Mecânica Clássica
Licenciaturas em Física (Educacional) e Química (Educacional)
2006-2007
Folha 3
Sistemas de partículas: Conservação da quantidade de movimento;
Sistemas de massa variável.
Referenciais não inerciais.
1 - Um cão de massa igual a 4,5 kg encontra-se em cima de um barco de massa igual a
18 kg, no extremo do barco mais afastado da margem. A distância do cão à margem é
igual a 6,1 m. O cão anda 2,4 m em cima do barco, aproximando-se da margem e pára.
Assumindo que é desprezável o atrito entre a superfície do barco e a água, a que
distância da margem fica o cão, no final do seu movimento? R: 4,2 m.
2 – Um vagão de massa M pode rolar sem atrito em cima de um trilho horizontal.
Inicialmente, um homem de massa m está parado em cima do vagão, deslocando-se este
com velocidade v 0 para a direita. Qual a alteração na velocidade do vagão, se o homem
começar a correr com velocidade v rel, relativamente ao vagão, para a esquerda?
m
R: v vagão = v0 +
v rel
M
3 – Um foguetão é constituído por duas partes, uma de carga com massa igual a 150 kg
e a unidade principal com massa igual a 290 kg. O conjunto viaja a uma velocidade de
7600 m/s, quando é separado por acção de uma mola comprimida. A velocidade relativa
das duas partes logo após a separação é igual a 910 m/s.
a) Determine a velocidade de cada uma das componentes logo após a separação.
b) Considere que as velocidades são todas ao longo da mesma direcção. Determine a
energia cinética do conjunto, antes e depois da separação. Comente as diferenças.
R: a) 7000 m/s e 7910 m/s b) 1,271x1010 J e 1,275x1010 J
4 – Uma massa em repouso explode, dando origem a três pedaços. Dois pedaços com
massas iguais deslocam-se perpendicularmente um ao outro, ambos com velocidade de
módulo igual a 30 m/s. O terceiro pedaço tem massa tripla dos restantes. Caracterize o
vector velocidade deste pedaço após a explosão.
R: 14 m/s, 135º com a direcção dos outros pedaços.
5 – Uma nave espacial de massa igual a 6090 kg move-se no espaço em direcção a
Júpiter, afastando-se do Sol a uma velocidade de módulo igual a 105 ms-1 , relativamente
ao Sol. Em determinado momento, o motor da nave dispara, ejectando 80 kg de material
de combustão a uma velocidade de 253 ms -1 , relativamente à nave. Qual a velocidade
final da nave em relação ao Sol? R: 108,3 ms-1
6 – Um foguetão afasta-se do sistema solar a uma velocidade de 6,0×103 ms-1 . Num
determinado instante, o motor dispara, havendo ejecção de materiais da combustão a
uma velocidade de 3,0×103 ms-1 relativamente ao foguetão. Nesse instante, a massa do
foguetão é igual a 4,0×104 kg e a aceleração adquirida é igual a 2 ms-2 . A que taxa, em
kg/s, são os materiais de combustão ejectados durante essa propulsão? R: 26,6 kg/s.
7 – Considere um foguetão no espaço interestelar e em repouso relativamente a um
referencial inercial. A massa total do foguetão é igual a 2,55×105 kg, dos quais
1,81×105 kg são de combustível. O motor do foguetão é colocado a trabalhar durante
250 s, durante os quais parte do combustível é consumido a uma taxa de 480 kg/s. A
velocidade dos materiais de combustão relativamente ao foguetão é igual a 3,27 km/s.
a) Qual a aceleração inicial do foguetão?
b) Após os 250 s de funcionamento do motor, qual a massa e a velocidade do foguetão?
R: a) 6,2 ms-2 ; b) 1,35×105 kg e 2,08 km/s
8 – Um vagão desloca-se à velocidade constante de 3,20 m/s num silo para
armazenagem de cereais. Sabendo que o cereal vai caindo sobre o vagão a uma taxa
constante de 540 kg/min, qual o valor da força necessária para manter o vagão em
movimento com a mesma velocidade, considerando o atrito entre o vagão e os trilhos
sobre os quais se desloca desprezável? R: 28,8 N.
9 – Na figura, duas longas barcas deslocam-se no
mesmo sentido em água parada, uma com
velocidade de 10 km/h e outra com velocidade de
20 km/h. Considera-se desprezável o atrito entre
as barcas e a água. Enquanto passam uma pela
outra, é despejado carvão da barca mais lenta para
a mais rápida a uma taxa de 1000 kg/min. Se se
pretender que a velocidade de cada barca se
mantenha inalterada, qual a força adiciona l que
deve ser realizada pelo motor:
a) da barca mais rápida?
b) da barca mais lenta?
R: a) 46 N; b) nenhuma.
Nota: Considere que o lançamento é feito na transversal às duas barcas.
10 – Um foguetão de massa igual a 6100 kg é lançado verticalmente do solo. Se a
velocidade dos produtos de exaustão é igual 1200 m/s relativamente ao foguetão, que
quantidade desses produtos deve ser ejectado por segundo, se se pretender que a
aceleração do foguetão:
a) seja igual à grandeza da aceleração da gravidade? R: 49,8 kg/s
b) proporcione uma aceleração inicial de 21 ms-2 ao foguetão? R: 156,57 kg/s
11- Um carrossel realiza uma revolução completa em 10 s. Se uma crinça de 30 kg
estiver sentada no chão horizontal do carrossel, a 2 m do seu centro, determine:
a) a aceleração a que a criança está sujeita; R: 0,8 ms-2
b) a força de atrito horizontal que actua na criança; R: 23,7 N
12 – A massa de 5 kg ligada ao
dinamómetro na figura, está em
repouso na superfície horizontal.
