Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
Aula 9 – Cap 05
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Distribuições normais:
determinando probabilidades
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Determinando probabilidades
Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, a probabilidade de
que ela esteja dentrohede
r dado intervalo é igual à área sob a curva nesse
her
c
a
c
eim
ma
t
i
S
e
intervalo.
t
S
on
sso
y
l
A
.
n
ss
y
l
A
r.
r
.D
f
D
o
.
r
f
Exemplo:
Pontuações
de
QI
são
normalmente
distribuídas,
com uma
P
Pro
média de 100 e um desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que
uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI
inferior a 115.
z=
x−μ
σ
100 115
Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z
er
r
h
e
c
h
a
correspondente ia
maxc= 115.
teim
r.
D
.
f
Pro
Al
Ste
n
o
yss
nS
115 − 100
o
s
s
z=
= 1 f. Dr. Aly
Pro
15
Estatística e Probabilidade
Determinando probabilidades
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
100 115
Distribuição
normal padrão
a ch
m
i
te
S
n
o
er
É O MESMO
Determine P(x < 115).
É O MESMO
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
Distribuição
her
c
a
eim
t
S
normal
so n
Determine P(z < 1).
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
0 1
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
f. D
P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115)
Pro = 0,8413
er
Estatística e Probabilidade
Aplicação
As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são
normalmente distribuídas,
com média de US$ 100 e desvio padrão de
her
er
c
h
a
c
a
eim
t
US$ 12. Uma Sconta
S
eim é escolhida aleatoriamente.
t
n
so n
o
s
s
y
l
s
Determine
r. A 115.
Aly a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$
r
f. D
o
r
P
.
Distribuição normal
f. D
o
r
P
P(80 < x < 115)
P(–1,67 < z < 1,25)
her
c
a
teim
S
n
o
a ch
m
i
te
0,8944 – 0,0475 = s0,8469
S
n
s o
s
y
l
s
A
y
r.
. Al
D
r
.
f
D
ro
f.
ProA probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 Pe US$ 115 é 0,8469.
er
Estatística e Probabilidade
Da área ao escore z
Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,9803.
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
z = 2,06 corresponde
mais ou menos
98%.
0,9803
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
z
er
r
h
e
c
h
a
eim
macna tabela. Leia os valores no início da linha e S
t
Localize 0,9803
no
alto
i
e
t
n
S
o
n
s
so da coluna correspondentes. O escore z será. 2,06.
ly s
s
A
y
l
r
D
r. A
D
.
rof.
f
o
P
r
P
Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
f.
Pro
Dr
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Distribuições normais:
obtendo valores
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
Estatística e Probabilidade
Determinando escores z a partir de áreas
er
Determine o escore
r z correspondente a uma area de 90%.
a ch
ch e
r
f. D
o
r
P
ss
. Aly
ma
i
e
t
on S
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
eim
t
S
on
0,90
0
z
Na tabela, o valor mais próximo é 0,8997. O início da linha é
1,2 e o topo da coluna é 0,08. Isso corresponde a z = 1,28.
her
c
a
teim
S
n
Umlyescore
z de
so
s
r. A
D
.
f
Pro
a ch
m
i
te
S
n
o
s 90%.
1,28 corresponde a uma área
sde
y
l
A
.
r
D
.
f
Pro
er
Estatística e Probabilidade
Determinando escores z a partir de áreas
Determine um escore z tal que 45% da área sob a curva
fique entre –z e hz.
er
er
a ch
r
f. D
o
r
P
sso
y
l
A
.
n
ac
m
i
Ste
0,275
f. D
o
r
0,275P
ss
y
l
A
r.
eim
t
S
on
0,45
z
–z
0
A área restante nas pontas é de 0,55. Metade dessa área
está em cada ponta; logo, 0,55/2 = 0,275 é a área
acumulada para o valor negativo de z, e 0,275 + 0,45 =
0,725 é a área acumulada para o z positivo.
her
c
a
teim próximo
S
valor
mais
n
so
s
y
l
r. A
a ch
m
i
te
S
n
o
O
na tabela é de 0,2743 e,
o
s
sassim,
y
l
A
r.
D
.
f
D
escore
z
é
0,60.
O
escore
z
positivo
é
0,60.
Pro
rof.
P
er
Estatística e Probabilidade
De escores z a escores brutos
Para determinar um valor x a partir de um escore z:
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
Exemplo:
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
As pontuações em um concurso público estão normalmente
distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7.
Determine a pontuação de um candidato com escore z:
(a) 2,33
(b) –1,75
(c) 0
(a) x = 152 + (2,33)(7) = 168,31
(b)
xr = 152 + (–1,75)(7) = 139,75
ch e
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
ma
i
e
t
on S
(c) x = 152 + (0)(7) = 152
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Determinando percentuais ou valores de corte
Exemplo: As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são
her
normalmente distribuídas,
Qual
er com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12.
c
h
a
c
a
eim
mentre
t
i
S
e
é o valor mais baixo
os
10%
mais
altos?
t
nS
so n
o
s
s
y
l
s
r. A
Aly
.
D
r
.
rof 115,36 é o valor mais
f. D
PUS$
Pro
90%
baixo entre os 10% mais
altos.
10%
z
Determine, na tabela, a área acumulada mais próxima a 0,9000 (o 90%).
A área 0,8997 corresponde a um escore z de 1,28.
er
r
h
e
c
h
a
c
Para determinar
x correspondente, use:
eim
moavalor
t
i
S
e
t
on
nS
s
o
s
s
y
l
r. A
Alys
.
D
r
.
x = 100 + 1,28(12) = 115,36. Prof
f. D
Pro
Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
f.
Pro
Dr
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Teorema do
Limite Central
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
Estatística e Probabilidade
Distribuições amostrais
Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma
estatística da amostra
formada quando amostras de tamanho n asão
her
er
c
h
c
eim
ma
t
i
repetidamente
colhidas
de
uma
população.
S
e
t
S
on
sso
y
l
A
.
n
ss
y
l
A
r.
r
.D
f
D
o
.
r
f
P
a distribuição será
Pro Se a estatística da amostra for a sua média simples,
uma distribuição amostral de médias das amostras.
Amostra 3
Amostra 1
Amostra 5
Amostra 4
Amostra 2
Amostra 6
r
A distribuição amostral
checonsiste nos valores das médias da amostra,
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
ma
i
e
t
on S
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
O Teorema do Limite Central
Se amostras de tamanho n (com n>30) forem tiradas de uma população er
er
h=
a ch
c
m
a
i
qualquer com média
μ
e
desvio
padrão
=
σ,
te
S
eim
μ
t
n
S
n
sso
y
l
então Alyassodistribuição
amostral de
A
.
Dr .
r
.
f
D
o
das amostras se aproximará
of.
Pr
Prmédias
de uma distribuição normal.
Média:
Quanto maior o n
Desvio padrão (erro padrão):
f.
Pro
ly s s
A
.
Dr
mac
i
e
t
on S
her
Melhor será a aproximação r
e
a ch
m
i
te
S
n
sso
y
l
A
r.
D
.
f
Pro
Estatística e Probabilidade
O Teorema do Limite Central
Se a própria população for normalmente distribuída,
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
x
a distribuição das médias das amostras será normalmente
distribuída para qualquer tamanho n da amostra.
Média:
Desvio padrão`(erro padrão):
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
O Teorema do Limite Central- Resumindo
Distribuição de Populacional qualquer
f.
Pro
Aly
.
r
D
ss
tei
S
n
o
he
mac
r
Distribuição de População Normal
Desvio
Padrão
f. D
o
r
P
Média
a ch
m
i
Desvio
te
S
n
Padrão
sso
y
l
A
r.
er
Média
Distribuição de médias das amostras
Distribuição de médias das amostras
qualquer n
Desvio
Padrão
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
Desvio
Padrão
Média
ss
y
l
A
r.
Média
f.
Pro
D
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Aplicação
A média de altura dos homens norte-americanos (de 20 a 29 anos) é de
μ=69.2 e σ=2.9 polegadas.
Amostras aleatórias de 60 homensacsão
her
er
h
c
m
a
selecionadas. SDetermine
a média e o desvio padrão (erro onpadrão)
da
Stei
eim
t
n
s
ssoamostral.
Alys
y
distribuição
l
.
r
A
D
r.
f.
Pro
f.
Pro
D
média
69,2
A distribuição de médias da amostra de tamanho 60,
será normal.
,
Desvio padrão
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Interpretando o Teorema do Limite Central
A média de altura dos homens norte-americanos (de 20 a 29 anos) é
= 69,2 polegadas.
her
erSe uma amostra aleatória de 60 homens nessa
c
h
a
c
eim de
ma
t
i
S
e
faixa etária nfor
selecionada,
qual
é
a
probabilidade
de
que
a
média
t
S
so n
o
s
s
y
l
s
r. A um desvio
altura
na
Aly amostra seja superior a 70 polegadas? Admita
.
