Nome: _________________________________________ ____________________________ N.º: __________ endereço: ______________________________________________________________ data: __________ Telefone:_________________ E-mail: _________________________________________________________ PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2013 Colégio Disciplina: Prova: MaTeMÁTiCa desafio nota: QUESTÃO 16 Um carro 0 km vale hoje R$ 40 000,00 e seu valor decresce exponencialmente de modo que, daqui a t anos, seu valor será V = a.bt, onde a e b são constantes. Se o valor do carro daqui a 5 anos for R$ 20 000,00, seu valor daqui a 12 anos será, aproximadamente: a) R$ 19 200,00 d) R$ 5 200,00 b) R$ 17 600,00 e) R$ 4 820,00 c) R$ 7 600,00 Use a tabela abaixo: x 2– x 0 1 0,6 0,66 1,2 0,44 1,8 0,29 2,4 0,19 3 0,13 RESOLUÇÃO Com os valores em reais, temos: 1) No instante t = 0, o valor do carro é: V(0) = a . b0 = a = 40 000 2) A função que fornece o valor do carro é, portanto: V(t) = 40 000 . bt Daqui a 5 anos, o valor do carro será: 1 V(5) = 40 000 . b5 = 20 000 fi b5 = ––– ⇔ b = 2 5 1 – –– 1 –– = 2 5 2 3) O valor do carro daqui a 12 anos será: V(12) = 40 000 . b12 = 40 000 . 2 1 12 – –– 5 = 40 000 . 2–2,4 = 40 000 . 0,19 = 7 600 Resposta: C OBJETIVO 1 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 17 Um agricultor dispõe de certa quantidade de mudas de laranjeiras e pretende plantá-las igualmente espaçadas em fileiras com a mesma quantidade de pés, de modo que a plantação forme um quadrado com todos os espaços ocupados, conforme o esquema abaixo. Para determinar quantos pés deverá ter cada fileira, fez duas tentativas: na primeira verificou MAT-0014145-apb que sobrariam 326 mudas e na segunda, imaginando 3 mudas a mais por fileira, faltariam 253 mudas. O número de mudas que o fazendeiro dispõe para plantar é: a) 9 025 b) 9 098 c) 9 278 d) 9 351 e) 9 604 RESOLUÇÃO Se n for o número de mudas de laranjeiras que ele plantou na primeira tentativa, então: n2 + 326 = (n + 3)2 – 253 € n2 + 326 = n2 + 6n + 9 – 253 € 6n = 570 € n = 95 Desse modo, o número de mudas que o fazendeiro dispõe para plantar é: 952 + 326 = 982 – 253 = 9 351 Resposta: D QUESTÃO 18 Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A, de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura: P2 1 100 m B 500 m ponte 90° 90° A d=? Rio Bonito (desenho fora de escala) 400 m P1 Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias medidas, o engenheiro estimou MAT-0014146-bpb que a distância entre P1 e P2 é de, aproximadamente: a) 650 m OBJETIVO b) 750 m c) 850 m d) 950 m 2 e) 1050 m MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE RESOLUÇÃO (P1P2)2 = 5002 + 7002 = 250 000 + 490 000 = 740 000 P1P2 = 740 000 = 74 . 10 000 = 8,6 . 100 = 860 Resposta: C QUESTÃO 19 Nas transmissões de futebol pela televisão, é comum que seja informada a distância entre a bola e o centro do gol nas cobranças de falta. Isso é possível porque os dispositivos de computação gráfica da televisão associam cada ponto do campo a um sistema de coordenadas cartesianas, o que permite processar os dados e efetuar os cálculos. y F 40 P(100,60) x 76 Para uma falta a ser batida do ponto F, a medida da seta, que corresponde à distância medida no gramado entre o ponto F e o centroMAT-0014148-bpb do gol, é: a) 24 m b) 26 m c) 46 m d) 48 m e) 56 m RESOLUÇÃO y F 40 P 30 76 C 100 x (FC)2 = (PF)2 + (PC)2 € (FC)2 = (40 – 30)2 + (100 – 76)2 € (FC)2 = 102 + 242 € MAT-0014149-bpb € (FC)2 = 100 + 576 € (FC)2 = 676 € FC = 26 Resposta: B OBJETIVO 3 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 20 ¨Æ No hexágono regular ABCDEF, a distância entre dois lados paralelos é 12 cm. As retas AB e ¨Æ ¨Æ ¨Æ CE interceptam-se no ponto P e as retas AD e CE interceptam-se no ponto Q. E D Q C F A B P A altura do triângulo APQ, relativa ao vértice Q, mede, em centímetros: MAT-0014166-bpb a) 8 2 b) 6 c) 6 3 27 3 e) ––––––– 4 d) 9 RESOLUÇÃO E D Q a F a R C O h a A N M B P 1) O é o centro do hexágono e, portanto, OQ = OR = RA = a. MAT-0014167-bpb 2) ON = 6 cm, pois é a metade da distância entre dois lados paralelos do hexágono regular. 