Cinemática Escalar
É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas. Determina a
posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante.
Ponto Material (Partícula)
Um corpo é considerado ponto material ou partícula quando suas dimensões podem ser desprezadas em
relação a um fenômeno estudado. Dessa forma e dependendo da situação um homem, um automóvel e até mesmo a
Terra podem ser considerados pontos materiais.
A Terra é considerada uma partícula quando o seu movimento em torno do Sol é estudado.
Referencial
O corpo que usamos como base para definir as posições de outros corpos é denominado referencial. É em
relação ao referencial que determinamos se um corpo está ou não em movimento.
O sistema cartesiano da figura ao lado representa um referencial onde a posição da mosca é dada pelas
coordenadas (x1,y1). Se as coordenadas da mosca se alterarem com o tempo, a mosca estará em movimento em
relação ao eixo das abscissas e ordenadas.
Posição em uma trajetória
A posição de um móvel em uma rodovia é determinada em relação a um referencial associado ao marco
quilométrico. Existe o marco zero e a posição na rodovia é dada em km em relação a esse marco.
Movimento e Repouso
Dizemos que uma partícula está em movimento em relação a um sistema de referencia (referencial) quando
sua posição se altera no decorrer do tempo neste referencial. Como conseqüência pelo menos uma de suas
coordenadas varia com o tempo. O repouso ocorre quando nenhuma das coordenadas da partícula se altera, em
relação ao sistema de referência, no decorrer do tempo.
Na figura o homem está em repouso em relação ao poste e movimento em relação ao ônibus.
Observação: veja que um corpo pode estar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a
outro.
Trajetória
Denomina-se trajetória a linha imaginária descrita por um móvel em relação a um referencial adotado.
Observação: a trajetória depende do referencial adotado.
Quando uma bomba é abandonada por um avião em movimento horizontal, além de cair (movimento vertical) o
seu movimento horizontal continua inalterado. Então para uma pessoa que observa do solo a bomba descreve uma
parábola, mas em relação ao avião a bomba descreve uma reta.
Velocidade Média (Vm)
Considere que você precisa fazer uma viagem de Belém a Mosqueiro, distante 75 km, considere também que
esta viagem seja feita em 2 h, um tempo bastante longo para os nossos padrões. Dividindo a distância (75 km) pelo
tempo (2h), encontraremos a sua velocidade média vm:
vm =
75
= 37,5km / h
2
Em um outro automóvel que gastasse apenas 45 minutos ou 3/4 da hora (uma hora possui 60 minutos e cada
1/4 da hora, 15 minutos) sua velocidade seria bem maior, observe:
vm =
75
= 100km / h
3
4
Perceba que quanto menor o tempo, maior a velocidade.
A velocidade média é definida como sendo a relação entre o espaço percorrido por um móvel e o tempo gasto
para percorre-lo.
vm =
∆S
∆t
onde ∆S = S – SO e ∆t = t – tO
S
posição final do móvel
SO
posição inicial
tO
tempo inicial
t
tempo final
Usando o exemplo anterior, imagine que você tenha saído de Belém (km zero) às 9:45 h e tenha chegado a Mosqueiro
(km 75) às 10:30 h. Então:
S = 75 Km
SO = 0
tO = 9:45 h
t = 10:30 h
∆S = S – SO = 75 – 0 = 75 km
∆t = t – tO = 10:30 – 9:45 = 0:45 h = 45 minutos = 3/4 da hora
para calcularmos a velocidade média, substituímos na fórmula:
vm =
∆S 75
=
= 100km / h
∆t 3
4
Movimento Progressivo
Em um movimento progressivo a posição do móvel aumenta no decorrer do tempo. Como conseqüência a
velocidade é positiva (v > 0).
Movimento Retrogrado ou Regressivo
Nesse tipo de movimento a velocidade é negativa (v < 0), pois os espaços decrescem com o passar do tempo.
Unidades
É comum medirmos velocidade em km/h, é como aparece nos velocímetros dos carros e nas placas nas
rodovias, mas medir em m/s é uma maneira muito usada. A unidade m/s também a unidade do Sistema Internacional
(SI).
Quando houver necessidade de transformar km/h em m/s e vice-versa é só usar a convenção abaixo:
Exercícios Resolvidos
01. (UFPel-RS) Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempo, isto é, a medida do
intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no
Japão, pertenceu ao inglês Gerard Berger, piloto da equipe Mclaren, que percorreu os 5874 m da pista em cerca de 1
min 42 s.
