XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente.
São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de 2010.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE E
VALUE-AT-RISK (VAR)
PARAMÉTRICO: EXAMINANDO A
SUPOSIÇÃO DE NORMALIDADE PARA
GRANDES CARTEIRAS E ATIVOS
INDIVIDUAIS NUM CONTEXTO DE
ESTABILIDADE ECONÔMICA.
Herick Fernando Moralles (EESC - USP)
[email protected]
Alexandre Sartoris Neto (UNESP)
[email protected]
Este trabalho visa encontrar as distribuições de probabilidade de
ativos negociados na BOVESPA (Bolsa de valores de São Paulo) e do
próprio índice IBOVESPA. Com isso, serão calculados seus riscos pelo
VaR (Valor-em-Risco) paramétrico após eencontrar a distribuição
teórica que melhor se enquadra à distribuição empírica do ativo
utilizando o teste de aderência Kolmogorov-Smirnov, a fim de verificar
a adequação do pressuposto de normalidade utilizado no cálculo do
VaR, tanto para carteiras grandes e diversificadas, quanto para ativos
individuais, num contexto de estabilidade econômica. Os resultados
obtidos apontam para a validade do pressuposto de normalidade tanto
para grandes carteiras quanto para ativos individuais.
Palavras-chaves: VaR (Value-at-risk), Kolmogorov-Smirnov,
Aderência, IBOVESPA
1. Introdução
Os instrumentos de avaliação de risco possuem um papel crucial no desempenho de
instituições financeiras, e conseqüentemente em sua capacidade de honrar compromissos.
Nesse sentido, quando crises financeiras emergem e os mercados perdem a racionalidade,
surge com ainda mais força a necessidade de instrumentos apurados e confiáveis de gestão de
risco, os quais sem dúvida possuem grande influência na saúde do sistema financeiro.
Nesse sentido, o trabalho visa identificar empiricamente a distribuição de probabilidade do
índice IBOVESPA e de algumas ações de empresas individuais, de pequeno, médio e grande
porte. Apartir disso, calcula-se o risco destes ativos através do VaR paramétrico, tendo em
vista a melhor distribuição de probabilidade teórica encontrada após a realização do teste de
aderência de Kolmogorov-Smirnov, realizado com 10 diferentes distribuições.
Mais especificamente, a distribuição empírica observada (discreta) será transformada em uma
distribuição contínua para o cálculo do VaR paramétrico. Dessa forma, será testada a eficácia
do pressuposto de normalidade tanto para uma carteira grande e diversificada como o índice
IBOVESPA, quanto para ativos individuais num contexto de relativa estabilidade econômica.
2. Valor Em Risco (VaR)
Atualmente, uma metodologia muito usada para a avaliação de risco financeiro em portfolios
é o VaR, o qual é uma medida probabilística que ganhou tamanha popularidade em função de
sua simplicidade de cálculo, e a capacidade de resumir em apenas um número o risco de uma
carteira de ações. (JORION, 1997)
O VaR é a perda máxima esperada de uma carteira, a um nível de significância  (ou nível
de confiança 1 –  ), dentro de um horizonte temporal determinado. A exemplo, o J.P.Morgan
utiliza um nível de confiança de 95% para um horizonte temporal de 20 dias (JORION, 1997).
Sendo assim, a expectativa é de que a cada 20 dias haja uma perda que supere o VaR.
(JORION, 1997; SOUZA, 1999).
O VaR pode ser calculado a partir da cauda esquerda da distribuição de probabilidade dos
retornos aritméticos da variável considerada; ou seja, a variação percentual entre as
observações da amostra somado a algum pagamento intermediário como um dividendo.
A eficiência do VaR está intimamente relacionada com a distribuição de probabilidade da
variável a ser analisada. Assim, o conhecimento da correta distribuição de probabilidade
como um todo e especialmente seus valores extremos, ganham importância ainda maior em
épocas de instabilidade dos mercados, pois são esses eventos extremos que irão modificar as
caudas da distribuição (SOUZA, 1999).
Contudo, o computo do VaR muitas vezes é feito de modo a pressupor normalidade,
especialmente para portfolios grandes e diversificados como afirma Jorion (1997), com o
objetivo de simplificar seu cálculo.
Tal simplificação pode levar subestimação ou sobre-estimação do risco, caso estejamos
considerando uma distribuição de probabilidade errônea, como demonstrado na figura abaixo,
que ilustra duas distribuições contínuas com diferentes caudas esquerdas. Nesse caso, é
claramente observável a subestimação do risco de um ativo que possui distribuição de
Gumbel (Valores extremos à esquerda), quando suposta a normalidade desse ativo
(RAMANATHAN, 1993; GUJARATI,2000; KLEIBER & KOTZ, 2003).
2
Fig.1:Distribuição Normal e Distribuição de Valores extremos (Gumbel)
0.4
Gumbel
Normal
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
FIGURA 1 – Diferênça nas caudas de distribuições distintas (Gráfico confeccionado em MATLAB®).
Portanto, as instituições financeiras devem ter certa cautela em relação a simplificações para o
computo do VaR. Mais especificamente é necessária uma comprovação de que os dados
analisados sigam uma determinada distribuição de probabilidade, pois o seu
desconhecimento, e conseqüente má avaliação do risco poderia levar a um déficit na provisão
das instituições financeiras.
A literatura acadêmica a respeito do ajuste de dirtribuição de probabilidade para cômputo do
VaR é razoalvelmente vasta, compreendendo as mais diversas abordagens. Assim, é possível
citar trabalhos como Bali (2003) que propõe uma abordagem de distrubuição de valores
extremos para a estimativa do VaR, demonstrando que a teoria estatística de extremos
propicia estimativas mais corretas para a gestão do risco.
Seguindo também a teoria dos extremos, Danielsson e De Vries (2000) argumentamqua as
estimativas do VaR são muito dependentes de boas predições a respeito de eventos incomuns
e catastróficos, dí a importância de boas estimativas para as caudas das distribuições.. Nesse
contexto, os autores utilizam um método semi-paramétrico para a estimativa do VaR que é
uma mistura dessas duas abordagens, onde se combinam simulação histórica não-paramétrica
e estimação paramétrica das caudas da distribuição de retorno, a fim de estimar com precisão
as caudas de uma distribuição.
Em Bhattacharyya ET. AL. (2008) é possível encontrar uma revisão de estudos que aborda a
questão da não-normalidade dos retornos, mostrando que apesar dos esforços, as pesquisas
estão longe de apontar para uma distribuição que se mostre mais adequada ao cômputo do
VaR. O autor traz alguns exemplos como distribuição de t (BOLLERSLEV, 1987; HANSEN,
1994), a distribuição de erro generalizado (NELSON, 1991), a distribuição hiperbólica
generalizada (EBERLEIN E KELLER, 1995; BARNDORFF-NIELSEN, 1997), distribuição
estável (MCCULLOCH, 1996), a distribuição t não-central (HARVEY E SIDDIQUE, 1999),
distribuição Gram-Charlier (JONDEAU E ROCKINGER, 2001), distribuição Pearson Tipo
IV (PREMARATNE E BERA, 2001; YAN, 2005), a distribuição t inclinada (JONDEAU E
3
ROCKINGER, 2003), a distribuição de Johnson SU (YAN, 2005), e mistura de distribuições
normais (ALEXANDER E LAZAR, 2006).
Tal fato apenas corrobora a diversidade de distribuições usadas. Contudo, Bhattacharyya ET.
AL. (2008) propõen uma combinação da distribuição de Pearson Tipo IV e o modelo GARCH
(1, 1) em uma abordagem que visa fornecer um novo método com capacidade superior de
previsão.
A despeito disso, não foi encontrado nenhum estudo que tratasse dos pressupostos de
normalidade comparando carteiras grandes e diversificadas com ativos individuais. Aqui
reside a contribuição incremental do trabalho, bem como a verificação do pressuposto de
normalidade, ou o possível uso de outra distribuição de probabilidade para a estimativa do
VaR.
3. Teste De Aderência De Kolmogorov-Smirnov
O teste de Kolmogorov-Smirnov é um teste não-paramétrico, ou seja, não necessita a
admissão de normalidade e nível intervalar de mensuração requisitos. Sendo assim, a melhor
escolha dados os objetivos do presente trabalho (DEGROOT & SCHERVISH, 2002).
