Resumos Matematik
Triângulos e suas medidas
Trigonometria
Não é um manual escolar.
Não dispensa a consulta de um manual escolar.
Recomendamos a presença nas aulas e o
aconselhamento com um professor.
Setembro 2015
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Triângulos e suas medidas - Trigonometria
Resumos Matematik
Triângulos e suas medidas - Trigonometria
Triângulos……………….............................................................................................................
Pág.
3
Classificação de Triângulos …………….……..…………………............……………...…….
3
Resolução de equações trigonométricas……………………............…………..…...……
Quanto aos ângulos …..………………………………..……………………..………………..
Quanto aos lados………………………………… ………………..…..……………………..
3
3
4
O Triângulo Rectângulo ………………..………..……………………………………………………….
4
O Teorema de Pitágoras …………………………………..……………………………………………..
7
As medidas do Triângulo – Trigonometria………………………………………………..
As razões trigonométricas………………………………………………………….....
Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais…………
Relações entre as razões trigonométricas……………………………………....
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9
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14
Apêndice…………………………………………...……………………………………………………
Formulário………………………………………………………………………………......
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Triângulos e suas medidas - Trigonometria
Triângulos
Há várias definições de triângulos. O triângulo, tal como o seu nome indica, é uma figura
geométrica com três ângulos. Há quem defina triângulo como uma figura geométrica com
três lados, mas não é por acaso que o nome não é trilátero, mas sim triângulo.
Isto não é um triângulo
Isto é um triângulo!
O estudo dos triângulos ocupou muitos sábios durante muitos anos. Existem escritos sobre
triângulos com mais de 2300 anos!
Muito provavelmente este interesse pelos triângulos resultou da necessidade de medir
perímetros e áreas de propriedades agrícolas. Pode não parecer, mas ainda hoje estas
disputas fazem muita gente perder a cabeça… Mas vamos ao que interessa.
Classificação de Triângulos
Há duas classificações de triângulos:
1. Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo
Triângulo rectângulo
Triângulo obtusângulo
Todos os ângulos são
agudos, isto é, têm
mais de 0˚ e menos
de 90˚
Tem um ângulo recto, isto é,
tem um ângulo com 90˚
Tem um ângulo obtuso, isto é,
tem um ângulo com mais de 90˚ e
menos de 180˚
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α=90˚
90˚<α<180˚
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2. Quanto aos lados
Triângulo equilátero
Triângulo isósceles
Triângulo escaleno
Todos os lados iguais
Dois lados iguais
Todos os lados diferentes
As duas classificações são independentes. Por exemplo, podemos ter um triângulo
rectângulo isósceles, e também podemos ter um triângulo rectângulo escaleno (como nesta
última figura).
O Triângulo Rectângulo
Este é o mais famoso de todos os triângulos. E porquê? Porque qualquer triângulo pode
sempre ser dividido em, pelo menos, dois triângulos rectângulos. Assim, se soubermos como
calcular o perímetro de triângulos rectângulos, sabemos certamente como resolver o
mesmo género de problemas com quaisquer outros triângulos.
Um triângulo acutângulo
Dividido em dois
Dois triângulos rectângulos
Um triângulo obtusângulo
Dividido em dois
Dois triângulos rectângulos
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Triângulos e suas medidas - Trigonometria
Além de ser possível dividir qualquer triângulo em, pelo menos, dois triângulos rectângulos,
também é possível decompor em triângulos rectângulos a generalidade das figuras
geométricas cujos lados são segmentos de recta.
Alguns exemplos:
Um hexágono (seis lados)
Dividido em seis triângulos
Cada um deles dividido em
dois triângulos rectângulos
Um trapézio isósceles
Dividido em três partes
Dois triângulos rectângulos
(e um quadrilátero)
O triângulo rectângulo é tão famoso que os seus lados têm nomes próprios. Convém saber!
hipotenusa
cateto
cateto
Os catetos são os lados do ângulo de 90˚. O outro lado do triângulo é a hipotenusa. A
hipotenusa é sempre o maior dos três lados.
Os nomes dos catetos dependem do ângulo agudo que estamos a considerar.
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Relativamente ao ângulo β, temos:
cateto
oposto a
hipotenusa
cateto
adjacente a
Relativamente ao ângulo θ, temos:
cateto
adjacente a
hipotenusa
cateto
oposto a
Como em todos os triângulos, a soma das amplitudes dos três ângulos internos é sempre
igual a 180˚.