D
r
.
f
D
Pro
rof.
Ppadrão
de 2,9 polegadas.
Uma vez que n > 30, a distribuição amostral de
será normal
Média:
Desvio padrão:
Determine o escore z para uma média amostral de 70:
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Interpretando o Teorema do Limite Central
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
z
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
2,14
Há uma probabilidade de 0,0162 de que uma
amostra com r 60 homens tenha uma média deher
he
ac
c
m
a
i
e
altura superior
a 70 polegadas.
St
eim
n St
so n
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
o
Alys
.
r
f. D
Pro
Estatística e Probabilidade
Aplicando o Teorema do Limite Central
Em certa semana o preço médio da gasolina na Califórnia foi de US$
r
1,164 por galão. Qual
uma
eré a probabilidade de que o preço médio em m
ch e
h
a
c
a
i
eque
t
S
eim
amostra de 38Stpostos
esteja entre US$ 1,169 e US$ 1,179? Admita
o
n
o
n
s
o
s
Aly
ly s s
desvio
padrão
seja
de
US$
0,049.
.
r
A
.
D
r
f.
Pro
f.
Pro
D
Uma vez que n > 30, a distribuição amostral de
será normal.
Média:
Desvio padrão:
Calcule o escore z para valores amostrais de US$ 1,169 e US$ 1,179.
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Aplicando o Teorema do Limite Central
her
c
a
P(0.63 <Stzeim< 1.90)
on
s
s
y
. Al
r
D
f.
Pro = 0.9713 – 0.7357
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
= 0.2356
z
0,63
1,90
A probabilidade de que a média da amostra esteja
her
c
a
entre US$
e
im
te1.169
S
n
so
s
y
l
r. A
D
.
f
Pro
US$ 1.179 é de 0.2356.
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Aproximações normais para
as distribuições binomiais
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Características da distribuição binomial
he
mac
r
a ch
m
i
te
S
n
o
• O númeroSde
tei tentativas independentes (n) é fixo.
er
on
ss
s
y
l
s
A
y
l
r. fracasso.
•. Cada
Dou
r. A tentativa pode ter dois resultados, sucesso
.
f
D
o
f
Pr
Pro
• A probabilidade de sucesso numa única tentativa é p
e de fracasso é q.
p+q=1
• É possível determinar a probabilidade de exatamente x sucessos
em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.
• x é uma variável aleatória discreta que representa uma contagem
do número de sucessos em n tentativas.
f.
Pro
D
ly s s
A
.
r
her
c
a
teim
S
n
o
e
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Aplicação
34% dos norte-americanos têm sangue tipo A+. Se 500 pessoas dessa
r
nacionalidade forem
er selecionadas aleatoriamente, qual é maa
ch e
h
c
a
ei
t
S
probabilidadeSde
teimao menos 300 terem sangue tipo A+?
on
sso
y
l
A
.
n
r
Usando
a distribuição binomial vimos que
f. D
o
r
P
probabilidade de exatamente 300, exatamente
norte-americanos terem sangue tipo A+
probabilidades.
ss
y
l
A
r.
éPrpossível
calcular a
of. D
301… exatamente 500
e depois somar as
Ou… pode-se usar as probabilidades de curva normal para
aproximar as probabilidades binomiais.
Se np ≥ 5 e nq ≥ 5, a variável aleatória binomial x tem
distribuição aproximadamente normal com:
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
e
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Por que precisamos de np ≥ 5 e nq ≥ 5?
f.
Pro
Aly
.
r
D
s
tei
S
n
so
he
mac
n=5
her
c
a
m
Stei
p = 0,25, qso=n 0,75
ly s
A
.
r
npro=f. D1,25 nq = 3,75
r
0
1
2
3
4
P
5
n = 20
p = 0,25
np = 5 nq = 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Quando o valor de n
aumenta o histograma
se
her
c
a
teimde
aproxima
uma
S
n
o
s
distribuição
normal.
Alys
.
r
D
f.
Pro
r
D
.
f
Pro
0
10
n = 50
p = 0,25
her
np = 12,5
c
a
eim
t
S
nq
on = 37,5
ly s s
.A
20
30
Estatística e Probabilidade
Probabilidades binomiais
A distribuição binomial é discreta e pode ser representada por um
her
er
c
histograma de probabilidade.