3) Se h for a altura do triângulo APQ, relativa ao vértice Q, por semelhança, temos: MQ AQ h 3a 3 –––– = –––– fi –––––– = –––– fi h = ––– . 6 cm = 9 cm NO AO 6 cm 2a 2 Resposta: D OBJETIVO 4 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 21 Juliana cortou uma tira de papel de 4 cm por 12 cm e a dobrou do modo indicado na figura, obtendo assim um quadrado. Em seguida, ela cortou o quadrado diagonalmente, como mostra a figura. Com os pedaços obtidos, ela montou dois novos quadrados. Qual é a diferença entre as áreas desses quadrados? a) 9 cm2 b) 12 cm2 c) 16 cm2 d) 18 cm2 e) 32 cm2 RESOLUÇÃO A 4 B 4 C 4 4 H D 4 4 4 G F 4 E A linha pontilhada representa o corte, resultando, pois, 4 triângulos: ABH, HBF, BFD MAT-0014173-apb e FDE. 1) A linha pontilhada nos mostra que os triângulos retângulos HBF e BFD têm catetos iguais a 4 2 cm. Juntando os dois, obtém-se um quadrado de lado 4 2 cm cuja 2 área vale 32 cm . 4 2 4 2 4 2 4 2 2) Os triângulos retângulos ABH e FED têm catetos iguais a 4 cm. Juntando os dois, obtém-se um quadrado de ladoMAT-0014184-apb 4 cm cuja área é 16 cm2. 4 4 4 4 3) A diferença entre as áreas dos dois quadrados, em cm2, é 32 – 16 = 16. MAT-0014185-apb Resposta: C OBJETIVO 5 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 22 De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes? a) 2 RESOLUÇÃO b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 MAT-0014174-apb A C B 1) Iniciando pelo círculo A, podemos colorir de 3 maneiras diferentes (amarelo, azul ou vermelho). MAT-0014175-apb 2) O círculo B pode ser colorido de 2 maneiras (qualquer uma das duas cores não utilizadas em A). 3) O círculo C só pode ser colorido com a única cor que ainda não foi usada. 4) Existem, portanto, 3 . 2 . 1 = 6 maneiras de colorir os 3 círculos iniciais. 5) A partir desses três círculos já coloridos, sempre haverá uma única maneira de colorir todos os outros. Resposta: D QUESTÃO 23 Três alunos receberam uma herança: Marta de 6 anos, Paula de 10 anos e Matheus de 14 anos. O valor de R$ 480 000,00 foi dividido em partes diretamente proporcionais a suas idades. Sobre esse valor será feito um desconto de 25% para o imposto de renda. O valor final recebido por Marta foi: a) R$ 36 000,00 d) R$ 96 000,00 OBJETIVO b) R$ 72 000,00 e) R$ 100 000,00 6 c) R$ 84 000,00 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE RESOLUÇÃO 1) Se m, p e t forem as quantias, em reais, que cada um deve receber antes de descontarem o imposto, então: m p t m+p+t 480 000 ––– = ––– = ––– = –––––––––––– = ––––––––– = 16 000 6 10 14 6 +10 + 14 30 m 2) ––– = 16 000 € m = 96 000 6 3) O valor final, descontando o imposto, é: 3 ––– . 96 000= 72 000 4 Resposta: B QUESTÃO 24 Em cada um dos pontos da figura pretendemos escrever um número de tal modo que a soma dos dois números colocados nas extremidades de cada um dos segmentos marcados seja igual para todos os segmentos. 4 X 1 Dois dos números já se encontram escritos. Qual é o valor de x? MAT-0014177-apb a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) É necessário mais informação. RESOLUÇÃO Se a for a soma dos dois números colocados nas extremidades de cada um dos segmentos marcados, então: 4 a-4 4 Assim sendo: a–4=x a–4=1 a-4 = X Resposta: A 4 fix=1 a-4 4 4 a-4 = 1 a-4 OBJETIVO a-4 4 MAT-0014177-apb 7 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 25 No plano xOy, com os eixos posicionados do modo usual, o ponto de coordenadas (1; – 10) foi marcado sobre a parábola de equação y = ax2 + bx + c, após o que os eixos e quase toda a parábola foram apagados, ficando a figura seguinte. (1;-10) Qual das afirmações seguintes pode ser falsa? MAT-0014178-apb a) a 0 b) b 0 c) a + b + c 0 d) b2 4ac e) c 0 RESOLUÇÃO A parábola é do tipo: 1) a 0, pois é de “boca para cima”. b 2) a abscissa do vértice é xv = – ––– 0 e a 0 fi b 0 2a 3) x = 1 fi y = a + b + c = – 10 fi a + b + c 0 4) b2 – 4ac 0 € b2 > 4ac, pois existem duas raízes reais distintas. 