1. Introdução
1.1. Métodos Empíricos e Analíticos
O objetivo final da engenharia e, em particular, dos engenheiros de controle é projetar e
construir sistemas físicos que executem determinadas tarefas. Por exemplo, um engenheiro
pode ser solicitado a projetar e instalar um sistema para controle da temperatura e umidade de
um grande ambiente. Este é um problema antigo na engenharia e muita informação importante
já foi obtida. Se após a instalação, o sistema se mostra insuficientemente potente, ele pode ser
substituído por um mais poderoso. Este procedimento, que se baseia na experiência passada e
na experimentação repetida, é chamado de método empírico. Embora o método empírico se
baseie na tentativa e erro, ele tem sido usado com sucesso no projeto de muitos sistemas
físicos.
O método empírico é inadequado se não existe uma experiência passada que possa ser
trabalhada ou se a experimentação não é possível devido ao alto custo ou risco. Por exemplo,
a tarefa de enviar astronautas a lua e traze-los de volta com segurança não pode ser
executada pelo método empírico. Em um caso deste tipo, o método analítico torna-se
indispensável.
O método analítico consiste, geralmente, de quatro passos: modelagem, montagem das
equações matemáticas, análise e projeto. Os dois primeiros passos estão fortemente
relacionados. Se usarmos uma matemática simples, o modelo escolhido deverá ser
correspondentemente simples. Se usarmos uma matemática mais sofisticada, o modelo será
mais complexo e realista. A modelagem é o passo mais crítico no projeto analítico. Se um
sistema físico for modelado incorretamente, os estudos subseqüentes não terão utilidade
alguma. Uma vez escolhido um modelo, o restante do projeto analítico é essencialmente um
problema matemático.
A experimentação repetida é indispensável no método empírico. Ela também é importante no
método analítico. No passado, os experimentos precisam ser executados usando dispositivos
físicos, o que pode tornar-se caro e perigoso, mais tarde, contudo, os experimentos podem ser
executados usando modelos ou equações matemáticas. Muitos software de auxílio a projeto de
sistemas de controle estão disponíveis atualmente. Podemos usar vários deles para simular as
equações em um computador digital, executar o projeto, e testar os resultados no próprio
computador. Se o resultado não for satisfatório, é só repetir o projeto. Somente após um
projeto ter resultados satisfatórios é que partimos para a implementação utilizando dispositivos
físicos.
Se o modelo for adequadamente escolhido, o desempenho do sistema implementado deverá
assemelhar-se ao desempenho previsto pelo projeto analítico ou pela simulação no
computador. Contudo, devido às inevitáveis imprecisões na modelagem, existirão
discrepâncias entre o desempenho do sistema físico implementado e aquele previsto pelo
método analítico. Por esta razão, o desempenho de sistemas físicos pode frequentemente ser
melhorado através de ajustes mais finos. Este é o motivo pelo qual um sistema físico
frequentemente requer um período grande de testes após ele ter sido implementado, e antes
dele ser colocado para operação real ou para produção em massa. Neste sentido, a
experiência também é importante no método analítico.
No procedimento analítico, a experimentação é necessária para a construção de modelos, e a
experiência é necessária (devido à imprecisão da modelagem) para melhorar o desempenho
dos sistemas físicos reais. Desta forma, a experiência e a experimentação são ambas usadas
nos métodos empíricos e analíticos. A principal diferença entre esses dois métodos é que no
último nós ganhamos, através da modelagem, entendimento e uma visão interna da estrutura
dos sistemas. O método analítico também provê procedimentos sistemáticos para o projeto de
sistemas e reduz a probabilidade de se projetar sistemas defeituosos.
1.2. Sistemas de Controle
Como o objetivo deste estudo é a análise e projeto de sistemas de controle, vejamos alguns
exemplos desses sistemas.
1.2.1. Sistemas de Controle de Posição
A antena de satélite no quintal ou no telhado de uma casa tem se tornado comum nestes anos.
É uma antena que deve ficar apontada para um satélite que está estacionário em relação a
terra e é usado na transmissão de sinais de televisão. Para aumentar o número de canais de
televisão, a antena pode ser projetada de tal modo que ela possa ser apontada para diferentes
satélites.
Um arranjo possível para um sistema desse tipo é mostrado na Figura 1.1(a). Este sistema
pode ser projetado fazendo uso do método empírico. Se o método escolhido for o analítico,
precisamos antes desenvolver um modelo para o sistema, como mostrado na Figura 1.1(b).
Antena
Potenciometro
Amplificador
Circuito de potência
do Motor
Motor e carga
Potenciometro
Potenciometro
Figura 1.1 – Sistema de Controle de Posição
Existem outros tipos de sistemas de controle de posição. Considere a planta de energia nuclear
simplificada mostrada na Figura 1.4.
Figura 1.4 – Planta de Energia Nuclear
A intensidade da reação dentro do reator (e, consequentemente, a quantidade de calor
gerado), é controlada pela posição vertical da vareta. Quanto mais fundo a vareta estiver, mais
calor o reator irá gerar. Existem muitos outros sistemas de controle na planta de energia
nuclear. A manutenção do nível de água da caldeira e a manutenção ou regulação da tensão
gerada em um valor fixo de tensão são todos sistemas de controle.
1.2.2. Sistemas de Controle de Velocidade
O controle da velocidade de uma fita em gravadores de vídeo ou de áudio é importante para
manter a qualidade de saída. O problema torna-se complicado porque a carga do motor varia á
medida em que o carretel vai ficando mais vazio. Um possível sistema de controle é mostrado
na Figura 1.6(a).
Tacômetro
Motor dc
Potenciômetro
Sinal de referência
Amplificador Diferencial
Motor e carga
Velocidade real
Velocidade desejada
Potenciômetro
Tacômetro
Figura 1.6 – Sistema de Controle de Velocidade
Este sistema pode realmente ser projetado usando o método empírico. Se for projetado pelo
método analítico, nós precisamos desenvolver um modelo como mostrado na Figura 1.6(b).
Problemas de controle de velocidade também surgem em um grande número de aplicações
industriais. A velocidade de uma esteira em uma linha de produção precisa também ser
precisamente controlada. A velocidade do rotor do gerador na Figura 1.4 precisa ser mantida
constante para que a tensão gerada também seja constante. Controle de velocidade é
realmente necessária em uma grande faixa de aplicações.
1.2.3. Sistemas de Controle de Temperatura
Vamos discutir agora um tipo diferente de controle. Considere o controle de temperatura da
câmara mostrada na Figura 1.7(a). Este problema, que surge no controle de temperatura de
um forno, de um refrigerador ou de uma casa, pode certamente ser implementado usando-se o
método empírico. Se for escolhido o método analítico, novamente precisaremos desenvolver
um modelo como mostrado na Figura 1.7(b). Podemos então usar o modelo para executar a
análise e o projeto.
Potenciômetro
Amplificador
Termoacoplador
Temperatura
desejada
Temperatura real
Fonte de alimentação
Dispositivo de controle
Relé
Câmara
Potenciômetro
Termoacoplador e amplificador
Figura 1.7 – Sistema de Controle de Temperatura
Controle de temperatura também é importante em processos químicos. A taxa de reações
químicas depende frequentemente da temperatura. Se a temperatura não for controlada
apropriadamente, todo o produto pode tornar-se inútil. Nos processos industriais, controle de
temperatura, pressão e de fluxo são largamente usados.
1.2.4. Controle de Trajetória e Piloto-Automático
A aterrissagem de um ônibus espacial em uma pista de pouso é um problema de controle
complicado. A trajetória desejada é calculada primeiro como mostrado na Figura 1.8.
Ônibus
Sensores
Pista
Figura 1.8 – Trajetória desejada na aterrissagem do ônibus espacial
A tarefa agora é fazer o ônibus espacial seguir a trajetória desejada o mais próximo possível. A
estrutura de um ônibus espacial é menos estável do que a de um avião, e a sua velocidade de
aterrissagem não pode ser controlada. Portanto, a aterrissagem de um ônibus espacial é
consideravelmente mais complicada do que a de um avião. A aterrissagem é executada com
sucesso pois conta com o auxílio de computadores e altímetros, e também com sensores
colocados no solo, como mostrado na Figura 1.8. Na realidade, ela pode ser executada
automaticamente, sem a interferência de astronautas. Isto é possível por causa do piloto
automático. O piloto automático é agora amplamente usado por aviões e navios para manter
uma altitude e/ou um rumo conforme previsto.
1.2.5. Outros exemplos
Vamos observar outros dois exemplos de sistemas de controle para concluir esta seção.
Considere a caixa de descarga de um banheiro mostrada na Figura 1.9(a).
Bóia
Água
Água
Nível de
água
desejado
Nível de
água
Controlador:
Bóia
Válvula
Tanque
de água
Figura 1.9 – Caixa de Descarga de Banheiro
O mecanismo é projetado para fechar a válvula automaticamente quando o nível de água
atinge uma altura especificada. Um diagrama em blocos do sistema é mostrado na Figura
1.9(b). A bóia transforma a informação de nível de água em posição da válvula. Este é um
sistema de controle muito simples. Uma vez entendido o mecanismo de controle da válvula, o
nível de água pode ser facilmente controlado através de um método de tentativa e erro.
Como um exemplo final, vejamos um diagrama de controle de secadores de roupas mostrado
na Figura 1.10. Existem dois tipos de secadores de roupas – manual e automático. Em um
secador de roupas manual, dependendo da quantidade de roupas e dependendo da
experiência, ajustamos o temporizador para, por exemplo, 40 minutos. Ao término dos 40
minutos, este secador desligará automaticamente mesmo que as roupas ainda estejam
úmidas. O diagrama esquemático para esse processo é mostrado na Figura 1.10(a). Já no
caso de um secador automático, selecionamos um grau desejado de secura, e o secador
automaticamente desliga quando as roupas atingem o grau de secura escolhido. Se a carga é
pequena, isto tomará menos tempo; se a carga é grande, isto tomará mais tempo. A
quantidade de tempo necessária é automaticamente determinada pelo tipo de secador. Seu
diagrama em blocos é mostrado na Figura 1.10(b). Pode ser ver claramente que o secador
automático é mais conveniente do que um manual, mas também é mais caro. Contudo, ao
utilizar um secador manual, podemos gastar mais tempo do que o necessário e,
consequentemente, gastar mais energia do que o necessário. Por esta razão, se
considerarmos a energia poupada, um secador automático pode ser tornar mais econômico.
Eletricidade
Secura
desejada
Temporizador
Relé
Secura
real
Secador
Experiência
Secura
real
Secura
desejada
Transdutor
Comparador
Secador
Relé
Sensor
Figura 1.10 – (a) Secador Manual
(b) Secador Automático
1.3. Formulação do Problema e Terminologia Básica
Baseado nos exemplos anteriores, podemos deduzir que um sistema de controle é uma
interconexão de componentes ou dispositivos construídos de modo que a saída do sistema
deverá seguir, o mais próximo possível, um sinal desejado. Existem várias razões para se
projetar sistemas de controle:
1. Controle Automático: A temperatura de uma casa pode ser mantida automaticamente
bastando para isso que ajustemos previamente um temperatura desejada. Este é um
sistema de controle automático. Sistemas de controle automático são amplamente
utilizados e são essenciais na automação de indústrias e fábricas.
2. Controle Remoto: A qualidade de recepção de uma canal de TV pode ser melhorado se
apontarmos melhor a antena na direção da estação transmissora dos sinais de TV. Se
a antena estiver montada em um telhado, fica impraticável ajustar sua direção usando
somente as mãos. Se instalarmos um rotor na antena, poderemos controlar sua
direção remotamente bastando para isso girar um botão em um controle remoto
quando estivermos tranquilamente sentados em frente à TV.
3. Amplificação de Potência: As antenas usadas para receber sinais enviados pela
Voyager 2 têm diâmetros de aproximadamente 70 metros e pesos de várias toneladas.
Portanto, é impossível girar essas antenas usando somente as mãos. Contudo, usando
sistemas de controle, podemos controlar suas direções através de giros em botões de
controles remotos ou através de comandos teclados diretamente em computadores. Os
sistemas de controles irão, então, gerar potência suficiente para girar as antenas.
Portanto, a amplificação de potência está implícita em muitos sistemas de controle.
Concluindo, sistemas de controle são amplamente usados na prática porque eles podem ser
projetados para se obter controle automático, controle remoto, e amplificação de potência.
Nós agora podemos formular o problema de controle da seguinte forma: Considere o problema
de controle de posição da Figura 1.1, onde o objetivo principal é controlar a direção da antena.
O primeiro passo é escolher um motor para girar a antena. O motor é chamado de atuador. A
combinação do objeto a ser controlado e do atuador é chamado de planta. Em um sistema de
aquecimento domiciliar, o ar no interior da casa é o objeto controlado e o aquecedor é o
atuador. Um ônibus espacial é um objeto controlado; seus atuadores são os propulsores. A
entrada da planta, denotada por u(t), é chamada de sinal de controle ou sinal atuante; a saída
da planta, denotada por y(t), é chamada de variável controlada ou saída da planta. O problema
é projetar um sistema de controle como mostrado na Figura 1.11, onde a saída da planta
deverá seguir, o mais próximo possível, um sinal de referência ou sinal desejado, denotado por
r(t). Todos os exemplos da seção anterior podem ser assim formulados.
