Eletromagnetismo II
Capı́tulo I
As equações de Maxwell
Prof. Dr. Ricardo L. Viana
Departamento de Fı́sica
Universidade Federal do Paraná
Curitiba - PR
3 de agosto de 2015
Na disciplina Eletromagnetismo I foram vistas as quatro equações de Maxwell
em detalhes, tanto no vácuo como em meios materiais. A disciplina Eletromagnetismo II focalizará diversas aplicações das equações de Maxwell, como a propagação de ondas eletromagnéticas e a emissão de radiação. Por este motivo,
inicialmente faremos uma revisão das equações de Maxwell, introduzindo um
contexto histórico em que elas foram obtidas e acrescentando ainda algumas
das suas consequências fı́sicas importantes.
1
Introdução
O escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), além de ter sido um dos criadores
da Mecânica Estatı́stica, foi responsável pela criação de uma teoria unificada
para a eletricidade e o magnetismo [Fig. 1]. Maxwell começou a estudar os
trabalhos de Faraday em 1855, quando ainda era estudante na Universidade de
Cambridge, publicando seu primeiro trabalho em 1856, que propõe uma teoria
dos campos elétrico e magnético baseadas em analogias com a hidrodinâmica
[1].
Entre 1861 e 1862, quando já era professor no King’s College (Londres),
Maxwell publicou um segundo trabalho, em quatro partes, no Philosophical Magazine [2]. Nesta série de trabalhos, Maxwell propõe um modelo de partı́culas
elétricas e vórtices no éter, que era considerado à época um meio elástico necessário para a transmissão das interações elétricas e magnéticas. Um dos conceitos novos introduzidos por Maxwell nestes trabalhos era a chamada corrente
de deslocamento, proporcional à variação temporal do campo elétrico, e que
deveria ser adicionada à corrente elétrica de condução na Lei de Ampère para
que o princı́pio de conservação de carga fosse respeitado.
No modelo mecânico que Maxwell concebeu para o campo eletromagnético
no éter, os tubos de linhas de força magnética eram concebidos como células tubulares cheias de um fluido em rotação em torno das linhas de força. Para
que tubos adjacentes pudessem girar no mesmo sentido, Maxwell imaginou
1
Figura 1: James Clerk Maxwell.
a existência de “rolamentos” esféricos, responsáveis pelas forças elétricas, cujos deslocamentos corresponderiam a correntes elétricas (daı́ o nome dado por
Maxwell à corrente de deslocamento, e que é usado até os dias de hoje) [Fig.
2]. Maxwell chegou às suas equações aplicando a mecânica dos meios contı́nuos
a este modelo de vórtices para o éter celular.
Um resultado importante desse artigo de 1861 (Parte III) é a hipótese de que
o éter permitiria a propagação de vibrações transversais com a mesma velocidade
da luz c. Na época de Maxwell o valor de c era conhecido por meio de observações
astronômicas dos satélites de Júpiter (método de Römer) e por experiências de
laboratório. Fizeau, em 1848, usando uma roda dentada em rotação rápida e
um espelho, obteve c = 3, 14 × 108 m/s. Foucault, em 1850, usando um espelho
girante e outro fixo chegou a c = 2, 98 × 108 m/s.
Experiências eletromagnéticas realizadas em 1855 por Kohlrausch e Weber
determinaram o valor 3, 107 × 108 para a razão entre a unidade eletromagnética
absoluta de carga e a unidade eletrostática absoluta de carga. Além disso, a
dimensão desta razão é a mesma de velocidade. Em linguagem moderna, esta
igualdade é escrita como (no Sistema Internacional de Unidades)
1
c= √
,
ε 0 µ0
(1)
onde ε0 e µ0 são, respectivamente, a permissividade elétrica e a permeabilidade
magnética do vácuo. Apesar dessa impressionante coincidência, ninguém, antes
de Maxwell, parece ter tido a idéia de conectar os dois resultados. Em fins
de 1861, enquanto trabalhava na parte III do seu artigo, Maxwell, retornando
de sua fazenda na Escócia para Londres, leu o trabalho de Kohlrauch e Weber,
2
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vortices moleculares
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(deslocamento eletrico)
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Figura 2: Modelo de vórtices para o éter proposto por Maxwell.
converteu o resultado num formato compatı́vel com seu trabalho, e concluiu que
a luz seria uma onda eletromagnética, resultante das vibrações do éter, como se
fosse uma onda mecânica.
Maxwell publicaria em 1865 um novo trabalho [3], no qual estruturou de
forma mais geral sua teoria unificada dos campos elétrico e magnético, sem o
complicado modelo mecânico de vórtices no éter, usado anteriormente. Maxwell
passa a aceitar que a energia reside no campo eletromagnético, e não nas supostas propriedades elásticas do éter. Além disso, nesse trabalho ele deduz a
equação das ondas eletromagnéticas.
Em 1871, Maxwell tornou-se professor em Cambridge e o primeiro diretor
do Laboratório Cavendish de fı́sica experimental, que criou e existe até hoje.
Dois anos depois, ele publicou um livro trazendo um apanhado dos seus trabalhos sobre Eletromagnetismo [4]. Originalmente Maxwell havia escrito um
conjunto de vinte equações com vinte incógnitas, incluindo algumas equações
que atualmente são consideradas auxiliares, como a lei de Ohm e a equação de
continuidade de carga. Na forma original, Maxwell havia escrito uma equação
para cada componente. As equações de Maxwell foram escritas pela primeira
vez na forma vetorial em que as conhecemos atualmente em 1884 por Oliver
Heaviside.
Nos seus primeiros anos de existência, a teoria de Maxwell ainda era pouco
entendida e até mesmo vista com certa desconfiança, principalmente pois algumas das suas predições ainda não haviam sido verificadas experimentalmente.
Quem mostrou a existência das ondas eletromagnéticas, que Maxwell interpretava como as vibrações transversais do éter propagando-se à velocidade da luz,
foi Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve oscilações eletromagnéticas com alta
freqüência, usando um circuito alimentado por uma faı́sca, e usando como detector uma espira com um pequeno espaço, onde uma outra faı́sca era gerada
quando excitada por uma onda eletromagnética. Com esse equipamento Hertz
demonstrou em 1888 que as ondas eletromagnéticas propagam-se com a velocidade da luz, como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as propriedades
ondulatórias (reflexão, refração, polarização, etc.). A descoberta de Hertz foi
3
Figura 3: Lei de Gauss elétrica
rapidamente aplicada na transmissão de sinais a longa distância.
2
As equações de Maxwell no vácuo
Inicialmente vamos abordar apenas as equações de Maxwell no vácuo, isto é,
na ausência de meios materiais (dielétricos e/ou magnéticos). Então estaremos
interessados em situações onde as fontes de campos eletromagnéticas sejam distribuições de cargas e correntes elétricas. Neste capı́tulo, bem como em toda a
disciplina, empregaremos o sistema internacional (MKSA) de unidades, para o
qual as constantes eletromagnéticas estão relacionadas com a velocidade da luz
no vácuo pela equação (1).
2.1
Lei de Gauss elétrica
O fluxo elétrico através de uma superfı́cie S fechada é definido como
I
I
ΦE =
E · dA =
E · n̂ dA,
S
(2)
S
onde dA = (dA)n̂ é um elemento de área vetorial, orientada pelo versor n̂
perpendicular à superfı́cie S, e que faz um ângulo θ com o campo elétrico. Por
convenção, o versor n̂ sempre aponta para fora da superfı́cie S em cada ponto
desta. levando à Lei de Gauss elétrica: o fluxo elétrico através de uma superfı́cie
fechada S é proporcional à carga elétrica lı́quida q envolvida por S
I
q
(3)
E · dA = .
ε0
S
onde
ε0 = 8, 854187817 × 10−12 C 2 /N.m2
(4)
é a chamada “permissividade do vácuo”. Essa forma é dita integral pois aplicase a regiões limitadas do espaço (ou, jogando S para o infinito, para todo o
espaço).
4
Figura 4: Lei de Gauss magnética
Usando o teorema do divergente em (3), transformamos a integral sobre a
superfı́cie fechada S numa integral de volume do divergente de E sobre a região
V limitada por S. Da mesma forma, escrevemos a carga lı́quida q, envolvida
por S, como a integral de uma densidade volumétrica de carga ρ(r) ao longo
dessa mesma região
Z
I
Z
1
q
=
∇ · E dV =
E · dA =
ρ dV,
ε0
ε0 V
V
S
Z ρ
dV = 0.
∇·E−
ε
0
V
Se a integral acima é nula para um volume V arbitrário, então o integrando
deve ser identicamente nulo para qualquer ponto desse volume, logo
∇·E=
ρ
ε0
(5)
é a forma diferencial da Lei de Gauss elétrica (vale ponto a ponto no espaço).
2.2
Lei de Gauss magnética
Em analogia ao raciocı́nio feito para o campo elétrico, a integral do fluxo
magnético ΦB sobre uma superfı́cie fechada S deveria ser proporcional à “carga
magnética lı́quida” envolvida por S. No entanto, até hoje não foram observadas tais cargas magnéticas (também chamados monopólos magnéticos) isoladamente: as estruturas mais simples conhecidas são os dipólos magnéticos. Por
esse motivo a lei de Gauss magnética é expressa simplesmente como a nulidade
do fluxo magnético através de uma superfı́cie fechada: ΦB = 0 ou ainda
I
(6)
B · dA = 0.
