativa
é conservativa, porque há perdas térmicas pelo isolamento, mas é possível reduzir o
número de Reynolds para definir um caso teste ainda mais conservativo. Pela
distribuição espacial na saída observa-se claramente que um termopar posicionado no
fluido não efetuaria uma medida representativa da temperatura média de mistura, o
que demonstra a necessidade de um misturador adiabático na saída para que a
estimativa da temperatura média tenha aplicabilidade.
62
Figura 5.2.3.2.a - Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico (Re=1200,
∆Tb=10°C)
Tb , T0 & Tw @ºC D
240
220
200
180
160
1
2
3
4
z @m D
Figura 5.2.3.2.b - Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=1200,
∆Tb=10°C)
63
A Figura 5.2.3.3 apresenta os perfis da componente longitudinal da velocidade
na seção do tubo ao longo da dimensão axial, nas posições z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m a
partir da entrada, confirmando a importância de se levar em consideração a variação
da viscosidade para esse fluido. Já a Figura 5.2.3.4 apresenta a variação do
coeficiente de transferência de calor local ao longo do tubo, mostrado em forma de
pontos, nas mesmas posições axiais onde estão previstos os termopares, ou seja, três
termopares equiespaçados na terceira resistência (primeira resistência ativa nesse
caso), e um termopar central nas demais 9 resistências, perfazendo um total de 12
medidas. Evita-se assim que os termopares estejam próximas às extremidades das
resistências, bem como da entrada e da saída do tubo. Vale comentar que o
coeficiente de transferência de calor na saída do tubo é de 53,89 W/m2°C, ainda bem
distante do valor assimptótico de de 24,28 W/m2°C. Por outro lado, o coeficiente de
transferência de calor médio na saída da seção térmica é de 77,84 W/m2°C. Esses
valores podem ser diretamente comparados com aqueles previstos pelas correlações
teórica de Shah [78], hS(L)=74,22 W/m2°C,
e empírica de Churchill & Ozoe [79],
hC(L)=75,34 W/m2°C. A correlação de Churchill & Ozoe também permite uma correção
do valor do número de Nusselt em função da variação da viscosidade, o que nesse
caso resulta em um valor majorado do coeficiente de transferência de calor médio,
igual hC(L)=81,18 W/m2°C. A comparação entre os coeficientes locais de transferência
de calor aqui calculados e aqueles previstos pela correlação de Churchill & Ozoe (linha
vermelha) é mostrada na Fig.5.2.3.4, com excelente concordância, oferecendo uma
verificação do modelo aqui adotado.
uHr,zL @mêsD
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
r @mm D
Figura 5.2.3.3 - Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em diferentes posições
axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C
64
h @W êm2C D
250
200
150
100
50
0
1
2
3
4
z @mD
Figura 5.2.3.4 - Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes posições
axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C (pontos - presente simulação, linha
continua - correlação de Churchill & Ozoe).
O presente caso servirá como caso-teste após a montagem e testes de
funcionamento do circuito termohidráulico para altas temperaturas.
5.2.4 – COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Esta seção é dedicada à comparação da presente simulação com resultados
experimentais recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES, para
um nanofluido comercial de água-sílica [75]. Quatro ensaios com o nanofluido
comercial foram selecionados para esta comparação, e seus dados principais são
consolidados na Tabela 5.2.4.1 abaixo, observando-se a ampla faixa de números de
Reynolds selecionada, de cerca de 1200 a 1900.
Tabela 5.2.4.1 – Consolidação de parâmetros relacionados aos casos experimentais do
nanofluido água-sílica selecionados para as comparações.
l
Medição
1
0,721295
Vazão
876
T0 [°C] qw [W/m2] Reynolds
25,06
5295
1458
Prandtl
9,87802
Peclet
14401
3
0,784579
720
25,58
5733
1237
9,53625
11796
7
0,728404
973
26,19
5286
1654
9,64812
15957
9
0,926381
1093
26,26
6723
1876
9,54910
17914
65
As tabelas 5.2.4.2 e 5.2.4.5 abaixo apresentam uma análise de convergência,
através de uma variação de 5 em 5 termos na expansão. A tabela 5.2.4.2 apresenta os
resultados referentes ao número de Nusselt local no caso de propriedades constantes,
enquanto a tabela 5.2.4.3 ilustra a convergência do caso com variação da viscosidade
com
a temperatura.
Praticamente quatro dígitos
significativos
encontram-se
convergidos nessa faixa de ordem de truncamento da expansão, mais que suficiente
para as comparações com resultados experimentais que se seguirão. As posições
axiais mostradas correspondem às posições onde estão instalados os termopares ao
longo do tubo de teste. Observa-se um aumento no número de Nusselt ao considerarse o modelo com variação da viscosidade, ao longo do tubo aquecido, exceto na
primeira posição próxima à entrada do canal. Vale lembrar que o presente modelo não
leva em consideração a variação da componente transversal da velocidade, que pode
ter alguma importância nas posições mais próximas à entrada do canal.
