ESTIMAÇÃO DE MODO DOMINANTE DO SISTEMA INTERLIGADO BRASILEIRO VIA FILTRO
DE KALMAN ESTENDIDO USANDO DADOS AMBIENTES OBTIDOS DE UNIDADES DE MEDIÇÃO FASORIAL
PEDRO ELIAS WEBER DE DEUS AMARAL1*, FRANCISCO D. FREITAS1#, LUÍS FILOMENO DE J. FERNANDES2.
1.
Departamento de Engenharia Elétrica - Campus Darcy Ribeiro, Universidade de Brasília
Brasília, DF, Brasil - CEP:70910-900
E-mails: [email protected]*, [email protected]#
2. Faculdade do Gama (FG) - Campus do Gama, Universidade de Brasília
Brasília, DF, Brasil - CEP:70900-900
E-mail: [email protected]
Abstract This paper proposes a technique for parameter estimation from field signals. These signals are obtained from phasor
measurement units (PMUs) in power systems. A methodology based on the extended Kalman filter was developed and applied
to the parameter estimation problem. In this work, the parameters are related to the dominant modes of the observed signals. The
methodology performance is evaluated through experiments by using data which are obtained from PMUs at different sites in
Brazil. From these experiments, the main dominant mode of the interconnected Brazilian power system is identified.
Keywords Power systems, synchronized phasor measurements, ambient data, extended Kalman filter.
Resumo Este artigo propõe uma técnica para a estimação de parâmetros a partir de sinais reais medidos em unidades de medição fasorial em sistemas de potência. Com esta finalidade, desenvolve-se metodologia na qual é feita aplicação do filtro de Kalman estendido para a estimação dos parâmetros. Os parâmetros estão relacionados a modos dominantes dos sinais medidos. O
desempenho da metodologia é avaliado mediante testes considerando dados medidos em unidades de medição fasorial localizadas em diferentes locais no Brasil. A partir desses testes, identifica-se o principal modo dominante presente no sistema interligado brasileiro.
Palavras-chave Sistemas de potência, medição fasorial sincronizada, dados ambientes, estimação de parâmetros, filtro de
Kalman estendido.
1
Introdução
Dados obtidos de unidades de medição fasorial
(Phasor Measurament Unit – PMU) têm sido utilizados para estimação de modos de oscilação eletromecânicos em sistemas elétricos de potência (Decker
et al., 2006; Vanfretti et al., 2011; Prioste et al.,
2010; Jeremias et al., 2012). O advento de novas
tecnologias de processadores, a transmissão de dados
via Internet, e o uso de dispositivos que permitem a
sincronização de dados, como o Global Positioning
System (GPS), têm tornado viável medição de grandezas em locais bastante remotos. Um exemplo de
projeto bem sucedido desta natureza é o identificado
em (Medfasee, 2015). Neste projeto, as PMUs são
conectadas à rede de baixa tensão em laboratórios de
diferentes universidades brasileiras.
Os sinais medidos das PMUs permitem que algumas grandezas características do sistema possam
ser estimadas. Dados de ângulo ou de frequência são
utilizados para avaliação de características dinâmicas
do sistema (Yang et al., 2015). Muitos trabalhos
destacam o cálculo de modos dominantes de oscilação eletromecânicos. A partir desta informação é
possível se ter uma panorâmica preliminar sobre o
estado dinâmico do sistema a partir da análise de
estabilidade a pequenas perturbações.
As oscilações bem amortecidas, em geral, são
características dos sistemas elétricos na maior parte
do tempo de operação. No entanto, no curto período
em que são pouco amortecidas, ou mesmo instáveis,
as oscilações eletromecânicas podem vir a colocar
em risco a segurança da operação do sistema. Este
fato, pode levar a restrições de fluxo de potência em
linhas de transmissão e até ao colapso do sistema
(Vanfretti et al., 2011). Assim, a identificação dessas
oscilações a partir de grandezas medidas em PMUs
tem sido objeto de diversas pesquisas.
