Propagação de Erros.nb
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CÁLCULO DE ERROS
Este manual foi preparado por Prof. Igor Khmelinskii, FCT, DQB, e está disponível na forma dum
ficheiro. Contactar: mailto:[email protected]
Notações usadas:
x, y - operandos
k - uma constante
f Hx, yL - resultado da operação
sx - desvio - padrão absoluto de x,
s y - desvio - padrão absoluto de y,
sx
ÅÅÅ
s p - desvio - padrão relativo de x : s p = ÅÅÅÅ
»x»
sq - desvio - padrão relativo de y : sq = ÅÅÅÅ
ÅyÅÅ
»y»
s
s f - desvio - padrão absoluto do resultado,
sr - desvio - padrão relativo do resultado : sr = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅf ÅÅÅÅÅ
» f Hx,yL»
s
Nota: as fórmulas são igualmente aplicáveis aos argumentos negativos.
Fórmula de Propagação de Erros: Operandos Independentes
A fórmula geral define o desvio-pardão absoluto do resultado, s f , a partir dos desvios-padrão dos
operandos, x e y, admitindo que os operandos são independentes.
∂ f Hx, yL 2
∂ f Hx, yL zy2
jij ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
jij ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zyz s2''''''''''''''''''''''''''''''''
s f = &''''''''''''''''''''''''''''''''
+
s2y ;
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z'''''''''
x
k ∂x
k
{
∂y {
sf
sr = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ;
† f Hx, yL§
ü Propagação de erros: x+y
Regra : O desvio - padrão absoluto de
x + y calcula - se a partir de desvios - padrão absolutos do x e do y.
f Hx, yL = x + y;
s f = "########
s2y
s2x +#########
Propagação de Erros.nb
ü Propagação de erros: x-y
Regra : O desvio - padrão absoluto de
x - y calcula - se a partir de desvios - padrão absolutos do x e do y.
f Hx, yL = x - y;
s f = "########
s2y#
s2x +#########
ü Propagação de erros: xy
Regra : O desvio - padrão relativo de xy
calcula - se a partir de desvios - padrão relativos do x e do y.
f Hx, yL = x y;
sx = s p †x§;
s y = sq †y§;
##########
s2p +
sr = "########
s2q
ü Propagação de erros: x/y
Regra : O desvio - padrão relativo de x ê y
calcula - se a partir de desvios - padrão relativos do x e do y.
x
f Hx, yL = ÄÄÄÄÄ ;
y
sx = s p †x§;
s y = sq †y§;
##########
sr = "########
s2q
s2p +
ü Propagação de erros: kx
Regra : O desvio - padrão relativo de kx é igual ao desvio - padrão relativo de x.
f Hx, yL = k x;
sx = s p †x§;
sr = s p
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Propagação de Erros.nb
ü Propagação de erros: k+x
Regra : O desvio - padrão absoluto de
k + x é igual ao desvio - padrão absoluto de x.
f Hx, yL = k + x;
s f = sx
ü Propagação de erros: xn
Regra : O desvio - padrão relativo de xn é igual ao desvio - padrão relativo de x vezes n.
f Hx, yL = xn ;
sx = s p †x§;
sr = n s p
ü Propagação de erros: log(x)
Regra : O desvio - padrão absoluto de log HxL é igual ao desvio padrão relativo de x. HNota : log HxL é o logaritmo naturalL.
f Hx, yL = logHxL;
sx = s p †x§;
s f = sp
ü Propagação de erros: „x
Regra : O desvio - padrão relativo de „x é igual ao desvio - padrão absoluto de x.
f Hx, yL = „x ;
sr = sx
ü Propagação de erros: sin(x)
Regra : O desvio - padrão absoluto de sinHxL
é igual ao desvio - padrão absoluto de x vezes cos HxL.
f Hx, yL = sinHxL;
s f = †cosHxL§ sx
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Propagação de Erros.nb
ü Propagação de erros: cos(x)
Regra : O desvio - padrão absoluto
de cosHxL é igual ao desvio - padrão absoluto de x vezes sin HxL.
f Hx, yL = cosHxL;
s f = †sinHxL§ sx
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Propagação de Erros.nb
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Fórmula de Propagação de Erros: Operandos Dependentes
A fórmula deve ser complementada para o caso de operandos interdependentes. Um exemplo típico
são os parâmetros de uma regressão linear. Neste caso surge um termo adicional que inclui a Covariância dos operandos. Vamos usar as segunites notações:
a, b - operandos dependentes
f Ha, bL - resultado da operação
sa - desvio - padrão absoluto de a,
sb - desvio - padrão absoluto de b,
sa
s p - desvio - padrão relativo de a : s p = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
»a»
sb
sq - desvio - padrão relativo de y : sq = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
»b»
s f - desvio - padrão absoluto do resultado,
sr - desvio - padrão relativo do resultado : sr = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅf ÅÅÅÅÅ
» f Ha,bL»
s
VarHaL = sa 2 - variância do a
VarHbL = sb 2 - variância do b
CovarHa, bL - covariância de a e b
VarH f Ha, bLL = s f 2 - variância do resultado
Nota: A Matriz de Variância-Covariância (Matriz de Dispersão) dos parâmetros de uma
regressão linear pode ser calculada em Excel, utilizando a função PROJ.LIN (LINEST na versão
Inglesa) e executando alguns cálculos suplementares.
A fórmula geral:
2
2
∂ f Ha, bL ∂ f Ha, bL
ij ∂ f Ha, bL yz
ij ∂ f Ha, bL yz
j
z
j
z
VarH f Ha, bLL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ VarHaL + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ VarHbL + 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ CovarHa, bL;
k ∂a {
k ∂b {
∂a
∂b
ü Propagação de erros: ab
f Ha, bL = a b;
sa = s p †a§;
sb = sq †b§;
CovarHa,
bL %
%%%%%%%%%%%%%%%%
sr = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ%%%%
ÄÄÄÄ ;
s2p + s2q + 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ab
ou
VarH f L = b2 VarHaL + a2 VarHbL + 2 ab CovarHa, bL;
Propagação de Erros.nb
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ü Propagação de erros: a/b
f Ha, bL = a ê b;
sa = s p †a§;
sb = sq †b§;
CovarHa,
bL %
%%%%%%%%%%%%%%%%
sr = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
s2p + s2q - 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ%%%%
ÄÄÄÄ ;
ab
ou
VarHaL
a2 VarHbL
a
VarH f L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄ CovarHa, bL;
b2
b4
b3
ü Propagação de erros: a+b
f Ha, bL = a + b;
sf =
"################################
##################
s2a + s2b + 2 Covar Ha, bL
ü Propagação de erros: a-b
f Ha, bL = a - b;
sf =
"################################
##################
s2a + s2b - 2 Covar Ha, bL
ü Propagação de erros: a+bx
f Ha, bL = a + bx;
sf =
"################################
############################
s2a + s2b x2 + 2 x Covar Ha, bL
Referências
1. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/mpc/section5/mpc55.htm
2. Eric W. Weisstein, "Error Propagation", from MathWorld -- A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/ErrorPropagation.html
3. http://ist-socrates.berkeley.edu/~epsc120/Toolkits/Toolkit_05.pdf