Com base nesses dados, responda:
a)
b)
Quanto vale o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo correspondente a uma volta
completa no circuito?
Qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto inglês em sua melhor volta no circuito?
Justifique suas respostas.
Solução:
a) como o ponto de partida coincide com o ponto de chegada o deslocamento é nulo.
b) Dados ∆S = 5874 m e ∆t = 1 min 42 s = 60 s + 42 s = 102 s
vm =
∆S
∆t
vm =
5874
102
vm ≅ 57,59 m/s ou vm ≅ 207,32 km/h
02. Transformar:
a) 90 km/h em m/s;
b) 15 m/s em km/h.
Solução:
a)
90
= 25
3,6
b)
90km / h = 25m / s
15 × 3,6 = 54
15m / s = 54km / h
03. Quando você se encontra no marco quilométrico 10 km, às 9 h e 30 min da manhã, da BR 316 e deseja chegar a
Santa Isabel no km 35 às 9 h e 50 min da manhã, qual a velocidade você deve desenvolver?
Solução:
No instante tO = 9 h e 30 min a sua posição é SO = 10 km e no instante t = 9 h e 50 min sua posição é S = 35 km. A
variação do espaço é igual a:
∆S = S – SO
∆S = 35 – 10
∆S = 25 km
O intervalo de tempo correspondente vale:
∆t = t – tO
∆t = 9 h e 50 min – 9 h e 30 min
∆t = 20 min = 1/3 h (1 h corresponde a 60 min e 1/3 da hora, 20 min)
Assim, a velocidade escalar média será:
vm =
∆S 25
=
= 25 × 3 = 75km / h
∆t 1
3
04. Da entrada de Santa Isabel até Mosqueiro a distância é aproximadamente 40 km. Para você percorrer essa
distância em 20 min. Qual a sua velocidade média?
Solução:
A variação de espaço nesse caso seria ∆S = 40 km e o intervalo de tempo ∆t = 1/3 da hora. Assim, a velocidade média
seria:
∆S 40
=
= 40 × 3 = 120km / h
∆t 1
3
vm =
05. Na questão anterior, qual teria sido a sua velocidade média se, durante o percurso, você tivesse parado no Japonês
durante 10 min para comprar um sorvete?
Solução:
A variação de espaço continua sendo ∆S = 40 km, mas no intervalo de tempo teríamos que acrescentar 10 min que é o
tempo parado no restaurante do Japonês:
∆t = 20 + 10
∆t = 30 min = 0,5 h
A velocidade média seria então:
∆S 40
=
= 80km / h
∆t 0,5
vm =
06. Um microônibus percorre a distância de 70 km, entre Belém e Castanhal, com velocidade média de 84 km/h. De
Castanhal a Salinas, distantes 150 km, o microônibus desenvolve a velocidade escalar média de 100 km/h. Qual a
velocidade média do microônibus entre Belém e Salinas?
Solução:
Devemos calcular os intervalos de tempo que o microônibus gasta para percorrer cada um dos trechos:
Belém-Castanhal:
∆S 70
=
= 0,83h
v1 84
∆t1 =
Castanhal-Salinas:
∆t 2 =
∆S 2 150
=
= 1,5h
v2
100
Portanto, a variação de espaço e o intervalo de tempo entre Santos e Florianópolis valem, respectivamente:
∆S = ∆S1 + ∆S2 = 70 + 150 = 220 km
∆t = ∆t1 + ∆t2 = 0,83 + 1,5 = 2,33 h
Assim, a velocidade escalar média do microônibus entre Belém e Salinas vale:
∆S 220
=
= 94,42km / h
∆t 2,33
vm =
07. A velocidade média de um automóvel durante a metade de um certo percurso é igual 60 km/h e na metade restante
90 km/h. Determine a velocidade média do automóvel no percurso total.
