Tipos de flexão
Tensões normais na flexão
Exercícios
Momento fletor
7 de maio de 2015
Momento fletor
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Tensões normais na flexão
Exercícios
Momento fletor
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Tensões normais na flexão
Exercícios
Tipos de flexão
1
De acordo com os esforços simples atuantes na seção
transversal
Flexão Pura: somente momento fletor, demais esforços nulos.
Flexão Simples: momento fletor e o esforço cortante.
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Flexão Composta: momento fletor e esforço normal.
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2
De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes
ES → interseção do plano das cargas com a seção transversal
(eixo y)
a rotação acontece em torno do eixo perpendicular ao eixo de
solicitação (eixo z)
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Exercícios
De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes
Flexão normal ou reta → O ES coincide com um dos eixos
principais de inércia.
Flexão oblíqua → o ES e o eixo de rotação não coincidem com
os eixos principais de inércia.
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Exercícios
Resumindo:
1
De acordo com os esforços simples atuantes na seção
transversal
Flexão Pura → somente M → Res Mat1
Flexão Simples → M e Q → Res Mat1
Flexão composta → M e N
2
De acordo com a direção dos momentos fletores atuantes
Flexão reta → ES ≈ eixos principais → Res Mat1
Flexão Oblíqua → ES , eixos principais
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Tensões normais na flexão
7 de maio de 2015
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Mecanismo de flexão
Linhas longitudinais (fibras longitudinais ao eixo) assumem o
aspecto curvo. O eixo deformado à flexão é a linha elástica.
Linhas transversais (seções transversais) permanecem planas e ⊥
ao eixo deformado → sofrem rotação em torno do eixo local z.
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Exercícios
Superfície neutra → camada situada em um plano horizontal
que, na configuração inicial, mantém o comprimento L
(εx = 0 → σx = 0).
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Exercícios
Tensões normais na flexão
Mecanismo de flexão
Linha neutra (LN) → interseção da superfície neutra com a seção
transversal.
M>0
(
Fibras superiores à LN são comprimidas / encurtadas
Fibras inferiores à LN são tracionadas / alongadas
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Exercícios
Seja o elemento de volume genérico, limitado pelas seções Se e Sd , de
comprimento elementar dx. Na configuração deformada, dθ é o
ângulo entre Se e Sd , o ponto O é o centro de curvatura e
OM = ON = ρ é o raio de curvatura da linha elástica na superfície
neutra.
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Exercícios
Considerando ds ≃ dx para vigas horizontais ou de pequena inclinação
e para pequenas deformações. A curvatura é:
κ=
1 dθ dθ
=
≃
ρ ds dx
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Exercícios
du = dθy
εx =
du
dx
=
dθ
dx y
σx = Eεx = E dθ
dx y
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Exercícios
σx = Eεx = E dθ
dx y
dθ
dx
→ constante
⇓
σx = ky
k = E dθ
dx
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Exercícios
σx = ky
(1)
dθ
dx
Para calcular k e determinar a posição da LN, sabe-se que o esforço
normal é nulo, ou seja:
Z
N = σx dA = 0
(2)
k=E
A
Combinando a equação 2 com a equação 1, tem-se:
Z
Z
Z
N = σx dA = KydA = K ydA = 0
A
A
A
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Exercícios
N=
Z
σx dA =
A
Z
KydA = K
A
Z
ydA = 0
A
⇒ Geometria das massas: a origem do eixo y, que define a posição da
LN, coincide com a ordenada do baricentro, definida por:
y=
R
A
ydA
A
=0
Conclui-se, então, que a LN passa pelo baricentro da seção.
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Exercícios
x
..
z
z
y
dFx
P
dFz
dFy
Mz =
dF
R
A
σx ydA
y
σx = ky =⇒ Mz =
R
A
kyydA = k
Z
y2 dA =⇒ k =
}
|A{z
Iz
⇓
σx = MI y
Momento fletor
M
I
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Exercícios
Observações:
σx =
1
M
I y
Sólido de tensões
B’
o
A’
B
A’
LN
C
C’
D
D’
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Exercícios
2
Cálculo das Tensões Extremas (Máximas)
B’
o
A’
B
σx =
A’
LN
M
I y
C
C’
D
D’
M
M
(−ds) = −
I
I/ds
M
M
y = di → σi = (di) =
I
I/di
y = −ds → σs =
Fazendo Ws = I/ds e Wi = I/di tem-se:
σs = −M/Ws
σ = M/Wi
⇓
σmax = M/W
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Exercícios
Exercícios
1- A viga representada na figura tem seção constante, retangular com
base de 20 cm e altura de 40 cm. Dados L = 4 m; a = 1,0 m e P = 120
kN, calcular as tensões máximas de tração e compressão.
Resposta: 22,5 MPa (tração e compressão).
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Exercícios
9 - Calcular o valor mínimo de a na seção transversal da viga da
figura para σt =100MPa e σc =60 MPa.
Resposta: a = 41 mm.
40 kN
100 kN
1111
0000
1111
0000
2m
2m
40 kN
100 kN
11111
00000
00000
11111
00000
11111
4m
2m
2m
111111111111111
000000000000000
000000000000000a
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
3,6a
3,6a
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
9a
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
0,8a
Momento fletor
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Exercícios
11 - Calcular o valor máximo admissível de q na viga da figura, para
tensões admissíveis 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão, sendo
a seção transversal constante mostrada (dimensões em cm). Resposta:
21,3 kN/m
E
C 11111
00000A
11111
00000
00000
11111
1,2m
B
11111
00000
00000
11111
00000
11111
2m
2m
D
1,2m
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
2,54
Momento fletor
25,4
2,54
2,54
10,16
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Tensões normais na flexão
Exercícios
12 - A viga da figura tem seção constante em duplo T assimétrico
(mom. de inércia em relação à LN 7570 cm4 ), que pode ser colocado
na posição 1 ( ⊤ ) ou 2 ( ⊥ ). Dados σt =150 MPa e σc = 120 MPa,
calcular qadm na posição mais eficiente (aquela que suporta maior
carga).
Resposta: 18,55 kN/m na posição 2.
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
7,65cm
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
G
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
q11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
0
1
00000000000000000
11111111111111111
13,60cm
0
1
B
A
0
1
00000000000000000
11111111111111111
0
1
0
1
00000000000000000
11111111111111111
0
1
0
1
00000000000000000
11111111111111111
0
1
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
3m
.
Momento fletor
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Exercícios
2 - Uma comporta de madeira de altura h = 5, 5 m é constituída de
vigas verticais AB de espessura e = 300 mm, simplesmente apoiadas
no topo e no fundo. Determinar a tensão máxima de flexão nas vigas,
considerando que o peso especifico da água seja 10 kN/m3 .
Resposta: 7, 1 MPa
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Exercícios
A haste da figura tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 N/m.
Determine as tensões normais máximas de flexão na seção B
provocada pelo seu peso próprio.
Resposta: ±190, 098 MPa .
Momento fletor
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Exercícios
14 - Foram propostos duas soluções para o projeto de uma viga.
Determinar qual delas suportará um momento M = 150 kNm com a
maior eficiência. Qual é a tensão normal máxima? Com que
porcentagem ele é mais eficiente?
Resposta: σ = 74, 7MPa; percentual de eficiência = 53,0 %
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