QUESTÕES DISCURSIVAS
Questão 1
Um cliente tenta negociar no banco a taxa de
juros de um empréstimo pelo prazo de um
ano. O gerente diz que é possível baixar a
taxa de juros de 40% para 25% ao ano, mas,
nesse caso, um valor seria debitado da quantia emprestada, a título de “custo administrativo”.
a) Que porcentagem do capital emprestado
deveria ser o custo administrativo para o
banco compensar a redução da taxa de juros
neste empréstimo?
b) Que porcentagem da quantia paga pelo
cliente deveria ser o custo administrativo, se
este fosse cobrado no final do período do empréstimo?
0,15C
= 0,12C , o que corresponde a 12% do
1 + 0,25
capital emprestado.
b) Em ambos os casos, o banco deve receber um
total de 1,4C. A diferença 1,4C − 1,25C = 0,15C
deve ser paga agora a título de "custo administrativo" ao final do período do empréstimo. Nesse
0,15C
caso, essa quantia corresponde a
= 12% do
1,25C
0,15C
valor cobrado pelo empréstimo e
≅ 10,7%
1,4C
do valor total a ser pago.
Questão 2
Determine as coordenadas do ponto (x, y),
eqüidistante dos pontos (0, 0), (3, 2) e (2, 5).
Resposta
Há duas maneiras de interpretar a "compensação" da redução da taxa de juros:
Uma é, descontando o "custo administrativo" da
quantia emprestada, obter uma quantia que corresponda a cobrar uma taxa de juros de 40%.
Outra, é o banco aplicar o valor cobrado a título
de "custo administrativo" para manter o valor final
obtido no negócio.
Resolveremos o problema em ambos os casos.
Seja C o valor emprestado antes do débito do
"custo administrativo".
a) Uma interpretação: seja P o "custo administrativo". Assim, após o débito, o cliente tem C − P. A
redução da taxa é compensada se, e somente se,
(C − P)1,40 = 1,25C ⇔ P ≅ 0,107C , que equivale
a 10,7% do capital emprestado antes do débito e
P
= 12% do capital emprestado depois do
C −P
débito.
Outra interpretação: daqui a um ano, o banco deseja receber 1,4C e o cliente, pagar 1,25C. Supondo que o banco aplique o valor cobrado a título de "custo administrativo" a x% ao ano, para
compensar a diferença de 1,4C − 1,25C = 0,15C,
0,15C
. Se o banco
o cliente deve pagar hoje
1 + x%
conseguir x = 25, o cliente deve pagar hoje
Resposta
Sejam A = (0; 0), B = (3; 2) e C = (2; 5). O ponto O eqüidistante desses três pontos dados é o
circuncentro do triângulo ABC, o qual é o ponto
de intersecção das mediatrizes dos lados AB e
AC.
Uma equação da mediatriz de AB é:
(x − 0) 2 + (y − 0) 2 = (x − 3) 2 + (y − 2) 2 ⇔
matemática 2
⇔ x 2 + y 2 = x 2 − 6x + 9 + y 2 − 4y + 4 ⇔
⇔ 6x + 4y − 13 = 0
E uma equação da mediatriz de AC é:
(x − 0) 2 + (y − 0) 2 = (x − 2) 2 + (y − 5) 2 ⇔
⇔ x 2 + y 2 = x 2 − 4x + 4 + y 2 − 10y + 25 ⇔
⇔ 4x + 10y − 29 = 0
Portanto as coordenadas de O (x; y) satisfazem:
7
x =
6x + 4y − 13 = 0
22
⇔
⇔
4x + 10y − 29 = 0
61
y =
22
⎛ 7 61 ⎞
⇔O = ⎜
;
⎟
⎝ 22 22 ⎠
Questão 3
João deseja adquirir um telefone celular.
Dois planos lhe são oferecidos:
I. Plano alfa: Se o consumo não ultrapassar
100 minutos, o preço por minuto será de
R$0,70. Se o consumo ultrapassar 100, mas
não for maior que 400 minutos, o preço por
minuto terá um desconto de R$0,001 (um milésimo de real) multiplicado pelo número de
minutos que exceder o consumo de 100 minutos. Se o consumo ultrapassar 400 minutos, o
preço por minuto será de R$0,40.
II. Plano beta: Há um preço fixo de
R$50,00, com o direito de uso de 87 minutos
(franquia) de ligação, e o minuto excedente
custará R$0,80.
Para quantos minutos de ligação o plano beta
é o mais vantajoso?
O plano β é mais vantajoso que o plano α quando
P2 (t) < P1 (t).
Vamos analisar os seguintes intervalos:
• t ≤ 87
P2 (t) < P1 (t) ⇔ 50 < 0,7t ⇔ t > 71,4
O plano β é mais vantajoso para 71,4 < t ≤ 87 .
• 87 < t ≤ 100
P2 (t) < P1 (t) ⇔ 0,8t − 19,6 < 0,7t ⇔ t < 196
O plano β é mais vantajoso para 87 < t ≤ 100.
• 100 < t ≤ 400
P2 (t) < P1 (t) ⇔ 0,8t − 19,6 < 0,8t − 0,001t 2 ⇔
⇔ t < 140
O plano β é mais vantajoso para100 < t < 140.
• t > 400
P2 (t) < P1 (t) ⇔ 0,8t − 19,6 < 0,4t ⇔ t < 49
O plano β não é mais vantajoso no intervalo
t > 400.
Resumindo, o plano β é mais vantajoso para
71,4 < t < 140. Se considerarmos t inteiro, β é
mais vantajoso de 72 minutos a 139 minutos.
Questão 4
Duas rodas gigantes dispostas uma de frente
para a outra, conforme a figura abaixo, têm
raios que medem, respectivamente, 20 m e
10 m. A maior gira 0,2π rotações por minuto
(rpm) e a menor, 0,35π rpm.
Se as duas começam a se mover no mesmo
instante, qual o menor tempo necessário para
que os pontos A e B, mostrados abaixo, voltem a ficar nessa mesma posição inicial?
Resposta
Sejam P1 (t) o valor gasto para quem adquiriu o
plano α e P2 (t) para quem adquiriu o plano β, ambos pelo consumo de t minutos. Então:
⎧0,70t para t ≤ 100
⎪
P1 (t) = ⎨(0,70 − 0,001(t − 100))t para 100 < t ≤ 400
⎪0,40t para t > 400
⎩
e
⎧50 para t ≤ 87
⇔
P2 (t) = ⎨
⎩50 + (t − 87) ⋅ 0,80 para t > 87
⎧0,7t para t ≤ 100
⎪
⇔ P1 (t) = ⎨0,8t − 0,001t 2 para 100 < t ≤ 400
⎪0,4t para t > 400
⎩
e
⎧50 para t ≤ 87
P2 (t) = ⎨
⎩0,8t − 19,6 para t > 87
Resposta
A roda gigante maior completa uma volta em
1 rotação
5
min e a roda gigante menor com=
0,2 π rpm
π
1 rotação
20
pleta uma volta em
min.
=
0,35 π rpm
7π
matemática 3
5
1
20
1
=
⋅ 35 e
=
⋅ 20, os
π
7π
7π
7π
pontos A e B voltam a ficar na posição inicial em
1
20
min.
⋅ mmc (35, 20) =
7π
π
Há outras interpretações para "rotações por minuto", embora não usuais. Por exemplo como velocidade escalar em metros por min. Nesse caso, a
roda gigante maior completa uma volta em
2 ⋅ π ⋅ 20
= 200 minutos e a roda gigante menor
0,2 π
2 ⋅ π ⋅ 10
400
completa uma volta em
minu=
0,35 π
7
tos.