S
5
Figura 5: Experiência do imã-espira
É frequente o uso do termo “densidade de fluxo magnético” para distinguir o
campo magnético B da intensidade magnética H. Essa distinção, no entanto, só
é importante para meios materiais: no vácuo os dois vetores são proporcionais.
A unidade de fluxo magnético no SI é o weber (Wb), de forma que a unidade
do campo magnético é, às vezes, referida como 1T = 1W b/m2 .
Aplicando o mesmo raciocı́nio para a integral de superfı́cie do campo magnético
em (6), obtemos a forma diferencial da lei de Gauss magnética
∇ · B = 0.
2.3
(7)
Lei de Faraday
A lei de Faraday aparece na formulação matemática da famosa experiência do
imã-espira. Quando um imã é aproximado de uma espira aparece uma corrente
induzida, o que provoca uma leitura no galvanômetro. Se o imã está parado
em relação à espira, não se registra corrente induzida na espira. Já se o imã
é afastado da espira a corrente é induzida no sentido oposto. Desta forma se
observa que: (i) o movimento relativo entre o imã e a espira induz uma força
eletromotriz na espira; (ii) o sentido da força eletromotriz induzida é tal que
se opõe à causa que a produziu (no caso, o movimento do imã em relação
à espira). A segunda conclusão, que decorre do princı́pio de conservação da
energia, é conhecida como Lei de Lenz.
O fluxo magnético através da superfı́cie aberta S, limitada pela espira, é
ΦB =
Z
S
B · dA.
(8)
Vamos considerar o imã em movimento e a espira em repouso, em relação ao
referencial do laboratório. A força eletromotriz induzida na espira C é definida
como
I
E=
C
6
E · ds,
(9)
onde E é o campo elétrico induzido e ds o elemento de deslocamento vetorial. Na verdade, a espira nem precisa existir materialmente, basta que C seja
um caminho fechado (“espira amperiana”). Se houver, de fato, uma espira de
resistência elétrica R, a corrente induzida será I = E/R.
A lei de Faraday, na sua forma integral, diz que a força eletromotriz induzida
na espira é proporcional à taxa de variação com o tempo do fluxo magnético
através da espira C, ou seja
dΦB
E =−
(10)
,
dt
onde o sinal negativo vem da Lei de Lenz, de modo que
I
Z
d
E · ds = −
B · dA.
dt S
C
(11)
Usando o Teorema de Stokes em (11), transformamos a integral da circulação
do campo elétrico E ao longo de um caminho fechado C na integral de superfı́cie
do rotacional de E ao longo da superfı́cie aberta S, limitada pelo caminho C.
Supondo, ainda, que a superfı́cie S não se altere com o passar do tempo, então
Z
Z
Z
I
∂B
∂
· dA,
B · dA = −
E · ds = (∇ × E) · dA = −
∂t S
S ∂t
S
C
Z ∂B
· dA = 0.
∇×E+
∂t
S
Se a integral acima é nula para uma superfı́cie S aberta arbitrária, o integrando deve ser identicamente nulo para qualquer ponto dessa superfı́cie:
∇×E=−
2.4
2.4.1
∂B
.
∂t
(12)
Lei de Ampère-Maxwell
Lei circuital de Ampère
Biot, Savart e Ampère realizaram, entre 1820 e 1825, uma série de experimentos
para a determinação das forças magnéticas entre circuitos de corrente elétrica.
A partir deles, Ampère propôs que o campo magnético produzido por uma dada
distribuição de corrente fosse dado pela seguinte “lei circuital”
I
B · ds = µ0 I,
(13)
C
onde I é a corrente total que intercepta a superfı́cie limitada pela curva C, e
µ0 = 4π × 10−7 N/A2
(14)
é a chamada “permeabilidade do vácuo”.
Escrevemos a corrente elétrica lı́quida I atravessando uma superfı́cie aberta
S como a integral de uma densidade superficial de corrente J(r), tal que
Z
I=
J · dA.
(15)
S
7
Figura 6: Lei circuital de Ampère
Usamos o Teorema de Stokes em (13) para transformar a integral de caminho
ao longo da curva fechada C numa integral de superfı́cie através da superfı́cie
aberta S delimitada por C. Usando (15) e supondo que a superfı́cie S não se
altera com o tempo temos
I
Z
Z
B · ds = (∇ × B) · dA = µ0
J · dA
C
S
S
Z
(∇ × B − µ0 J) · dA = 0.
S
Se a integral acima é nula em S, assim também o integrando em cada ponto
de S, resultando na forma diferencial da Lei circuital de Ampère
∇ × B = µ0 J.
2.4.2
(16)
Corrente de deslocamento de Maxwell
Maxwell percebeu que a lei de Ampére, na forma (16), viola o princı́pio de
conservação de carga quando aplicada a correntes elétricas não-estacionárias.
Como um exemplo, consideramos um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma bateria [Fig. 7]. Num certo instante de tempo (da ordem da
constante de tempo do circuito) a corrente que alimenta as placas do capacitor
é I.
Vamos aplicar a lei circuital de Ampère (13) ao percurso fechado C que
envolve uma superfı́cie circular aberta S que é interceptada pela corrente de
condução I:
I
B · ds = µ0 I.
(17)
C
Entretanto, se aplicarmos a lei circuital de Ampère à superfı́cie aberta S ′ , que
passa por entre as placas do capacitor e também é limitada pelo caminho
fechado C, teremos
I
C
B · ds = 0,
8
(18)
S’
capacitor
C
I
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
S
I
Figura 7: Corrente de deslocamento num circuito contendo um capacitor de
placas paralelas.
pois não há corrente de condução entre as placas do capacitor. Como explicar
essa discrepância? Não estaria havendo uma violação da lei de conservação de
carga, aplicada ao circuito como um todo (dentro e fora das placas)?
Maxwell percebeu que a solução desse problema passava em imaginar uma
“corrente de deslocamento” Id que, ao invés de descrever um movimento real de
cargas (como na corrente de condução), está relacionada à variação temporal
do campo elétrico entre as placas do capacitor. A quantidade Id deve ter as
mesmas dimensões de I, ou seja Ampère (no SI) ou statampère (no Gaussiano).
No exemplo do capacitor de placas paralelas, se estas tiverem área A e
a distância entre elas for suficientemente pequena para que as placas sejam
tratadas como sendo infinitamente extensas, a lei de Gauss nos fornece o campo
elétrico entre as placas:
q(t)
,
(19)
E(t) =
ε0 A
onde I = dq/dt é a taxa com que a carga nas placas do capacitor está aumentando ou diminuindo. A taxa de variação temporal do campo elétrico entre as
placas será, pois
dE
1 dq
I
=
=
.
(20)
dt
ε0 A dt
ε0 A
Supondo que haja conservação de carga em todo o circuito, a corrente de
deslocamento entre as placas ID deve ser igual à corrente de condução I fora
das placas, ou seja,
dE
.
(21)
Id = I = ε0 A
dt
Em geral, definimos uma densidade de corrente de deslocamento como sendo
Jd ≡ ε0
∂E
.
∂t
(22)
Maxwell, no contexto da sua teoria do campo eletromagnético, associou o campo
elétrico ao deslocamento sem atrito de rolamentos entre os vórtices do éter.
Por esse motivo, por razões históricas, esse termo até hoje é conhecido como
densidade de corrente de deslocamento, ainda que não envolva deslocamento
algum de cargas.
9
Maxwell então propôs que a lei circuital de Ampère fosse modificada na
presença de correntes não-estacionárias, pela inclusão da densidade de corrente
de deslocamento à densidade de corrente de condução J em (16):
∇ × B = µ0 (J + Jd ).
(23)
Substituindo (22) temos
∇×B−
1 ∂E
= µ0 J,
c2 ∂t
(24)
que é a lei de Ampère-Maxwell.
Integrando (24) numa superfı́cie aberta e fixa S e aplicando o teorema de
Stokes à primeira integral obtemos a forma integral da Lei de Ampère-Maxwell:
I
Z
1 ∂
B · ds = µ0 I + 2
E · dA.
(25)
c ∂t S
C
2.5
Resumo
As quatro equações de Maxwell no vácuo (nas formas integral e diferencial) são
1. Lei de Gauss elétrica
I
S
E · dA =
2. Lei de Gauss magnética
I
S
3. Lei de Faraday
I
q
,
ε0
B · dA = 0,
∂
E · ds = −
∂t
C
Z
S
B · dA,
4. Lei de Ampère-Maxwell
I
Z
1 ∂
B · ds = µ0 I + 2
E · dA,
c ∂t S
C
∇·E=
ρ
,
ε0
(26)
(27)
∇ · B = 0,
∇×E=−
∂B
,
∂t
∇ × B = µ0 J +
1 ∂E
.
c2 ∂t
(28)
(29)
Os campos eletromagnéticos E(r, t) e B(r, t) provocam forças dadas por
(“força de Lorentz”)
F = q (E + v × B) ,
(30)
onde q e v são a carga e a velocidade, respectivamente, da partı́cula. A força
F, por sua vez, leva a uma alteração do movimento das partı́culas carregadas
(segunda Lei de Newton do movimento), o que modifica portanto os próprios
campos eletromagnéticos de acordo com as equações de Maxwell. Desta forma,
o conjunto de equações de Maxwell mais a força de Lorentz trata os campos
eletromagnéticos de forma auto-consistente.
10
3
Potenciais eletromagnéticos
Nós partimos das duas equações de Maxwell que são homogêneas: a lei de
Faraday (28) e a lei de Gauss magnética (27):
∂B
∂t
∇·B
∇×E+
=
0,
(31)
=
0.
