Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
Aula 8 – Cap 05
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Distribuição normal de
probabilidade
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Na aula anterior vimos...
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
Dr
f. Distribuições
o
r
P
Binomiais
Distribuição Geométrica
Distribuição de Poisson
Fim do Cap. 4
…
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
f. D
o
r
P
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Neste aula...
s
. Aly
tei
S
n
so
Dr
f. Início
o
r
P
he
mac
r
do Cap. 5
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Distribuições normais de probabilidade
Distribuição normal padrão
…
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
Distribuições Normais
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Infinitos valores possíveis
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
Estatística e Probabilidade
Distribuição normal
A distribuição normal é a distribuição contínua de probabilidades mais
importante em estatística.
her
er
c
h
a
c
a
eim
mpara
t
i
S
e
t
Pode ser usadas
modelar
muitos
conjuntos
de
medidas
na
natureza,
nS
so n
o
s
s
y
l
s
A
ly
na industria
e no comércio, na saúde, etc.
Dr .
r. A
rof.
f. D
o
P
r
P A distribuição normal é uma distribuição contínua de uma variável aleatória
x e seu gráfico é chamado de curva normal.
Propriedades de uma distribuição normal
• Suas média, mediana e moda são iguais.
• Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
• A área total sob a curva
hernormal é 1.
c
a
teim
S
n
so
s
y
l
r. A
D
.
f
Pro
1
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
x
Estatística e Probabilidade
Propriedades de uma distribuição normal
he
mac
Ponto de inflexão
Stei
f.
Pro
Dr
sso
y
l
A
.
n
r
a ch
m
i
te
S
n
Ponto de inflexão
sso
y
l
A
Dr .
.
f
o
Pr
er
x
• À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez
mais do eixo x, mas nunca o toca.
• Os pontos em que
a curvatura muda são chamados pontos deher
r
e
h
ac
c
m
a
i
e
inflexão. O gráfico
curva-se
para
baixo
entre
os
pontos
de
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e,
t
S
eim
t
n
S
onà esquerda e à direita deles.
sso
s
y
l
para Acima,
s
A
y
l
r.
r
f. D
o
r
P
.
f.
Pro
D
Estatística e Probabilidade
Propriedades de uma distribuição normal
Se x for uma variável
aleatória contínua com função densidade
her
er
c
h
a
c
eim
ma pode-se fazer o gráfico de uma curva normal
t
i
de probabilidade
S
e
t
nS
so n
o
s
s
y
l
s
A
usando
ly a seguinte equação:
Dr .
r. A
f.
Pro
f.
Pro
D
f ( x) =
1
σ 2π
−( x−μ )2
e
2σ 2
com parâmetros μ e σ, em que -∞<μ< ∞, e σ>0.
Como
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
r
e e πacsão
her constantes, a curva normal depende deimache
teim
S
n
o
μ (média) e σ (desvio padrão)
Alys
.
r
f. D
Pro
te
S
n
so
Estatística e Probabilidade
Médias e desvios padrão
her
Uma distribuição cnormal
pode ter qualquer média e qualquer desvio
er
c
h
a
eim
ma
t
i
S
e
t
padrão positivo.
Os parâmetros μ e σ determinam o formato
da
nS
so n
o
s
s
y
l
s
r. A
Aly
curva.
.
D
r
.
f
D
Pro
f.
Pro
10 11 12 13 14
her
c
a
Curvas com
eim médias
t
S
on
s
s
y
. Al
r
D
f.
Pro
15 16 17 18 19
diferentes e o
20
ch
a
m
i
mesmo desvio padrão
te
S
n
sso
y
l
A
r.
D
.
f
Pro
er
Estatística e Probabilidade
Médias e desvios padrão
r
Curvas com médias
er diferentes e desvios padrão diferentesmache
h
c
a
i
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
eim
t
S
on
Alys
.
r
f. D
o
r
P
St
so n
e
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Médias e desvios padrão
Exemplo: Massas de homens e mulheres adultos
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
homens
mulheres
63.6
69.0
massa (Kg)
e
her
a ch
c
m
a
i
te
S
eim
t
n
S
n
sso
y
l
1- QualAldas
sso curvas normais tem média maior?
A
y
r.
.
D
r
.
f
D
2-f.Qual das curvas normais tem desvio padrão maior?