O procedimento básico para o teste procura especificar a distribuição de freqüência
acumulada que ocorreria sob a distribuição teórica, e compara-la com a distribuição de
freqüência acumulada observada. Sendo que a distribuição teórica representa o que se poderia
observar sob H0. Assim, determina-se o ponto em que essas duas distribuições possuem a
maior divergência, a qual chamará Dmax. A referencia à distribuição amostral indica se essa
diferencia máxima pode ser atribuída ao acaso. Isto é, a distribuição amostral indica se uma
divergência de tal magnitude teria probabilidade de ocorrer se as observações constituíssem
realmente uma mostra aleatória da distribuição teórica (SIEGEL, 1975).
FIGURA 2 15/01/2007.
Fonte: http://members.cox.net/srice1/random/code.html (modificado pelo autor). Acesso em:
Portanto será efetuado o seguinte teste de hipóteses:
H0 : F(x) = F0(x)
H1 : F(x)  F0(x)
Sendo F(x) a distribuição acumulada de x, F0(x) uma distribuição de freqüência acumulada
teórica sob H0, e seja SN(x) a distribuição de freqüência acumulada de uma amostra aleatória
de N observações, quando x é qualquer escore possível, SN(x) =k/N, onde k é o número de
observações não superiores a x.
4
Assim, sob a hipótese nula, espera-se que as diferenças entre F0(x) e SN(X) sejam pequenas e
estejam dentro dos limites aleatórios. Esse desvio máximo (Dmax) é dado pela maior diferença
em valor absoluto, como pode ser observado abaixo:
D = máximo | F0 ( X )  S N ( X ) |
Mediante a tabela de valores críticos, irá se determinar à probabilidade (bilateral) associada à
ocorrência, sob H0, de valores tão grandes quanto o valor observado de D.
Para amostras maiores que 35 observações (N>35), como de fato ocorreu no presente
trabalho, utilizam-se os valores críticos abaixo (SIEGEL, 1973):
Para   0,10  Dcrítico 
1,22
N
Para   0,05  Dcrítico 
1,36
N
Para   0,01  Dcrítico 
0,63
N
Se | Dcalculado | Dcritico, | , rejeitamos H0, concluindo que a amostra tem distribuição diferente
da distribuição teórica testada.
4. Metodo
Para o experimento, foi coletada a cotação diária do índice IBOVESPA e de ações de 15
empresas individuais de capital aberto, selecionadas durante todos os dias de operação da
Bolsa de valores de São Paulo no decorrer do ano de 2005. Tal ano foi escolhido por refletir
um ambiente de relativa estabilidade econômica, propiciando melhores condições para a
comparação da eficiência do pressuposto de normalidade para ativos e grandes carteiras.
Os dados foram coletados a partir de fontes como CVM, BOVESPA, INFOINVEST® e dos
próprios sites das empresas testadas. Os cálculos do valor em risco foram realizados ao nível
de confiança de 5% a partir de uma rotina desenvolvida em MATLAB 7®.
A escolha do índice IBOVESPA, advém do fato que as ações que compõem a carteira teórica
do IBOVESPA correspondem a 80% do número de negócios e do volume financeiro do
mercado à vista da BOVESPA (ASSAF NETO, 1998). Nesse sentido, utiliza-se uma carteira
extremamente grande e diversificada para colocar à prova o pressuposto de normalidade.
As variações encontradas entre os dias representam os vários retornos diários (não foram
considerados outros pagamentos como dividendos e bonificações) dos ativos e do
IBOVESPA. Os retornos diários são calculados pela seguinte expressão:
R
vf  vi
Equação I
vi
Onde R é o retorno, vi é o valor no dia T, e vf é o valor no dia T+1. Com isso, é obtido o
retorno diário da carteira em variação percentual. Já para as distribuições que não admitem
valores negativos em seus domínios, usou-se a expressão acima em termos de logaritmos, o
que mantém a proporcionalidade percentual, mas somente com valores positivos. Tal
expressão será:
5
Rp  e R
Equação II
Onde Rp são os retornos em termos logarítmicos, e R é a Equação I. Nesse caso o VaR
percentual será obtido pelo logaritmo natural de Rp (Equação II).
A partir disso, será montada uma distribuição de probabilidade acumulada empírica da
carteira do IBOVESPA e das ações das empresas em questão para representar os respectivos
retornos; tal distribuição empírica será comparada com diversas distribuições teóricas, tal qual
é feito na FIGURA 3.