(32)
Para campos eletromagnéticos dependentes do tempo ∂B/∂t 6= 0 e, de (31)
resulta que ∇ × E 6= 0. Logo, não podemos escrever o campo elétrico simplesmente como o gradiente de um potencial escalar ϕ, como se faz na eletrostática
(onde E = −∇ϕ). No entanto, da lei de Gauss magnética (32) resulta que
o campo magnético pode sempre ser escrito como o rotacional de um vetor,
chamado potencial vetorial A(r, t):
B = ∇ × A,
(33)
já que ∇ · B = ∇ · ∇ × A ≡ 0.
Substituindo (33) na lei de Faraday (31) temos
∂
∂A
∇×E+ ∇×A=∇× E+
= 0,
∂t
∂t
de forma que o termo entre parênteses pode ser, dessa vez, escrito como o
gradiente de um potencial escalar ϕ(r, t):
E+
já que
∂A
= −∇ϕ,
∂t
∂A
∇× E+
= −∇ × ∇ϕ ≡ 0,
∂t
e o campo elétrico será então a combinação dos dois potenciais:
E = −∇ϕ −
4
∂A
.
∂t
(34)
Transformações de calibre
É importante destacar que os potenciais escalar e vetorial não determinam univocamente os campos elétrico e magnético. Como um exemplo, seja o seguinte
campo magnético uniforme: B = Bẑ, que pode ser obtido a partir do potencial vetorial A1 = −By ŷ, como pode ser verificado calculando diretamente o
rotacional.
Por outro lado, um campo magnético uniforme qualquer pode ser obtido a
partir do seguinte potencial
1
(35)
A2 = r × B
2
11
já que, aplicando uma identidade vetorial e a lei de Gauss magnética temos
∇ × A2 =
=
1
∇ × (r × B)
2
(36)

1
1
(r · ∇)B − (B · ∇)r +B (∇ · B) −B (∇ · r) = (3B − B) = B.
|
{z
}
{z
}
{z
}
{z
}
|
|
|
2
2
=0
=0
=B
=3
Há, na verdade, um número infinitamente grande de potenciais escalares e
vetoriais que determinam os mesmos campos elétrico e magnético. Este fato
pode parecer um pesadelo para a teoria eletromagnética mas, na verdade, é
algo muito interessante pois, como há diversos potenciais que correspondem aos
mesmos campos, podemos escolhê-los conforme nossa conveniência ou necessidade.
Podemos generalizar essa discussão supondo χ(r, t) uma função arbitrária
da posição e do tempo. Podemos fazer as seguintes transformações de calibre
(ou de “gauge”) sobre os potenciais
A → A′
=
ϕ → ϕ′
=
A − ∇χ,
∂χ
,
ϕ+
∂t
(37)
(38)
sem alterar os campos elétrico e magnético correspondentes. Assim, dados os
potenciais ϕ e A podemos construir uma infinidade de outros potenciais igualmente bons apenas escolhendo formas adequadas da função χ.
Para verificar que as transformações de calibre não alteram os campos, nós
substituı́mos (37) em (33)
B′ = ∇ × A′ = ∇ × (A − ∇χ) = ∇ × A + ∇ × ∇χ = B,
e também (38) em (34):
E′ = −∇ϕ′ −
∂A′
∂
∂χ
− (A − ∇χ) =
= −∇ ϕ +
∂t
∂t
∂t
∂
∂
∇χ + ∇χ = E.
∂t
∂t
Dados os potenciais ϕ e A, os campos elétrico e magnético (que são as
quantidades fisicamente mensuráveis) são determinados a menos da escolha de
um calibre χ(r, t). Escolhido esse calibre de uma forma conveniente, podemos
trabalhar com os potenciais, o que é matematicamente mais simples pois, em
lugar de seis campos escalares (três componentes de cada vetor de campo) nós
trabalhamos com apenas quatro (três para o potencial vetorial e um para o
potencial escalar).
Na teoria eletromagnética dois calibres são tradicionalmente usados para
determinarmos completamente o potencial vetor:
E−
1. calibre de Coulomb
∇ · A = 0,
mais utilizado em magnetostática;
12
(39)
2. calibre de Lorenz
1
∇·A+
1 ∂ϕ
= 0.
c2 ∂t
(40)
empregado quando os campos eletromagnéticos dependem do tempo.
5
As equações de Maxwell em meios materiais
Um meio contı́nuo é aquele para o qual os elementos de volume são pequenos o
suficiente para que possamos tratá-los matematicamente como diferenciais (dV ),
mas grandes os suficiente para que ainda contenham um número apreciavelmente
grande de átomos ou moléculas. O eletromagnetismo clássico trata os meios
materiais (como condutores, dielétricos, etc.) como meios contı́nuos, e investiga
quantidades fı́sicas médias, onde as médias são tomadas sobre elementos de
volume do meio material.
Nesse processo, ignoramos flutuações macroscópicas que decorrem da estrutura atômico-molecular da matéria, um enfoque iniciado por H. Lorentz na
virada do século XIX. Por exemplo, dentro da matéria há um campo elétrico
microscópico e agindo sobre os átomos ou moléculas, e que depende de uma
forma complicada do tipo de rede cristalina, das flutuações térmicas, etc. Já o
campo elétrico macroscópico E será uma média deste campo microscópico para
um elemento de volume do meio material: E = ē.
Em meios materiais, duas equações de Maxwell permanecem inalteradas: a
lei de Gauss magnética (27) e a lei de Faraday (28). Já a lei de Gauss elétrica e
a lei de Ampère-Maxwell devem ser modificadas para levar em conta a resposta
do meio aos campos aplicados.
5.1
5.1.1
Lei de Gauss elétrica
Polarização
Meios dielétricos respondem a campos elétricos através do surgimento de cargas
ligadas, ou cargas de polarização. A polarização de um meio é o momento de
dipolo elétrico total por unidade de volume. Supondo, por simplicidade, que
todas as N moléculas do dielétrico sejam da mesma espécie e tenham momentos
de dipolo (permanentes ou induzidos) iguais a p, então o momento de dipolo
total será N p, de modo que a polarização é
P=
Np
= np,
V
(41)
onde n = N/V é o número de moléculas por unidade de volume.
Um campo de polarização inomogêneo provoca o aparecimento de uma densidade de cargas ligadas (ou de polarização) no meio, dada em termos da polarização como
ρP = −∇ · P,
(42)
tal que a carga elétrica total seja a soma das cargas livres mais as cargas de
polarização, ou seja
ρT = ρ + ρP = ρ − ∇ · P.
(43)
1 Embora costume-se atribuir indevidamente essa expressão a Hendrik Lorentz, ela é originalmente devida a Ludvig Lorenz (1867).
13
Figura 8: Lâmina dielétrica num capacitor de placas paralelas. Observe a
formação de cargas superficiais de polarização próximo às placas.
5.1.2
Deslocamento elétrico
A lei de Gauss elétrica, no vácuo, é [cf. Eq. (26)]:
∇·E=
ρ
ε0
(44)
onde ρ é a densidade de cargas livres. Num meio dielétrico, nós simplesmente
substituimos ρ pela densidade de carga total (43), para levar em conta as cargas
ligadas:
1
ρT
=
(ρ − ∇ · P) .
(45)
∇·E=
ε0
ε0
Multiplicando os dois membros de (45) por ε0 e definindo o vetor deslocamento elétrico como
D = ε0 E + P,
(46)
a lei de Gauss elétrica é escrita na forma
∇ · D = ρ.
(47)
Observe que o deslocamento elétrico não tem um significado fı́sico especı́fico:
ele é introduzido simplesmente como uma quantidade auxiliar, que nos permite
calcular os campos no interior dos dielétricos sem precisar conhecer a priori a
distribuição das cargas de polarização. Entretanto, o uso do vetor D só é consistente se conhecermos também, de forma independente, uma relação constitutiva
que vincule E e D para um dado meio dielétrico.
5.1.3
Constante dielétrica
Existe uma relação constitutiva entre a polarização e o campo elétrico aplicado
a um dielétrico. Para meios isotrópicos e campos suficientemente fracos, estas
duas quantidades são linearmente proporcionais:
P = ε0 χe E,
(48)
onde χe é chamada susceptibilidade dielétrica do meio. Para o vácuo obviamente
não há polarização e χe = 0. Uma relação constitutiva semelhante existe entre
o deslocamento elétrico e o campo elétrico:
D = εE = ε0 KE,
14
(49)
Tabela 1: Constantes dielétricas para alguns materiais.
Material
Ar (1 atm)
Teflon
Polietileno
Polimida
Polipropileno
Papel
Vidro (pirex)
Borracha
Diamante
Madeira
K
1, 00059
2, 1
2, 25
3, 4
2, 2 − 2, 36
3, 85
3, 7 − 10
7
5, 5 − 10
2, 5 − 8, 0
Material
N aCl
Grafite
Silı́cio
Amônia (20o C)
Metanol
Água (20o C)
T iO2
T iSr
T iBa (20o C)
T iBa (120o C)
K
3 − 15
10 − 15
11, 68
17
30
80, 1
86 − 173
810
1250
10000
onde introduzimos a permissividade elétrica do meio por
ε = Kε0 .
(50)
e K é chamada permissividade relativa ou ainda constante dielétrica (adimensional). Para o vácuo ε = ε0 ou K = 1. Para todos os meios materiais, pode-se
mostrar que K > 1.