Solução:
Chamando de x a metade do percurso, a distância total passa a ser 2x, esta distância é o espaço total percorrido (∆S =
2x). O intervalo ∆t1 é o intervalo de tempo gasto para percorrer a primeira metade e ∆t2 na segunda metade. O tempo
total é calculado somando ∆t1 com ∆t2 e:
x
x
=
v1 60
x
x
∆t1 = =
v2 90
∆t1 =
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t =
x
x 3x + 2 x x
+
=
=
60 90
180
36
vm =
∆S
2x
=
= 72km / h
x
∆t
36
Exercícios Propostos
01. (CESCEA) Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagão de um trem que se move com velocidade constante,
deixa cair seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem, é (despreze a resistência do ar):
a)
b)
c)
d)
e)
uma reta
uma parábola
um quarto de circunferência
uma hipérbole
nenhuma das anteriores
02. Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa no solo é:
a)
b)
c)
d)
e)
uma reta
uma parábola
uma hipérbole
um quarto de circunferência
nenhuma das anteriores
03. (CESGRANRIO) Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com velocidade constante igual a 80 km/h. No
instante em que o trem passa por uma estação, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem. A trajetória do objeto,
vista por um passageiro parado dentro do trem, será:
a)
b)
c)
d)
e)
04. (CESGRANRIO) Em relação à situação descrita no teste anterior, qual será a trajetória do objeto vista por um
observador parado na estação? (A seta imediatamente abaixo representa o sentido do movimento do trem para esse
observador)
a)
b)
c)
d)
e)
05. (MACKENZIE) Sejam M e N dois pontos de uma reta e p o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com
velocidade constante de 4,0 m/s e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. A velocidade média do homem entre M e N
é de:
a)
b)
c)
d)
e)
4,8 m/s
5,0 m/s
5,2 m/s
4,6 m/s
nenhuma das anteriores
06. (CESGRANRIO) Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma
determinada velocidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sabendo que a distância entre sinais
sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e o seguinte é de 12 s,
com que velocidade os carros devem trafegar para encontrarem os sinais abertos?
a)
b)
c)
d)
e)
30 km/h
40 km/h
60 km/h
80 km/h
100 km/h
07. (UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ) Uma bicicleta move-se sobre uma estrada curvilínea com velocidade escalar
instantânea igual a – 4 m/s. O sinal negativo indica que:
a)
b)
c)
d)
a bicicleta tem velocidade decrescente.
A bicicleta se move em marcha à ré
O movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva da trajetória
É impossível tal situação; não há significado físico para velocidade negativa
08. (MEDICINA DO ABC) A velocidade escalar média de um móvel é melhor definida como sendo:
a)
b)
c)
d)
e)
a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento
o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo de tempo empregado em percorrer esse
espaço
o produto da aceleração pelo tempo
o quociente da aceleração pelo tempo
a média aritmética das velocidades inicial e final, relativas ao mesmo percurso
09. (ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA) Um passageiro de ônibus verificou que o mesmo andou
primeiros minutos de observação e 8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi:
a)
b)
c)
d)
e)
10 km nos 10
pouco menor que 60 km/h
igual a 60 km/h
pouco maior que 60 km/h
igual a 120 km/h
impossível de ser calculada
a
10. (PUC-CAMPINAS) Um carro move-se com velocidade de 2 m/s durante 10 s (1 . marcha); em seguida, com 5 m/s
a
a
durante 10 s (2 . marcha) e, depois, com 11 m/s durante 10 s (3 . marcha). Despreza-se a duração das mudanças de
marcha.
a)
b)
c)
d)
a velocidade média do carro é de 6 m/s
a aceleração do carro é sempre nula
2
a aceleração média do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s
nenhum dos resultados anteriores
11. (MEDICINA DE CATANDUVA) Um automóvel percorre um trecho retilíneo de estrada, indo da cidade A até a
cidade B, distante 150 km da primeira. Saindo às 10:00 h da A, pára às 11:00 h em um restaurante situado no ponto
médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente uma hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta
mais uma hora para chegar à cidade B. A velocidade média do automóvel no trecho AB foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
75 km/h
50 km/h
150 km/h
60 km/h
90 km/h
12. (UNIVERSIDADE SÃO CARLOS) Um móvel se desloca de um ponto A até um ponto B, a uma velocidade
constante igual a 80 km/h. Depois, se desloca do ponto B até um ponto C, a uma velocidade constante igual a 30,0
km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto C, e as distâncias de A até B e de B até C são iguais,