1
0.9
fda Empírica
fda Normal
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
FIGURA 3 - Este gráfico foi confeccionado em MATLAB® utilizando-se o estimador de Kaplan-Meyer (COX,
D.R., AND OAKES, D., 1984).
Com estes dados será conduzido um teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra, que é
uma prova de aderência. Isto é, diz respeito ao grau de concordância entre a distribuição de
um conjunto de valores amostrais (observados) e determinada distribuição teórica específica
(SIEGEL, 1975).
O teste foi realizado tanto para os retornos do índice IBOVESPA quanto para as ações das 15
empresas individuais; e foram verificadas aderências para as seguintes distribuições de
probabilidade teóricas: Cauchy, Exponencial, Normal, Lognormal, Logística, Gama, Gumbel
(valores extremos com cauda esquerda mais pesada), Pareto, Rayleigh e Weibull.
5. Testes E Resultados Obtidos
Ao realizar os testes de aderência, muitos ativos aceitavam mais de uma distribuição de
probalilidade, apesar de obterem distintos p-valores. Asssim, a rotina desenvolvida em
MATLAB® resultava em um gráfico de aderência e uma tabela para cada cada distribuição
não rejeitada no teste de Kolmogrov-Smirnov. Portanto, obteve-se para o IBOVESPA, por
exemplo, nas TABELA 1; TABELA 2 e FIGURA 4; FIGURA 5.
6
IBOVESPA - Teste de Kolmogorov-Smirnov
Distribuição: Normal
D i s t r i b u i ç ã o d e P r o b a b i l i d a d e A c u m u l a d a d o ín d i c e IB O V E
1
Valor encontrado
Valor Crítico
Aceita a hipótese nula?
P
VaR
0,0377
0,0855
Sim
0,8670
-0,0246
fd a E m p ír i c a
fd a N o r m a l
0 .9
0 .8
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
TABELA 1 – Informações sobre o teste de aderencia de Kolmogorov-Smirnov para Distribuição Normal
0 .3
Distribuição de Probabilidade Acumulada do índice IBOVESPA
0 .2
1
0 .1
fda Empírica
fda Normal
0.9
0
-0 . 0 5
-0 . 0 4
-0 . 0 3
-0 . 0 2
-0 . 0 1
0.8
0
R e t o rn o
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
Retorno
0.02
0.03
0.04
0.05
FIGURA 4 - Grafico de Aderência para distribuição normal (Gráfico confeccionado em MATLAB®).
IBOVESPA - Teste de Kolmogorov-Smirnov
Distribuição: Valores Extremos
D i s t r i b u i ç ã o d e P r o b a b i l i d a d e A c u m u l a d a d o ín d i c e IB O V E
1
Valor encontrado:
Valor Crítico
Aceita
P
VaR
0,0623
0,0855
Sim
0,2825
-0,0351
fd a E m p ír i c a
fd a N o r m a l
0 .9
0 .8
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
TABELA 2 – Informações sobre o teste de aderencia de Kolmogorov-Smirnov para Distribuição de Valores
0 .3
Extremos
0 .2
0 .1
0
-0 . 0 5
-0 . 0 4
-0 . 0 3
-0 . 0 2
-0 . 0 1
0
R e t o rn o
0 .0 1
7
0 .0 2
0 .0 3
Teste de Kolmogorov-Smirnov para distribuição de valores extremos
1
fda Empírica
fda Extremevalue
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
Retorno
0.02
0.03
0.04
0.05
FIGURA 5 – Gráfico de aderência para distribuição de valores extremos (Gráfico confeccionado em
MATLAB®).
Desse modo, é notável que para cada ativo a rotina desenvolvida poderia gerar mais de um
gráfico e uma tabela, fazendo com que para 15 ativos individuais mais o índice IBOVESPA,
serem testadas 10 distribuições resultou em uma grande quantidade de informações que serão
descritas de forma sussinta a seguir.
Adiciona-se ainda que as TABELAS 1 e 2 apresentam uma informação indicada por “P”, a
qual descreve a probabilidade da variável testada pertencer à distribuição teórica em questão.
Portanto, quanto mais próximo da unidade for “P”, maior a chance do ativo testado pertencer
a distribuição téorica proposta.
Assim, dentre as cinco empresas de grande porte testadas, apenas duas empresas (Petrobrás e
Usiminas) tiveram aderência maior do que 80% para a distribuição normal. Tais firmas
também tiveram resultado positivo quando se testou outras distribuições, contudo, sua
probabilidade foi baixíssima.