Despreze o atrito entre a massa e
a superfície horizontal. A leitura
da escala do dinamómetro é igual
a 18 N quando o vagão está em
movimento.
a) sabendo que a leitura do
dinamómetro é zero quando o
vagão está em repouso, determine a aceleração do vagão. R: 3,6 ms-2
b) Descreva as forças que actuam na massa sob o ponto de vista de um observador no
vagão e de um outro observador parado na estação.
c) Qual deveria ser a leitura no dinamómetro se o vagão se movesse com velocidade
constante? R: 0 N.
13 – Um indivíduo encontra-se em pé em cima de uma balança no interior de um
elevador. Enquanto o elevador arranca, a balança marca um valor constante de 591 N e
enquanto o elevador pára, a balança marca um valor constante de 391 N. Assuma que as
acelerações na paragem e no arranque têm igual módulo.
a) Descreva as forças que actuam nessa pessoa do ponto de vista de um observador
parado no exterior, e do ponto de vista da própria pessoa.
b) Determine a massa do indivíduo. R: 50 kg
c) Determine a aceleração do elevador, no arranque e paragem. R: 2ms-2
14 – As situações descritas nas alíneas 14i. a 14iv. ocorrem num vagão que tem
velocidade inicial nula e uma aceleração de 5ms -2 , no sentido positivo do eixo dos xx’.
Considera-se que para cada uma das situações, o instante inicial é o instante em que o
vagão inicia também o seu movimento. Considere um observador solidário com o vagão
e um outro parado no exterior.
i) Um corpo de massa igual a 1 kg desloca-se sem atrito no piso do vagão, com uma
velocidade inicial de 10 i (m/s) em relação ao vagão.
a) Descreva o movimento do corpo segundo os dois observadores.
b) Em que instante o corpo atinge a sua posição original em relação ao vagão? R: 4s
ii) Um corpo de 1 kg de massa escorrega sem atrito no piso do vagão com uma
velocidade trans versal de 10 k (m/s) em relação ao vagão. Descreva o movimento do
ponto de vista dos dois observadores.
iii) Um corpo de 1 kg está pendurado do tecto do vagão, por meio de uma corda de
massa desprezável e inextensível.
a) Indicar todas as forças que actuam no corpo do ponto de vista dos 2
observadores.
b) Qual o ângulo da corda com a vertical? R: 27º
iv) Um corpo de 1 kg de massa é largado de uma altura de 1 m pelo observador
solidário com o vagão, no instante inicial do movimento do vagão.
a) Indicar as forças que actuam sobre o corpo do ponto de vista de cada
observador.
b) Obter a aceleração do corpo para cada observador.
c) Obter a posição em que a massa toca o piso do vagão, relativamente à sua
posição de lançamento, para cada um dos observadores.
r
r
R: b) a ext = −9,8 ˆj ( ms −2 ) ; a int = −5iˆ − 9,8 ˆj (ms −2 )
d) obs. exterior: x=0; y=-1 m; obs. interior: x=-0,5 m; y=-1 m;
15 – Considere um objecto de massa igual a 50 kg, no interior duma estação em órbita
circular em torno da Terra a uma altitude de 350 km.
a) Quais as forças aplicadas no objecto:
i) no referencial da Terra? R: Fg =Fc=440 N
ii) no referencial da estação? R: Fg e Fcf =- Fg
b) Qual a aceleração do objecto em cada um dos referenciais? aTerra =8,8 ms -2
Nota: Massa da Terra: 5,976×1024 kg; Raio da Terra: 6 371 km; G = 6,67×10-11 N.m2 .kg -2 .
16 - A velocidade de segurança numa curva compensada com uma inclinação (relevé) é
a velocidade para a qual o carro não sofre a acção de qualquer força lateral nas suas
rodas. Considere uma curva de auto-estrada de 122 m de raio compensada com uma
inclinação de 18°.
a) Determine a velocidade de segurança da curva. R: 19,7 m/s
b) Identifique todas as forças aplicadas a um passageiro, nos referenciais carro e
exterior.
17 – Os comboios pendulares são projectados de modo a viajar
com segurança a velocidades elevadas em secções curvas de
vias férreas construídas para comboios mais lentos. As
carruagens são inclinadas por sistemas hidráulicos quando
entram numa curva, para que os passageiros não se sintam
“empurrados” para fora. Para um comboio que se desloca a
161 km/h numa curva com a via inclinada com um ângulo de 6°
e com uma velocidade de segurança (ver prob. 16) de
96,5 km/h, determine:
a) As forças sentidas por um passageiro de massa igual a 60 kg numa carruagem
convenc ional sem inclinação. R: Peso, N=615 N; Fa=112 N; Fcf=175,4 N;
b) O ângulo de inclinação da carruagem no comboio pendular para o passageiro não
senta qualquer força lateral. R: 10,3º
c) Para a situação da alínea anterior determine o peso aparente dos passageiros.
R:10,2m