4a Lista de Álgebra Linear II
(1) Responda cada uma das afirmações a seguir como verdadeira ou falsa.
Justifique sua resposta.
(a) Se A é uma matriz ortogonal n × n então o posto de A < n
(b) Se A é diagonalizável, então cada um dos seus autovalores tem multiplicidade 1
(c) Se nenhum dos autovalores de A é igual a zero, então det(A) ̸= 0
(d) Se x e y são autovetores associados a autovalores distintos λ1 e λ2 então
x + y é um autovetor associado ao autovalores λ1 + λ2
(e) Se uma matriz quadrada possui a soma de todos os elementos para cada
linha igual, então este valor é um autovalor
(2) Responda às questões abaixo:
(a) Quais os possı́veis autovalores de uma matriz A que satisfaz A2 = A
(b) Seja B uma matriz n × n, diagonalizável, tal que que B = P DP −1 ,
onde D é uma matriz diagonal com entradas λ1 , λ2 , . . . λn todas positivas.
Encontre todas as matrizes A tal que A2 = B.
(c) Dê exemplos de matrizes 2 × 2 tal que o polinômio caracterı́stico seja
p(λ) = λ2 − 1. Interprete geometricamente
(d) Considere a matriz abaixo.

c 0 0
0 a −b
0 b a

(i) Calcule o polinômio caracterı́stico e os autovalores.
(ii) Determine a, b e c de modo que a matriz seja ortogonal.
(e) Dê exemplos de matrizes 3 × 3 tal que o polinômio caracterı́stico seja
(i) p(λ) = λ3 − 1.
(ii) p(λ) = λ3 − λ2 + λ − 1.
1
(f) Considere a matriz abaixo


a −b 0 0
b a 0 0 


0 0 c −d
0 0 d c
(i) Calcule o polinômio caracterı́stico e os autovalores
(ii) Determine a, b,c e d de modo que a matriz seja ortogonal.
(g) Um autovetor pode ser associado a dois autovalores distintos de uma
matriz?
(h) Qual o maior número de autovalores reais distintos que uma matriz n×n
pode ter? E o menor número? Exemplifique
(i) Uma combinação linear de autovetores de uma matriz A é necessariamente um autovetor de A?
(j) Seja A ∈ R3,3 . Deduza que A sempre possui um autovalor real.
(k) Seja A ∈ R3,3 . Deduza que ou A possui todos os autovalores reais, ou
um autovalor real e os outros dois complexos conjugados.
(l) Mostre que uma matriz A ∈ Rn,n é inversı́vel se e somente se A não
possui um autovalor igual a zero
(m) Mostre que λ é um autovalor de uma matriz inversı́vel se e somente se
λ−1 é um autovalor de A−1 . Os autovetores associado são os mesmos?
(n) Explique brevemente por que cada autovalor λ da matriz A satisfaz a
equação det(A − λI) = 0. Toda solução desta equação deve ser um
autovalor de A?
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