Alguns trabalhos (Yang et al., 2015) priorizam
investigações com base em sinais transitórios
(ringdown), as quais são originários de eventos causados por grandes perturbações, como curtoscircuitos, perda de algum equipamento etc. Mas, na
prática, o sistema opera grande parte do tempo sob
excitação de ruído ambiente, causado principalmente
por chaveamento permanente de cargas. Neste sentido, utilizar dados ambientes ao invés de provenientes
de ringdown para estimação instantânea do estado do
ponto de operação do sistema torna-se uma importante contribuição para o setor elétrico.
Este artigo propõe uma técnica para estimação
de modo dominante de um sistema elétrico, a partir
de dados ambientes provenientes de PMU. A técnica
para estimação de parâmetros utiliza abordagem
baseada no filtro de Kalman estendido (FKE). Esta
abordagem permite a observação da variação dos
parâmetros do modo dominante no tempo com modelos de ordem reduzida. A aplicação do método é feita
para estimar o modo de oscilação mais dominante no
sistema elétrico brasileiro com configuração atual.
Todas as medições em PMU são realizadas em laboratórios de algumas universidades brasileiras, no lado
de baixa tensão. Os resultados das medições, na
forma sincronizada, ficam acessíveis em um concentrador de dados fasoriais ( phasor data concentrator PDC), instalado na UFSC.
2
Dados de Medição Fasorial
O Sistema Interligado Nacional( SIN) é composto principalmente por diversas centrais de geração,
linhas de transmissão de energia e pelas cargas dos
consumidores, localizados em todo o território nacional. Este, assim como outros sistemas elétricos de
potência, estão sujeitos a oscilações eletromecânicas
locais e remotas provocadas pelas interações elétricas
entre as unidades de geração, por perturbações de
diversas naturezas em grande ou pequena escala.
Com o objetivo de monitorar um indicador dessas oscilações eletromecânicas, este trabalho apresenta um método de detecção dos modos de oscilação do SIN a partir de sinais amostrados em PMUs.
As PMUs cujos dados são utilizados neste trabalho, foram instalados no âmbito do Projeto de Pesquisa Medfasee, sob responsabilidade da Universidade Federal de Santa Catarina (Decker et al., 2006;
Medfasee, 2015). Os referidos PMUs disponibilizam
os sinais em 110V e 220V a uma frequência de 60
amostras por segundo e com sincronização temporal
por Global Positioning System (GPS).
Ficou demonstrada em diversos trabalhos
(Prioste et al., 2010; Jeremias et al., 2012; Decker et
al., 2006) a eficácia dos dados fasoriais coletados em
baixa tensão para estimação da estabilidade do ponto
de operação do sistema. Utilizando este fundamento,
e com base na estimação de parâmetros via FKE, a
partir de dados fasoriais ambientes, é que este trabalho embasa sua contribuição conforme será discutido
na sequência.
ção, respectivamente. As variáveis aleatórias são
caracterizadas como ruído branco Gaussiano, com
média nula e descorrelacionadas, com variâncias de
modelo 𝑸𝟏 ∈ ℝ𝑛×𝑛 e de medição de saída 𝑹 ∈ ℝ𝑞×𝑞 .
3.1 Estimação de Estados via Filtro de Kalman
A estimação de estados via FK discreto é dividida, essencialmente, em duas etapas (Welch &
Bishop, 2006). Na primeira, chamada de predição, é
feita uma estimação dos estados do sistema para a
amostra (k+1) com base nos valores dos estados
obtidos até a amostra k. Na segunda etapa, chamada
de correção, os valores de xk, estimados na etapa de
predição, são corrigidos com base em procedimento
denominado inovação. As equações que descrevem a
etapa de predição do algoritmo do FK são as seguintes:
�𝑘 + 𝑩𝒖𝑘
�−
𝒙
𝑘+1 = 𝑨𝒙
−
= 𝑨𝑷𝑘 𝑨𝑇 + 𝑸1
𝑷𝑘+1
(3)
(4)
�𝑘+1 .