Substituindo (48) em (46) e comparando com (49) temos uma relação entre
as constantes
K = 1 + χe .
(51)
Na tabela 1 mostramos os valores de κ para alguns dielétricos.
5.2
5.2.1
Lei de Ampère-Maxwell
Magnetização
A origem do magnetismo nos meios materiais é a presença de momentos de
dipolo microscópicos, que podem ser tanto de origem orbital (devido ao movimento das partı́culas) como intrı́nseca (devido ao spin das partı́culas). Sem entrar ainda em considerações mais aprofundadas sobre a origem destes momentos
magnéticos, vamos supor, como na fı́sica clássica, que a origem do magnetismo
está em espiras microscópicas de corrente. O momento de dipolo magnético
devido a uma espira de área A, conduzindo uma corrente I, é um vetor perpendicular ao plano da espira, cujo módulo é dado por m = IA.
A magnetização de um meio material é o momento de dipolo magnético total
por unidade de volume. Se houver apenas um tipo de átomos, e se todos eles
estiverem alinhados, a magnetização é
M = nm,
(52)
onde n é o número de átomos por unidade de volume e m é o momento magnético
de cada um deles. Caso os momentos magnéticos não estejam totalmente alinhados (devido à agitação térmica, por exemplo), a magnetização é n vezes o
momento magnético médio.
15
Figura 9: Corrente de magnetização.
Uma magnetização espacialmente inomogênea provoca o aparecimento de
uma densidade de corrente de magnetização
Jm (r) = ∇ × M(r),
5.2.2
(53)
Corrente de polarização
Em meios dielétricos pode aparecer também uma corrente ligada à aparente convecção de cargas ligadas, quando a polarização depende do tempo. Isto pode
ocorrer, por exemplo, devido à interação de cargas com ondas eletromagnéticas.
A polarização de um dielétrico surge devido ao movimento de separação dos
centros de carga nas moléculas. Uma variação temporal da polarização implica numa mudança neste movimento, o que pode ser interpretado como uma
corrente, ainda que as cargas sejam ligadas.
A densidade de carga de polarização dentro de um volume V é dada por (42).
Derivando em relação ao tempo obtemos a corrente (efetiva) de polarização do
meio:
Z
Z
∂
∂P
dqp
=
dV.
(54)
∇ · P dV =
∇·
Ip = −
dt
∂t V
∂t
V
donde podemos definir uma densidade de corrente de polarização
Jp =
5.2.3
∂P
.
∂t
(55)
Intensidade magnética
Partindo da lei de Ampère-Maxwell no vácuo (24
∇×B−
1 ∂E
= µ0 J,
c2 ∂t
(56)
podemos adaptá-la para a descrição de meios materiais (dielétricos e magnéticos)
substituindo J por uma corrente total, que consiste das correntes de condução,
magnetização e polarização, esta última dada por (55):
Jt = J + Jm + Jp = J + ∇ × M(r) +
∂P
.
∂t
(57)
Introduzimos, agora, o vetor intensidade magnética
H=
1
B − M,
µ0
16
(58)
Tabela 2: Susceptibilidade magnética de alguns materiais (quantidade adimensional no SI).
Paramagnéticos
Material
Césio
Alumı́nio
Tungstênio
Oxigênio (1 atm)
Lı́tio
Magnésio
Sódio
Diamagnéticos
Material
Bismuto
Cobre
Diamante
Hidrogênio (1 atm)
Nitrogênio (1 atm)
Mercúrio
Chumbo
χm
5, 1 × 10−5
2, 3 × 10−5
6, 8 × 10−5
2, 09 × 10−6
1, 4 × 10−5
1, 2 × 10−5
0, 72 × 10−5
χm
−1, 66 × 10−4
−0, 98 × 10−5
−2, 2 × 10−5
−2, 1 × 10−9
−5, 0 × 10−9
−2, 9 × 10−5
−1, 8 × 10−5
tal que, substituindo (57) em (56) obtemos a lei de Ampére-Maxwell em meios
materiais:
∂D
∇×H−
(59)
= J.
∂t
Assim como D, a intensidade magnética H não tem um significado fı́sico
particular. Ela é introduzida para que possamos calcular os campos magnéticos
na presença de meios materiais sem precisar conhecer de antemão a distribuição
de correntes de magnetização. Esse procedimento, entretanto, só é consistente
se conhecermos uma relação constitutiva que vincule B e H.
5.2.4
Permeabilidade magnética
Em materiais não-ferromagnéticos e isotrópicos, a relação constitutiva entre M
e H é linear:
M = χm H,
(60)
onde χm é a susceptibilidade magnética, que é adimensional no sistema SI
sinal da susceptibilidade varia de acordo com o tipo de material:
2
O
• Materiais paramagnéticos: χm é positivo. O campo magnético dentro do
meio é reforçado pela presença de momentos magnéticos alinhados com o
campo.
• Materiais diamagnéticos: χm é negativo. O campo magnético dentro do
meio é enfraquecido pela presença de momentos magnéticos que estão
anti-alinhados com o campo.
Em geral, para meios para e diamagnéticos a susceptibilidade, em módulo, é
sempre muito baixa, da ordem de 10−5 − 10−8 . Na tabela 2 mostramos valores
de χm para alguns materiais não-ferromagnéticos 3 .
A relação constitutiva é também linear entre os vetores B e H:
B = µH = µ0 Km H,
(61)
2 Há diversas maneiras, na literatura, de definir a susceptibilidade magnética. O leitor deve
estar atento a isso quando for utilizar valores numéricos de tabelas.
3 Nós tabulamos a chamada susceptibilidade magnética volumétrica. Existem, ainda, as
susceptibilidades molares e de massa.
17
Figura 10: Curva de histerese para um material ferromagnético.
onde µ é a permeabilidade do meio, dada por
µ = K m µ0 ,
(62)
onde também definimos a permeabilidade relativa Km . No vácuo, como não
há magnetização teremos χm = 0 e Km = 1, de modo que B = µ0 H simplesmente. Em meios paramagnéticos (diamagnéticos) a permeabilidade relativa é
ligeiramente maior (menor) que 1: em diversas situações nós inclusive podemos
negligenciar a magnetização do meio frente a outros efeitos.
Substituindo (60) em (58) e comparando com (61) temos uma relação entre
a permeabilidade e a susceptibilidade magnética
K m = 1 + χm .
(63)
Materiais ferromagnéticos, por outro lado, não obedecem a uma relação linear entre B e H, como no caso de para e diamagnéticos. No entanto, podemos
imaginar que uma relação deste tipo exista localmente, ou seja, a susceptibilidade relativa κm = µ/µ0 não é mais uma constante, mas dependerá do campo
magnético B. Num meio ferromagnético, como o Ferro, o valor de κm pode
variar desde 100 até 105 dependendo da intensidade magnética (portanto da
corrente I no solenóide). De qualquer forma, para um núcleo ferromagnético o
campo será algumas ordens de grandeza maior do que para núcleo de ar, devido
à forte magnetização que materiais deste tipo apresentam.
De modo geral, meios ferromagnéticos possuem uma magnetização permanente, bem como uma alta permeabilidade magnética. No entanto, a relação
constitutiva entre B e H é não-linear
B = F(H),
(64)
e também exibe um efeito de memória, ou seja, o valor de B depende da história
pregressa das suas variações. A relação B × H, para meios ferromagnéticos, é
usualmente dada a partir da sua curva de histerese [Fig. 10].
18
6
Condutividade elétrica
Na presença de um campo elétrico dentro do condutor, aparece uma corrente
estacionária, correspondendo a um fluxo lı́quido de portadores de carga num
certo sentido, correspondendo a uma densidade de corrente J. A intensidade de
corrente lı́quida é a integral
I=
Z
S
J · dA
(65)
ao longo de uma superfı́cie aberta S que intercepte o condutor.
Para correntes estacionárias limitadas a uma região de volume V a carga
média total deve manter-se constante. Pela equação de continuidade (93) temos
que, uma vez que ∂ρ/∂t = 0, então
∇ · J = 0.
(66)
O campo elétrico é constante dentro de um condutor por onde flui uma
corrente estacionária. Logo, pela Lei de Ampère, o campo magnético produzido também será constante. Da lei de Faraday (28) temos a mesma condição
eletrostática
∇ × E = 0,
(67)
aplicada a correntes estacionárias, portanto podemos continuar usando o potencial elétrico no estudo de circuitos, como é de praxe.
Há uma relação constitutiva entre a densidade de corrente e o campo elétrico,
dependente do meio material considerado. Para meios materiais homogêneos
isotrópicos a relação entre J e E é linear (lei de Ohm):
J = σE,
(68)
onde σ é a condutividade elétrica do material [Tabela 3]. Condutores metálicos
têm condutividades da ordem de 106 − 107 Ω.m. Em isolantes (dielétricos) ela
é baixı́ssima, da ordem de 10−11 a 10−25 Ω.m. O inverso da condutividade é a
resistividade (1/σ) do material.