Objeto a
Controlar
Atuador
Sinal de
Referência
Sinal
Atuante
Saída da
Planta
Planta
Figura 1.11 – Problema do Projeto de um Controle
Existem basicamente dois tipos de sistemas de controle: o sistema em malha-aberta e o
sistema em malha-fechada ou sistema realimentado. Em um sistema em malha-aberta, o sinal
atuante é predeterminado pelo sinal de referência ou sinal desejado; ele independe da saída
real da planta. Por exemplo, baseado na experiência, podemos ajustar o temporizador do
secador mostrado na Figura 1.10(a). Quando o tempo ajustado expirar, o secador se desligará
mesmo se as roupas ainda estiverem úmidas. Este é um sistema em malha-aberta. O sinal
atuante de um sistema malha-aberta pode ser expressado por
u (t ) = f (r (t ))
Onde f é alguma função. Agora, se o sinal atuante depende da entrada de referência e da
saída da planta, ou se ele pode ser expresso como
u (t ) = h(r (t ), y (t ))
Onde h é alguma função, então o sistema é um sistema em malha-fechada ou sistema
realimentado. Todos os sistemas da seção anterior, com exceção do sistema mostrado na
Figura 1.10(a), são sistemas realimentados. Em todo sistema realimentado, a saída da planta
precisa ser medida e usada para gerar o sinal atuante. A saída da planta pode ser um sinal de
posição, velocidade, temperatura, ou alguma coisa mais. Em muitas aplicações, essa saída é
convertida para um sinal de tensão e comparada com um sinal de referencia, como mostrado
na Figura 1.12.
Sinal
Atuante
Sinal de
Referência
Potenciômetro
Comparador
Controlador
Saída da
Planta
Planta
Sensor
Figura 1.12 – Sistema de Controle Realimentado
Nessas transformações, os sensores ou transdutores são imprescindíveis. O resultado da
comparação é usada, então, como entrada para um compensador ou controlador. A saída do
controlador produz um sinal atuante. Se o controlador é bem projetado, o sinal atuante irá atuar
na planta fazendo com que ela siga o sinal desejado.
Além dos problemas de engenharia discutidos na seção anterior, um grande número de outros
tipos de sistemas também podem ser considerados como sistemas de controle. Nosso corpo é,
na realidade, um sistema de controle realimentado muito complexo. A manutenção da
temperatura do nosso corpo em 37º Celsius requer transpiração no verão e contração dos
vasos sanguíneos no inverno. Manter um automóvel em uma pista (saída da planta) é um
sistema de controle realimentado: nosso olhos sentem a estrada (sinal de referência), nós
somos o controlador, e a planta é o automóvel junto com seu motor e sistema de direção. Um
sistema econômico é um sistema de controle. Sua saúde é medida pelo produto nacional bruto
(GNP), taxa de desemprego, salário médio, e taxa de inflação. Se a taxa de inflação é muito
alta ou a taxa de desemprego não é aceitável, a política econômica precisa ser modificada. Isto
é conseguido pela mudança da política monetária e contenção de gastos públicos, além de
outros remédios. O sistema econômico tem um grande número de fatores inter-relacionados
cujas relações de causa-e-efeito não são exatamente conhecidos. Além disso, existem muitas
incertezas tais como o gasto dos consumidores, disputas judiciais ou crises internacionais.
Portanto, um sistema econômico é um sistema muito complexo. Nós não pretendemos resolver
todos os problemas de controle; vamos nos preocupar somente com uma classe muito limitada
de problemas de controle.
1.4. Escopo do Texto
Este texto trata da análise e projeto de sistemas de controle. Por ser um estudo introdutório,
vamos estudar somente uma classe especial de sistemas de controle. Todo sistema, em
particular, todo sistema de controle, é classificado dicotomicamente como linear ou não-linear,
invariante no tempo ou variante no tempo, concentrado ou distribuído, contínuo no tempo ou
discreto, determinístico ou estocástico, monovariável ou multivariável. De forma geral, um
sistema é linear se ele satisfaz aos princípios da superposição e da homogeneidade, ele é
invariante no tempo se suas características não mudam com o tempo, e concentrado se ele
tem um número finito de variáveis de estado ou um número finito de condições iniciais que
resumam o efeito das entradas no passado na saída futura. Um sistema é contínuo se suas
respostas são definidas para todos os instantes de tempo, e é discreto se suas respostas são
definidas somente em instantes discretos de tempo. Um sistema é determinístico se sua
descrição matemática não envolve probabilidade. Ele é chamado um sistema monovariável se
ele tem somente uma entrada e somente uma saída; de outra forma, ele é chamada de sistema
multivariável. Neste estudo vamos nos concentrar somente em sistemas lineares, invariantes
no tempo, concentrados, determinísticos e monovariáveis. Embora esta classe de sistemas de
controle seja muito limitada, ele é a mais importante. Seu estudo é um pré-requisito para o
estudo de sistemas mais gerais. Estudaremos ambos os casos, contínuo e discreto.