�−
em que 𝒙
𝑘+1 é a predição da estimação 𝒙
A matriz 𝑷𝑘 representa a covariância do erro das
estimativas dos estados à amostra k, enquanto 𝑷−
𝑘+1 é
a estimativa desta matriz para a amostra (k+1). Assume-se que os ruídos no processo e nas medições
têm probabilidade de distribuição normal, com covariâncias Q1 e R, respectivamente.
A etapa de correção é descrita pelas seguintes
equações:
−
𝑇
𝑇
−1
(5)
𝑲𝑘+1 = 𝑷−
𝑘+1 𝑪 (𝑪𝑷𝑘+1 𝑪 + 𝑹)
−
(𝒚
�
�
�
(6)
𝒙𝑘+1 = 𝒙𝑘+1 + 𝑲𝑘+1 𝑘+1 − 𝑪𝒙−
𝑘+1 )
𝑇
𝑷𝑘+1 = (𝑰 − 𝑲𝑘+1 𝑪)𝑷−
𝑘+1 (𝑰 − 𝑲𝑘+1 𝑪) +
(7)
+𝑲𝑘+1 𝑹𝑲𝑇𝑘+1
Na etapa de correção, é necessário calcular o ganho de Kalman Kk+1 e atualizar a matriz de covariância dos erros das estimativas, 𝑷𝑘+1 .
3.2 O Filtro de Kalman Estendido
3
O Filtro de Kalman
O Filtro de Kalman (FK) é um estimador recursivo de estados em sistemas dinâmicos lineares estocásticos, o qual é projetado de modo que o erro quadrático médio da estimação seja minimizado (Welch
& Bishop, 2006; Korba et al., 2003). As equações
básicas do FK em tempo discreto são:
𝒙𝑘+1 = 𝑨𝒙𝑘 + 𝑩𝒖𝑘 + 𝒘𝑘
𝒚𝑘 = 𝑪𝒙𝑘 + 𝒗𝑘
(1)
(2)
em que 𝒙𝑘 ∈ ℝ𝑛 é o vetor de estados; 𝒖𝑘 ∈ ℝ𝑚 é o
vetor de entradas; 𝒚𝑘 ∈ ℝ𝑞 é o vetor de saídas;
𝑨 ∈ ℝ𝑛×𝑛 é a matriz de transição de estados;
𝑩 ∈ ℝ𝑛×𝑚 é matriz de entrada; 𝑪 ∈ ℝ𝑞×𝑛 é a matriz
de saída; 𝒘𝑘 ∈ ℝ𝑛 e 𝒗𝑘 ∈ ℝ𝑞 são variáveis aleatórias que representam os ruídos de modelo e de medi-
O equacionamento apresentado na Subseção 3.1
sobre o FK é válido para situações em que as matrizes A, B e C representam modelos lineares. Casos
mais gerais requerem uma abordagem não linear.
Uma forma não linear pode ser descrita por:
(8)
𝒙𝑘+1 = 𝑓(𝒙𝑘 , 𝒖𝑘 , 𝒘𝑘 )
(9)
𝒚𝑘 = ℎ(𝒙𝑘 , 𝒗𝑘 )
Modificações em (8) e (9) foram introduzidas
(Welch & Bishop, 2006), ficando a nova
denominação conhecida como filtro de Kalman
estendido (FKE).