7
Resumo
As quatro equações de Maxwell em meios materiais (na forma diferencial) são
1. Lei de Gauss elétrica
∇ · D = ρ,
(69)
∇ · B = 0,
(70)
2. Lei de Gauss magnética
3. Lei de Faraday
∇×E = −
19
∂B
,
∂t
(71)
Tabela 3: Condutividade elétrica (a 20o C) de alguns materiais
Material
Prata
Cobre
Tungstênio
Platina
Constantan
Mercúrio
Germânio
Água potável
Silı́cio
Vidro
Ar
σ[S/m]
6, 30 × 107
5, 96 × 107
1, 79 × 107
9, 43 × 106
2, 04 × 106
1, 02 × 106
2, 17
5 × 10−4 − 5 × 10−2
1, 56 × 10−3
10−11 − 10−15
3 − 8 × 10−15
Material
Ouro
Alumı́nio
Ferro
Manganina
Nicromo
Carbono (amorfo)
Água do mar
Água deionizada
GaAs
Quartzo (fundido)
Teflon
σ[S/m]
4, 10 × 107
3, 5 × 107
4, 55 × 106
2, 07 × 106
9, 09 × 105
1, 25 − 2, 0 × 103
4, 8
5, 5 × 10−6
5 × 10−8 − 103
1, 3 × 10−18
10−25 − 10−23
4. Lei de Ampère-Maxwell
∇×H=J+
∂D
,
∂t
(72)
onde definem-se os campos auxiliares
• deslocamento elétrico
D = ε0 E + P,
• intensidade magnética
H=
1
B − M,
µ0
(73)
(74)
sujeitos às seguintes relações constitutivas (para meios lineares e isotrópicos)
• dielétricos
D = εE = Kε0 E,
(75)
B = µH = Km µ0 H,
(76)
J = σE,
(77)
• meios dia e paramagnéticos
• condutores
8
8.1
Condições de contorno
Caixa de pı́lulas gaussiana
Seja uma caixa de pı́lulas gaussiana de altura h e área da base A, interceptando
a interface entre dois meios materiais, com constantes dielétricas (K1 , K2 ) e
20
D1
dA 1
base 1
A
lateral
K1
111111111111111111111111
000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
σs
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
h
interface
base 2
dA 2
K2
D2
Figura 11: Caixa de pı́lulas gaussiana na interface entre dois meios materiais.
magnéticas (Km1 , Km2 ). Aplicando a lei de Gauss elétrica na forma integral e
o teorema do divergente
I
Z
D · dA = σS A,
∇ · D dV =
S
V
onde admitimos a existência de uma densidade de carga superficial (livre) σS
na interface. Logo
Z
Z
Z
D · dA + D1 · dA1 = σS A.
D2 · dA2 +
2
lateral
1
Fazendo h → 0 a contribuição da área lateral se anula e, como dA1 =
−dAn̂ = −dA2 , temos que
(D2 − D1 ) · n̂A = σS A,
ou seja, as componentes normais de D são descontı́nuas, seu salto sendo proporcional à densidade de carga livre na interface:
D2n − D1n = σS .
(78)
Naturalmente, se não houver carga livre na interface então D1n = D2n . Para
dielétricos que satisfazem (75) escreve-se
K2 E2n − K1 E1n =
σS
.
ε0
(79)
Fazendo um raciocı́nio análogo para a lei de Gauss magnética (27), temos a
continuidade das componentes normais de B, ou seja
B2n − B1n = 0.
21
(80)
E1
ds 1
K1
h
interface
^t x n^
C
^n
^t
E2
K2
ds 2
l
Figura 12: Espira amperiana na interface entre dois meios materiais.
8.2
Espira amperiana
Seja uma espira amperiana retangular de altura h e largura ℓ, interceptando
a interface entre dois meios materiais, com constantes dielétricas (K1 , K2 ) e
magnéticas (Km1 , Km2 ). Aplicando a lei de Faraday na forma integral e o
teorema de Stokes
Z
I
Z
∂B
· dA
(∇ × E) · dA =
E · ds = −
S
C
S ∂t
Z
Z
Z
Z
∂B
E · ds + E1 · ds1 = −
E2 · ds2 +
· dA
S ∂t
1
lateral
2
Fazendo h → 0 a integral ao longo das laterais da espira tende a zero. Além
disso, supondo que ∂B/∂t seja finito em S, a área de S também tende a zero,
assim como a integral do lado direito. Introduzimos um triedro de versores na
interface: n̂ é o versor normal, t̂ o versor tangencial, e t̂ × n̂ o versor na direção
dos lados da espira. Temos, assim, que
ds2 = (t̂ × n̂)ds2 = −ds1 ,
de modo que
(E2 − E1 ) · (t̂ × n̂)ℓ = 0,
e que pode ser reescrita como
n̂ × (E2 − E1 ) = 0.
(81)
Definindo a componente tangencial do campo elétrico como Et = n̂ × E essa
condição de contorno é simplesmente
E2t − E1t = 0.
22
(82)
Aplicando, agora, a lei de Ampère-Maxwell a essa espira temos
Z
Z
∂D
J · dA +
(∇ × H) · dA =
∂t
S
S
Usando o teorema de Stokes, e admitindo a existência de uma densidade de
corrente (livre) J = K/δ fluindo sobre a interface S (com uma espessura δ),
temos
Z
I
K
∂D
H · ds =
· dA +
δ
∂t
S
C
A integral fechada é similar àquela vista anteriormente para a lei de Faraday.
Tomando o limite h → 0 a integral de ∂D/∂t também se anula, de modo que
Z
K
K
(H2 − H1 ) · (t̂ × n̂)ℓ =
· t̂ dA =
· t̂ (δℓ)
δ
S δ
dando
n̂ × (H2 − H1 ) = K,
(83)
H2t − H1t = Kt .
(84)
ou, ainda, representando a descontinuidade da componente tangencial de H
devido a uma densidade de corrente na interface
Para materiais magnéticos que satisfazem (76) temos
B1t
B2t
−
= µ0 K t .
Km2
Km1
(85)
Em qualquer uma das condições de contorno acima, se um dos meios for o
vácuo então K = 1 e Km = 1.
8.3
Condições de contorno envolvendo condutores
Sabemos que D = E = 0 no interior de um condutor. Vamos supor que o
meio 1 seja um dielétrico e o meio 2 um condutor. Portanto, para a interface
dielétrico-condutor a condição de contorno (78) fica 0 − D1n = σ, onde σS é a
densidade de carga na superfı́cie do condutor. Lembramos que toda carga em
excesso de um condutor em equilı́brio concentra-se na sua superfı́cie externa.
Logo
E2n = 0 ⇒ ε1 E1n = −σS .
(86)
Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo elétrico (82),
como E2t = 0, então para a interface vale
E1t = 0,
(87)
ou seja, o campo elétrico deve ser normal à interface (superfı́cie do condutor)
em cada ponto.
As condições de contorno (80) e (84) para o campo magnético continuam
valendo sem alterações para os condutores:
B1n = B2n ,
H1t = H1t ,
(88)
já que para condutores que satisfazem à Lei de Ohm não pode haver correntes
superficiais livres, uma vez que isso exigiria um campo elétrico infinitamente
grande na interface [5].
23
9
Conservação de carga
Um dos princı́pios mais fundamentais da Fı́sica é o da conservação da carga
elétrica. Vamos considerar uma região de volume V limitada por uma superfı́cie
fechada S. De (15) sabemos que a corrente lı́quida que passa por essa região é
I
(89)
I = − J · dA,
S
onde o sinal negativo corresponde ao fato que o elemento de área vetorial dA
aponta, por convenção, para fora da região. Usando o teorema do divergente
temos que
Z
I =−
V
∇ · J dV.
(90)
O princı́pio de conservação de carga impõe que qualquer mudança na carga
envolvida por S seja devido a um fluxo lı́quido de cargas através da superfı́cie
S. Por exemplo, se a carga q aumenta dentro de S, é por que houve um fluxo
lı́quido de fora para dentro de cargas, ou seja, uma corrente lı́quida para dentro.
Dessa forma
Z
Z
Z
dq
d
∂ρ
I=
∇ · J dV.
(91)
=
dV = −
ρ dV =
dt
dt V
V
V ∂t
onde supõe-se que a fronteira S não se altere com o tempo. Passando tudo para
o lado esquerdo
Z ∂ρ
+ ∇ · J dV = 0.
(92)
∂t
V
Como a integral é nula para um volume arbitrário, o integrando deve ser
identicamente nulo:
∂ρ
(93)
+ ∇ · J = 0,
∂t
conhecida como equação da continuidade.
Podemos mostrar que as equações de Maxwell implicam na equação de continuidade, o que quer dizer que o princı́pio da conservação de carga está, por
assim dizer, embutido nas próprias equações de Maxwell! Isto, aliás, não é novidade, pois vimos que Maxwell introduziu a corrente de deslocamento na lei de
Ampère justamente para preservar a conservação de carga elétrica.
Derivando em relação ao tempo a lei de Gauss elétrica (69) obtemos
∂
∂D
∂ρ
(∇ · D) = ∇ ·
=
.
(94)
∂t
∂t
∂t
A derivada temporal do campo elétrico pode ser escrita em termos da lei de
Ampère-Maxwell (72):


∂D 
∇·
= ∇ · (∇ × H) −∇ · J = −∇ · J.
{z
}
|
∂t
=0
Substituindo em (94) teremos
∂ρ
= −∇ · J
∂t
que reduz-se à equação de continuidade (93), como querı́amos demonstrar.
24
10
Conservação de energia
Vamos fazer o produto escalar da intensidade magnética com a lei de Faraday
(71):
∂B
,
(95)
H · (∇ × E) = −H ·
∂t
e o produto escalar do campo elétrico com a lei de Ampère-Maxwell (72);
E · (∇ × H) = E · J + E ·
∂D
.