Além do cálculo do número de Nusselt local, inclui-se também a convergência
do número de Nusselt médio, ilustrada nas tabelas 5.2.4.4 e 5.2.4.5, respectivamente
para os casos de propriedades constantes e viscosidade variável. Nesse caso, uma
convergência de cerca de três dígitos significativos foi observada nas posições
correspondentes aos termopares instalados no experimento. Aqui fica evidente o
maior desvio entre os números de Nusselt médio para propriedades constantes e
viscosidade variável, na região mais próxima à entrada do canal.
Tabela 5.2.4.2 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se
as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.
Nuz
Caso
Medição
1 - SiO2
Medição
7 - SiO2
Z
z (m)
NT=5
NT=10
NT=15
NT=20
NT=25
8,32624 E-04
0,019
29,013
22,664
21,348
21,328
21,299
1,87559 E-02
0,428
7,6973
7,6491
7,6428
7,6413
7,6408
3,44882 E-02
0,787
6,4328
6,4054
6,4024
6,4017
6,4014
5,20171 E-02
1,187
5,7650
5,7463
5,7445
5,7440
5,7439
7,23506 E-02
1,651
5,3279
5,3147
5,3134
5,3131
5,3130
8,86964 E-02
2,024
5,1011
5,0904
5,0894
5,0891
5,0890
9,71541 E-02
2,217
5,0103
5,0005
4,9996
4,9993
4,9993
7,51973 E-04
0,019
30,033
23,764
22,105
22,083
22,051
1,69392 E-02
0,428
7,9493
7,8909
7,8838
7,8821
7,8815
3,11475 E-02
0,787
6,6201
6,5904
6,5871
6,5863
6,5860
4,69785 E-02
1,187
5,9177
5,8969
5,8949
5,8944
5,8942
6,53425 E-02
1,651
5,4536
5,4389
5,4375
5,4371
5,4370
8,01049 E-02
2,024
5,2105
5,1986
5,1974
5,1971
5,1971
8,77433 E-02
2,217
5,1123
5,1015
5,1004
5,1002
5,1001
66
Tabela 5.2.4.3 – Convergência do número de Nusselt local para dois ensaios considerando-se
a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.
Nuz
Caso
Medição 1
- SiO2 (l=
0,721295)
Medição 7
- SiO2 (l =
0,728404)
Z
z (m)
NT=5
NT=10
NT=15
NT=20
NT=25
8,32624 E-04
0,019
27,964
19,873
19,247
19,231
19,209
1,87559 E-02
0,428
7,7515
7,7100
7,7038
7,7023
7,7018
3,44882 E-02
0,787
6,5486
6,5208
6,5178
6,5171
6,5168
5,20171 E-02
1,187
5,8999
5,8804
5,8785
5,8781
5,8779
7,23506 E-02
1,651
5,4708
5,4568
5,4554
5,4551
5,4550
8,86964 E-02
2,024
5,2467
5,2352
5,2340
5,2338
5,2337
9,71541 E-02
2,217
5,1566
5,1460
5,1449
5,1447
5,1446
7,51973 E-04
0,019
28,982
20,642
19,768
19,766
19,741
1,69392 E-02
0,428
7,9867
7,9387
7,9318
7,9301
7,9296
3,11475 E-02
0,787
6,7300
6,7003
6,6970
6,6961
6,6958
4,69785 E-02
1,187
6,0500
6,0286
6,0264
6,0259
6,0257
6,53425 E-02
1,651
5,5957
5,5802
5,5787
5,5784
5,5782
8,01049 E-02
2,024
5,3561
5,3433
5,3421
5,3418
5,3417
8,77433 E-02
2,217
5,2590
5,2473
5,2462
5,2459
5,2458
Tabela 5.2.4.4 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerandose as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito.
Nuav
Caso
Medição
1 - SiO2
Medição
7 - SiO2
Z
z (m)
NT=5
NT=10
NT=15
NT=20
NT=25
8,32624 E-04
0,019
36,161
37,913
33,676
31,512
30,692
1,87559 E-02
0,428
12,456
11,622
11,395
11,292
11,251
3,44882 E-02
0,787
9,9542
9,4849
9,3592
9,3029
9,2806
5,20171 E-02
1,187
8,6434
8,3247
8,2405
8,2031
8,1882
7,23506 E-02
1,651
7,7677
7,5341
7,4732
7,4461
7,4354
8,86964 E-02
2,024
7,2959
7,1032
7,0533
7,0312
7,0224
9,71541 E-02
2,217
7,1008
6,9240
6,8783
6,8581
6,8501
7,51973 E-04
0,019
36,873
39,491
34,959
32,564
31,660
1,69392 E-02
0,428
12,953
12,036
11,784
11,671
11,626
3,11475 E-02
0,787
10,322
9,8056
9,6667
9,6045
9,5798
4,69785 E-02
1,187
8,9442
8,5934
8,5004
8,4589
8,4425
6,53425 E-02
1,651
8,0228
7,7656
7,6983
7,6684
7,6565
8,01049 E-02
2,024
7,5256
7,3135
7,2583
7,2338
7,2242
8,77433 E-02
2,217
7,3197
7,1250
7,0746
7,0522
7,0433
67
Tabela 5.2.4.5 – Convergência do número de Nusselt médio para dois ensaios considerandose a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito.