α + β + θ = 180˚
Uma vez que existe sempre um ângulo recto, a soma das amplitudes dos dois ângulos agudos
é sempre igual a 90˚.
90˚ + β + θ = 180˚ ⟺ β + θ = 180˚ - 90˚ ⟺ β + θ = 90˚
O prolongamento de qualquer lado gera sempre dois ângulos suplementares (ângulos
suplementares são aqueles cuja soma das amplitudes do ângulo interno com o respectivo
ângulo externo é igual a 180˚).
Isto dá um jeitão na resolução de exercícios, pois muitas vezes só temos um ângulo externo!
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θ + φ = 180˚
β + ω = 180˚
Basta saber um dos ângulos externos e ficamos a
saber os ângulos internos todos!
Exemplo:
Qual a amplitude dos ângulos internos do triângulo?
Resposta:
θ + 120˚ = 180˚ (ângulos suplementares)
θ = 180˚-120˚
θ = 60˚
Sabendo θ, calculamos β.
θ + β = 90˚
60˚ + β = 90˚
β = 90˚ - 60˚
β = 30˚
O Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma do
quadrado dos catetos.
h²= b²+ c²
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Outra maneira de ver o Teorema de Pitágoras:
Se fizermos as contas, a área do
rectângulo verde é igual à soma das áreas
dos quadrados azul e laranja.
E como se calcula a área de cada
quadrado? É fácil, é só fazer a medida do
lado, ao quadrado!
Então, o que escrevemos na primeira
frase é, em linguagem matemática,
h²= b²+ c².
Mas isto é o Teorema de Pitágoras!
Pois é!
Para que serve o Teorema de Pitágoras?

Em primeiro lugar, serve para sermos civilizados. Os macacos não sabem o Teorema
de Pitágoras…

Em segundo lugar, serve para calcular o tamanho de qualquer um dos lados do
triângulo rectângulo, quando temos os outros dois. Para fazer esse cálculo
recorremos a uma equação, sendo que o lado em falta é a nossa incógnita.
Exemplos:
Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de
Pitágoras!
h² = 3² +4² ⟺ h² = 9 +16 ⟺ h = ± √𝟐𝟓 ⟺ 𝒉 = ±𝟓
Atendendo que ℎ > 0, pois é um comprimento, tem-se
que ℎ = 5
A hipotenusa mede 5.
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Quanto mede o cateto do triângulo?
O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de
Pitágoras!
5² = c² +4² ⟺ 25 - 16 = c² ⟺ c = ± √𝟗 ⟺ 𝒄 = ±𝟑
Atendendo que 𝑐 > 0, pois é um comprimento, tem-se
que 𝑐 = 3
O cateto mede 3.
Quanto mede o cateto do triângulo?
O triângulo é rectângulo? Então aplicamos o Teorema de
Pitágoras!
5² = 3² +c² ⟺ 25 - 9 = c² ⟺ c = ± √𝟏𝟔 ⟺ 𝒄 = ±𝟒
Atendendo que 𝑐 > 0, pois é um comprimento, tem-se
que 𝑐 = 4
O cateto mede 4.
As medidas do Triângulo - Trigonometria
A trigonometria nasceu com o triângulo rectângulo. Hoje aplica-se a variadíssimas áreas do
conhecimento, tanto nas matemáticas puras quanto nas matemáticas aplicadas.
A trigonometria relaciona o comprimento dos lados de um triângulo rectângulo com
qualquer um dos seus ângulos agudos.
A trigonometria permite identificar a amplitude de ângulos partindo do comprimento dos
lados, ou identificar o comprimento dos lados partindo da amplitude de qualquer um dos
ângulos agudos, tudo isto no triângulo rectângulo.
As razões trigonométricas
São seis as razões trigonométricas:
1. Seno
2. Co-seno
3. Tangente
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4. Co-tangente
5. Secante
6. Co-secante
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Todas estas razões trigonométricas são relativas a um determinado ângulo agudo, que
devemos identificar.
No exemplo seguinte vamos indicar como se calculam as razões trigonométricas referentes
ao ângulo β (nota: no cálculo das razões trigonométricas usamos os comprimentos dos
lados do triângulo. No exemplo apenas nos referimos aos lados, por mera simplificação de
linguagem).
hipotenusa
cateto
oposto a
cateto
adjacente a
Seno β
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
Co-seno β
𝒄𝒂𝒕 . 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Tangente β
𝑡𝑔 𝛽 =
Co-tangente β
𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .
𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .
𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
Secante β
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
Co-secante β
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄 .
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
O actual programa do 11º ano de escolaridade, aprovado pelo Ministério da Educação
português, apenas refere como razões trigonométricas a estudar o seno, o co -seno e a
tangente.
Assim sendo, eis o que tem que ficar sabido:
Seno β
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Co-seno β
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Tangente β
𝑡𝑔 𝛽 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
Ao contrário do tamanho dos lados de triângulos semelhantes (que variam consoante o
tamanho dos ditos triângulos), a amplitude dos ângulos mantém-se.
E para as mesmas amplitudes de ângulos temos sempre o mesmo valor das correspondentes
razões trigonométricas.
Exemplos:
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𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
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Em triângulos semelhantes o tamanho dos lados varia de acordo com a respectiva razão
de semelhança…
… mas a amplitude dos ângulos mantém-se inalterada.
𝜶= 𝜷
Se a amplitude dos ângulos se mantém inalterada, então também as razões trigonométricas
se mantêm inalteradas!
𝒕𝒈 𝜶 =
𝟑
𝒕𝒈 𝜷 =
𝟒
𝟔
𝟖
⟺ 𝒕𝒈 𝜷 =
𝟑
𝟒
𝜶= 𝜷
Para que servem as razões trigonométricas?
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
Com as razões trigonométricas passamos a poder relacionar o tamanho dos lados
do triângulo rectângulo com a amplitude dos seus ângulos.

Passamos a conseguir calcular o comprimento dos lados partindo do conhecimento
da amplitude dos ângulos, ou a calcular a amplitude dos ângulos partindo do
conhecimento do comprimento dos lados.
Exemplos:
Sabendo que 𝜶 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟕°, calcule o comprimento do cateto c.
Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do cateto
oposto (c) e o comprimento do cateto adjacente (4). Qual a
razão trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa
razão trigonométrica é a tangente!
Então,
𝒕𝒈 𝟑𝟔, 𝟖𝟕° =
𝒄
𝒄
⟺ 𝟎, 𝟕𝟓 =
⟺ 𝟒 × 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝒄 ⟺ 𝒄 = 𝟑
𝟒
𝟒
(o valor de 𝑡𝑔 36,87° foi aproximado às centésimas).
O cateto c mede 3.
Sabendo que 𝜶 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟕°, calcule o comprimento da hipotenusa.
Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do cateto
adjacente (4) e o comprimento da hipotenusa. Qual a razão
trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão
trigonométrica é o co-seno.
Então,
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟔, 𝟖𝟕° =
𝟒
𝟒
𝟒
⟺ 𝟎, 𝟖𝟎 =
⟺ 𝒉 × 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟒 ⟺ 𝒉 =
𝒉
𝒉
𝟎, 𝟖𝟎
⟺𝒉=𝟓
(o valor de cos 36,87° foi aproximado às centésimas).
A hipotenusa mede 5.
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Calcule a amplitude do ângulo 𝜶.
Temos a amplitude de um ângulo (𝜶), o comprimento do
cateto oposto (√3) e o comprimento do cateto adjacente (3).
Qual a razão trigonométrica que relaciona estas três
grandezas? Essa razão trigonométrica é a tangente!
Então,
𝒕𝒈 𝜶 =
√𝟑
𝟑
Atendendo que 𝜶 é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se
que:
√𝟑
𝜶 = 𝒕𝒈−𝟏 ( ) ⟺ 𝜶 = 𝟑𝟎°
𝟑
Portanto, 𝜶 = 𝟑𝟎°.
NOTA: 𝑡𝑔−1 representa a função inversa da tangente, também
chamada arco de tangente. Podemos escrever 𝑡𝑔 −1 ou arc tg.
Usa a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado
com o sistema de medição de ângulos que está programado na
tua máquina de calcular!
Calcule a amplitude do ângulo 𝜷.
Temos a amplitude de um ângulo (𝜷), o comprimento do cateto
oposto (√3) e o comprimento da hipotenusa (2). Qual a razão
trigonométrica que relaciona estas três grandezas? Essa razão
trigonométrica é o seno!
Então,
𝐬𝐞𝐧 𝜷 =
√𝟑
𝟐
Atendendo que 𝜷 é a amplitude de um ângulo agudo, tem-se
que:
√𝟑
𝜷 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏 ( ) ⟺ 𝜷 = 𝟔𝟎°
𝟐
Portanto, 𝜷 = 𝟔𝟎°.
