Nome: _________________________________________
____________________________ N.º: __________
endereço: ______________________________________________________________ data: __________
Telefone:_________________ E-mail: _________________________________________________________
Colégio
PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2014
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede:
a) 65°
b) 60°
c) 55°
d) 50°
e) 45°
RESOLUÇÃO
Sejam k e 3k (pois estão na razão 1 : 3) as medidas dos dois ângulos internos consecutivos do paralelogramo abaixo.
Como a soma de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180°, temos:
3k + k = 180° ⇔ k = 45°
Resposta: E
QUESTÃO 17
A medida do raio de uma circunferência, em metros, corresponde à solução da equação:
2
– ––– + x
3
–––––––––– = 1
1
––– – 3x
3
O diâmetro dessa circunferência, em metros, mede:
a) 5 . 10–2
b) 5 . 10–1
c) 5 . 100
RESOLUÇÃO
Resolvendo a equação, teremos
2
– ––– + x
2
3
––––––––– = 1 ⇔ – ––– + x = 1 .
1
3
––– – 3x
3
d)5 . 102
e) 5 . 103
que:
–––31 – 3x ⇔ x + 3x = –––31 + –––23 ⇔ 4x = 1 ⇔
1
⇔ x = ––– (medida do raio)
4
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
1
2
Portanto, o diâmetro mede, em metros, ––– . 2 = ––– = 0,5 = 5 . 10–1.
4
4
Resposta: B
QUESTÃO 18
A temperatura T de um forno (em graus celsius) é reduzida por um sistema a partir do
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão:
– t2
T (t) = –––– + 400, com t em minutos. Por motivo de segurança, a trava do forno só é liberada
4
para a abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Qual o tempo mínimo de
espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta seja aberta?
a) 39,0
b) 38,0
c) 20,0
d) 19,8
e) 19,0
RESOLUÇÃO
O tempo mínimo de espera, em minutos, ocorre quando a temperatura atinge 39°C, ou
seja:
t2
t2
t2
T = – –––– + 400 ⇔ 39° = – –––– + 400 ⇔ –––– = 400 – 39 ⇔ t2 = 361 . 4 ⇔ t = 19 . 2 ⇔
4
4
4
⇔ t = 38, pois t > 0
Resposta: B
QUESTÃO 19
Os triângulos de um logotipo são semelhantes entre si.
Se AB = 14 cm, BC = 18 cm, DE = 7cm, DF = 10 cm, HI = 4,5 cm e GI = 5 cm, podemos
afirmar que (HG : AC) . EF é igual a:
a) 0,575 cm
OBJETIVO
b) 0,615 cm
c) 1,205 cm
2
d)1,575 cm
e) 1,615 cm
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Se os 3 triângulos são semelhantes, os lados correspondentes possuem medidas
proporcionais.
Assim, em cm, temos que:
14
AB
AC
AC
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ AC = 20
DE
DF
10
7
14
20
AB
AC
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ HG = 3,5
HG
GI
HG
5
7
ED
EF
EF
–––– = –––– Æ –––– = –––– Æ EF = 9
HG
HI
4,5
3,5
Assim:
(HG : AC) . EF = (3,5 : 20) . 9 = 1,575 cm
Resposta: D
QUESTÃO 20
Um aluno do 9.o ano partiu da seguinte hipótese: sejam a e b dois números não nulos, reais
e iguais; usou alguns procedimentos e encontrou um resultado falso.
Analise os procedimentos do aluno:
Se a = b, então:
Etapa I – multiplico os dois membros da igualdade por a e obtenho: a2 = ab.
Etapa II – subtraio b2 nos dois membros da igualdade: a2 – b2 = ab – b2.
Etapa III – fatoro ambos os membros: (a + b) (a – b) = b (a – b).
Etapa IV – divido os dois membros por (a – b):
b (a – b)
(a + b) (a – b)
––––––––––––– = ––––––––– Æ a + b = b
a–b
a–b
Etapa V – como a = b, tenho 2b = b, então, divido por b, obtendo 2 = 1.
Esse aluno cometeu um erro na etapa:
a) I
b) II
c) III
d)IV
e) V
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
O erro foi cometido na etapa IV, pois se a = b, então, a – b = 0.
Ao dividir os dois membros da equação por a – b, o aluno está dividindo por zero e a
divisão por zero não existe.