Quanto às outras três empresas, obteve-se resultados mais inesperados para firmas desse
porte: o ativo do Banco Brasileiro de Descontos (Bradesco) teve uma aderência com
probabilidade normal de aproximadamente 60% e foi o melhor resultado encontrado. O ativo
da Vale do Rio Doce apresentou probabilidade normal de aproximadamente 33%, e
probabilidade gama de cerca de 30%. E por fim, de longe o pior resultado, apesar das baixas
probabilidades, não foi possível rejeitar pelo teste de Kolmogorov-Smirnov as hipóteses de
distribuição normal e gama do ativo, com as respectivas probabilidades de 13% e 12%.
Quanto às empresas de médio porte, o melhor resultado foi o Votorantin papel e celulose com
probabilidade de ser normal de quase 98%, seguido da Braskem com valores de P da ordem
de 83,06% para normal e 83,86% para a gama. Para o ativo do grupo Ipiranga, encontramos
uma aderência gama melhor do que a normal com as probabilidades de 67% para normal e
71% para a distribuição gama. Isso também ocorreu com probabilidades muito próximas para
8
o ativo da Embraer. No caso da Brasil Telecom encontramos baixas probabilidades normal
(cerca de 15%) e gama (13%).
Finalmente, com relação às empresas de pequeno porte, o ativo da Sadia que apresentou
probabilidade normal e gama de respectivamente 32% e 30%, resultado próximo ao obtido
com a Comgas com respectivos 29% e 26%. A Telemig Celular obteve probabilidade normal
e gama de 37% e 33% respectivamente. Os melhores resultados obtidos foram o da Contax
com probabilidade de 60% para distribuição normal, 56% para gama, de 26% para
distribuição de valores extremos (Gumbel), e de 26% para a distribuição de weibull; seguido
pelos resultados obtidos com a Acesita da ordem de 49,5% para normal e 51,6% para
distribuição gama.
Na amostra analisada, em todos os 15 ativos, juntamente com o índice IBOVESPA, houve
rejeição das distribuições Cauchy, Logística e Pareto; diferentemente das outras distribuições
testadas, onde algumas vezes não puderam ser rejeitadas, mesmo com probabilidade baixa.
Contudo, é observável que houve uma grande predominância das distribuições normal e gama
com probabilidade e valores em risco muito próximos.
6. Provisão dos Bancos: Exemplo de aplicação
Para exemplificar o cálculo do VaR com aderência probabilística, pode-se utilizar o exemplo
do valor em risco paramétrico calculado para o ativo da EMBRAER (EMBR3), no qual para a
distribuição normal foi obtido um valor P = 0,6673 e um VaR de (0,0375); já para a
distribuição gama, encontrou-se um valor P = 0,7089 e um VaR de (0,0376). Portanto, a
distribuição gama apresentou uma melhor probabilidade de aderência para esse ativo.
Contudo, dada um lote de 1000 ações, com um preço de 15,21 reais por ação (por
conveniência, o preço médio do ativo em 2005), obtém-se o valor total da posição de
15.210,00 reais. Desta forma, o valor em risco da posição considerando-se uma distribuição
normal será de 570,357 reais; enquanto o VaR para a distribuição gama (a qual demonstrou
melhor aderência) será de 571,896 reais.
Tal diferença no cálculo do VaR ocorreu também com outros ativos como Braskem
(BRKM5), onde para a distribuição normal observou-se aderência de 0,8306 e VaR
correspondente a 0,04470; já para a gama, a aderência foi de 0,8389 e o VaR igual a 0,04489.
Aqui, para uma posição de 2.300.000,00 (100000 ações cotadas a 23 reais cada), observa-se
um VaR de 102.810,00 reais para a distribuição normal, e um VaR de 103.247,00 para a
distribuição gama, totalizando uma diferença de 437,00 reais.
Novamente, tal qual ocorrera na grande maioria dos ativos testados, houve pequena diferença
na aderência gama em relação à normal, e na maioria dos casos observados, a diferença no
VaR percentual ocorria na terceira ou quarta casa decimal, o que nos retornava valores em
risco muito próximos mesmo usando diferentes distribuições de probabilidade.