5) c 0 pode ser falsa, pois é possível ter c = 0 ou c 0. Resposta: E OBJETIVO 8 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 26 Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nessa figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 RESOLUÇÃO Sendo M o centro do quadrado de lado 1 m, temos: I) A área da região mais clara SC, em m2, é igual a quatro vezes a área do triângulo APB. 1 1 –– . –– 1 4 2 AP . MB SC = 4 . ––––––––– = 4 . –––––––– = –– m2 4 2 2 II) A área da região sombreada SS, em m2, é igual à área do quadrado menos SC. 3 1 SS = 12 – ––– = ––– m2 4 4 3 1 Logo, o custo C na fabricação desse vitral será: C = ––– . R$ 30,00 + ––– . R$ 50,00 4 4 C = R$ 35,00 Resposta: B OBJETIVO 9 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 27 Na figura a seguir, os lados do quadrilátero são tangentes ao círculo e a medida do perímetro 5 do quadrilátero é ––– vezes a medida do perímetro do círculo. π Por que valor deve ser multiplicada a medida da área do círculo para se obter a medida da área do quadrilátero? MAT-0014427-apb a) 2π b) 4π2 5 d) ––– π c) 5π 25 e) –––– π2 RESOLUÇÃO I. Se PQ e PC forem os perímetros do quadrilátero e do círculo de raio R, respectivamente, então: PQ 5 5 PQ = ––– . PC € –––– = ––– PC π π II. A área SQ do quadrilátero é: PQ . R SQ = ––––––– 2 III. A área SC do círculo de raio R é: 2 . π. R. R PC . R SC = πR2 = –––––––––––– = ––––––– 2 2 PQ SQ 5 5 III) ––––– = ––––– = ––– € SQ = ––– . SC SC PC π π Resposta: D OBJETIVO 10 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 28 O quadrilátero BCDE da figura representa uma praça. A região sombreada é um jardim com grama e flores. A região quadrada ABCD, de lado (3 2 ) m, é reservada ao lazer. Sabendo-se que o triângulo BDE é equilátero, conclui-se que a área do jardim, em metros quadrados, é: E B A C D a) 18 3 – 2 b) 12 3–1 3 – 1) d) 9( MAT-0014428-apb e) 6 2 c) 9 3 RESOLUÇÃO E B A C D 3 2 I. BC = 3 2 fi BD = (3 2 ) . 2= 6 MAT-0014431-apb II. A área do triângulo equilátero de lado 6 m é: 62 . 3 3 m2 –––––––– m2 = 9 4 III. A área do triângulo retângulo ABD é: (3 2 )2 –––––––– m2 = 9 m2 2 IV. A área do jardim é: 3 – 9) m2 = 9( 3 – 1) m2 (9 Resposta: D OBJETIVO 11 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 29 Gonçalo preencheu as casas de uma grelha de dimensões 3 x 3 com número naturais, de tal modo que a soma dos números em cada quadrado de dimensões 2 x 2 é 10. Ana apagou cinco dos números escritos por Gonçalo, ficando a grelha como se mostra na figura a seguir. 2 1 3 4 Qual dos valores seguintes pode ser igual à soma dos cinco números apagados por Ana? a) 9 b)10 c)12 d) 13 e) 14 RESOLUÇÃO Observando o quadrado formado pelas duas últimas linhas e pelas duas últimas colunas, temos as seguintes possibilidades: 2 1 2 3 3 4 0 ou 1 2 0 3 4 3 ou 1 2 1 3 4 2 6 2 4 1 1 3 4 4 2 ou 1 2 3 4 1 5 2 3 1 2 3 3 4 1 Completando os demais temos: 4 2 2 1 3 3 2 4 0 ou 7 2 5 1 0 3 5 4 3 ou ou A soma dos 5 números apagados é 11 ou 20 ou 17 ou 14 Resposta: E OBJETIVO 12 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE QUESTÃO 30 Observe a figura a seguir. x 27 15 7 2 5 6 Que número deve substituir x se o diagrama for preenchido com números naturais de acordo com a regra fixada? MAT-0014429-apb a) 32 b) 50 c) 55 d) 82 e) 100 RESOLUÇÃO I. A regra fixada é: cada número é a soma dos dois números vizinhos da linha de baixo. 햸 햳햶 II. O quarto número da quinta linha é 9, pois 9 + 6 = 15 III. O terceiro número da quarta linha é 12, pois 12 + 15 = 27 IV. O terceiro número da quinta linha é 3, pois 3 + 9 = 12 V. Os demais números são obtidos de modo análogo, de baixo para cima. 82 35 15 20 8 7 2 47 5 27 15 12 3 9 6 Resposta: D MAT-0014430-apb OBJETIVO 13 MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE