Mestrado Integrado em
Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Fluido Perfeito
1. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pelo
potencial
φ = xy
a) Mostre que φ satisfaz a equação de Laplace.
b) Determine
etermine a função de corrente e esboce as linhas de corrente.
2. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela
sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U e uma fonte de intensidade
Q.
a)
b)
c)
d)
Escreva o potencial co
complexo W(z) que representa o escoamento.
Determine o(s) ponto(s) de estagnação.
Determina a equação das linhas de corrente divisórias.
Esboce as linhas de corrente.
3. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela
sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U e um dipolo de intensidade
R2 e orientação π.
a)
b)
c)
d)
Escreva o potencial co
complexo W(z) que representa o escoamento.
Determine o(s) ponto(s) de estagnação.
Determina a equação das linhas de corrente divisórias.
Esboce as linhas de corrente.
4. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e iincompressível
ncompressível definido pela
sobreposição de um escoamento de uniforme de velocidade U,, e um par fonte/poço de
intensidade Q colocados a uma distância d e com a fonte à esquerda do poço (tal como
ilustrado na figura em cima).
a)
b)
c)
d)
Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento.
Determine o(s) ponto(s) de estagnação.
Determina a equação das linhas de corrente divisórias.
Esboce as linhas de corrente.
5. Considere o escoamento bidimensional, irrotacional e incompressível definido pela
sobreposição de um escoamento de uniforme de velo
velocidade U,, e um par fonte/poço de
intensidade Q colocados a uma distância d e com a fonte à direita do poço (tal como
ilustrado na figura em cima).
a) Escreva o potencial complexo W(z) que representa o escoamento.
b) Determine o(s) ponto(s) de estagnação.
c) Esboce as linhas de corrente para as várias configurações possíveis do escoamento.
6. Considere o escoamento na vizinhança da margem de um rio. A margem é uma parede
vertical plana. O fundo é plano e horizontal (profundidade da água constante e igual a h) .
À distância b da margem existe uma ssaída
aída de esgoto (emissário submarino) com um
caudal Q por unidade de profundidade do rio. Longe do emissário, a velocidade do rio U
é constante. Desrpreze o efeito devido à presença da outra margem. Admita que o
escoamento é irrotacional e bidimensional e qque
ue a massa específica é constante.
Estude os vários regimes possíveis do escosmento.
7. Considere um escoamento uniforme, U=10m/s, junto a uma margem de um rio tal como
se ilustra na figura 1. Na margem, estão colocadas duas descargas de água separadas por
uma
ma distância de 50m que descarregam para o rio caudais Q1 e Q2. Admita em primeira
aproximação que pode simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o
escoamento é permanente (estacionário), bi
bi-dimensional,
dimensional, incompressível e irrotacional.
U
Q2
Q1
00
-75
-50
-25
0
25
50
75
10
Figura 1
a)
b)
c)
d)
Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
Para a situação em que Q1=Q2=10m2/s, determine a localização dos pontos de estagnação.
Nas condições da alínea anterior, determine a equação das linhas de corrente divisórias.
Desenhe qualitativamente o escoamento para as condições da alínea b). Trace
rigorosamente as linhas de corrente divisórias junto à margem do rio e quando se afastam
para grandes distância das descargas de água.
e) Mantendo o caudal total Q1+Q2=20m2/s, determine o valor de Q1 e Q2 para que uma das
linhas de corrente divisórias encontre a margem do rio a meio das duas descargas de
água.
8. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de π/2 radianos (90
graus) tal como se ilustra na figura 2. A margem B faz um ângulo de π/6 radianos (30
graus) com o eixo x representado na figura 1. Na margem B e à distância d do canto está
colocada uma descarga de água que descarrega para o rio um caudal Q por unidade de
profundidade. Quando a descarga de água está fechada (Q=0), o módulo da velocidade no
local onde se encontra a descarga é igual a U. Admita em primeira aproximação que pode
simular o escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente
(estacionário), bi-dimensional, incompressível e irrotacional.
y
5
4
Margem A
3
2
d
1
-4
-2
0
0
Descarga de água
Caudal Q
Margem B
2
4
x
Figura 2
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento quando a descarga se
encontra fechada (Q=0), indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento quando a descarga se
encontra aberta indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
c) Determine a relação entre Q, U e d para a qual o caudal da descarga não atinge a margem
A.
d) Para a situação limite da alínea anterior, desenhe qualitativamente o escoamento. Trace
rigorosamente as linhas de corrente divisórias junto à margem do rio e quando se afastam
para grande distância da descarga de água.
9. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de 7π/6 radianos (210
graus) tal como se ilustra na figura 3. À distância d do canto o módulo da velocidade é
igual a U. Admita em primeira aproximação que pode simular o escoamento assumindo
fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário), bi-dimensional,
incompressível e irrotacional.
d
β=210o
Figura 3
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o
sistema de eixos que utilizou.
b) Determine a distância mínima da linha de corrente ψ=Ud à costa (ψ
ψ=0).
c) Determine a equação da linha que tem Cp=0. Tome como valores de referência para o
cálculo de Cp as propriedades do escoamento no ponto à distância d do canto
(Cp=(p-pref)/(1/2ρU2ref)).
d) Determine o coeficiente de pressão mínimo do escoamento e a sua localização.
10. Considere um escoamento junto a uma costa que faz um ângulo de 5π/6 radianos (150
graus) tal como se ilustra na figura 4. Na parede horizontal à distância d do canto o
módulo da velocidade é igual a U. Admita em primeira aproximação que pode simular o
escoamento assumindo fluido perfeito e que o escoamento é permanente (estacionário),
bi-dimensional, incompressível e irrotacional.
P
β =150
d
o
d
Figura 4
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o
sistema de eixos que utilizou.
b) Determine o caudal que se escoa entre a parede e o ponto P.
c) Determine a distância máxima da linha de corrente que passa no ponto P à costa.
d) Determine a equação da linha que tem Cp=0,36. Tome como valores de referência para o
cálculo de Cp as propriedades do escoamento no ponto à distância d do canto
(Cp=(p-pref)/(1/2ρU2ref)).
11. Considere o escoamento irrotacional e incompressível (np plano xy) contra uma parede
plana que tem uma saliência com a forma de um semicilindro circular de raio unitário
(conforme representado na figura em cima). Em alternativa, considere apenas metade do
escoamento, na parte situada no primeiro quadrante (escoamento num canto a 90º com
uma saliência em forma de sector circular.
a) Escreva uma expressão adequada para o potencial complexo W(z) que representa este
escoamento.
b) Determine a posição dos pontos de estagnação.
c) Determine o(s) ponto(s) da parede onde a velocidade é máxima.
12. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está
centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está
alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U∞ igual a 1 metro
por segundo.
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
b) Determine qual a distância mínima a que tem de estar do cilindro para o coeficiente de
pressão, Cp, seja sempre superior a -1.
c) Determine a equação da linha de corrente que passa no ponto ζ=0+i2.
d) Determine o caudal escoado entre o eixo real e a linha de corrente que determinou na
alínea anterior.
e) Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido
acima
z =ζ +
0,36
ζ
Determine a forma exacta do corpo no plano transformado, z.
13. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está
centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está
alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade U∞ com um módulo de 10m/s. O
cilindro encontra-se a rodar a 60 r.p.m. no sentido horário e portanto torna-se necessário
introduzir circulação no escoamento com um vórtice colocado na origem do referencial
para simular o efeito da rotação.
a) Determine a intensidade do vórtice que deve colocar na origem para simular a rotação do
cilindro.
b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima

0,64  iπ
e
z =  ζ +
ζ


4
c) Determine a forma do corpo no plano transformado, z.
d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado.
e) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado.
f) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado.
14. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está
centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está
alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U∞.
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima

0,64 
z =  ζe iπ 4 − iπ 4 
ζe 

b) Determine a forma do corpo no plano transformado, z.
c) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado.
d) Determine a(s) equação(ões) que define(m) a(s) linha(s) de corrente divisória(s) no plano
transformado.
e) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado. Faça um traçado
rigoroso das linhas de corrente divisórias.
15. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está
centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está
alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U∞. O ponto P tem
de coordenadas (ξ=-2, η=0,5) ou seja ζP=−2+i0,5.
a) Determine a distância mínima da linha de corrente que passa no ponto P ao cilindro.
b) Determine o caudal que se escoa entre a linha de corrente que passa no ponto P e o
cilindro.
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima
z =ζ −
0,36
ζ
c) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano
transformado, z.
d) Determine o coeficiente de pressão mínimo na superfície do corpo transformado.
16. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular em rotação. O cilindro tem um raio de 1
metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação
uniforme está alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo
U∞=10m/s. A rotação do cilindro é simulada por um vórtice com uma intensidade
Γ=43m2/s.
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
b) Determine a velocidade angular do cilindro e indique o sentido em que o cilindro está a
rodar.
c) Determine o coeficiente de pressão máximo e mínimo na superfície do cilindro e a sua
localização.
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima
z =ζ +
1
ζ
d) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano
transformado, z. Faça um traçado rigoroso das linhas de corrente divisórias.
e) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado.
17. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está
centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme está
alinhado com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um módulo U∞.
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento.
b) Determine os pontos da superfície do cilindro em que o coeficiente de pressão,
Cp=(p-p∞)/(1/2ρU∞2), é igual a 0.
c) Determine a distância ao cilindro para a qual o coeficiente de pressão está entre -0,5 e 0,5
(-0.5 < Cp < 0.5) para todos os pontos do escoamento.
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido acima

1
z =  ζ + 
ζ

1
2
d) Desenhe qualitativamente o escoamento no plano transformado, z, identificando
claramente as linhas de corrente divisórias.
η
ξ
U∞
α=10º
18. Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e
incompressível em torno de um cilindro circular em rotação. O cilindro tem um raio de 1
metro e está centrado na origem do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação
uniforme faz um ângulo de 10 graus com o eixo real, ξ, e tem uma velocidade com um
módulo U∞=10m/s. O cilindro roda no sentido horário com uma velocidade angular de 5
rad/s.
a) Determine a intensidade e o sentido do vórtice a colocar no centro do cilindro para
simular a rotação do cilindro.
b) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando claramente o
sistema de eixos que utilizou.
c) Determine o valor máximo e mínimo do coeficiente de pressão, Cp, na superfície do

p − p ∞ 

cilindro e a sua localização. C p =

1 ρU 2 
∞ 

2
Considere a transformação conforme aplicada ao escoamento no domínio ζ referido
acima
z =ζ +
1
ζ
a) Determine a forma do corpo e desenhe qualitativamente o escoamento no plano
transformado, z. Faça um traçado rigoroso das linhas de corrente divisórias.
b) Determine a força exercida sobre o corpo no plano transformado.