A
probabilidade
de
que
um
específico
valor
de
h
a
c
eim
ma
t
i
S
e
t
n
x ocorra é igual
on Sà área do retângulo com ponto médio x.
sso
f.
Pro
Aly
.
r
D
ss
Pr
r.
of. D
Aly
Se n = 50 e p = 0,25, determine
Some as áreas dos retângulos com pontos médios em
x = 14, x = 15, x = 16.
0,111
0,111 + 0,089 + 0,065 = 0,265
0,089
0,065
ss
. Aly
r
f. D14
o
r
P
her
c
a
teim
S
n
o
15
16
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Correção pela continuidade
Usando a aproximação
normal para a binomial a fim deacher
er
h
c
eim
ma
t
i
S
e
t
determinar
nS P
son.
se n =
e
o
s
s
y
l
s
A
ly
r.
D
.
f
Pro
A
f. D
o
r
P
r.
e
Verifique que
14
15
16
her
c
a
teim
S
n
o
a ch
m
i
te
S
n
o
ss 15 e 16.
Os valores
para
a
variável
aleatória
binomial
x
são
14,
s
y
l
s
A
y
l
r.
r
f. D
o
r
P
.A
f.
Pro
D
er
Estatística e Probabilidade
Correção pela continuidade
Para garantir que
her
eras fronteiras de cada retângulo estejam
c
h
a
c
m
a
eià
t
S
incluídas n Sno
teim intervalo, subtraia 0,5 das fronteiras
so n
o
s
s
y
l
s
r. A
Aly
esquerda
e
some
0,5
às
que
estão
à
direita.
.
D
r
.
r of
f. D
Pro
P
14
15
16
er
O intervalo
ach de valores sob a curva normal é
f.
Pro
Dr
s
. Aly
teim
S
n
so
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Aproximação normal para a distribuição binomial
Usando a aproximação normal para a binomial a fim de determinar:
.
er
h
mac
te≤i x ≤ 16)
S
P
(14
n
sso
Aly
.
r
f. D
Pro
se
n = 50
e
a ch
m
i
te
S
n
o
p = 0,ly25
ss
Dr
.
f
o
Pr
.A
er
Com as fórmulas de distribuição binomial, determine a média e o desvio
padrão.
50(0.25)
50(0.25)(0.75)
Ajuste os pontos extremos para corrigir pela continuidade P(13,5≤x16,5).
Converta cada ponto extremo em um escore z.
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Aplicação
Segundo um levantamento entre os usuários da Internet, 75% são a r
he
c
her
a
favor de que imoacgoverno
regulamente o ‘lixo eletrônico’. Setei200
m
S
e
t
n S forem selecionados aleatoriamente, determine
so n
internautas
a
o
s
s
y
l
s
A
y
. Al
Dr. da regulação
r
.
probabilidade
de
que
menos
de
140
sejam
a
favor
f
D
o
f.
Pr
Progovernamental.
Uma vez que np = 150 ≥ 5 e nq = 50 ≥ 5, você pode usar a distribuição
normal para aproximar a probabilidade binomial.
A frase “menos de 140” significa 0, 1, 2, 3…139.
Pr
e
her
a ch
c
m
a
i
te
S
eim
t
n
S
Use a correção
pela continuidade para traduzir isso à variável
on
ssocontínua
s
y
l
s
A
y
r.
. Al
D
r
no
intervalo
(-∞,139.5).
Determine
P(x
<
139,5).
.
f
D
of.
Pro
r
Estatística e Probabilidade
Aplicação
Usando a correção pela continuidade P(x < 139,5).
r
f. D
o
r
P
s
. Aly
tei
S
n
so
he
mac
r
f. D
o
r
P
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
P(z < –1,71) = 0,0436
A probabilidade de que menos de 140 sejam a favor da regulação
governamental é de aproximadamente 0,0436.
f.
Pro
Dr
ss
. Aly
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
Estatística e Probabilidade
Próxima aula:
tei
S
n
so
he
mac
r
Início do Cap.6
Intervalos de confiança
r
f. D
o
r
P
f.
Pro
Dr
s
. Aly
ss
. Aly
f. D
o
r
P
her
c
a
teim
S
n
o
f.
Pro
D
ss
y
l
A
r.
ss
y
l
A
r.
a ch
m
i
te
S
n
o
er
a ch
m
i
te
S
n
o
er