Nuav
Caso
Medição 1
- SiO2 (l =
0,721295)
Medição 7
- SiO2 (l=
0,728404)
Z
z (m)
NT=5
NT=10
NT=15
NT=20
NT=25
8,32624 E-04
0,019
35,385
32,582
26,450
24,783
24,918
1,87559 E-02
0,428
12,200
11,170
10,880
10,800
10,804
3,44882 E-02
0,787
9,8573
9,2819
9,1222
9,0782
9,0800
5,20171 E-02
1,187
8,6220
8,2327
8,1259
8,0966
8,0978
7,23506 E-02
1,651
7,7915
7,5069
7,4297
7,4085
7,4093
8,86964 E-02
2,024
7,3420
7,1075
7,0443
7,0270
7,0276
9,71541 E-02
2,217
7,1555
6,9405
6,8828
6,8669
6,8675
7,51973 E-04
0,019
36,118
33,842
27,115
25,293
25,452
1,69392 E-02
0,428
12,663
11,524
11,203
11,116
11,120
3,11475 E-02
0,787
10,202
9,5663
9,3895
9,3414
9,3437
4,69785 E-02
1,187
8,9057
8,4760
8,3579
8,3258
8,3272
6,53425 E-02
1,651
8,0339
7,7199
7,6344
7,6112
7,6122
8,01049 E-02
2,024
7,5613
7,3025
7,2326
7,2136
7,2144
8,77433 E-02
2,217
7,3650
7,1277
7,0637
7,0464
7,0471
A comparação com os resultados experimentais é agora consolidada nas
Tabelas 5.2.4.6 a 5.2.4.7, respectivamente, para os mesmos dois casos acima do
nanofluido comercial. Para os resultados apresentados nessas tabelas foram
considerados 25 termos na expansão, conforme já explicitado anteriormente. As
tabelas apresentam os resultados da simulação para os números de Nusselt local e
médio, com propriedades constantes e viscosidade variável, bem como o resultado
experimental estimado para o número de Nusselt local nas posições dos termopares.
Para determinação do número de Nusselt experimental, é necessário estimar
teoricamente a temperatura média de mistura a partir da hipótese de fluxo de calor
prescrito uniforme e desconsiderando perdas ao longo do tubo. Apresenta-se também
os valores do número de Nusselt local obtidos a partir da correlação empírica de
Churchill e Ozoe, que apresenta uma excelente concordância com os resultados de
propriedades variáveis aqui produzidos, exceto no ponto mais próximo da entrada do
canal, possivelmente pelo presente modelo não levar em conta a a convecção na
direção transversal na equação de energia nem os termos de inércia na equação de
momentum.
As Figuras 5.2.4.1 e 5.2.4.4 ilustram os resultados de números de Nusselt em
forma gráfica, para permitir também uma análise comparativa de todos os quatro
casos considerados.
68
Em geral, os resultados teóricos com o modelo de viscosidade variável
reproduzem melhor os resultados experimentais, embora a diferença entre os dois
resultados teóricos seja menor que o desvio entre os resultados teórico e
experimental. Claramente, há um comportamento sistemático do segundo ponto
experimental, de subestimar o número de Nusselt, e portanto superestimar a
temperatura, que pode estar relacionado a um mau posicionamento deste termopar.
Po outro lado, o último termopar, localizado muito próximo ao final da seção quente,
mostra uma tendência a superestimar o número de Nusselt, tendo em vista o aumento
da perda de calor para a seção fria do tubo nessa posição, que reduz o valor da
diferença de temperaturas entre a parede e a temperatura média do fluido.
Tabela 5.2.4.6 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 1 –
SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.
Nuz (Props.
Constantes)
21,299
Nuexp
Nuz [79]
0,019
Nuz
(l= 0,721295)
19,209
17,857
25,952
0,428
7,7018
7,6408
6,6610
7,7039
10,804
11,251
3,44882 E-02
0,787
6,5168
6,4014
6,3234
6,4253
9,0800
9,2806
5,20171 E-02
1,187
5,8779
5,7439
5,7470
5,8058
8,0978
8,1882
7,23506 E-02
1,651
5,4550
5,3130
5,3782
5,4268
7,4093
7,4354
8,86964 E-02
2,024
5,2337
5,0890
5,1551
5,2380
7,0276
7,0224
9,71541 E-02
2,217
5,1446
4,9993
5,3859
5,1635
6,8675
6,8501
Z
z (m)
8,32624 E-04
1,87559 E-02
Nuav
Nuav (Props.
(l= 0,721295) Constantes)
24,918
30,692
Tabela 5.2.4.7 – Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 7 –
SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo prescrito.