NOTA: 𝑠𝑒𝑛 −1 representa a função inversa do seno, também
chamada arco de seno. Podemos escrever 𝑠𝑒𝑛 −1 ou arc sen. Usa
a máquina de calcular para fazeres estas contas. Cuidado com o
sistema de medição de ângulos que está programado na tua
máquina de calcular!
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Valores das razões trigonométricas de ângulos fundamentais
Sistema sexagesimal – unidade: grau
0˚
30˚
45˚
60˚
90˚
Sistema circular – unidade: radiano
0
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
seno
0
𝟏
𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟑
𝟐
1
co-seno
1
√𝟑
𝟐
√𝟐
𝟐
𝟏
tangente
0
√𝟑
𝟑
1
√𝟑
0
𝟐
--
Relações entre as razões trigonométricas

Qualquer que seja o ângulo,
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
Esta é a fórmula fundamental da trigonometria.
Para que serve a fórmula fundamental da trigonometria? Para calcular um co-seno quando
temos um seno, ou para calcular um seno quando temos um co-seno.
Exemplo:
Calcule o valor do 𝐜𝐨𝐬 𝜶 sabendo que 𝐬𝐞𝐧 𝜶 =
√𝟑
𝟐
Conhecemos o valor do seno e queremos saber o valor do co-seno. Como resolver?
Aplicamos a fórmula fundamental da trigonometria!
2
3
3
√3
( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 ⟺ + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 ⟺ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − ⟺
2
4
4
⟺ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =
Portanto, 𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
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𝟏
𝟐
1
1
1
⟺ cos 𝛼 = ±√ ⟺ cos 𝛼 = ±
4
4
2
ou 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = −
𝟏
𝟐
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Triângulos e suas medidas - Trigonometria

Qualquer que seja o ângulo,
𝒕𝒈 𝜶 =
𝐬𝐞𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
Com esta fórmula e a fórmula fundamental da trigonometria conseguimos, sabendo uma
razão trigonométrica, calcular qualquer outra.
Exemplo:
Calcule o valor do 𝐬𝐞𝐧 𝜶 sabendo que 𝒕𝒈 𝜶 =
√𝟑
𝟑
Conhecemos o valor da tangente e queremos saber o valor do seno. Como resolver?
Aplicamos a fórmula da tangente, em associação com a fórmula fundamental da
trigonometria!
𝑠𝑒𝑛 𝛼
Sabemos que 𝑡𝑔 𝛼 =
, e que 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1. Então, para “fazer aparecer” uma
cos 𝛼
tangente na fórmula fundamental da trigonometria, vamos dividir tudo por 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼!
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
+
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
=
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
⟺ 𝒕𝒈𝟐 𝜶 + 𝟏 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
A partir daqui, e com o valor da tangente, vamos calcular o valor do co-seno.
Calculado o valor do co-seno, voltamos à fórmula fundamental da trigonometria e
calculamos o valor do seno. Está feito!
2
1
1
1
3
√3
( ) +1 =
⟺ +1=
⟺ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =
2
2
3
𝑐𝑜𝑠 𝛼
3
𝑐𝑜𝑠 𝛼
4
Agora voltamos à fórmula fundamental da trigonometria para calcular o sen 𝛼 !
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 +
3
4
= 1 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 2 𝛼 = 1 −
3
4
⟺ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 =
1
4
⟺
1
1
⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ± √ ⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ±
4
2
Portanto, 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
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𝟏
𝟐
ou 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = −
𝟏
𝟐
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Apêndice
Formulário
hipotenusa
cateto
oposto a
cateto adjacente a
Equação
sen β
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
cos β
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
tg β
𝒕𝒈 𝜷 =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
Fórmula fundamental da
trigonometria
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
Variante da fórmula fundamental
da trigonometria
𝐬𝐞𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝟏
𝒕𝒈𝟐 𝜶 + 𝟏 =
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝒕𝒈 𝜶 =
Outras fórmulas úteis (não são do programa):
Para qualquer triângulo
𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 𝒔𝒆𝒏 𝜽
=
=
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨𝟐 = 𝑩𝟐 − 𝟐 × 𝑩 × 𝑪 × 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝑪𝟐
Lei dos senos
Lei dos co-senos
𝑩𝟐 = 𝑨𝟐 − 𝟐 × 𝑨 × 𝑪 × 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝑪𝟐
(nota: o Teorema de Pitágoras é um caso
particular da Lei dos co-senos, pois nesse
caso 𝜶 = 𝟗𝟎° e 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° = 𝟎).
𝑪𝟐 = 𝑨𝟐 − 𝟐 × 𝑨 × 𝑩 × 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑩𝟐
Fim
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