Pro
Pro
r
Estatística e Probabilidade
Interpretando gráficos das distribuições normais
f.
Pro
Aly
.
r
D
s
tei
S
n
so
he
mac
her
c
a
m
eiestá
t
Cerca de 68% daoárea
a
S
n
s
s da média.
um desvioDpadrão
. Aly
r
f.
Pro
r
68%
Cerca de 95% da área
está a dois desvios
padrão.
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
Cerca
o
de 99,7% da área está a Alyss
r.
D
.
f
três desvios padrão da média.
Pro
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Exemplo:
Segundo o manual de instruções, o tempo de montagem de certo
heer
er distribuído, com uma média de 4,2 horas
c
h
a
produto é normalmente
c
eim
ma
t
i
S
e
t
nS
so n
um desvio
padrão
de
0,3
hora.
o
s
s
y
l
s
r. A
Aly
.
D
r
.
f
D
Determine
o intervalo no qual caem 95% dos tempos
de montagem.
Pro
rof.
P
4,2 horas
0,3 hora
3,3 3,6 3,9 4,2
4,5 4,8 5,1
x
e
r
hecaem
95% dos dados
a
até
dois
desvios
padrão
da
média.
a ch
c
m
a
i
e
m
tei
S
n
so
Alys
.
r
f. D 95%
Pro
4,2 – 2 (0,3) = 3,6
e
dos tempos de montagem
n St
o
s
4,2 + 2 (0,3)
A=lys4,8.
.
r
f. D
Pro 3,6 e 4,8 horas.
estarão entre
r
Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
A distribuição normal
padrão e o escore z
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
Estatística e Probabilidade
Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal com
er
distribuição normal
ach padrão.
r
f. D
o
r
P
ss
. Aly
μ=0
e
σ=1
eim
t
S
on
é
f. D
o
r
P
chamada
ss
y
l
A
r.
de
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Área = 1
–4 –3 –2 –1
0 1
2 3
4
z
e
her
a ch
c
m
a
i
te
S
eim
t
n
S
on
sso
s
y
l
Escala
horizontal:
corresponde
aos
escores
z
s
A
y
r.
. Al
D
r
.
f
D
f.
Pro
Pro
r
Estatística e Probabilidade
O escore Z
O escore padrão, ou escore z, representa o número de
her
er
c
h
a
c
m
a
desvios padrão
Stei
teimque separa uma variável aleatória x dan média.
r
f. D
o
r
P
.
so
Alys
nS
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
o
Para transformar um valor x em um escore z usamos a seguinte
fórmula:
valor - média
desvio padrão
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
O escore Z
Exemplo:
r
her
e
c
h
a
c
As pontuações
eim
ma em um concurso público estão normalmente
t
i
S
e
t
n
n S com média de 152 e desvio padrão lyde
so7.
o
s
s
distribuídas,
s
r. A
Aly
.
D
r
.
r of
f. D
Pro Determine o escore z para um candidato Pcom pontuação de:
(a) 161
(b) 148
(c) 152
valor - média
desvio padrão
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Entendendo o escore Z
Se cada valor de dados de uma variável aleatória x normalmente
distribuida for transformado em um escore z, o resultado será uma curva
her
er
c
normal padrão.
h
a
c
a
im
eim
t
S
on
St
so n
e
s
ys
sutilizar
Podemos
a curva normal padrão e o escore z para
áreas (e
Alobter
y
l
.
r
A
.
D
r
.
D
probabilidades) sob qualquer curva normal.Prof
rof.
Pportanto
Propriedades de uma distribuição normal
™ A área acumulada está próxima de 0 para
escores próximos de -3,29
™ A área acumulada cresce à medida que z
cresce
™ A área acumulada para z = 0 é de 0,50
r
hepara
c
™ A área acumulada
z = 3,39 é ~1
a
m
i
e
t
nS
o
s
Alys
.
r
f. D
Pro
A
área
total
sob a
curva
é 1.
ss
y
l
A
r.
D
rof.
P
–3 –2 –1 0
a ch
m
i
te
S
n
o
1 2 3
er
z
Estatística e Probabilidade
Áreas acumuladas: A tabela normal padrão
Determine a área acumulada para um escore z de –1,25.
er
Use a tabela padrão.
a ch
r
f. D
o
r
P
ss
. Aly
eim
t
S
on
f. D
o
r
P
Percorra a coluna z, à esquerda, até z = –1,2;
her
Depois siga na transversal
até a coluna de número 0,05.
c
a
im
Ste
n
o
yss
ss
y
l
A
r.