∂t
(96)
Subtraindo membro a membro (96) de (95) resulta que
H · (∇ × E) − E · (∇ × H) = −E · J − E ·
∂D
∂B
−H·
.
∂t
∂t
O primeiro membro da expressão acima é o divergente de E×H. No segundo
membro podemos usar as relações constitutivas D = εE e B = µH (válidas para
meios isotrópicos e lineares) para escrever
ε ∂
∂ 1
∂D
=
(E · E) =
E·D ,
E·
∂t
2 ∂t
∂t 2
∂B
µ ∂
∂ 1
H·
=
(H · H) =
H·B ,
∂t
2 ∂t
∂t 2
de modo que
∂
∇ · (E × H) = −E · J −
∂t
1
1
E·D+ H·B .
2
2
(97)
Definindo o vetor de Poynting
S ≡ E × H.
(98)
e a densidade de energia eletromagnética
u≡
1
(E · D + H · B) ,
2
(99)
podemos reescrever (97) na forma de uma equação local de conservação da
energia, também conhecida como teorema de Poynting:
∂u
+ ∇ · S = −J · E.
∂t
(100)
Num meio linear e isotrópico o vetor de Poynting e a densidade de energia
escrevem-se de modo mais simples como
S
=
u
=
1
E × B,
µ
1
1
1
εE 2 + B 2 .
εE 2 + µH 2 =
2
2
µ
25
(101)
(102)
No vácuo, onde ε = ε0 e µ = µ0 temos
S
=
u
=
onde usamos a relação
1
E × B,
µ0
1
1 2
ε0
2
ε0 E +
=
E 2 + c2 B 2 ,
B
2
µ0
2
c2 =
(103)
(104)
1
.
ε 0 µ0
Integrando os termos do teorema de Poynting numa região de volume V
temos
I
Z
Z
∂u
+
S·A = −
dV J · E
(105)
dV
∂t
S
V
V
Z
∂
udV =
(106)
∂t V
R
onde usamos o teorema do divergente. Definindo UEM = V udV a energia
eletromagnética envolvida pelo volume V , temos uma equação global para a
conservação de energia
dUEM
=−
dt
I
S
S · dA −
Z
V
dV J · E,
(107)
cuja interpretação fı́sica é a seguinte: um aumento (diminuição) da energia
eletromagnética armazenada nos campos existentes no interior de uma região V
do espaço pode ser motivada por dois fatores.
O primeiro fator é a existência de um influxo (efluxo) de energia através
da superfı́cie S (que envolve V ), de forma que o vetor de Poynting representa
a densidade de fluxo de energia. O segundo fator, em condutores, representa
a dissipação de energia no interior de V devido ao efeito Joule (transformação
irreversı́vel de energia elétrica em calor). Se o meio for um condutor ôhmico de
condutividade
elétrica σ, então J = σE, e o termo relativo ao efeito Joule será
R
−σ V E 2 dV < 0.
Em consequência, podemos associar o termo devido ao efeito Joule, que
é uma diminuição da energia do campo eletromagnético, a um aumento da
energia não-eletromagnética, que chamaremos UMEC , tal que, para um sistema
de partı́culas carregadas interagindo com campos elétricos tenhamos
Z
dUEM
dV J · E,
(108)
=
dt
V
de modo que há uma conservação de energia total (= mecânica + eletromagnética)
para um sistema de partı́culas e campos, escrita como
d
(UEM + UMEC ) = −
dt
26
I
S
S · dA.
(109)
11
Conservação do Momentum Linear
11.1
Densidade da força de Lorentz
Os campos eletromagnéticos têm, além de energia, momentum linear. Para
mostrar este fato vamos inicialmente considerar a força de Lorentz sobre uma
partı́cula com carga q e velocidade v, dada por (30):
F = q(E + v × B).
(110)
Em geral, estamos interessados em sistemas onde haja uma distribuição (volumétrica) de carga ρ(r, t) e (superficial) de corrente J(r, t), para as quais (110)
dá a força por unidade de volume, desde que façamos as seguintes substituições:
dq → ρdV e
vdq = (Idt)v = Idℓ → J(Adℓ) = JdV,
(111)
ou seja, a força resultante sobre uma distribuição de cargas em movimento num
volume V será
Z
Z
dV f ,
(112)
dV (ρE + J × B) =
F=
V
V
onde definimos também uma densidade de força de Lorentz:
f = ρE + J × B.
(113)
Usando a lei de Gauss elétrica (26) para eliminar ρ e a lei de Ampère-Maxwell
(29) para eliminar J obtemos
1
∂E
f = ε0 (∇ · E)E +
× B.
(114)
∇ × B − ε0
µ0
∂t
Usando
∂
(E × B) =
∂t
∂B
∂E
,
×B + E×
∂t
∂t
assim como a lei de Faraday (28) para escrever
∂B
= −∇ × E,
∂t
temos que
∂
∂E
× B = (E × B) + E × (∇ × E),
∂t
∂t
que, substituida em (114), fornece
∂
1
[(∇ · B)B − B × (∇ × B)] − ε0 (E × B)
µ0
∂t
(115)
onde somamos o termo que contém ∇ · B em vista dele ser nulo, gracas à Lei
de Gauss magnética (27).
Usando uma fórmula da análise vetorial
f = ε0 [(∇ · E)E − E × (∇ × E)] +
∇E 2 = ∇(E · E) = 2(E · ∇)E + 2E × (∇ × E),
27
de modo que
E × (∇ × E) =
1
∇E 2 − (E · ∇)E.
2
B × (∇ × B) =
1
∇B 2 − (B · ∇)B.
2
Analogamente
donde podemos reescrever (115) como
f
1
[(∇ · B)B + (B · ∇)B]
= ε0 [(∇ · E)E + (E · ∇)E] +
µ0
1
∂
1 2
−
B − ε0 (E × B).
∇ ε0 E 2 +
2
µ0
∂t
(116)
Tomando a j-ésima componente da densidade de força de Lorentz (117)
temos:
fj
11.2
1
[(∇ · B)Bj + (B · ∇)Bj ]
= ε0 [(∇ · E)Ej + (E · ∇)Ej ] +
µ0
1 ∂
∂
1 2
−
ε0 E 2 +
B − ε0 (E × B).
(117)
2 ∂xj
µ0
∂t
Tensor tensão de Maxwell
Vamos introduzir o tensor tensão de Maxwell, denotado por σ, e que é um
tensor de segunda ordem com nove componentes (i, j = 1, 2, 3) dadas por
σij = ε0
1
Ei Ej − δij E 2
2
1
+
µ0
1
2
Bi Bj − δij B .
2
onde usamos a delta de Kronecker, definido como
1, i = j
δij =
0, i 6= j
(118)
(119)
Quando dentro de uma somatória, a delta de Kronecker atua como um filtro,
retendo apenas o ı́ndice para o qual δij = 1. Por exemplo
3
X
δij Aj = Ai ,
(120)
j=1
pois δij = 1 só se i = j.
Os ı́ndices i = 1, 2, 3 referem-se às coordenadas x, y e z, respectivamente, da
mesma forma que para j. Por exemplo, tomando i = 1 e j = 1 a componente
do tensor (118) será
1
1
1
Bx Bx − δ11 B 2
σ11 = σxx = ε0 Ex Ex − δ11 E 2 +
2
µ0
2
1
1
1
= ε0 Ex Ex − (Ex2 + Ey2 + Ez2 ) +
Bx Bx − (Bx2 + By2 + Bz2 )
2
µ0
2
1
1
=
ε0 Ex2 − Ey2 − Ez2 ) +
Bx2 − By2 − Bz2 )
(121)
2
2µ0
28
Já para i = 1 e j = 2 temos
1
1
1
Bx By − δ12 B 2
σ12 = σxy = ε0 Ex Ey − δ12 E 2 +
2
µ0
2
1
Bx By .
= ε0 Ex Ex +
µ0
(122)
e assim por diante.
Antes de prosseguir, vamos ver (ou rever) algumas definições do cálculo vetorial e tensorial. O gradiente de um escalar é um vetor, cuja j-ésima componente
é
∂ϕ
(∇ϕ)j = ∇ϕ · êj =
.
(123)
∂xj
Já o divergente de um vetor é um escalar, e podemos escrevê-lo na forma de
uma somatória:
3
∇·E=
X ∂Ei
∂Ex
∂Ey
∂Ez
.
+
+
=
∂x
∂y
∂z
∂xi
i=1
(124)
De maneira análoga, o divergente de um tensor é um vetor, cuja j-ésima componente é definida como
(∇ · σ)j =
3
X
∂σij
i=1
∂xi
.
(125)
Usando (125) vamos calcular o divergente do tensor tensão de Maxwell (118):
(∇ · σ)j
=
+
=
+
=
+
=
+
3 X
1 ∂E 2
∂
(Ei Ej ) − δij
ε0
∂xi
2
∂xi
i=1
2
1
1 ∂B
∂
(Bi Bj ) − δij
µ0 ∂xi
2
∂xi
3 X
∂Ei
∂Ej
1 ∂E 2
ε0
Ej + Ei
−
∂xi
∂xi
2 ∂xj
i=1
∂Bj
1 ∂B 2
1 ∂Bi
Bj + Bi
−
µ0 ∂xi
∂xi
2 ∂xj
!
!
#
" 3
3
X
X ∂Ei
∂
1 ∂E 2
Ei
Ej +
Ej −
+
ε0
∂xi
∂xi
2 ∂xj
i=1
i=1
" 3
!
!
