A
APLICAÇÃO
GEOMASTER™
TECNOLOGIA FLASH PARA A TI-83 PLUS
TI-83 PLUS SILVER EDITION
E
Porto, Outubro de 2001
Albino Martins Nogueira Pereira
O GeoMaster é uma aplicação que recorre à tecnologia flash,
desenvolvida pela Texas Instruments para a TI83 Plus. Visa, sobretudo,
trabalhar conceitos geométricos de forma interactiva e é um software
poderoso nesta área.
Assim, se o tiver instalado na sua calculadora, abre a aplicação
premindo [APPS].
Neste trabalho pretendemos explorar algumas das potencialidades da
aplicação recorrendo a actividades especialmente desenvolvidas para o
efeito. Estas actividades não são, de forma alguma, explorações exaustivas
da aplicação. Ajudam a familiarizar-se com a aplicação e podem ser ponto de
partida para outras explorações.
ACTIVIDADE 1
Investigue a veracidade da afirmação :
“Em qualquer triângulo a amplitude de um ângulo externo é igual à
soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.”
Começamos por abrir a aplicação:
Abrimos agora o menu [DRAW] (premindo [WINDOW] no teclado da máquina)
Agora seleccionamos a ferramenta [5: Triangle]
O visor apresenta a informação de que é essa ferramenta que está a ser
utilizada:
Premindo [ENTER] uma vez assinalamos a posição do primeiro vértice do
triângulo que estamos a construir. Movendo as teclas do cursor, deslocamos
o cursor para a localização do segundo vértice do triângulo que assinalamos
premindo novamente [ENTER]. Repetimos o procedimento para indicar a
posição que pretendemos para o terceiro vértice. Dito de outra forma, cada
vez que premimos [ENTER] indicamos a localização de um dos vértices do
triângulo. A quarta vez que premimos [ENTER] serve para construir o
triângulo com vértices nos pontos entretanto assinalados.
Se pretendermos, podemos dar nomes aos pontos (etiquetar os vértices)
usando a ferramenta [Label] do menu [MISC]
Quando o cursor se encontra numa localização tal que se pode referir a mais
do que um objecto (também se pode etiquetar triângulos, por exemplo),
aparece uma opção de escolha. Neste caso, o ponto escolhido pode referirse ao vértice do triângulo (Point1) ou ao próprio triângulo (Triangle 0):
Escolhendo a opção [1 :Point1], uma vez que queremos atribuir um nome ao
vértice do triângulo, a máquina assume o modo de escrita de caracteres
alfabéticos Alpha-Lock e basta escolher a letra com que se quer etiquetar o
objecto escolhido
Assim o objecto fica referenciado :
No menu [MEAS], a opção [3: Angle] permite medir amplitudes de ângulos:
Seleccionando por ordem os pontos C, A e B temos a amplitude do ângulo
interno CAB, do triângulo construído :
Repetimos o procedimento para ABC...
...e para ACB:
Podemos aproveitar esta construção para verificarmos que neste triângulo
(como em todos) a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º (26.1º +
90.47º + 63.43º = 180º).
Para investigarmos a veracidade da afirmação proferida no início da
actividade é necessário medir a amplitude de um ângulo externo. Antes
disso, vamos apagar a medição da amplitude do ângulo ABC. Seleccionando
essa medida e apagando-a com [DEL] do teclado da máquina:
Para indicarmos o ângulo externo em B precisamos de um ponto exterior
sobre a recta AB, à direita de B. Começamos por construir essa recta,
posicionando-nos em A. Abrindo o menu [DRAW] e, dentro deste, activando
a opção [2:Line] obtemos :
Obrigamos a recta a conter o ponto B:
Confirmamos a escolha com mais um [ENTER] e aparece-nos um outro ponto
sobre a recta construída e à direita de B:
Podemos medir a amplitude do ângulo externo em B seleccionando este novo
ponto, B e C, por esta ordem :
Podemos confirmar que 116.57º = 26.1º + 90.47º. No entanto este caso, por
si só não é conclusivo. Pode ser ocasional. Para mostrarmos que não é assim,
movamos o ponto C (saindo de [Angle] e situando-nos no menu principal) e
vejamos as implicações dessa mudança :
Reparemos que a igualdade se mantém, apesar das alterações dos valores
das amplitudes dos ângulos :
(66,37º + 79,38º = 145,75º)
(73,3º + 74,15º = 147,45º)
Assim, esta exploração leva-nos a concluir que a afirmação inicial é
verdadeira.