O uso do FKE requer linearizações a cada
amostra, de forma que as matrizes do sistema de
espaço de estados no FK são substituídas na amostra
k pelas linearizações do FKE. Assim, as equações do
FKE na etapa de predição para a estimação da
amostra (k+1) tem as seguintes equações:
�𝑘 , 𝒖𝑘 )
�−
𝒙
𝑘+1 = 𝑓(𝒙
−
= 𝑨𝑘 𝑷𝒌 𝑨𝑇𝑘 + 𝑸1
𝑷𝑘+1
E na etapa de correção:
(10)
(11)
−
𝑇
−1
𝑪𝑇𝑘 (𝑪𝑘 𝑷−
(12)
𝑲𝑘+1 = 𝑷𝑘+1
𝑘+1 𝑪𝑘 + 𝑅)
−
− )�
�𝑘+1 = 𝒙
�𝑘+1 + 𝑲𝑘+1 �𝒚𝑘+1 − ℎ(𝒙
�𝑘+1
(13)
𝒙
𝑇
𝑷𝑘+1 = (𝑰 − 𝑲𝑘+1 𝑪𝒌 )𝑷−
𝑘+1 (𝑰 − 𝑲𝑘+1 𝑪𝑘 ) +
𝑇
(14)
𝑲𝑘+1 𝑹𝑲𝑘+1
em que agora as matrizes 𝑨𝑘 e 𝑪𝑘 são as Jacobianas
�𝑘 ), respectivamente. Estas
�𝑘 , 𝒖𝑘 ) e ℎ(𝒙
de 𝑓(𝒙
matrizes precisam ser calculadas a cada amostra k,
uma vez que dependem dos valores instantâneos dos
estados estimados.
4 Formulação do Problema de Identificação de
parâmetros com o FKE
Nesta seção introduz-se o problema de
identificação de parâmetros formulado como uma
aplicação do FKE. A ideia é simular o parâmetro na
forma de um estado e admiti-lo invariante em um
horizonte de tempo suposto como regime
permanente. Ou seja, no tempo contínuo, se 𝒙𝑃 (𝑡) é
um vetor de estados representando parâmetros, então
em regime permanente 𝒙̇ 𝑃 (𝑡) = 0. Em tempo
discreto, esta expressão pode ser aproximada por
𝒙𝑘+1 ≈ 𝒙𝑘 . Evidentemente, a concepção de “regime
permanente” é relativa, pois o sistema é dinâmico,
está constantemente sujeito a perturbações na forma
de ruído ou mesmo distúrbios de outra natureza
(Perić & Vanfretti, 2014). Por isso, admite-se que o
estado de regime seja alcançado ao final de uma
janela finita de dados, definida em função do
problema (Ledwich & Palmer, 2000).
4.1 Inserção dos parâmetros na forma de estados
O objetivo neste artigo é a identificação de modo
dominante de um sistema real no qual não se conhece
o seu modelo. Além disso, os sinais utilizados são
captados em PMUs e sujeitos a apenas distúrbios do
tipo ruído ambiente. Por esta razão, assume-se que a
𝜕𝑓
=0
entrada 𝒖𝑘 seja nula. Ou seja, assume-se que
𝜕𝒖𝑘
em (8).
Particularmente, um sistema com um único modo
complexo tem equação característica da forma
𝑠 2 + 2𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0, em que 𝑎0 e 𝑎1 são parâmetros
da equação. Uma representação de estado em tempo
contínuo de um sistema autônomo, com ruído de
modelo w e de medição v, com polos iguais aos
valores característicos dessa equação, pode ser
apresentada como:
−𝑎0 𝑥1
�� � + 𝒘
−𝑎1 𝑥2
𝑥1
𝑦 = [0 1] �𝑥 � + 𝑣
2
0
𝑥̇
� 1� = �
1
𝑥2̇
(15)
(16)
em que os estados estimados são x1 e x2 e os
parâmetros são a0 e a1; além disso, y representa os
dados medidos. A matriz de covariância associada ao
ruído de modelo é Q1 enquanto a de processo é R.
Os parâmetros a0 e a1 também podem ser
incluídos como estados do FKE e assim estimados a
cada iteração do algoritmo (Korba et al., 2003).
Desta forma, o sistema (15)-(16) é não linear tendo
duas equações, mas quatro variáveis de estado. As
outras duas equações são justamente 𝑎0̇ = 0 e
𝑎1̇ = 0.