#
3
X ∂Bi
X
1
∂
1 ∂B 2
Bi
Bj +
Bj −
µ0
∂xi
∂xi
2 ∂xj
i=1
i=1
1 ∂E 2
+
ε0 (∇ · E)Ej + (E · ∇)Ej −
2 ∂xj
1 ∂B 2
1
(∇ · B)Bj + (B · ∇)Bj −
(126)
µ0
2 ∂xj
29
Figura 13: Componentes do tensor tensão de Maxwell
onde usamos a propriedade (120) nos termos contendo a delta de Kronecker,
assim como (124) e o operador
E·∇=
3
X
Ei
i=1
∂
.
∂xi
(127)
Comparando (126) com (117) temos que
fj = (∇ · σ)j −
1 ∂Sj
,
c2 ∂t
(128)
onde usamos (98) para introduzir o vetor de Poynting, e lembramos que c2 =
1/ε0 µ0 . Em termos simbólicos reescrevemos (128) como
f =∇·σ−
1 ∂S
,
c2 ∂t
(129)
De (113), para obter a força eletromagnética total que age sobre um volume
V nós integramos esta expressão:
Z
Z
Z
∂S
1
dV
dV ∇ · σ − 2
dV f =
F =
c
∂t
V
V
IV
Z
d
S
=
σ · dA −
(130)
dV 2 ,
dt V
c
S
onde nós usamos um análogo ao teorema do divergente para transformar a
integral de volume de ∇ · σ numa integral de superfı́cie.
De (130) vemos que a integral
I
I
σ · dA =
σ · ndA
S
S
tem dimensões de força. Vamos escrever o vetor normal à superfı́cie S como
n=
3
X
ni êi = n1 x̂ + n2 ŷ + n3 ẑ.
i=1
30
(131)
Então a i-ésima componente da integral será
I
S
(σ · dA)i =
3 I
X
j=1
σij nj dA
S
Como nj é a componente da normal ao longo do eixo xj , concluimos que
σij é a i-ésima componente da força por unidade de área perpendicular ao eixo
xj [veja Fig. 13 para uma indicação de todas as componentes do tensor tensão
agindo nas faces de um cubo]. As componentes diagonais do tensor tensão
de Maxwell: σii representam pressões, ou seja, tensões normais à superfı́cie
perpendicular ao eixo xi . Já as componentes não-diagonais σij , com i 6= j, são
tensões de cizalhamento, pois correspondem a componentes da força que são
paralelas à superfı́cie na qual atua.
Pela definição (118) verificamos imediatamente que o tensor tensão de Maxwell
é simétrico, ou seja
σij = σji
(132)
de modo que apenas seis componentes são independentes: três pressões e três
tensões de cizalhamento.
11.3
Forças entre as placas paralelas de um capacitor
Como um exemplo de aplicação do tensor tensão de Maxwell para determinar
forças em sistemas que envolvem cargas e/ou correntes elétricas, vamos considerar um capacitor com placas paralelas de área A separadas por uma distância
d. As placas são perpendiculares ao eixo x. Se d for muito menor do que as
dimensões das placas podemos usar a aproximação de placas infinitas de modo
que o campo elétrico entre elas é uniforme:
E=
q
x̂,
ε0 A
(133)
onde q é o módulo da carga das placas.
Como Ey = Ez = Bx = By = Bz = 0 as componentes diagonais do tensor
tensão de Maxwell (118) são todas nulas. Já as componentes diagonais são, de
acordo com (??), dadas por
q2
1
,
(134)
σ11 = σxx = ε0 Ex2 − Ex2 =
2
2ε0 A2
1
q2
σ22 = σyy = ε0 Ey2 − Ex2 = −
,
(135)
2
2ε0 A2
q2
1
,
(136)
σ33 = σzz = ε0 Ez2 − Ex2 = −
2
2ε0 A2
de modo que a representação matricial do tensor

1 0
q2 
0 −1
(σij ) =
2ε0 A2
0 0
tensão de Maxwell seja

0
0 
(137)
−1
Este resultado pode ser usado para determinar a força elétrica entre as placas, que têm cargas q (em x = 0) e −q (em x = d). A força por unidade de área
31
sobre a primeira placa é σ11 n1 , onde n̂ = x̂ é o respectivo versor normal, logo
n1 = 1. Integrando sobre toda a placa obtemos a força sobre ela:
Z
q2
q2
A=
F = σ11 n1 dA =
2
2ε0 A
2ε0 A
A força por unidade de área sobre a segunda placa é também σ11 n1 , mas agora
a normal é n̂ = −x̂, donde n1 = −1 e portanto a força será
F′ = −
q2
= −F
2ε0 A
de modo que as forças entre as placas são atrativas.
11.4
Momentum linear eletromagnético
Pela segunda lei de Newton, a força sobre o sistema é igual à variação temporal
do seu momentum linear mecânico PMEC :
dPMEC
= F,
dt
(138)
de modo que, em (130),
dPMEC
=
dt
I
d
σ · dA −
dt
S
Z
dV g,
(139)
V
onde definimos a densidade de momentum linear do campo eletromagnético:
g≡
S
= ε0 E × B,
c2
Portanto o momentum linear do campo eletromagnético é dado por
Z
dV g,
PEM =
(140)
(141)
V
donde
d
PMEC =
dt
I
S
σ · dA −
d
PEM .
dt
(142)
Considerando um momentum linear total do sistema (mecânico + eletromagnético) temos
I
d
(143)
(PMEC + PEM ) =
σ · dA,
dt
S
ou seja, qualquer aumento no momentum linear total do sistema é igual ao
momentum linear trazido pelos campos eletromagnéticos. Podemos interpretar (143) como uma expressão do balanço de momentum linear num sistema
formado por cargas, correntes e os campos eletromagnéticos respectivos.
Além de momentum linear, os campos eletromagnético também têm momentum angular. O momentum angular do campo é
Z
dV ℓ,
(144)
LEM =
V
32
onde ℓ é a densidade de momentum angular, definida como
ℓ=r×g =
1
r × S,
c2
(145)
onde g é a densidade do momentum linear, dada por 140). Observe que mesmo
campos elétricos e magnéticos estáticos possuem momentum linear e angular.
Para isso o produto E × B deve ser não-nulo. No próximo capı́tulo voltaremos
a este assunto.
12
Problemas
1. Capacitor de placas paralelas. Considere duas placas condutoras quadradas de
lado ℓ, separadas por uma distância d, e sem meio material entre elas. Se as
placas forem muito extensas (ℓ ≫ d, podemos usar a aproximação de placas infinitas e considerar o campo elétrico E entre as placas como uniforme e apontando
numa direção perpendicular às placas. Usando a lei de Gauss elétrica determine
o módulo do campo elétrico entre as placas e fora da região entre as placas.
2. (a) Campo magnético de um fio retilı́neo. Usando a lei circuital de Ampère
determine o campo magnético produzido por um fio retilı́neo infinitamente longo
conduzindo uma corrente I. (b) Solenóide. Seja um solenóide cilı́ndrico de raio
a e comprimento L, no qual são enroladas N espiras de forma compacta (para
evitar perda de fluxo magnético), percorridas por uma corrente elétrica I. A
densidade de espiras é, portanto, n = I/L (número de espiras por unidade de
comprimento). Na aproximação de solenóide infinito (para a qual L ≫ a) o
campo magnético no seu interior é uniforme, e fora do solenóide o campo é
nulo. Use a lei circuital para obter o módulo do campo magnético no interior
do solenóide.
3. Capacitor de placas paralelas preenchidas com um dielétrico. Considere um capacitor de placas extensas e paralelas de área A, separadas por uma distância
d e preenchidas com um dielétrico de constante K. O capacitor é sujeito a uma
diferença de potencial ∆ϕ. (a) Use a lei de Gauss elétrica para determinar o
deslocamento elétrico entre as placas; (b) Ache o campo elétrico e a polarização
entre as placas; (c) Obtenha a densidade superficial das cargas de polarização
nas superfı́cies da lâmina dielétrica; (d) Interprete fisicamente seu resultado.
4. Um capacitor de placas paralelas tem placas circulares de área A, separadas
por uma distância d. Um fio fino retilı́neo de comprimento d coincide com o
eixo das placas e as conecta no espaço entre as placas. O fio tem resitência
R e suas extremidades estão conectadas a uma fonte de fem alternada E =
E′ sin ωt. (a) Obtenha a corrente de condução no fio e a corrente de deslocamento
entre as placas do capacitor; (b) Calcule a taxa de variação da carga nas placas
do capacitor bem como a corrente total no circuito; (c) Determine o campo
magnético entre as placas como função da distância r ao eixo das placas.
5. Solenóide com núcleo magnético Um solenóide muito longo de comprimento ℓ
tem n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente I. (a)
Considerando a presença de um núcleo magnético (mas não ferromagnético), use
a lei de Ampère-Maxwell para determinar a intensidade magnética no interior
do solenóide; (b) Obtenha o campo magnético e a magnetização no núcleo do
solenóide. Considere os casos paramagnético e diamagnético.
6. Um fio retilı́neo infinito conduzindo uma corrente I é colocado à esquerda de
uma espira retangular de comprimento ℓ e largura w, sendo que o comprimento é
33
paralelo ao fio e separado de uma distância s deste. (a) Calcule o fluxo magnético
pela espira retangular, devido ao fio retilı́neo; (b) Suponha que a corrente no
fio seja dada por I(t) = a + bt, onde a e b são constantes positivas. Ache o
módulo e o sentido da fem induzida na espira. Se ela é feita de um metal com
condutividade σ e área da seção reta A, calcule a corrente induzida na espira.