ACTIVIDADE 2
Investigue a veracidade da afirmação :
“Dois ângulos inscritos num mesmo arco de circunferência têm
igual amplitude”
Iniciemos esta actividade construindo uma circunferência. Para isso no menu
[DRAW] optamos por [4:Circle] :
Esta ferramenta abre situando o centro da circunferência em (0,0) –
podemos alterá-lo, se o desejarmos, arrastando o cursor – e deslocando o
cursor vamos abrindo uma circunferência, aumentando o seu raio até ao
tamanho pretendido :
Nessa altura validamos a nossa opção premindo [ENTER]. Podemos atribuir
uma etiqueta A, por exemplo, ao ponto automaticamente construído na
circunferência (A):
Como precisamos de mais pontos sobre a circunferência, no menu [DRAW] e
descendo o submenu aberto, com as teclas de cursor, seleccionamos [D:
Point on Object] :
Atribuímos nome também ao ponto construído (B):
Repetindo este processo, construímos mais dois pontos sobre a
circunferência (C e D):
Procedemos agora à medição das amplitudes que nos interessam, abrindo
[3:Angle] em [DRAW] :
Seleccionando os pontos por ordem, vem para o ângulo ACB …
…e para o ângulo ADB:
Claro que este exemplo poderia ser meramente casual e não devemos
concluir, neste ponto, muito sobre a afirmação proferida. Tentemos fazer
um ponto deslizar sobre a circunferência e vejamos se as igualdades se
mantêm. Para isso, seleccionamos a ferramenta [1:Pointer] do menu [MISC]:
Com esta ferramenta,
convenientemente) :
seleccionamos
o
ponto
C
(indicando-o
Quando seleccionado, o ponto C apresenta-se mais realçado que os
restantes. Com as setas do cursor, podemos deslocá-lo sobre a
circunferência.
Podemos verificar que a amplitude do ângulo não depende do ponto C mas
sim do arco onde este está inscrito – arco AB:
Se movermos o ponto A mantendo fixos C e D podemos constatar que as
amplitudes dos ângulos referidos se vão actualizando à medida que vamos
movendo A e mantendo-se iguais entre si:
Assim, somos levados a “concluir” que a afirmação inicial é verdadeira.
Assim sendo, qualquer ângulo inscrito em meia circunferência deve ser um
ângulo recto. Testemos esta proposição.
Para isso vamos construir uma circunferência e marcar um diâmetro
qualquer. Desta vez, começaremos por marcar o segmento que pretendemos
que seja o diâmetro e depois a circunferência.
Indicando os pontos extremos do segmento, vem:
Premindo [ENTER] obtemos:
Designemos os extremos por A e B:
Construamos a circunferência, segundo o procedimento atrás descrito :
Marquemos um ponto na circunferência, como já vimos atrás:
Designemos este último ponto por C:
Confirmemos então que o ângulo ACB é recto. Em [MEAS] escolhemos
[3:Angle] :
Movendo o ponto C sobre a circunferência vemos que a amplitude do ângulo
se mantém :
Podemos “concluir” que, na verdade, qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é recto.
ACTIVIDADE 3
Investigue a veracidade da afirmação :
“Ângulos verticalmente opostos são geometricamente iguais.”
Precisamos de desenhar duas rectas. Activamos [2:Line] do menu [DRAW] :
Marcamos dois pontos em cada uma das rectas desenhadas (A, B, C e D) e
etiquetamos também o ponto de Intersecção das duas rectas O. Para isso
recorremos à ferramenta [2:Label] do menu [MISC] e encontramos o ponto
de intersecção das rectas usando [C:Intersection] do menu [DRAW]:
Devemos ter um écran com o aspecto seguinte:
Recorrendo à ferramenta [3:Angle] do menu [MEAS] e tendo um cuidado
particular na ordem pela qual são indicados os pontos, encontramos a
amplitude do ângulo AOD...