7,51973 E-04
Nuz
(l= 0,728404)
0,019
19,741
19,520
27,180
Nuav
(l= 0,728404)
25,452
1,69392 E-02
0,428
7,9295
7,8815
7,1992
7,9718
11,120
11,626
3,11475 E-02
0,787
6,6958
6,5860
6,8390
6,6110
9,3437
9,5798
4,69785 E-02
1,187
6,0257
5,8942
6,5202
5,9456
8,3272
8,4425
6,53425 E-02
1,651
5,5782
5,4370
6,4965
5,5354
7,6122
7,6565
8,01049 E-02
2,024
5,3417
5,1971
5,8128
5,3299
7,2144
7,2242
8,77433 E-02
2,217
5,2458
5,1001
6,0786
5,2485
7,0471
7,0434
Z
z (m)
Nuz (Props.
Constantes)
22,051
Nuexp
Nuz [79]
Nuav (Props.
Constantes)
31,660
69
50
SiO2 - Reynolds = 1458
Nu(Z) - Experimental
Nu(Z) - Churchill & Ozoe [79]
Nu(Z) - Viscosidade variável
Nu(Z) - Propriedades constantes
Nuav (Z) - Viscosidade variável
40
Nuav (Z) - Propriedades constantes
Nu
30
20
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Z
Figura 5.2.4.1 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio
teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de
fluxo prescrito (medição 1 – SiO2 [75]).
50
SiO2 - Reynolds = 1654
Nu(Z) - Experimental
Nu(Z) - Churchill & Ozoe [79]
Nu(Z) - Viscosidade variável
Nu(Z) - Propriedades constantes
Nuav (Z) - Viscosidade variável
40
Nuav (Z) - Propriedades constantes
Nu
30
20
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Z
Figura 5.2.4.2 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio
teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de
fluxo prescrito (medição 7 – SiO2 [75]).
70
50
SiO2 - Reynolds = 1876
Nu(Z) - Experimental
Nu(Z) - Churchill & Ozoe [79]
Nu(Z) - Viscosidade variável
Nu(Z) - Propriedades constantes
Nuav (Z) - Viscosidade variável
40
Nuav (Z) - Propriedades constantes
Nu
30
20
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Z
Figura 5.2.4.3 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio
teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de
fluxo prescrito (medição 9 – SiO2 [75]).
50
SiO2 - Reynolds = 1237
Nu(Z) - Experimental
Nu(Z) - Churchill & Ozoe [79]
Nu(Z) - Viscosidade variável
Nu(Z) - Propriedades constantes
Nuav (Z) - Viscosidade variável
40
Nuav (Z) - Propriedades constantes
Nu
30
20
10
0
0.04
Z
0.08
0.12
Figura 5.2.4.4 – Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e
médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o
caso de fluxo prescrito (medição 3 – SiO2 [75]).
71
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
Este trabalho teve como ênfase apresentar a análise da variação de propriedades
termofísicas com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de
nanofluidos, no regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente
desenvolvido e em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares.
A partir da avaliação dos resultados obtidos pode-se verificar que a
metodologia de solução empregada neste trabalho representa adequadamente o
desenvolvimento térmico no escoamento laminar incompressível em um tubo circular,
considerando-se variações da viscosidade com a temperatura, para ambos os casos
de condições de contorno estudados, ou seja, temperatura prescrita uniforme e fluxo
de calor prescrito. A análise de convergência efetuada permitiu identificar os limites de
ordens de truncamento a serem utilizados nas comparações, e consolidou os valores
convergidos que foram efetivamente comparados com resultados da literatura para
ambas as situações.
Na sequência, o código construído foi empregado para comparações críticas
dos resultados teóricos com resultados experimentais recentemente obtidos para um
nanofluido comercial de água-sílica. Embora a concordância entre resultados teóricos
e experimentais não seja uniforme ao longo do duto, os resultados referentes à
situação com viscosidade variável se aproxima mais das medidas. Além de melhorias
eventualmente possíveis na aquisição de dados e na estimativa das perdas de calor, o
modelo aqui proposto deve também ser estendido para incluir a componente
transversal da velocidade na equação de energia, bem como a variação com a
temperatura em particular da condutividade térmica do nanofluido, permitindo uma
investigação mais definitiva sobre a importância da variação dessa propriedade nas
previsões da convecção forçada com nanofluidos. Sem prejuízo dessas extensões, o
presente estudo também demonstrou que a correlação empírica de Churchill & Ozoe,
construída a partir de experimentos com fluidos ordinários, tem uma concordância
bastante razoável com a presente simulação, exceto na posição do primeiro termopar
bem próximo à entrada do canal, confirmando que não há nenhum comportamento
não previsível na convecção forçada do nanofluido água-sílica aqui ensaiado, podendo
ser analisada a partir das correlações clássicas.
72
A avaliação para o óleo térmico LUBRAX OT-68-OF mostrou-se satisfatória e,
portanto, o caso analisado neste trabalho servirá como caso-teste para estudos de
performance do circuito termohidráulico para altas temperaturas que será construído
no LTTC e, também, para verificação da intensificação térmica das propriedades
termofísicas no óleo a partir da dispersão de partículas metálicas na escala
nanométrica que aqui denominaremos, a priori, de nanofluido de óleo.
73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Choi, S.U.S., “Nanofluid Technology: Current Status and Future Research”,
Korea-U.S. Technical Conference on Strategic Technologies, Viena, VA (US),
1998.
[2] Choi, S.U.S., “Enhancing Thermal Conductivity of Fluids with Nanoparticles”. In:
Proceedings of the 1995 ASME International Mechanical Engineering
Congress and Exposition, San Francisco, CA, USA, 1995.
[3] Keblinski, P., Eastman, J.A., Cahill, D.G., “Nanofluids for Thermal Transport”,
Materials Today, June, pp. 36-44, 2005.
[4] Daungthongsuk, W. and Wongwises, S., “A Critical Review of Convective Heat
Transfer of Nanofluids”, Renewable and Sustainable Energy Reviews 11, pp.
797-817, 2007.
[5] Keblinski, P., Thomin, J., “Hydrodynamic Field around a Brownian Particle”. In:
Physical Review E 73 (1) - Part 1, Jan. 2006.
[6] Liu, M.S., Lin, M.C.C, Huang, I.T., “Enhancement of Thermal Conductivity with
CuO for Nanofluids”. In: Chemical Engineering & Technology 29 (1), pp. 72-77,
Jan 2006.
[7] Wang, X. and Mujumdar, A.S., “A Review on Nanofluids - Part I: Theoretical and
Numerical Investigations”, Brazilian Journal of Chemical Engineering, Vol. 25,
No. 04, pp. 613 - 630, October - December, 2008.
[8] Wang, X. and Mujumdar, A.S., “A Review on Nanofluids - Part II: Experiments and
Applications”, Brazilian Journal of Chemical Engineering, Vol. 25, No. 04, pp.
631 - 648, October - December, 2008.
[9] Quaresma, J.N.N., Transformada Integral: Solução de Problemas de
Convecção
Forçada
no
Interior
de
Tubos,
Dissertação
de
M.
Sc.,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro – RJ, Brasil, 1991.
[10] Yang, K., “Laminar Forced Convection of Liquids in Tubes with Variable Viscosity”,
Journal of Heat Transfer, November, 1962.
[11] Fonseca, H.M. da, Caracterização Termofísica de Nanofluidos, Dissertação de
M. Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro – RJ, Brasil, 2007.
[12] Sousa, G.P. de, Análise Experimental da Convecção Forçada Laminar de
Nanofluidos em Tubos Circulares. Monografia de Graduação, COPPE/UFRJ,
Rio de Janeiro – RJ, Brasil, 2009.
74
[13] Porto, J.A.P., Simulação da Convecção Forçada de Nanofluidos em Tubos
Circulares. Monografia de Graduação, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro – RJ, Brasil,
2009.
[14] Cerqueira, I.G.S. dos, Análise Teórico-Experimental da Convecção Forçada
Laminar de Nanofluidos em Tubos Circulares, Dissertação de M. Sc.,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro – RJ, Brasil, 2010.
[15] Hwang, Y., Lee, J.K., Lee, C.H., Jung, Y.M., Cheong, S.I., Lee, C.G., Ku, B.C.,
Jang, S.P., “Stability and Thermal Conductivity Characteristics of Nanofluids”,
Thermochimica Acta 455, pp. 70-74, 2007
[16] Nguyen, C.T., Roy, G., Gauthier, C., Galanis, N., “Heat transfer enhancement
using Al2O3–water nanofluid for an electronic liquid cooling system”, Applied
Thermal Engineering 27, pp. 1501-1506, 2007.
[17] Kwak, K. and Kim, C., “Viscosity and thermal conductivity of copper oxide
nanofluid dispersed in ethylene glycol”, Korea-Australia Rheology Journal, Vol.
17, No. 2, pp. 35-40, June 2005.
[18] Mintsa, H. A., Roy, G., Nguyen, C. T., Doucet, D., “New temperature dependent
thermal conductivity data for water-based nanofluids”, International Journal of
Thermal Sciences, 2008.
[19] Palm, S.J., Roy, G., Nguyen, C.T., “Heat transfer enhancement with the use of
nanofluids in radial flow cooling system with the use of nanofluids”, Superlattices
and Microstructures 35, 497-511, 2004.
[20] Namburu, P.K., Das, D.K., Tanguturi, K.M., Vajjha, R.S., “Numerical study of
turbulent flow and heat transfer characteristics of nanofluids considering variable
properties”, International Journal of Thermal Sciences, 2008.
[21] Cotta, R.M., Mota, C.A.A., Naveira-Cotta, C.P., Orlande, H.R.B., Nunes, J.S.,
Avelino,
M.R.,
Enhancement
Castellões,
in Laminar
F.V.
and
Quaresma,
Forced Convection:
J.N.N.,
Nanofluids,
“Heat
Transfer
Microchannels,
Structured Surfaces”, International Symposium on Convective Heat and Mass
Transfer in Sustainable Energy, Tunísia, 2009, in press.
[22] Mansour, R. B., Galanis, N., Nguyen, C. T., “Effect of uncertainties in physical
properties on forced convection heat transfer with nanofluids”, Applied Thermal
Engineering 27, pp. 240-249, 2007.
[23] Ferrouillat S., Bontemps A., Ribeiro J.P., Gruss J.A., Soriano O.,” Hydraulic and
Heat Transfer Study of SiO2/water Nanofluids in Horizontal Tubes with Imposed
Wall Temperature Boundary Conditions”, International Journal of Heat and Fluid
Flow, Vol. 32, pp.424-439, 2011.
75
[24] Escher W., Brunchwiler T., Shalkevich N., Shalkevich A., Burgi T., Michel B., e
Poulikakos D., “On the Cooling of Electronics with Nanofluids”, Journal of Heat
Transfer, Vol. 133, 2011.
[25] Heidary H. e Kermani M. J., “Effect of Nano-particles on Forced Convection in
Sinusoidal-wall Channel”, International Communications in Heat and Mass
Transfer, 2010.
[26] Anoop K. B., Sundararajan T. e Das K. S., “Effect of Particle Size on the
Convective Heat Transfer in Nanofluid in the Developing Region”, International
Journal of Heat and Mass Transfer, V. 52, pp. 2189-2195, 2009.
[27] Kakaç S. e Pramuanjaroenkij A., “Review of Convective Heat Transfer
Enhancement with Nanofluids”, International Journal of Heat and Mass
Transfer, V. 52, pp. 3187-3196, 2009.
[28] Vajjha R. S. e Das D. K., “Experimental Determination of Thermal Conductivity of
Theree Nanofluids and Development of New Correlations”, International Journal
of Heat and Mass Transfer, V. 52, pp. 4675-4682, 2009.
[29] Mirmasoumi S. e Behzadmehr A., “Numerical Study of Laminar Mixed Convection
of a Nanofluid in a Horizontal Tube Using Two-phase Mixture Model”, Applied
Thermal Engineering 28, pp. 717-727, 2008.
[30] Raisee M. e Moghaddami M., “Numerical Investigation of Laminar Forced
Convection of Nanofluids through Circular Pipes”, Journal of Enhanced Heat
Transfer, V. 15(4), pp. 335-350, 2008.
[31] Maiga S. E. B., Nguyen C. T., Galanis N. e Roy G., “Heat Transfer Behaviors of
Nanofluids in a Uniformly Heated Tube”, Superlattices and Microstructures, Vol.
35, pp. 543-557, 2004.
[32] Koo J. e Kleinstreuer C., “Laminar Nanofluid Flow in Microheat-Sinks”,
International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 48, pp. 2652-2661, 2005.
[33] Das S., Putra N., Thiesen P. e Roetzel W., “Temperature Dependence of Thermal
Conductivity Enhancement for Nanofluids”, Journal of Heat Transfer, Vol. 125,
pp. 567-574, 2003.
[34] Zeinali H. S., Nasr E. M. e Etemad S. Gh., “Experimenal Investigation of
Convective
Heat
Transfer
of
Al2O3/Water
Nanofluid
in
circular
Tube”,
International Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 28, pp.203-210, 2007.
[35] Chen H., Yang W., He Y., Ding Y., Zhang L., Tan C., Lapkin A. A. e Bavykin D. V.,
“Heat Transfer and Flow Behavior of Aqueous Suspensions of Titanate Nanotubes
(Nanofluids)”, Powder Technology 183, pp. 63-72, 2008.
[36] W.J. Minkowycz, E.M. Sparrow, and J.Y. Murthy, Eds., Handbook of Numerical
Heat Transfer, 2nd edition, John Wiley, New York, 2006.
76
[37] Cotta, R.M., Integral Transforms in Computational Heat and Fluid Flow, CRC
Press, Boca Raton, FL, 1993.
[38] Cotta, R.M., "Benchmark Results in Computational Heat and Fluid Flow: - The
Integral Transform Method", International Journal of Heat and Mass Transfer
(Invited Paper), V. 37, Suppl. 1, pp. 381-394, March 1994.
[39] Cotta, R.M. and Mikhailov, M.D., Heat Conduction: Lumped Analysis, Integral
Transforms, Symbolic Computation, Wiley-Interscience, New York, 1997.
[40] Cotta, R.M., The Integral Transform Method in Thermal and Fluids Sciences
and Engineering, Begell House, New York, 1998.
[41] Santos, C.A.C., Quaresma, J.N.N., and Lima, J.A., “Benchmark Results for
Convective Heat Transfer in Ducts: - The Integral Transform Approach”, ABCM
Mechanical Sciences Series, Editora E-Papers, Rio de Janeiro, 2001.
[42] Cotta, R.M. and Mikhailov , M.D., “Hybrid Methods and Symbolic Computations”,
In: Handbook of Numerical Heat Transfer, 2nd edition, Chapter 16, John Wiley,
New York, pp. 493-522, 2006.
[43] Cotta, R.M., "Hybrid Numerical-Analytical Approach to Nonlinear Diffusion
Problems", Numerical Heat Transfer, Part B, V. 127, pp. 217-226, 1990.
[44] Serfaty, R. and Cotta, R.M., "Hybrid Analysis of Transient Nonlinear ConvectionDiffusion Problems", International Journal of Numerical Methods for Heat and
Fluid Flow, V. 2, pp. 55-62, 1992.
[45] Serfaty, R. and Cotta, R.M., "Integral Transform Solutions of Diffusion Problems
With Nonlinear Equation Coefficients", International Communications in Heat
and Mass Transfer, V. 17, N. 6, pp. 851-864, 1990.
[46] Leiroz, A.J.K. and Cotta, R.M., "On the Solution on Nonlinear Elliptic ConvectionDiffusion Problems Through the Integral Transform Method", Numerical Heat
Transfer, part B - Fundamentals, V. 23, pp. 401-411, 1993.
[47] Ribeiro, J.W. and Cotta, R.M., "On the Solution of Nonlinear Drying Problems in
Capillary Porous Media Through Integral Transformation of Luikov Equations",
International Journal for Numerical Methods in Engineering, V. 38, pp. 10011020, 1995.
[48] Cotta, R.M. and Ramos, R., "Integral Transforms in the Two-Dimensional
Nonlinear Formulation of Longitudinal Fins with Variable Profile", International
Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, V.8, no.1, pp.27-42,
1998.
[49] Mikhailov, M.D. and Cotta, R.M., “Heat Conduction with Non-linear Boundary
Conditions - Hybrid Solutions Via Integral Transforms and Symbolic Computation”,
77
Proceedings of the 11th International Heat Transfer Conference, V.7, pp.77-81,
Seoul, Korea, August 1998.
[50] Macedo, E.N., Cotta, R.M., and Orlande, H.R.B., “Local-Instantaneous Filtering in
the Integral Transform Solution of Nonlinear Diffusion Problems”, Computational
Mechanics, V.23, pp.524-532, 1999.
[51] Cotta, R.M. and Carvalho, T.M.B., "Hybrid Analysis of Boundary Layer Equations
for Internal Flow Problems", 7th International Conference on Numerical
Methods in Laminar and Turbulent Flow, Part 1, pp. 106-115, Stanford CA, July,
1991.
[52] Perez Guerrero, J.S. and Cotta, R.M., "Integral Transform Method for NavierStokes Equations in Stream Function-Only Formulation", International Journal
for Numerical Methods in Fluids, V. 15, pp. 399 - 409, 1992.
[53] Machado, H.A. and Cotta, R.M., "Integral Transform Method for Boundary Layer
Equations in Simultaneous Heat and Fluid Flow Problems", International Journal
of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, V. 5, pp. 225-237, 1995.
[54] Perez Guerrero, J.S. and Cotta, R.M., "Integral Transform Solution of Developing
Laminar Duct Flow in Navier-Stokes Formulation", International Journal for
Numerical Methods in Fluids, V. 20, pp. 1203-1213, 1995.
[55] Figueira da Silva, E. and Cotta, R.M., "Benchmark Results for Internal Forced
Convection Through Integral Transformation", International Communications in
Heat and Mass Transfer, vol.23, no.7, pp. 1019-1029, 1996.
[56] Figueira da Silva, E. and Cotta, R.M., “Mixed Convection Within Vertical ParallelPlates: Hybrid Solution by Integral Transforms”, Numerical Heat Transfer, part A Applications, vol.33, pp.85-106, 1998.
[57] Figueira da Silva, E., Pérez Guerrero, J.S., and Cotta, R.M., “Integral Transform
Solution of Boundary Layer Equations in Stream Function-Only Formulation”,
International Journal of Non-Linear Mechanics, vol.34, pp.51-65, 1999.
[58] Pereira, L.M., Perez Guerrero, J.S., and Cotta, R.M., “Integral Transformation of
the
Navier-Stokes
Equations
in
Cylindrical
Geometry”,
Computational
Mechanics, V. 21, no.1, pp.60-70, 1998.
[59] Machado, H.A., and Cotta, R.M., “Analysis of Internal Convection with Variable
Physical Properties Via Integral Transformation”, Numerical Heat Transfer – Part
A: Applications, V.36, no.7, pp. 699-724, 1999.
[60] Machado, H.A. and Cotta, R.M., “Integral Transform Computation of Compressible
Boundary Layers”, Hybrid Methods in Engineering, V.1, no.2, pp.139-160, 1999.