podemos dizer que a velocidade escalar média do móvel é de:
a)
55,0 km/h
b)
c)
d)
e)
43,6 km/h
60,8 km/h
50,2 km/h
71,7 km/h
13. (PUC-RS) A velocidade média de um automóvel na primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h e,
na segunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que a velocidade média desse automóvel
em todo o percurso vale:
a)
b)
c)
d)
e)
15 km/h
20 km/h
25 km/h
30 km/h
40 km/h
14. (ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA) Um ponto material move-se em linha reta, percorrendo dois trechos
consecutivos MN e NP. O trecho MN é percorrido com uma velocidade média igual a 20 km/h, e o trecho NP com uma
velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no
trecho MP foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
36 km/h
40 km/h
37,3 km/h
42 km/h
nenhuma das respostas anteriores
15. (MEDICINA DE ITAJUBÁ) Um trem viaja durante 2 h a 50,0 km/h; depois, passa a viajar a 60 km/h durante 1,5 h e,
finalmente, passa a 80 km/h durante 0,5 h. sua velocidade média, neste trajeto, será de:
a)
b)
c)
d)
e)
80 km/h
65 km/h
63,3 km/h
57,5 km/h
47,5 km/h
16. (MEDICINA DE SANTOS) Um móvel, descrevendo um movimento progressivo, certamente está em:
a)
b)
c)
d)
e)
rotação
oscilação
movimento retilíneo
movimento uniforme
nenhuma das respostas anteriores
17. (FGV-SP) Numa corrida de Fórmula 1 a volta mais rápida foi feita em 1 min e 20 s a uma velocidade média de 180
km/h. Pode-se afirmar que o comprimento da pista, em m, é de:
a)
b)
c)
d)
e)
180
4 000
1 800
14 400
2 160
18. (UFMS) A velocidade escalar média de um atleta que corre 100 m em 10 s é, em km/h:
a)
b)
c)
d)
e)
3
18
24
30
36
19. (FUVEST-SP) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km
de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro a 120 km/h e o
quarto a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso?
a)
b)
c)
d)
e)
110 km/h
120 km/h
130 km/h
140 km/h
150 km/h
20. (UFRN) Ao fazer uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velocidade média foi de
70 km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se, durante a viagem, o motorista
gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades?
a)
b)
c)
d)
e)
3h
3 h 30 min
4h
4 h 30 min
5h
21. (FGV-SP) Um atleta em treinamento percorre uma distância de 4 000 m em 20 minutos, procurando manter a
velocidade constante e o ritmo cardíaco em 100 batidas por minuto. A distância que ele percorre no intervalo entre duas
batidas sucessivas de seu coração é, em m, de:
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
10
20
40
22. (UNIFOR-CE) Um menino sai de sua casa e caminha para a escola, dando, em média, um passo por segundo. Se
o tamanho médio do seu passo é 0,5 m e se ele gata 5 minutos no trajeto, a distância entre a sua casa e a escola, em
m, é de:
a)
b)
c)
d)
e)
15
25
100
150
300
23. (UFES) Um carro percorre 1 km com velocidade constante de 40 km/h e o quilômetro seguinte com velocidade
constante de 60 km/h. A sua velocidade média no percurso descrito é:
a)
b)
c)
d)
e)
50 km/h
48 km/h
60 km/h
40 km/h
nra
24. (Fuvest/FGV-sp) Uma pessoa caminha numa pista de Cooper de 300 m de comprimento, com velocidade média de
1,5 m/s. Quantas voltas ela completará em 40 minutos?
25. (Fuvest-SP) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da chuva descerão do rio Tietê até o rio Paraná,
percorrendo cerca de 1.000 km. Sendo 4 km/h a velocidade média das águas, em quantos dias será cumprido o
percurso mencionado, aproximadamente?
26. (ESAL-MG) Numa prova de rali, os concorrentes são obrigados a cumprir em 30 minutos um percurso de 40 km,
para não perderem pontos. No marco zero do percurso, um concorrente tem seu veículo avariado, perdendo 10 minutos
no reparo. Qual a velocidade média mínima para que esse concorrente não perca ponto?
27. (Fuvest-SP) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1 hora e 40 minutos. A distância entre essas cidades é de
aproximadamente 3.000 km.
a)
b)
Qual a velocidade média do avião?
Prove que o avião é supersônico.
Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s
28. (UFPA) Certa pessoa viajava em um automóvel cujo velocímetro não funcionava. Desejando saber qual a
velocidade escalar média do automóvel e sabendo que os postes da rede elétrica dispostos à margem da estrada
distam 60 m um do outro, a pessoa começou a marcar o tempo no instante em que passou em frente de um certo poste
o
(chamemos de 1 . poste), e constatou que transcorreram 45,6 s até o instante em que passou diante do 20º poste.
o
o
Assim constatou que, no intervalo de tempo durante o qual ele se deslocou do 1 . ao 20 poste, a velocidade escalar
média do automóvel era, em km/h, de:
a)
b)
c)
d)
e)
25
69
90
95
98