…e do ângulo COB.
Constatamos que têm a mesma amplitude. Seleccionando o ponteiro,
[1:Pointer] do menu [MISC]:
Podemos seleccionar uma das rectas, por exemplo, a recta CA, e movê-la
verificando que as amplitudes dos ângulos em questão se mantêm iguais.
Podemos então “afirmar” que a proposição dada é verdadeira.
Por vezes há conveniência em guardar alguma das construções que vamos
elaborando. Este software permite-o. Por exemplo, se pretendêssemos
guardar esta construção, abríamos no menu [FILE] a opção [3:Save File] :
Podemos guardar com o nome que quisermos, seleccionando [1:New
Filename] – Alpha-Lock aparece activada quando se selecciona New
Filename. Se se pretender usar números no nome do ficheiro, premimos
[Alpha]. Se já tivermos ficheiros guardados, o seu nome aparece quando se
activa [3:Save File] e podemos optar por sobrepor algum ficheiro a outro já
existente.
Por exemplo, guardemos este exemplo com o nome OPOSTOS:
Quando, mais tarde, quisermos usar este ficheiro, no menu [F ILE ]
escolhemos [2: Open File] e abrimos o ficheiro:
O ficheiro abre mostrando o écran com a configuração/aspecto que tinha
aquando do momento em que o guardámos:
Se quisermos fechar este ficheiro e abrir um novo …
Aparece-nos uma mensagem perguntando se queremos guardar o ficheiro em
que estamos a trabalhar ou não:
Respondendo à questão, conforme pretendemos ou não guardar o ficheiro
em que trabalhávamos, aparece-nos um novo ficheiro :
Premindo [ENTER]:
Estamos com uma “folha” em branco para podermos trabalhar.
ACTIVIDADE 4
Encontre um valor aproximado para π
Sabemos que a fórmula que nos permite calcular o perímetro de uma
circunferência é P = 2πr. Então π pode ser obtido calculando o resultado da
divisão do valor da medida do perímetro de uma circunferência pelo valor da
medida do seu diâmetro.
Desenhemos uma circunferência, como vimos antes.
Designemos o ponto na circunferência por A
Se desenharmos a recta que contém A e o centro da circunferência,
podemos determinar o outro extremo do diâmetro da circunferência que
contém A, intersectando esta recta com a circunferência no lado
diametralmente oposto a A
Agora, para conseguirmos uma medida do diâmetro temos que construir o
segmento [AB] (sendo B o ponto de intersecção encontrado) e determinar a
sua medida. Para isso, comecemos por esconder a recta auxiliar, activando
[9:Hide/Show] no menu [MISC] e seleccionando a recta que pretendemos
esconder:
Designemos, então, por B o ponto determinado:
Desenhemos o diâmetro pretendido:
E peçamos as medidas pretendidas em [1:Distance/Length] do menu [MEAS]
Obtemos o valor da medida do perímetro da circunferência: 157.08 u.
E o valor do diâmetro vem 50 u.
Efectuando um cálculo auxiliar:
Comparando com a aproximação do valor de π armazenado na máquina:
Conseguimos uma boa aproximação, arredondada às décimas-milésimas.
NOTA: Medidas de comprimentos vêm expressas em u e medidas de áreas
vêm expressas em u2. Veja o exemplo no final da actividade seguinte.
ACTIVIDADE 5
Recorrendo a rotações investigue se um dado polígono é ou não
regular.
Comecemos por explorar um pouco a construção de polígonos regulares no
GeoMaster.
Activamos a ferramenta [7:Reg Polygon] em [DRAW]
Movendo o cursor podemos começar a construção em qualquer ponto.
Indicamos esse ponto premindo [ENTER]. O número de lados do polígono é
por defeito 6:
Esse número pode variar entre 3 e 12. O utilizador pode alterar o número
de lados predefinido premindo (-) para diminuir esse número ou (+) para o
aumentar.