7. Conclusões
Espera-se a priori que carteiras com muitos ativos fossem mais propensas a apresentar
normalidade do que ativos individuais. Contudo em termos da aplicação do VaR paramético,
tal expectativa mostrou-se erronea.
Os resultados descritos demosntram que tanto para ativos individuais quanto para carteiras de
grande porte, o pressuposto simplificador de normalidade mostra-se extremamente aplicável,
visto que as diferênças na provisão dos bancos (medida pelo VaR) era mínima quando usada
uma distribuição com aderência ligeiramente melhor.
9
Tal fora demosntrado no exemplo do ativo BRKM5, que em uma posição de 2.300.000,00, a
diferênça no VaR normal para o VaR gama foi de 437 reais, a utilização de outra distribuição
mostra-se inviável em termos operacionais e computacionais.
Observaram-se casos em que ativos individuais grandes tiveram boa aderência normal
(Usiminas), e outros em que a aderência desse mesmo tipo de ativo foi muito ruim (AMBEV)
Contudo, nos casos onde a aderência da distribuição normal, não foi possível encontrar outra
distribuição que se saisse melhor.
É interessante salientar também que os dados de ativos diferentes países pode explicar a
variedade de resultados de distribuições consideradas adequadas nos mais diversos estudos.
Assim sendo, os resultados escontrados no presente estudo podem aparentam ser válidos para
a realidade brasileira; contudo, podem ser não extrapoláveis para a outras conjunturas.
Estudos futuros podem fazer uso de outros testes de aderência, no sentido de verificar se
existem diferenças significativas entre os resultados obtidos com o teste de KolmogorovSmirnov e testes alternativos.
Os resultados demonstrados são válidos para uma ambiente de estabilidade econômica, e
assim sendo, tais colclusões acerca da aplicabilidade do pressuposto de normalidade se
mostrar eficiente tanto para ativos individuais quanto para grandes portfólios pode não ser
aplicável num contexto de instabilidade e irracionalidade. Nesses termos, trabalhos futuros
poderiam explorar tal questão por meio da comparação da eficiência do pressuposto de
normalidade para ativos individuais e grandes carteiras tanto em épocas de crise quanto em
períodos de estabilidade econômica.
Embora várias distribuições tenham sido testadas, existem ainda muitas outras, e obviamente,
este trabalho não esgota a busca das distribuições, especialmente para aqueles ativos que não
obtiveram expressiva aderência à distribuição normal. Porém, os testes realizados até o
presente momento corroboram para o fato de que o pressuposto de normalidade é aplicável
não só em ativos grandes e diversificados, mas também para os retornos de muitos ativos
individuais.
Referências:
ASSAF NETO, A., Mercado Financeiro e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
BALI, T. G., An Extreme Value Approach to Estimating Volatility and Value at Risk. The Journal of Business,
Vol. 76, No. 1, 2003, pp. 83-108.
BHATTACHARYYA, M., CHAUDHARY A., YADAV G., Conditional VaR estimation using Pearson’s type
IV distribution, European Journal of Operational Research 191, 2008, pp. 386–397.
COX, D.R., OAKES D., Analysis of Survival Data, Chapman & Hall, London, 1984.
DANIELSSON J., DE VRIES G. C., Value-at-Risk and Extreme Returns Author(s): Source: Annales
d'Économie et de Statistique, No. 60, Microstructure des marchés financiers / Financial Market Microstructure,
2000, pp. 239-270.
DeGROOT, M. H., SCHERVISH, M. J., Probability and Statistics. 3rd Edition. Addison Wesley, 2002.
GUJARATI, D. N., Econometria Básica. 3.ed. São Paulo : Makron books, 2000.
JORION, P., Value at Risk: the new benchmark for controlling derivatives risk. New York: McGraw Hill, 1997.
KLEIBER, C., & KOTZ, S., Statistical size distributions in economics and actuarial sciences, Wiley series in
probability and statistics. Hoboken, New Jersey, 2003
10
RAMANATHAN, R., Statistical Methods in Econometrics. San Diego: Academic Press, 1993.
SIEGEL, S., Estatística não-paramétrica. Rio de Janeiro: Editora McGraw-Hill, 1975.
SOUZA, L. A. R., Valor em Risco em Épocas de Crise. Mimeo, tese de mestrado. São Paulo: FEA/USP, 1999.
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