Resposta: D
QUESTÃO 21
(OBM) – Os resultados de uma pesquisa sobre as cores de cabelos de 1 200 pessoas são
mostradas no gráfico abaixo:
Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro?
a) Menos de 100 pessoas.
b) Mais de 100 e menos de 200.
c) Entre 200 e 300 pessoas.
d) Mais de 300 e menos de 370.
e) Exatamente 400 pessoas.
RESOLUÇÃO
Somando-se todas as porcentagens indicadas e chamando a porcentagem de pessoas
de cabelo loiro de ᐉ, temos:
30% + 24% + 16% + ᐉ = 100% ⇔ 70% + ᐉ = 100% ⇔ ᐉ = 30%
Então, 30% de 1 200 pessoas têm cabelo loiro. Assim, 30% de 1 200 = 0,30 . 1 200 = 360 pessoas.
Resposta: D
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 22
A área de um terreno quadrado é numericamente igual ao dobro do valor de seu perímetro.
Então, 50% da área desse terreno é:
a) 64
b) 54
c) 49
d) 36
e) 32
RESOLUÇÃO
Chamando o lado do quadrado de x, temos que:
Sua área é x2 e seu perímetro 4x. O dobro de seu perímetro é igual a 8x.
Assim, teremos que:
x2 = 8x ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x (x – 8) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 8 ⇔ x = 8, pois x > 0
Assim, a área do quadrado é igual a:
50
A = 82 ⇔ A = 64 e 50% de 64 = –––– . 64 = 32
100
Resposta: E
QUESTÃO 23
A razão entre dois números naturais é de 1 : 3. Se o quadrado do menor é igual ao maior mais
10 unidades, a soma desses números é igual a:
a) 23 . 3
b) 2 . 32
c) 2 . 52
d) 22 . 32
e) 22 . 5
RESOLUÇÃO
Chamando de x (o menor número) e y (o maior) os números procurados, temos:
x
1
––– = –––
y
3
2
x = y + 10
€
=y
3x
x – y – 10 = 0
2
Se y = 3x, então:
x2 – 3x – 10 = 0
D = (–3)2 – 4 . 1 . (–10) ⇔ D = 49
x’ = 5
3 ± 49
3±7
x = ––––––––– = ––––––
x” = – 2 (não convém, pois é natural)
2
2
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
Assim, o maior número é:
y = 3x ⇒ y = 3 . 5 = 15
Os números procurados são 5 e 15, cuja soma é 20 = 22 . 5.
Resposta: E
QUESTÃO 24
As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (2 3 + 2 ) cm e (2 3 – 2) cm. Em
centímetros, a medida da hipotenusa desse triângulo retângulo está compreendida entre:
a) 2 e 3.
b) 3 e 4.
c) 4 e 5.
d) 5 e 6.
e) 7 e 8.
RESOLUÇÃO
Sendo x a medida, em cm, da hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
x2 = (2
3 + 2)2 + (2
3 – 2)2 ⇔ x2 = 12 + 8 3 + 4 + 12 – 8 3+ 4 ⇔
⇔ x2 = 32 ⇔ x = 32 , pois x > 0
Como 25 < 32 < 36 , tem-se 5 < x < 6.
Resposta: D
QUESTÃO 25
Elevei um número não nulo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que
restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual
a) ao próprio número.
b) ao dobro do número.
c) ao número mais 1.
d) à raiz quadrada do número.
e) ao número menos 1.
RESOLUÇÃO
Chamando o número de x, temos:
x2 – x
––––––– , fatorando-se o numerador, resulta:
x
x (x – 1)
–––––––– = x – 1, ou seja, o número menos 1.
x
Resposta: E
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 26
(OBM-2005) – Na figura, os dois triângulos são equiláteros.
x
75º
Qual o valor do ângulo x?
a) 30°
b) 40°
65º
MAT-0014904-bpb
c) 50°
d) 60°
e) 70°
RESOLUÇÃO
Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos medem 60°.
Analisando o triângulo AGD, podemos escrever:
^
^
m (GAD) = 180° – 75° – 60° = 45° e m (GDA) = 180° – 65° – 60° = 55°
E
B
F
x
G
75°
C
60°
x + 60°
60°
60°
45°
55°
A
65°
D
Assim: 45° + 55° = x + 60° ⇒ x = 100° – 60°⇔ x = 40°
Resposta: B
MAT-0014906-bpb
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 27
Para medir o lado AB de uma sala de aula, um aluno utilizou o maior lado de um esquadro de
madeira (que tem a forma de um triângulo retângulo), cujo ângulo P é reto, conforme mostra
a figura.
P
30 cm
40 cm
x
Sabendo que a sala é um retângulo cujo perímetro é 28 metros e que a largura AB mede 2 metros a menos que o comprimento, então, o número de vezes que o lado maior do esquadro
MAT-0014907-bpb
coube no lado AB da sala foi:
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
e) 28
RESOLUÇÃO
Sendo x a medida da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de medida 30 cm
e 40 cm, temos que:
x2 = 302 + 402 ⇒ x2 = 2500 ⇒ x = 50 cm, pois x > 0
Se a sala tem 28 metros de perímetro e a largura mede 2 metros a menos que o
comprimento, então, em metros, para um comprimento y teremos uma largura (y – 2).
A
y
y-2
B
y-2
y
O perímetro da sala é y + (y – 2) + y + (y – 2) = 4y – 4.
Assim, 28 = 4y – 4 ⇔ 32 = 4y ⇔ y = 8.
MAT-0014908-bpb
Assim, a largura AB da sala é de (8 – 2) m = 6 m = 600 cm.
Portanto, o esquadro foi usado:
600 cm : 50 cm = 12 vezes.
Resposta: A
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 28
5
Resolvendo a equação
3
2 – 2x – 1 = 1, no conjunto dos ⺢, podemos afirmar que o valor de x
é representado por um número
a) negativo.
b) par.
c) ímpar.
d) par e primo ao mesmo tempo.
e) ímpar e primo ao mesmo tempo.
RESOLUÇÃO
5
3
2–
2x – 1 = 1 ⇔
3
5
2–
⇔
2x – 1
3
= 15 ⇔ 2 – 2x – 1 = 1 ⇔
3
2x – 1 3
2x – 1 = 1
5
3
= 13 ⇔ 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1
Não há necessidade de verificação, pois são raízes de índice ímpar, no entanto, verificando, temos:
5
5
3
2–
2.1 – 1 =1
⇔
3
2–
1
5
5
= 1 ⇔ 2 – 1 = 1 ⇔ 1 = 1 ⇔ 1 = 1, que é verda-
deiro.
Logo, x = 1 é solução e 1 é ímpar.
Resposta: C
QUESTÃO 29
Um professor de matemática apresentou um exemplo de dois números irracionais que,
multiplicados, resultam em um número racional. O exemplo apresentado está em um dos
seguintes itens:
3
I)
5
125 .
3
II)
36 = 30
5
– 64 .
3
– 32 = 8
5
III)
–8 .
–1 = 2
IV)
28 .
63 = 42
V)
16 .
36 = 24
Em qual dos itens está o exemplo do professor?
a) I
b) II
c) III
OBJETIVO
9
d) IV
e) V
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Analisando as alternativas, temos:
3
I)
5
125 .
3
II)
5
36 = 5 .
62 e
3
125 é racional.
5
– 64 .
3
3
– 32 = (–4) . (–2) = 8 e
5
5
– 64 e
3
III)
–8 .
– 1 = (–2) . (–1) = 2 e
IV)
28 .
63 =
V)
16 .
36 = 4 . 6 = 24 e
1764 = 42 e
– 32 são racionais.
5
–8 e
28 e
16 e
– 1 são racionais.
63 são irracionais.
36 são racionais.
A única alternativa na qual os dois números multiplicados são irracionais e dão como
resultado um número racional é a alternativa IV.
Resposta: D
QUESTÃO 30
Em um escritório, para passar de uma sala para outra, foi colocada uma porta (OP) com molas,
que abre para os dois lados. Essa porta, porém, não abre completamente, sendo os pontos
A e C os extremos de sua abertura, observe:
^
^
Sabendo que as salas são retangulares e que os ângulos AOB e COD medem,
respectivamente, 150° e 160°, então, o ângulo de abertura máximo dessa porta é:
a) 100°
b) 110°
c) 120°
d) 130°
e) 140°
RESOLUÇÃO
Pelos dados do problema, temos que:
^
^
^
1) AO B = 150°, se BO D = 180°, então, AO D = 30°.
^
^
^
2) CO D = 160°, se BO D = 180°, então, BO C = 20°.
^
^
^
Assim, AO C = 180° – 30° – 20° ⇔ AO C = 180° – 50° ⇔ AO C = 130°.
Resposta: D
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE