CURSO – ENGENHARIA ELÉTRICA
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Disciplina:
Probabilidade e Estatística
Selma Rozane
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TESTE DE HIPÓTESES
INTRODUÇÃO
Um parâmetro pode ser estimado a partir dos dados da
amostra tanto por um único número (uma estimativa
pontual) como por um intervalo de valores plausíveis (um
intervalo de confiança). Frequêntemente , entretanto, o
objetivo de uma investigação não é estimar um parâmetro,
mas decidir qual das duas alegações contraditórias sobre o
parâmetro
está
compreendem
correta.
a
parte
Os
métodos
da
inferência
de
decisão
estatística
chamada Teste de Hipótese.
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TESTE DE HIPÓTESES
Vamos
considerar
envolvendo
um
problemas
parâmetro

estatísticos
cujo
valor
é
desconhecido mas deve cair dentro de um certo
domínio  (isto é,  é o conjunto de todos os
possíveis valores de ). Vamos supor que 
possa
ser
dividido
em
dois
subconjuntos
distintos 0 e 1, e que o estatístico deva decidir
se o valor desconhecido de  cai em 0 ou em 1.
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Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Seja H0 a hipótese de que   0 e H1 a hipótese de
que   1, isto é:
H 0 :   0 (hipótese nula)
H1 :   1 (hipótese alternativa)
Como 0 e 1 são disjuntos (0  1 = ), somente
uma das hipóteses são verdadeira. O estatístico deve
decidir se aceita H0 ou se aceita H1.
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Região Crítica do teste
O procedimento adotado para decidir se ele aceita H0 ou aceita H1
é denominado procedimento do teste, ou simplesmente teste.
Suponha que antes de decidir se aceita ou não a hipótese nula,
ele observa uma amostra aleatória X1;X2; ;Xn. Seja S o espaço
amostral, isto é, S é o conjunto de todos os possíveis resultados
da amostra.
Em um problema desse tipo o estatístico especifica um
procedimento de teste que consiste em dividir o espaço amostral
em dois subconjuntos: um deles consiste dos valores da amostra
para o qual ele aceita H0, e o outro contem os valores para o qual
ele rejeita H0.
O subconjunto para o qual H0 será rejeitada é chamada região
crítica do teste. O complemento da região crítica contem
portanto todos os possíveis valores para o qual H0 será aceita.
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Erros do Tipo I e Erros do Tipo II
Quando estabelecemos um procedimento do teste, estamos sujeitos
a dois tipos de erros:
i) O de rejeitar H0 quando ela é de fato verdadeira. Este erro é
denominado erro do tipo I. A probabilidade () deste tipo de erro
ocorrer é controlada pelo estatístico e é denominada nível de
significância do teste.
ii) O de aceitar H0 quando H1 é verdadeira. Este erro é denominado erro
do tipo II. A probabilidade deste erro ocorrer é representada por .
Representação dos erros tipo I e II
aceita H 0
H 0 é verdadeira
Decisão correta (1   )
rejeita H 0
Erro tipo I ( )
H 0 é falsa
Erro tipo II ( )
Decisão correta (1   )
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Teste de Significância para média populacional
com valor específico 0
H :  
0
 conhecido
0
H1 :    0
1. Retira-se uma amostra de tamanho n e calcula-se x .
x  0
2. Calcula-se o valor da estatística Z 
/ n
3. Sob a hipótese nula, tem-se que Z possui distribuição normal padrão.
Portanto,
Rejeita-se H 0 se Z  Z / 2 (isto é, se Z   Z / 2 ou Z  Z / 2 )
Aceita-se H 0 se Z  Z / 2 (isto é,  Z / 2  Z  Z / 2 )
onde  é o nível de significância do teste.
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Teste bilateral:

2
H 0 :   0
H1 :    0

2
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Teste de Significância para média populacional
com valor específico 0
 conhecido
Teste: Unilateral à direita
H 0 :   0
H1 :    0
Região de rejeição:
z   z
Teste: Unilateral à esquerda
H 0 :   0
H1 :    0
Região de rejeição:
z  z
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Exemplo 1
A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta
média de 1800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante nova técnica no
processo de fabricação proclama-se que a tensão de ruptura pode ser
aumentada. Para testar esta declaração, ensaiou-se uma amostra de 41
cabos, tendo-se determinado a tensão média de ruptura de 1850 kg.
Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância de 0,01?
Solução:
 H 0 :   1800 kg
Passo 1: Definição da Hipótese  H :   1850 kg
 1
 = 100 kg

Passo 2: Calcular a estatística
x  0 1850  1800
z

 3, 20
/ n
100 / 41
Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção
está a 3,20 desvios-padrão da média alegada em Ho que é 1800.
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Passo 3: Região crítica
Na tabela:  = 1%
temos: z  2,58???
Passo 4: Regra de Decisão
Como o valor crítico para 1% é 2,58 desvios (Z tabelado), estamos
na região de rejeição de Ho.
Passo 5: Conclusão
Ho é rejeitada e concluímos que a tensão de ruptura dos cabos
aumentou.
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Exemplo 2
A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina
permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2 e um
desvio padrão de 4,0 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada.
A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas.
76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2
Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste.
Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço?
(Adote um nível de significância de 1%)
Solução:
 H 0 :   72kg/mm 2
Passo 1: Definição da hipótese 
2
 H1 :   72kg/mm

2

=
4
kg/mm

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Passo 2: Calcular a estatística do Teste
Sendo x  75 kg/mm2 e   4 kg/mm2 Z cal 
x  0 75  72

 2,37
 / n 4 / 10
Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da
produção está a 2,37 desvios-padrão da média alegada em Ho que é 72.
Passo 3: região crítica
Na tabela:  = 1%
temos: z  2,58
Passo 4: regra de decisão
Como o valor crítico para 1% é 2,37 desvios (Z tabelado), estamos na
região de aceitar de Ho.
Passo 5: Conclusão
Ho é aceito e concluímos que a resistência à tração do aço não mudou.
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Teste de Significância para média populacional
com valor específico 0
H :  
0
 desconhecido
0
H1 :    0
1. Retira-se uma amostra de tamanho n e calcula-se x .
2. Calcula-se a estatística t 
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x  0
s/ n
3. Sob a hipótese nula, tem-se que t possui uma
distribuição t-Student com n -1 graus de liberdade.
Portanto,
Rejeita-se H 0 se t  t / 2,( n 1)
Aceita-se H 0 se t  t / 2,( n 1)
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Controlando o erro tipo II ()
Vimos que o erro tipo I representa o erro de se rejeitar H0 quando ela é
de fato verdadeira. A probabilidade deste erro é () e é fixada e
portanto controlada pelo estatístico.
Temos também o erro tipo II () que representa o erro de aceitar H0
quando ela é falsa.
Quando rejeitamos H0, automaticamente estamos aceitando H1, isto é,
estamos aceitando que o parâmetro pertença ao espaço definido pela
hipótese H1. O erro tipo II dependerá do verdadeiro valor do parâmetro.
Quanto mais afastado o verdadeiro valor do parâmetro estiver do valor
especificado em H0, menor será o erro tipo II. Portanto, para calcular ,
temos que especificar este valor em H1, isto é, ter-se as hipóteses
definidas por:
H 0 :   0
H1 :   1
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Exemplo – controle do erro tipo II
Para exemplificar isto, considere o exemplo anterior. Suponha que as
hipóteses tenham sido definidas por: H0 :  = 1800
H1 :  = 1850.
Vimos que o erro tipo I foi fixado em 0,01, supondo que H0 fosse
verdadeiro, isto é,
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 x 

0, 01  P(erro I)  P( z  2, 70)  P 
 2, 70   1800 
 / n

100 
 x  1800


= P
 2, 70   1800   P  x  1800  2, 70

100
/
41
41




 P( x  1842, 24)
Portanto, a probabilidade do erro tipo II será:
  P(erro II)  P( x  1842, 24   1850)
1842, 24  1850 
 x 
=P 

  P( Z  0, 49)  0,3121
100 / 40 
 100 / n
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Exemplo – controle do erro tipo II
O cálculo anterior pode ser efetuado para vários valores de .
Considerando-se () a probabilidade de aceitar H0 como função
de , isto é,
 ( )  P(aceitar H 0  )  P( x  1842, 24  ),
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Pode-se calcular a função
 ( )  1   ( )
Esta função é denominada função poder de teste.
Bibliografia
•
Jay L. Devore, (Tradução: Joaquim Pinheiro Nunes Silva) Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências - 2006.
• Jairo S. da Fonseca e Gilberto A. Martins, Curso de Estatística - 1996.
• Notas do Curso de Estatística: Dra. Corina da Costa Freitas, MSc. Camilo Daleles Rennó e MSc. Manoel Araújo Sousa Júnior
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