A transformação de sistema contínuo em sistema
discreto é feita aproximando-se as derivadas no
𝑥
−𝑥
tempo entre duas amostras por 𝑥̇ = 𝑘+1 𝑘 , em que h
ℎ
é o período de amostragem. Consequentemente,
tendo o sistema somente dois parâmetros, as
equações do FKE são:
𝑥1,𝑘+1
1
−ℎ𝑎0 𝑥1,𝑘
�𝑥
�=�
��
� + 𝒘𝑘
(17)
ℎ 1 − ℎ𝑎1 𝑥2,𝑘
2,𝑘+1
𝑎0,𝑘
𝑎0,𝑘+1
� = �𝑎 � + 𝒘𝑝
�𝑎
1,𝑘+1
(18)
1,𝑘
em que wp é o ruído de modelagem do processo, mas
agora associado aos parâmetros, com média nula e
variância do ruído Q2. Já wk é o ruído associado aos
estados propriamente estimados, com covariância Q1.
Em uma forma compacta, é o equivalente a se ter o
sistema aumentado:
𝑥1,𝑘+1
1
𝑥2,𝑘+1
ℎ
�=�
�𝑎
0,𝑘+1
0
𝑎1,𝑘+1
0
−ℎ𝑎0,𝑘
1 − ℎ𝑎1,𝑘
0
0
0
0
1
0
0 𝑥1,𝑘
0 𝑥2,𝑘
��
�+
0 𝑎0,𝑘
1 𝑎1,𝑘
𝒘𝒌
�𝒘 � (19)
𝑝
𝑥1,𝑘
𝑥2,𝑘
[𝑦𝑘 ] = [0 1 0 0] �𝑎 � + 𝑣
(20)
0,𝑘
𝑎1,𝑘
A variância do novo modelo de processo é uma
matriz bloco diagonal Q, englobando nos blocos
diagonais a matriz Q1 e a matriz Q2.
4.2 Aplicação do FKE
Observa-se que o sistema obtido a partir da
modelagem incluindo os parâmetros é não linear. O
algoritmo do FKE, portanto requer uma matriz
Jacobiana das derivadas parciais da matriz de estados
a cada iteração do algoritmo, definida como:
1
ℎ
𝑨𝑘 = �
0
0
−ℎ𝑎0,𝑘
1 − ℎ𝑎1,𝑘
0
0
−ℎ𝑥2,𝑘
0
1
0
0
−ℎ𝑥2,𝑘
�
0
1
A matriz Ck é linear, sendo, portanto, a própria
matriz de saída de (20) e Bk=0.
A modelagem na forma (19)-(20) considera que o
sistema possui apenas um modo de oscilação,
λ=α ±jω.
Sabe-se, no entanto, que um sistema elétrico
possui milhares de modos de oscilação, mas que
apenas alguns deles são dominantes. O intuito da
aplicação ao se utilizar o FKE é identificar apenas os
polos dominantes observáveis nos sinais amostrados.
Mais de um polo pode ser estimado pelo FKE
estendendo-se a formulação (15)-(16) para um
conjunto de n parâmetros da seguinte forma:
𝑥1̇
0 −𝑎0
⎡ 𝑥 ̇ ⎤ ⎡1 −𝑎
2
1
⎢
⎥ ⎢
⋮
⎢ ⋮ ⎥ = ⎢⋮
̇ ⎥ ⎢0
0
⎢𝑥𝑛−1
⎣ 𝑥𝑛̇ ⎦ ⎣0
0
𝑦 = [0
𝑥1
0
0
⎤
⎡
𝑥 ⎤
0
0
⎥ ⎢ ⋮2 ⎥
⋮
⋮ ⎥⎢
⎥ + 𝑩𝑢
0 −𝑎𝑛−2 ⎥ ⎢𝑥𝑛−1 ⎥
1 −𝑎𝑛−1 ⎦ ⎣ 𝑥𝑛 ⎦
𝑥1
⎡ 𝑥2 ⎤
⎢
⎥
1 ⋯ 0 1] ⎢ ⋮ ⎥
⎢𝑥𝑛−1 ⎥
⎣ 𝑥𝑛 ⎦
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
incluindo mais as n equações diferenciais dos
parâmetros. Similarmente, na forma de espaço em
tempo discreto, obtém-se um sistema aumentado, tal
como a dedução efetuada para as equações (19)-(20).