Assim, os pontos A e B voltarão às mesmas posições iniciais quando a roda gigante maior percorrer 2 voltas em 2 ⋅ 200 min = 400 minutos e a
roda gigante menor percorrer 7 voltas em
400
7 ⋅
= 400 minutos, ou seja, após 6 horas e
7
40 minutos.
Porém, esta segunda interpretação é descartável:
a roda gigante maior levaria 200 min = 3h20min
para dar uma volta, um valor que não é razoável.
Assim, sendo
Questão 5
Uma caixa aberta, em forma de cubo com
20 cm de aresta, está cheia de esferas de
1 cm de diâmetro. Estime quantas esferas
contém essa caixa.
Sendo O o centro da base, o triângulo AOD é reBD
2
tângulo em O. Sendo OD =
=
cm, temos
2
2
⎛ 2 ⎞
⎟
AD 2 − OD 2 = 12 − ⎜
⎝ 2 ⎠
h =
2
=
2
cm.
2
Assim, considerando ainda as camadas inferiores
e superiores e sendo n o número máximo de ca2
madas, 0,5 + (n − 1)
+ 0,5 ≤ 20 ⇔ n = 27 ,
2
ou seja, há 14 camadas de 20 2 e 13 camadas de
19 2 , totalizando 14 ⋅ 20 2 + 13 ⋅ 19 2 = 10 293 esferas.
Questão 6
Um fio de 10 metros é cortado em dois pedaços, de forma que o primeiro defina o perímetro de um quadrado e o segundo, de um triângulo eqüilátero. Determine o tamanho de
cada um dos pedaços, de modo que a área do
quadrado seja igual à área do triângulo multiplicada por 3 = 1,73.
Resposta
Resposta
Já que o diâmetro de cada esfera é de 1 cm e a
aresta do cubo é de 20 cm, vamos supor inicialmente que existam 20 ⋅ 20 = 400 esferas em
cada fileira horizontal. Teremos assim 20 fileiras
de 400 esferas totalizando 20 ⋅ 400 = 8 000 esferas.
Há ainda várias outras maneiras de estimarmos a
quantidade de esferas na caixa. Uma forma é a
seguinte: as esferas ocupam a caixa em camadas, com esferas alternadamente formando quadrados de lados 20 cm e 19 cm. Tirando as das
bordas, cada esfera é tangente a outras quatro da
camada abaixo de si, de modo que a distância entre duas camadas vizinhas é igual à altura h de
uma pirâmide regular de base quadrada e arestas
medindo 1 cm.
Sejam x e10 − x os comprimentos dos dois pedaços do fio. O pedaço que mede x define um quax
e o pedaço que mede (10 − x)
drado de lado
4
10 − x
define um triângulo eqüilátero de lado
.
3
Para que a área do quadrado seja igual à área do
triângulo multiplicada por 3 , devemos ter:
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
⇔
2
⎛ 10 − x ⎞
=⎜
⎟
⎝ 3
⎠
2
⋅
3
⋅ 3 ⇔
4
x2
100 − 20x + x 2 3
=
⋅
⇔
16
9
4
⇔ x 2 − 80x + 400 = 0 ⇔ x = 40 ± 20 3 . Como
x < 10, temos x = 40 − 20 3 ≅ 5,4 m.
Assim os tamanhos dos pedaços são aproximadamente 5,4 m e 4,6 m.
matemática 4
Questão 7
Questão 8
Determine a área da região limitada pelas
curvas:
x
f ( x ) = || x − 1| − 1|e g( x ) = 2 −
2
Um jogador aposta sempre o mesmo valor de
$1 numa jogada cuja chance de ganhar ou
perder é a mesma. Se perder, perderá o valor
apostado, se ganhar, receberá $1 além do valor apostado. Se ele começa o jogo com $3 no
bolso, joga três vezes e sai, com que valor é
mais provável que ele saia?
Resposta
Considere o diagrama de árvore a seguir:
Resposta
Para x ≥ 1, f(x) = |x − 2 | e para x ≤ 1, f(x) = | − x | =
= | x |.