7. Uma espira retangular de dimensões ℓ e w move-se com velocidade constante v,
afastando-se do fio retilı́neo infinito pertencente ao plano da espira e conduzindo
uma corrente I. Se a resistência total da espira é R, determine a corrente
induzida na espira quando sua distância ao fio é igual a r.
8. Um capacitor tem duas placas circulares paralelas de raio R e separadas de
uma distância h, ligadas a fios conduzindo uma corrente I. (a) Obtenha o
vetor de Poynting como função da distância radial r; (b) Mostre
que a taxa de
H
crescimento da energia eletrostática no capacitor é igual a S S · n̂, onde S é a
superfı́cie cilı́ndrica lateral.
9. Um solenóide muito longo tem núcleo de ar, comprimento ℓ, raio r ≪ ℓ e n
espiras por unidade de comprimento. O solenóide é ligado a uma fonte de tensão
tal que a corrente I que passa por ele aumenta a uma taxa constante α > 0. (a)
Usando a lei de Faraday, ache o campo elétrico induzido na posição do solenóide;
(b) Calcule o vetor de Poynting nessa posição; (c) Mostre que a taxa de variação
da energia magnética no solenóide é I|E |, onde E é a fem induzida na posição
das espiras; (d) Usando os resultados dos ı́tens anterioresH mostre que a taxa
de variação da energia magnética no solenóide é igual a S S · n̂, onde S é a
superfı́cie cilı́ndrica lateral.
10. Um condutor cilı́ndrico de raio a, comprimento ℓ ≫ a e condutividade σ transporta uma corrente estacionária I distribuı́da uniformemente na sua seção reta.
(a) Ache o campo elétrico dentro do condutor; (b) Determine o campo magnético
na borda do condutor; (c) Calcule o vetor de Poynting na borda; (d) Obtenha
a taxa com que a energia eletromagnética flui para o condutor e compare o
resultado com a taxa de dissipação de energia via efeito Joule.
11. (a) Mostre que as componentes da força de Lorentz podem ser escritas como
Fi = −
∂U
d ∂U
+
,
∂xi
dt ∂vi
(i = 1, 2, 3),
onde definimos o potencial generalizado em termos dos potenciais eletromagnéticos
U (r, t) = qϕ(r, t) − qA(r, t) · v
sendo q a carga elétrica. (b) Mostre que as equações de movimento de uma
partı́cula carregada de massa m num campo eletromagnético podem ser obtidas
a partir da seguinte Lagrangeana
L=
1
mv 2 − U (r, t).
2
12. Considere os dois potenciais vetoriais A1 e A2 dados por (35) e (36), respectivamente. Ache a transformação de Gauge χ(x, y) que os conecta.
13. Um solenóide infinitamente grande de raio a tem seu eixo ao longo da direção
z, e possui n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente de
intensidade I. Determine o tensor tensão de Maxwell neste caso. É conveniente
usar coordenadas cilı́ndricas para resolver este problema, cujos vetores unitários
são:
r̂
=
θ̂
=
cos θx̂ + sin θŷ,
− sin θx̂ + cos θŷ,
ẑ
=
ẑ,
34
Figura 14: O paradoxo do disco, de Feynman.
14. Considere uma esfera maciça de raio R uniformemente carregada com uma carga
total Q.
(a) Obtenha as componentes do tensor tensão de Maxwell;
(b) Calcule a força resultante no hemisfério superior.
15. Um cabo coaxial de comprimento ℓ é formado por um condutor interno de raio
a e um condutor externo de raio b. Uma extremidade do cabo está conectada a
uma bateria e a outra a um resistor. O condutor interno tem uma carga λ por
unidade de comprimento e uma corrente estacionária I, enquanto o condutor
externo tem carga e corrente opostas.
(a) Determine o momentum linear do campo eletromagnético;
(b) Supondo que a resistência do resistor seja aumentada, a corrente no cabo
irá diminuir, o que acarretará uma variação do campo magnético. Usando a lei
de Faraday, determine nese caso o campo elétrico induzido;
(c) No caso do ı́tem (b), calcule a força exercida pelo campo induzido sobre os
condutores, e o momentum linear mecânico do cabo.
16. O campo eletromagnético tem momentum angular. Uma experiência proposta
pelo famoso fı́sico e prêmio Nobel Richard Feynman ilustra este fato: considere
um solenóide infinitamente longo com n espiras por unidade de comprimento
e um disco plástico girante com m esferas metálicas carregadas a ele coladas a
uma distância R do eixo [cfr. Fig. 14]. O disco pode girar sem atrito em torno
do eixo do solenóide. Quando a corrente elétrica varia com o tempo, o disco
começa a girar. De onde veio o momentum angular do disco? A resposta é:
do momentum angular do campo eletromagnético. (a) Suponha que a corrente
elétrica no solenóide varie a uma taxa constante α:
I(t) = αt.
Calcule o campo elétrico induzido que atua nas esferas metálicas como função
da distância r até o eixo. (b) Determine o torque mecânico sobre cada esfera e
obtenha o momentum angular mecânico do disco.
17. Um solenóide muito comprido de raio R tem n espiras por unidade de comprimento, percorridas por uma corrente I. Há duas cascas cilı́ndricas muito
compridas de comprimento ℓ: a primeira, dentro do solenóide e com raio a tem
carga Q distribuida uniformemente sobre sua superfı́cie, e a outra casca, de raio
b, está fora do solenóide e tem carga −Q.
(a) Calcule a densidade de momentum linear do campo eletromagnético;
(b) Calcule a componente z da densidade de momentum angular do campo
eletromagnético. Obtenha o momentum angular do campo.
35
(c) Se a corrente no solenóide for gradualmente reduzida, calcule o campo elétrico
induzido, o torque e o momentum angullar mecânico nos cilindros internos e
externo.
13
Respostas e sugestões
1. E = q/ε0 A entre as placas, E = 0 fora delas;
2. (a) B = µ0 I/2πr; (b) B = µ0 nI.
3. (a) D = σS (densidade de carga livre nas placas do capacitor); (b) E = σS /ε0 κ,
P = σS (1 − 1/κ); (c) σP = −σS (1 − 1/κ).
4. (a)
ε0 AE0 ω
E0
sin ωt,
Id =
cos ωt,
R
d
(b) Ic = Id e IT = IR + Ic ; (c)
µ0 E0
ε0 πrω
1
B=
sin ωt +
cos ωt ,
2π
rR
d
IR =
5. (a) H = nI; (b) B = κm µ0 nI, M = nI(κm − 1), que é positiva (negativa) se o
núcleo for paramagnético (diamagnético).
6. (a)
ΦB =
(b)
E =−
µ0 Iℓ s + w ln
2π
s
µ0 ℓb s + w ,
ln
2π
s
7.
i=
i=
s + w
µ0 IℓbσA
ln
4π(ℓ + w)
s
vw
µ0 Iℓ
.
2πR r(r + w)
8. (a) Sendo Q a carga nas placas do capacitor,
S=−
Qr
dQ
r̂.
2π 2 R4 ε0 dt
9. (a)
E=−
µ0 nrα
φ̂
2
(b)
S=−
µ0 n2 rIα
r̂
2
10. (a) e (b)
E=
I
ẑ,
σπa2
B=
S=−
I2
r̂
2π 2 σa3
µ0 I
φ̂
2πr
(c)
(d) I 2 ℓ/σπa2 .
11. Detalhes no livro do Goldstein de Mecânica Clássica, 2a. Ed., pgs. 21 a 23.
12. χ(x, y) = 12 By(x − y)
36
13.

−1
µ0 n2 I 2 
0
(σij ) =
2
0
0
−1
0

0
0 ,
1
14. Este problema está resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.2, pg. 245.
15. Este problema está resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.3, pg. 247.
16. (a)
E(r) =
µ0 R2 nα
2r
(b)
1
µ0 mqR2 nI
2
17. Este problema está resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.4, pg. 249.
N (r) = rqE(r),
LM EC =
Referências
[1] J. C. Maxwell, On Faraday’s Lines of Force, Camb. Phil. Soc. Trans. (1864),
pp 27-83 [1855-56].
[2] J. C. Maxwell, On Physical Lines of Force. Part 1: The theory of molecular
vortices applied to magnetic phenomena, Phil. Mag. XXI (1861), pp. 161175; On physical lines of force. Part 2. The theory of electrical vortices
applied to electric currents. Phil. Mag. XXI. (1861), pp. 281-291, 338-348;
On physical lines of force. Part 3. The theory of electrical vortices applied
to statical electricity. Phil. Mag. XXIII. (1862), pp. 12-24; On physical lines
of force. Part 4 The theory of electrical vortices applied to the the action of
magnetism on polarized light Phil. Mag. XXIII. (1862) pp. 85-95.
[3] J. C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Roy. Soc.
Proc. XIII. (1864), pp. 531-536; Phil. Trans. CLV. (1865), pp. 459-512; Phil.
Mag. XXIX. (1865), pp. 152-157. Este e diversos outros artigos escritos
por Maxwell estão disponı́veis no artigo da Wikipedia sobre equações de
Maxwell (em inglês).
[4] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Clarendon Press,
Oxford, 1873). Pode ser acessado no site https://archive.org/details/
electricandmagne01maxwrich.
[5] D. J. Griffiths, ”Eletrodinâmica”, 3a. Edição, Pearson, São Paulo, 2010.
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