4.3 Dados Medidos e Pré-processamento
Os sinais utilizados no presente trabalho são
provenientes dos dados de PMUs instalados em
laboratório de diversas universidades brasileiras no
âmbito do Projeto MedFasee (Medfasee, 2015). Os
dados medidos nessas PMUs são: módulo de tensão e
ângulo de fase das três fases, e frequência. Os dados
são amostrados a uma taxa de 60 amostras por
segundo.
Inicialmente, arquivos de dados das PMUs são
carregados e convertidos para o formato de outros
arquivos que são lidos no Matlab. Nesta etapa, é
comum ocorrer perda de informação de dados. A
PMU nestas condições duplica a última amostra
conhecida para substituir a perda de dado. Portanto,
essa amostra replicada comporta-se como um dado
corrompido em relação ao que seria o verdadeiro
sinal. Com o objetivo de atenuar a perda, faz-se uma
interpolação de dados. Neste caso, as amostras
corrompidas
são
substituídas
por
valores
intermediários e inseridos como parte do sinal entre
as amostras adjacentes efetivamente medidas.
Algumas alternativas de interpolação foram
avaliadas, optando-se por utilizar o denominado
método Piecewise Cubic Hermite Interpolating
Polynomial (PCHIP) (Fritsch & Carlson, 1980),
disponível no software Matlab.
A última etapa do pré-processamento é a
filtragem dos sinais de modo a atenuar oscilações
com frequência menor que 0,1 Hz e maiores do que 3
Hz. Esta filtragem é necessária, porque o interesse é
identificar
oscilações
eletromecânicas
que,
tipicamente, encontram-se na faixa entre 0,2 Hz e 2,5
Hz (Vanfretti et al., 2011; Korba et al., 2003). Foi
utilizado para filtragem um filtro Butterworth de 2a
ordem.
5 Testes e Resultados
Nesta seção descrevem-se resultados da aplicação
do FKE, conforme metodologia descrita nas Seções 3
e 4. Os cálculos são embasados na utilização de
dados de campo obtidos de algumas PMU do projeto
Medfasee (Medfasee, 2015). O objetivo é observar o
comportamento
do
modo
de
oscilação
eletromecânico interárea Norte-Sul do SIN. A análise
foi efetuada em uma longa janela de dados em que as
perturbações são devidas ao próprio ruído ambiente
do sistema elétrico. Com esta finalidade, são
calculados (estimados) o amortecimento e a
frequência do modo de oscilação mais dominante do
SIN.
O FKE foi utilizado com as seguintes matrizes de
covariância P0=I4p, Q1=0,01I2p, Q2=0,0001I2p, R=1,
em que Ik é a matriz identidade de ordem k e p é o
número de parâmetros a estimar. Todos os estados
x0, incluindo aqueles representativos dos parâmetros
utilizados para calcular os modos de oscilação, foram
inicializados com valores aleatórios na faixa entre 0 e
1. Apesar da inicialização ser feita desta forma,
nenhum problema foi identificado com relação à
convergência final de parâmetros.
Os dados utilizados neste artigo referem-se a
informações de ângulo de tensão coletados no dia 14
de outubro de 2014, no período de 20h00 às 21h00
(janela com 1 hora de dados), hora local de Brasília.
Os dados foram obtidos à frequência de 60
amostras/s. Na janela de dados em questão, nenhuma
ocorrência em termos de perturbação na rede elétrica,
merecedora de destaque, foi registrada nos boletins
de divulgação do Operador Nacional do Sistema
Elétrico.