Logo, esboçando os gráficos de f(x) e g(x) num
mesmo sistema de eixos, temos:
y = −x
O ponto A é solução do sistema
⇔
y =2 −
x ⇔
2
x = −4
.
y =4
y =x −2
O ponto B é solução do sistema
x ⇔
y =2 −
2
8
x =
3
.
⇔
2
y =
3
A área destacada é igual à área do triângulo AOE
menos as áreas dos triângulos OCD e DBE, ou
2
2 ⋅
4 ⋅4
2 ⋅1
19
3
seja,
−
−
=
.
2
2
2
3
Logo ele sai com:
3
•
⎛1 ⎞
$6, com probabilidade ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
•
⎛1 ⎞
$4, com probabilidade 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
3
•
⎛1 ⎞
$2, com probabilidade 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
3
•
⎛1 ⎞
$0, com probabilidade ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
=
3
=
1
;
8
=
3
;
8
=
3
;
8
1
.
8
Portanto os valores mais prováveis com que ele
saia são 4 e 2.
matemática 5
Questão 9
Abaixo está representado um sistema de
transmissão, composto por duas polias e uma
correia. As dimensões são mostradas na figura:
192 o
1 920 π
180
360
O ângulo β é igual a 2 ⋅ 84o = 168 o , logo:
1 176 π
168 o
L4 =
⋅ 2 π ⋅ 7 ⇔ L4 =
180
360o
O comprimento da correia é L = 2 ⋅ L1 + L2 + L4 ⇔
⇔ L = 59,696 + 17,2 π.
b) Como as polias estão acopladas por uma correia, temos 500 ⋅ 2 π ⋅ 7 = x ⋅ 2 π ⋅ 10 ⇔
⇔ x = 350 rotações por minuto.
L2 =
o
⋅ 2 π ⋅ 10 ⇔ L2 =
Questão 10
a) Determine o comprimento da correia.
Dados: 33 = 5,74
27 = 5,2
b) Sabendo que a polia menor faz 500 rotações
por minutos e que traciona a polia maior, determine com quantas rotações por minuto a
polia maior irá girar.
Resposta
Numa fila de oito pessoas, três pretendem votar no candidato A e cinco, no candidato B.
a) Ao entrevistar as três primeiras pessoas
da fila, qual a probabilidade de o resultado
desta amostra ser favorável ao candidato A?
b) Qual a probabilidade de dar empate, se as
quatro primeiras pessoas forem entrevistadas nessa mesma fila?
Resposta
a) O resultado dessa amostra será favorável ao
candidato A se, e somente se:
•
As três primeiras pessoas da fila votarem em A,
3 2 1
1
o que ocorre com probabilidade
;
⋅
⋅
=
8 7 6
56
•
a) A correia tem comprimento L = L1 + L2 + L3 + L4
com L1 = L3 . No ΔABC: (AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2 ⇔
⇔ L12 = 3 2 + 30 2 ⇔ L12 = 891 ⇔ L1 = 891 ⇔
⇔ L1 = 33 ⋅ 27 . Usando as aproximações dadas, L1 = 5,74 ⋅ 5,2 = 29,848 .
O ângulo α é igual a 360o − 2 ⋅ 84o = 192 o , logo:
Ou duas votarem em A e uma em B. Há
3!
= 3 ordens nas quais esses três votos po2!1!
dem ser dados. Logo a probabilidade dessa situa3 2 5
15
ção ocorrer é 3 ⋅
⋅
⋅
=
.
8 7 6
56
1
15
A probabilidade pedida é, portanto,
+
=
56
56
2
=
.
7
b) Haverá empate se, e somente se, dentre as
quatro primeiras pessoas da fila, duas votarem
4!
em A e duas votarem em B. Há
= 6 ordens
2!2!
nas quais esses quatro votos podem ser dados.
3 2 5 4
3
A probabilidade é, então, 6 ⋅
⋅
⋅
⋅
= .
8 7 6 5
7