Aly
l
.
r
A
.
D
Oof.valor
Dr da célula, 0,1056, corresponde à área acumulada.
rof.
P
r
P
a ch
m
i
te
S
n
o
er
her
c
a
Área
eim
t
S
n
sso acumulada
Estatística e Probabilidade
Áreas acumuladas e probabilidade
er
A área acumulada
corresponde a probabilidade.
a ch
r
f. D
o
r
P
ss
. Aly
eim
t
S
on
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
0,1056
z
–3 –2 –1 0 1 2 3
Então, a probabilidade de que z esteja no
máximo
até –1,25 é de 0,1056.
r
r
f. D
o
r
P
ss
. Aly
he
c
a
teim
S
n
o
P
1,25)
0,1056
of. D
Pr
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Exercício: Determine P(z < –1,45).
Para determinar a probabilidade de z ser inferior a um valor dado, encontre a área
acumulada na tabela der acordo com o correspondente escore z.
her
e
c
h
a
c
eim
ma
t
i
S
e
t
nS
so n
o
s
s
y
l
s
r. A
Aly
.
D
r
.
f
f. D
Pro
Pro
Área acumulada
=
P(z < –1,45) = 0,0735
f.
Pro
ly s s
A
.
Dr
her
c
a
teim
S
n
o
–3 –2 –1
0 1
f.
Pro
2 3
D
Probabilidade her
ac
m
i
e
n St
o
s
ly s
r. A
z
Estatística e Probabilidade
Exercício: Determine P(z > –1,36).
Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valor dado,
r
her
e
c
subtraia de 1 a área
acumulada
que
você
encontrar
na
tabela.
h
a
c
a
im
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
eim
t
S
on
Alys
.
r
f. D
o
r
P
St
so n
e
0.9131
0,0869
z
–3 –2 –1 0 1 2 3
A área acumulada
(área à esquerda) é de 0,0869.
er
r
h
e
c
h
a
c
eim
maa
t
i
S
e
Logo,
área
à
direita
é:
1
–
0,0869
=
0.9131
t
nS
so n
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
o
P(z > –1,36) =
Alys
.
r
D
0.9131Prof.
Estatística e Probabilidade
Como determinar probabilidades entre dois valores.
Para determinar a probabilidade
de z estar entre dois valores dados, her
r
e
ac
chacumuladas para cada valor e, depois, subtraia
m
a
i
determine as áreas
a
e
m
St
tei
n
S
o
n
s
s
menorlyda
ssomaior.
. Aly
.A
r
D
f.
ProDetermine
f. D
o
r
P
P(–1,25 < z < 1,17).
r
0,7734
–3 –2 –1 0 1 2
Pr
her
c
a
m 0,8790
1. P(z < 1,17)
tei=
S
n
so
s
y
l
r. A
D
.
3. P(–1,25 < z
f
o
< 1,17) =
3
z
a ch
m
i
2. P(z < –1,25) = 0,1056
te
S
n
sso
y
l
A
r.
D
.
f
0,8790 – 0,1056
Pro = 0,7734
er
Estatística e Probabilidade
Resumo
Para determinar a probabilidade de z ser
inferior a dado valor,acencontre
a área
her
m
i
te
acumulada scorrespondente.
on S
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
z
-3 -2 -1 0 1 2 3
Para determinar a probabilidade de z ser
superior a dado valor, subtraia de 1 a área
acumulada que você encontrou na tabela.
-3 -2 -1 0 1 2 3
z
Para determinar a probabilidade de z
estar entre dois valores dados,
heracumuladas para
c
determine as áreas
a
teim
S
n
cada valor
soe, depois, subtraia a menor
s
y
l
r. A
da
maior.
D
.
f
o
Pr
-3 -2
D
rof.
P-1
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
0 1 2 3
z
er
Estatística e Probabilidade
Próxima aula:
tei
S
n
so
he
mac
r
A
inda
cap.5
r
D
.
f
Pro
Determinando probabilidades
s
. Aly
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
f. D
o
r
P
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er