MAT A07 - Álgebra Linear
Primeira Lista de Exercı́cios
Professor: Kleyber Mota da Cunha
http://www.sd.mat.ufba.br/∼kleyber/
1. Calcule os valores de x, y, z, e t tal que
2. Sendo A =
2 −1
3 2
eB =
0 −1
−1 0
2x + y t
z−t 3
=
3
−1
0 y + 2z
, calcular as matrizes X e Y no sistema
2X + 3Y
3X + 2Y
= B
= A.
3. Determine, se possı́vel:
1 2
0 1
a) x e y de modo que as matrizes A =
eB=
comutem.
1 0
x y
1 1
b) Todas as matrizes que comutem com
0 1
4. Sejam A e B matrizes de ordem n > 1 que comutam. Mostrar usando propriedades de matrizes
que:
a) (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ;
b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
5. Dada as matrizes Am×n , Bn×p , Cp×s e Dn×p . Mostre que
a) (AB)C = A(BC)
b) A(B + D) = AB + AD
c) (AB)t = B t At .


2 3 1
6. Dada a matriz A =  3 4 2  , calcule A + At e A · At .
1 2 0
7. Sejam A e B de ordem n > 1. Mostre que:
a) Se A e B são simétricas então AB é simétrica se, e somente, se AB = BA.
b) Se A e B são anti-simétricas então A + B e A − B são anti-simétrica.
8.Seja A uma matriz de ordem n > 1.
a) Defina a matriz inversa de A.
b) Mostre que se A e B são matrizes inversı́veis de ordem n, então (AB)−1 = B −1 A−1.
9. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e M a matriz obtida de A multiplicando uma de suas
linhas por uma constante c ∈ R. Mostre que det(M ) = c · det(A).
10. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
3 7
3 7
1 3
1 2
A=
,B =
,C =
,D =
.
1 2
2 4
1 2
3 7
11. Usando a regra de Sarrus, calcule o detreminante das seguintes matrizes:




1 3 2
1 1 −2
A =  −1 0 −2  , B =  2 −4 −3  .
2 5 1
0 −6 1
12. Usando o Teorema de Laplace, calcule o detrminate

3 −1 5
 0 2
0
A=
 2 0 −1
1 1
2
da matriz

0
1 

3 
0
13. Verifique se as matrizes abaixo são inversı́veis. Caso

1
5 3

3
,B =
A=
8 6
6
afirmativo, calcule suas inversas.

0 0
2 0 .
4 1
14. Seja A uma matriz inversı́vel de ordem n. Mostre que det(A−1 ) =
1
.
det(A)

x+y+z+t



2x − y + z
15. Use a regra de Cramer para resolver o sistema
−x
+y−z−t



2x + 2z + t
=
=
=
=
1
2
0
−1.