As informações foram obtidas das PMUs
localizadas na UFT, UFRGS, UFSC, UNIPAMPA,
UTFPR e UFMA. Embora nos testes tenham sido
utilizados dados para simulações com ângulos das
três fases da rede trifásica, somente serão mostrados
os resultados relativos à fase referenciada como A.
Os dados foram interpolados, quando se detectou
perda de informação. Antes do uso do FKE, os dados
foram filtrados.
O FKE foi utilizado de modo a permitir a
estimação dos parâmetros que caracterizam os polos
complexos. Com base nestes parâmetros, obtêm-se
os valores instantâneos de amortecimento e de
frequência que caracterizam os modos.
Os parâmetros modais são estimados a cada
amostra. No entanto, com a finalidade de
monitoramento, calculam-se os seus valores médios
considerando-se janelas móveis de duração 600 s (10
min). Estes valores médios têm avaliações espaçadas
no tempo a cada 10 s, iniciando-se no instante 600 s,
o seguinte em 610 s, e assim sucessivamente, até
completar a varredura de dados no tempo, que ocorre
no instante 3.600 s (1 hora de dados).
A Tabela 1 ilustra faixas típicas de valores
associados a modos de oscilação entre áreas no
sistema interligado brasileiro (Jeremias et al., 2012).
O interesse é por valores na faixa relativa à primeira
linha da tabela, portanto, entre 0,20 Hz e 0,40 Hz.
Tabela 1. Faixas de valores de frequência de modos de oscilação
interárea conhecidos do SIN.
Modo
Faixa de frequência (Hz)
Norte-Sul
Sul-Sudeste
Norte-Nordeste
Mato Grosso-SIN
Rio de Janeiro-SIN
São Paulo -SIN
0,20 – 0,40
0,60 – 0,80
0,55 – 0,65
0,40 – 0,45
1,10 – 1,30
0,65 – 0,75
A observação do amortecimento e da frequência
do modo Norte-Sul foi realizada considerando-se os
sinais de diferença angular (ângulos relativos).
Fixou-se como referência o ângulo medido na PMU
da UFT (região Norte do Brasil). Para cada um dos
sinais de diferença angular obtidos, o FKE foi
aplicado utilizando-se modelos com quatro e seis
parâmetros. Foram estimados os polos e
determinados os espectros de frequência de cada
sinal para essas duas situações de modelo.
A Figura 1 apresenta espectros de frequências do
sinal de diferença angular relativos aos dados obtidos
na PMU da UNIPAMPA. O cálculo do espectro foi
realizado através da Transformada Rápida de Fourier
(Fast Fourier Transform - FFT). São indicadas
também nestes gráficos as frequência dos polos
complexos estimados via FKE com quatro
parâmetros (figura superior) e seis parâmetros (figura
inferior).
Os valores de frequência dos polos estimados na
Figura 1 foram calculados com os parâmetros médios
estimados na última janela móvel do sinal. Ambos
modelos encontraram polos complexos dominantes
com frequência na faixa entre 0,20 e 0,40 Hz. Os
outros polos estimados apresentam menor
dominância, quando comparados ao modo Norte-Sul.
Figura 1. Espectro de frequências da defasagem angular de tensão
entre as PMUs instaladas na UFT e UNIPAMPA (azul) e as frequências dos polos complexos estimados a partir do FKE (vermelho) utilizando modelos com dois (parte superior) e três polos
(parte inferior), respectivamente.
Na análise que se segue, considera-se apenas o
modelo de FKE com seis parâmetros.
As Figuras 2 e 3 apresentam os valores de
frequência e amortecimento dos modos identificados
na faixa de frequências do modo Norte-Sul ao se usar
os ângulos relativos das PMUs da UFRGS, UFSC,
UNIPAMPA e UTFPR. Os demais modos
encontrados pelo FKE em cada sinal referem-se a
polos com frequências fora da faixa de frequências
de interesse, entre 0,20 e 0,40 Hz, e que não são
analisados neste estudo.