78
[61] Perez Guerrero, J.S., Quaresma, J.N.N., and Cotta, R.M., “Simulation of Laminar
Flow
Inside
Ducts
of
Irregular
Geometry
Using
Integral
Transforms”,
Computational Mechanics, V.25, no.4, pp.413-420, 2000.
[62] Ramos, R., Perez Guerrero, J.S., and Cotta, R.M., “Stratified Flow Over a
Backward Facing Step: Hybrid Solution by Integral Transforms”, International
Journal for Numerical Methods in Fluids, V.35, no.2, pp.173-197, 2001.
[63] Kakaç, S., Santos, C.A.C., Avelino, M.R., and Cotta, R. M., “Computational
Solutions and Experimental Analysis of Transient Forced Convection in Ducts”,
Invited Paper, International Journal of Transport Phenomena, V.3, pp.1-17,
2001.
[64] Cotta, R.M., Santos, C.A.C., Quaresma, J.N.N., and Perez-Guerrero, J.S., “Hybrid
Integral Transforms in Convection-Diffusion: Recent Applications in Internal Flow
Simulation”, Invited Lecture, Proceedings of the 4th International Conference on
Computational Heat and Mass Transfer, 4th ICCHMT, vol.1, pp.153-164, ParisCachan, France, May 2005.
[65] Lima, G.G.C. de, Santos, C.A.C., Haag, A., and Cotta, R.M., “Integral Transform
Solution of Internal Flow Problems Based on Navier-Stokes Equations and
Primitive Variables Formulation”, International Journal for Numerical Methods
in Engineering, V.69, pp.544-561, 2007.
[66] Paz, S.P.A., Macedo, E.N., Quaresma, J.N.N., and Cotta, R.M., “Eigenfunction
Expansion Solution for Boundary-Layer Equations in Cylindrical Coordinates:
Simultaneously Developing Flow in Circular Tubes”, Numerical Heat Transfer –
Part A Applications, V.52, pp.1123-1149, 2007.
[67] Carvalho, T. M. B., Cotta, R. M. e Mikhailov, M.D., “Flow Development in the
Entrance Region of Ducts”, Communications in Numerical Methods in
Engineering, 9, pp. 503-509, 1993.
[68] Oliveira Filho, F. S., Guedes, R. O. C., Scofano Neto, F., “Temperature-Dependent
Viscosity Flow”, Convective Heat Transfer in Ducts – The Integral Transforme
Approach, Chapter VI, pp. 99-117, 2001.
[69] Özisik, M.N. and Murray, R.L., “On the Solution of Linear Diffusion Problems with
Variable Boundary Conditions”, Journal of Heat Transfer, v.96, pp.48-51, 1974.
[70] Mikhailov, M.D., “On the Solution of the Heat Equation with Time Dependent
Coefficient”, International Journal of Heat and Mass Transfer, v.18, pp.344-345,
1975.
[71] Mikhailov, M.D. and Ozisik, M.N., “Unified Analysis and Solutions of Heat and
Mass Diffusion”, John Wiley, New York, 1984.
79
™
[72] IMSL Library, MATH/LIB, version 1.1, Houston, Texas, 1989.
[73] Sphaier, L.A., R.M. Cotta, C.P. Naveira-Cotta, and J.N.N. Quaresma, "The UNIT
Algorithm for Solving One-Dimensional Convection-Diffusion Problems via Integral
Transforms", International Communications in Heat and Mass Transfer, V.38,
no.5, pp.565-571, 2011.
[74] Cotta, R.M., J.N.N. Quaresma, L.A. Sphaier, and C.P. Naveira-Cotta, "Unified
Integral Transform Approach in the Hybrid Solution of Multidimensional Nonlinear
Convection-Diffusion Problems", 14th International Heat Transfer Conference,
Washington, DC, USA, August 2010.
[75] 3º Relatório - Convênio CENPES – COPPETEC, Comportamento Térmico de
Nanofluidos: Aumento da Eficiência Energética de Processos da Petrobras,
In: PD 01471 – PEM 11332, 2011.
[76] Cotta R.M., Santos C.A.C., Kakaç S., “Unified Hybrid Theoretical Analysis of
Nonlinear Convective Heat Transfer”, Proceedings of IMECE2007, ASME
International Mechanical Engineering Congress & Exposition, Paper no.
IMECE2007-41412, Seattle, Washington, USA, November 11-15, 2007.
[77] Wolfram, S., The Mathematica Book, Version 7.0, Cambridge-Wolfram Media,
2009.
[78] Shah, R. K., Thermal Entry Solutions for the Circular Tube and Parallel Plates,
Proceedings of the 3rd National Heat and Mass Transfer Conference, Vol.1,
Indian Institute of Technology, paper no. HMT-11-75, Bombay, India, 1975.
[79] Churchill S.W., Ozoe, H., "Correlations for Laminar Forced Convection in Flow
Over an Isothermal Flat Plate and in Developing and Fully Developed Flow in an
Isothermal Tube", ASME Journal of Heat Transfer, V. 95, pp.416-23, 1973.
80