Por exemplo, para construir um pentágono, cujo centro é o ponto por nós
escolhido, começamos por diminuir o número de lados do polígono que
queremos construir premindo (-) uma vez
Depois, com as teclas de cursor, definimos o tamanho do polígono
Exploremos agora a ferramenta [Rotation]
Seleccionando-a no menu das transformações [TRFM], indicamos
primeiramente qual o objecto que será alvo da aplicação da rotação.
De seguida, é necessário seleccionar o ponto em torno do qual o objecto
será rodado (o centro da rotação). Finalmente, indicamos o valor do ângulo
de rotação, por exemplo, 60º :
Validamos as nossas opções com [ENTER] e o objecto (pentágono) é rodado:
Este tipo de instrução/procedimento pode servir para “verificarmos” se um
dado pentágono é ou não regular. Basta-nos fazer uma rotação de
360º/5=72º. Se o resultado final for uma figura coincidente ponto a ponto
com o pentágono original é porque este era regular.
Suponhamos que nos era dado este pentágono e que pretendíamos saber se
é regular.
Uma vez que (como se pode verificar) a imagem resultante coincide, ponto a
ponto, com a original “trata-se” de um pentágono regular.
NOTA :
A propósito das unidades de comprimento (u) e de área (u2) se tivermos, por
exemplo, um quadrado (que se constrói usando a ferramenta Reg Polygon do
menu [DRAW], fazendo o número de lados igual a 4)
Se pedirmos o valor do seu perímetro (em [MEAS], 1: Distance/Lenght e
seleccionando o quadrado)
Obtemos o valor de 112 u (unidades de comprimento)
Se quisermos saber o valor da área do quadrado (no mesmo menu [MEAS],
opção 2: Area e seleccionando o quadrado)
Obtemos o valor de 784 u2 (unidades de área)
ACTIVIDADE 6
Verificar se um dado triângulo dado é ou não rectângulo.
Seja dado o triângulo :
Uma maneira de verificar se este triângulo é rectângulo pode ser o recurso
ao Teorema de Pitágoras. Recorrendo à ferramenta de medição de
comprimentos de segmentos determinamos os valores das medidas dos lados
do triângulo.
Este triângulo será rectângulo, segundo o teorema de Pitágoras, se o valor
da raiz quadrada da soma dos quadrados das medidas dos catetos for igual
ao valor da medida da hipotenusa.
Ora,
“Donde”, este triângulo é rectângulo.
Vamos explorar de outra forma esta questão. Começamos por apagar as
medidas encontradas, seleccionando-as e usando a tecla [DEL] da máquina.
Vamos desenhar as rectas que contêm os lados que nos parecem
perpendiculares.
Agora averiguemos se são perpendiculares aquelas duas rectas. Para isso,
recorremos à ferramenta [6:Perpendicular?] do menu [MISC].
Esta ferramenta devolve um [true] (verdadeiro) se as rectas forem
perpendiculares e um [false] (falso) se não o forem.
Constatamos que as duas rectas são perpendiculares, então o triângulo é
rectângulo.
ACTIVIDADE 7
Verificar que o ponto de encontro das bissectrizes dos ângulos
internos de um dado triângulo é o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
Começamos por construir um triângulo, como vimos atrás
Agora, recorrendo à ferramenta Angle Bisector, do menu [DRAW] vamos
determinar as rectas bissectrizes de dois dos lados dos triângulo
SUGESTÂO : Pode constituir um exercício para os alunos mostrar que as
três bissectrizes se intersectam no mesmo ponto – o Incentro do triângulo.
Para determinar as rectas que bissectam os ângulos devemos indicar o
ângulo que pretendemos que seja bissectado. Para isso, temos que tomar um
cuidado especial na ordem pela qual apresentamos os três pontos que
definem o ângulo.
Depois de termos as bissectrizes desenhadas, vamos determinar o seu
ponto de intersecção (que será o Incentro do triângulo)
Finalmente, desenhamos a circunferência com centro no ponto de
intersecção encontrado
Aumentamos o raio da circunferência até esta ser tangente a um dos lados
do triângulo.
Verificamos que mal seja tangente a um dos lados do triângulo também o é
aos outros dois lados, “verificando-se” assim a propriedade enunciada.