Figura 2. Frequência dos modos de oscilação Norte-Sul com dados
das PMUs instaladas na UFRGS, UFSC, UNIPAMPA e UTFPR, e
referência angular na PMU da UFT
O comportamento da frequência e do
amortecimento dos modos encontrados na faixa de
frequência de interesse em todos os sinais analisados
é o mesmo, com frequência variando entre 0,33 Hz e
0,37 Hz e amortecimento variando entre 6% e 10,5%.
Nos gráficos das Figuras 2 e 3, verifica-se
variação acentuada nos valores de amortecimento e
de frequência estimados, ao se avaliar sinais de PMU
da UFRGS, entre 2.500 e 3.500 segundos. Isto
ocorreu porque nesse intervalo houve perda de 2.844
amostras nos dados provenientes daquela PMU, o
equivalente a 47,4 segundos de sinal. Embora tenha
sido realizada interpolação de dados, constatou-se
que este procedimento mostrou-se ineficiente e
insuficiente para a estimação adequada dos estados, e
por consequência, dos parâmetros de interesse. Por
outro lado, as pequenas flutuações nos outros
intervalos de tempo da observação, bem como nas
curvas das demais PMUs são justificadas em função
da variação considerando-se o longo tempo da
observação dos parâmetros.
A Tabela 2 traduz numericamente uma síntese
com os valores médios de frequência e
amortecimento identificados na faixa de frequências
do modo Norte-Sul. Os valores foram calculados
considerando-se a última janela móvel de cada sinal.
Os valores apresentados nessa tabela confirmam as
tendências já verificadas nos gráficos das Figuras 2 e
3, ratificando, portanto, a caracterização do modo
Norte-Sul do SIN.
on Numerical Analysis, Vol. 17, No. 2,
pp.238–246.
Jeremias, T., Zimmer, V., Decker, I. C., Silva, A. S.
E. & Agostini, M. N., (2012). Estudo de
Oscilações Eletromecânicas no Sistema
Elétrico Brasileiro Utilizando Medidas
Fasoriais Sincronizadas. Anais do XIX
Congresso Brasileiro de Automática, pp.2364–
2371.
Figura 3. Amortecimento dos modos de oscilação Norte-Sul com
dados das PMUs instaladas na UFRGS, UFSC, UNIPAMPA e
UTFPR, e referência angular na PMU da UFT
Tabela 2. Parâmetros estimados relativos ao modo de oscilação
Norte-Sul, a partir de diferentes PMUs
PMU
Frequência (Hz)
Amortecimento (%)
UFRGS
UFSC
UNIPAMPA
UTFPR
0,3503
0,3491
0,3503
0,3683
7,80
7,59
7,70
9,24
5 Conclusão
Este artigo propôs uma metodologia para estimação do modo dominante de um sistema elétrico,
cujo embasamento matemático foi baseado no filtro
de Kalman estendido.
Foi demonstrado através de experimentos, com
dados de PMUs, que o filtro estima os parâmetros
mesmo para dados com ruído ambiente. A aplicação
utilizou dados de PMUs instalados em laboratórios
de algumas universidades brasileiras e permitiu identificar frequência e amortecimento relacionados ao
modo de oscilação dominante Norte-Sul do sistema
interligado brasileiro. A identificação ocorre para a
faixa entre 0,20 Hz e 0,40 Hz, característica desse
modo. Evidentemente, como o processo de identificação considera apenas um sinal yk (q=1) na identificação do processo, são verificadas diferenças nos
diversos valores que cada PMU estima, em termos de
frequência e amortecimento, de acordo com a Tabela
2. Em trabalhos futuros, os autores investigarão o
cálculo de um único modo dominante, mas utilizando
simultaneamente vários sinais medidos (q>1).
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