Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
(EPGE/FGV)
Análise II
Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 5
(Controle Ótimo no Caso Discreto e Programação Dinâmica (PD))
Postada Dias 30/31 de Maio
Data de Entrega: Segunda Feira dia 9 de Junho de 2008, em sala de aula
PARTE A
Caso Determinístico
A1- Considere o problema:
max
1
fus gs=0
X1
t=0
bt r(xt ; ut )
onde b 2 (0; 1); sujeito a xt+1 = g(xt ; ut ):
a) Suponha que
xt+1 = g(xt ; ut ) = z(ut )
(1)
z 0 > 0 e que r(:; :) é uma função côncava. Escreva a equação de Euler
associada ao problema.
b) Seja h(:) a função política e V (:) a função valor, ambas como de…nidas
em sala. Escreva a equação de Bellman associada a este problema usando h
e V em função apenas da variável estado x.
c) Escreva a condição de primeira ordem do problema:
max(r(x; u) + bV (~
x))
u
onde x~ = g(x; u):
d) Assuma que a função política h(:) seja diferenciável. Dada a função
valor V (x) que você escreveu no item (b), calcule V 0 (x):
1
e) Suponha novamente que (1) seja válida. Mostre que neste caso tem-se
simplesmente V 0 (x) = r1 (x; h(x)) (Sugestão: utilize os resultados dos itens
(c) e (d)).
f) Suponha novamente que (1) seja válida. Mostre como, neste caso, a
equação de Euler escrita por você no item (a) pode também ser obtida com
o método de Bellman.
A2) Considere o problema de Ramsey:
X1
max1
bt u(ct )
t=0
fcs ;ks gs=0
sujeito a
ct + kt+1 = f (kt )
1- Resolva este problema usando equações de Euler para obter:
u0 (ct+1 ) 0
1=b 0
f (kt+1 )
u (ct )
(2)
2- Obtenha (2) usando o método de Bellman.
PARTE B
Caso Estocástico
Todos os exercícios até aqui versaram sobre programação dinâmica determinística. Abordaremos agora o caso estocástico.
B1- Considere o problema:
max
E0
1
fus gs=0
X1
t=0
bt r(xt ; ut )
onde b 2 (0; 1); sujeito a xt+1 = g(xt ; ut ; et+1 ); x0 conhecido e onde et representa uma sequência de choques iid com função distribuição acumulada Fe :
O choque et+1 se dá após a escolha de u no tempo t.
a) Escreve a equação de Bellman associada ao problema usando explicitamente a distribuição F.
2
b) Ache a condição necessária de primeira ordem do problema:
max(r(x; u) + bEx V (~
x))
u
onde x~ = g(x; u; e~):
assumindo que o se possa intercambiar a diferenciação com o operador E.
d) Calcule V 0 (x):
e) Suponha que a função xt+1 = g(xt ; ut ; et+1 ) possa se escrever como
xt+1 = g(ut ; et+1 ): Mostre que neste caso dos dois itens acima obtém-se a
equação de Euler para o caso estocástico:
r2 (x; u) + bEx (r1 (x; u)g2 (u; e~) = 0
B2*- ) Considere o problema de Ramsey estocástico:
X1
max1 E0
bt u(ct )
t=0
fcs ;ks gs=0
sujeito a
ct + kt+1 = f (kt )
Utilize o método de Bellman para obter:
1 = bEt
u0 (ct+1 ) 0
f (kt+1 )
u0 (ct )
Parte C
Aplicação de Programação Dinâmica a "Search"
C.1* - Consider an economy populated by a continuum of workers. This
economy can be imagined as a small economy in which all workers are contracted by foreign …rms. For 0 < D < 1; consider the measurable space
( ; F; M ) and, in this space, the measure mw induced by the wage-o¤er
function w: ! [0; D]: In the induced space [0; D]; B[0;D] ; mw ; denote by
Fw (t) the distribution function that (mw a:e: -uniquely) determines the
measure mw : Fw (k) := mw ([w k]). Fw (:) is absolutely continuous in [0; D]
with Fw0 (:) = fw (:) (mw a.e.).
3
The analysis of the job search can be made as a function of just two states
regarding the consumer’s optimization problem: call it state ”w" and state
”0": State w corresponds to a job o¤er of w at hand, and state 0 to no job
o¤er. In state w the worker can accept or turn down the o¤er. If he (she)
accepts it, by assumption he stays employed with that wage until he is laid
o¤, which can happen, in each period, with probability (the "separation
probability"): If he does not accept the o¤er or if he gets no o¤er, he remains
in state 0: Being in state zero, the only thing he can do is to wait again for
a job o¤er in the next period, which happens with probability 1
(the
"job-o¤er …nding rate"): By assumption,
0<
0
<1
<1
(3)
The job o¤ers are independent and drawn according to the measure mw ;
which is supposed to be known by all workers. Consumers maximize the
expected present value of their consumption:
!
1
X
t
E
ct ; 0 < < 1
t=0
With v(w) stating for the value function, and A, R; respectively, for
"accept" and "reject", the recursive version of the consumer’s problem is
given by the maximization of:
v(w) = max fw + [(1
)v(w) + v(0)] ; v(0)g
A,R
(4)
a) Write the expression for v(0).
b) Let w be the value of w in (4) which makes w+ [(1
v(0): Show that if = 0 and for A = [w; D]:
Z
(t w)dFw (t)
w=
1
(1
) [w;D]
)v(w) + v(0)] =
(5)
c) Continue assuming = 0 in this item and in the following item. At
any …xed point of time, the fraction of people earning wages in the range s,
4
s + ds has an invariant cross-sectional (mixed) measure trivially determined
by:
8
>
s=0
< +mw (A) if
0
if 0 < s < w
fp (s)ds =
(6)
>
: dFw (s) if
w s<D
+mw (A)
d) Show that the cross sectional average wage of all workers (employed
and unemployed) in the economy is given by:
Z
tdFw (t)
(7)
sA =
+ mw (A)
[w;D]
where w is implicitly determined by (5).
5