ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
REVISÕES
SOBRE
SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO
Elementos coligidos por:
Prof. Luís Filipe Baptista
E.N.I.D.H. – 2012/2013
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7. REVISÃO SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO
7.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
A regulação e o controlo automático de sistemas industriais desempenha um papel de vital
importância no desenvolvimento da ciência e da engenharia. Para além de possuir uma
importância fundamental nos sistemas de pilotagem de navios, aviões, mísseis, veículos
espaciais, etc., passou a tornar-se uma parte integrante do funcionamento de processos
industriais típicos (manufactura, produção de energia, produtos químicos, transportes,
instalações de frio e ar condicionado, etc.).
O controlo automático é essencial por exemplo, em operações industriais que envolvam o
controlo de posição, velocidade, pressão, caudal, temperatura, humidade, viscosidade, etc.
Neste capítulo, vamos apresentar os conceitos básicos relativos à teoria do controlo automático,
bem como as principais estruturas de controlo utilizadas no controlo de processos industriais.
Por fim, faremos uma breve descrição do tipo de controladores ou reguladores mais utilizados na
indústria, bem como as suas principais características e formas de ajuste dos respectivos
parâmetros.
7.2. PERSPECTIVA HISTÓRICA
Embora desde sempre o homem tenha tentado controlar os fenómenos naturais em seu próprio
proveito, a primeira tentativa séria e que historicamente é considerada como um dos primeiros
trabalhos significativos na área de controlo automático, foi efectuado pelo investigador James
Watt, que construiu um regulador centrífugo para efectuar o controlo de velocidade de uma
máquina a vapor (Inglaterra, sec. XVIII). Dado o seu interesse histórico, apresenta-se na Fig.7.1,
o esquema de um regulador de velocidade de um motor Diesel, baseado no princípio inventado
por James Watt.
ω
Fixa
l
l
m
h
m
k
l
l
haste
Combustível
y
y
M
Motor
Fig. 7.1. Esquema básico do regulador de Watt aplicado à regulação de velocidade de motor Diesel.
No esquema da Fig.7.1, podemos verificar que o veio do motor tem acoplado um sistema com
duas massas (m) que rodam com o veio à velocidade de rotação ω. Assim, quando o motor
aumenta de rotação, devido à acção centrífuga as massas tendem a afastar-se diminuindo o curso
(y), elevando assim a haste (h) ligada à válvula de combustível. Deste modo, o caudal de
combustível diminui o que faz baixar a velocidade de rotação do motor. Por conseguinte, as
massas tendem a aproximar-se do veio, aumentando y, baixando h aumentando a velocidade do
motor ω. Este procedimento repete-se até se atingir uma situação de equilíbrio.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.1
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
No século vinte, foram iniciados de facto os estudos e as aplicações do controlo automático à
indústria. Assim, com o avanço da ciência e da tecnologia, foram dados os primeiros passos nas
décadas de vinte e trinta, períodos nos quais foram efectuadas importantes desenvolvimentos.
Durante a década de quarenta, foram dados novos e importantes passos nesta área. Deste modo,
após a introdução do primeiro regulador pneumático PID1 na indústria, os investigadores J.
Ziegler e N. Nichols, desenvolveram um método de ajuste óptimo destes reguladores, que ficou
conhecido por "Método de Ziegler-Nichols". Este método, permitiu resolver muitos dos
problemas do ajuste dos parâmetros de reguladores, através de uma metodologia relativamente
simples e eficaz.
a)
b)
Fig.7.2-a). Aspecto de um regulador pneumático PID actual utilizado na indústria. b) Controlador electrónico e
transdutores analógicos de diversos tipos.
Nos anos setenta e seguintes, devido ás crescentes potencialidades dos computadores digitais
para efectuar a manipulação de grandes volumes de dados e de efectuar cálculos complexos,
estes passaram a ser progressivamente a ser cada vez mais utilizados na construção de
reguladores industriais, sensores transdutores, etc. Esta técnica, que recorre à utilização em larga
escala de micro-computadores para efectuar a monitorização e o controlo digital é conhecida por
controlo digital directo (DDC - "Direct Digital Control"). Neste tipo de controlo, é utilizado um
computador digital para efectuar o controlo do processo em tempo real, de um ou mais
processos, consoante o tipo e complexidade da aplicação industrial.
Fig.7.2-b). Aspecto de uma gama de reguladores industriais actuais baseados em microprocessador.
Por fim, os métodos de estudo e análise de sistemas de controlo contínuo e digital passaram a
ficar extraordinariamente facilitados com o surgimento nos últimos anos de diversas ferramentas
informáticas cada vez mais poderosas, versáteis e com capacidades gráficas muito interessantes.
1 - Estes reguladores utilizam as 3 acções básicas de regulação: Proporcional (P), Integral (I) e Derivativa (D),
relativamente ao erro. São também designados na indústria, por reguladores de três acções (“three-termregulator”).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.2
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Deste modo, o estudo de sistemas complexos, que através dos métodos tradicionais se revelava
bastante fastidioso, passou a ser bastante acessível através do recurso às potencialidades destes
programas2, de utilização cada vez mais generalizada no ensino das matérias de Controlo
Automático.
choose Start from
the Simulation
menu to run
Closed-Loop Engine Speed Control
edge180
mass(k)
Desired rpm
speed
set
point
Throttle Ang.
N
mass(k+1)
Throttle Ang.
Mass Airf low Rate
Controller
crank speed
(rad/sec)
valve timing
Engine Speed, N
Throttle & Manifold
Torque
Intake
Teng
N
N
Combustion
Compression
rad/s
to rpm
Air Charge
trigger
1
s
1
N
Load
drag torque
Engine
Speed
(rpm)
-K-
Tload
Vehicle
Dynamics
throttle deg (purple)
load torque Nm
(yellow)
Fig.7.2-c) Exemplo de um diagrama de simulação gráfico em MATLAB/SIMULINK [6]. (NOTA: A figura
representa o diagrama de blocos do sistema de controlo em anel fechado de um motor de combustão
interna.
7.3. ESTRUTURAS BÁSICAS DE CONTROLO AUTOMÁTICO
7.3.1. CONTROLO EM ANEL FECHADO
No sistema clássico de controlo em anel fechado, que na sua forma mais usual é constituído por
componentes contínuos ou analógicos, o sinal de saída possui um efeito directo na acção de
controlo, pelo que poderemos designá-los por sistemas de controlo com realimentação ou
retroacção ("feedback”). Neste tipo de sistemas, o sinal de erro que corresponde à diferença
entre os valores de referência e de realimentação (que pode ser o sinal de saída ou uma função do
sinal de saída), é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e a manter a saída do
sistema num determinado valor, pretendido pelo operador. Por outras palavras, o termo "anel
fechado" implica necessariamente a existência de uma realimentação com o objectivo de reduzir
o erro, e manter deste modo a saída do sistema num determinado valor desejado. A Fig.7.3,
representa a relação entrada-saída de um sistema de controlo típico em anel fechado. Esta
representação gráfica, é designada na literatura de Controlo por "diagrama de blocos".
Para ilustrar o sistema de controlo em anel fechado, vamos considerar o sistema térmico da
Fig.7.4, na qual está representado um operador que desempenha a função de controlador. Este
operador, pretende manter constante a temperatura da água à saída de um permutador de calor.
No colector de saída, está montado um termómetro (elemento de medida) que mede a
temperatura real da água quente (variável de saída do sistema). Deste modo, em função das
indicações fornecidas pelo elemento de medida, o operador irá manipular a válvula de controlo
de caudal de vapor de aquecimento, de modo a manter a temperatura da água o mais próxima
possível do valor desejado.
2
- Podemos destacar entre outros, o MATLAB/SIMULINK (Mathworks, Inc.).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.3
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Acção de controlo
Referência +
Erro
Saída do processo
Controlador
Processo
Sinal medido
Sensor de
medida
Fig.7.3. Diagrama de blocos de um sistema de controlo em anel fechado.
Set-point
termómetro
válvula
água quente
vapor
água fria
dreno
Aquecedor
Fig.7.4. Esquema de controlo manual de um sistema térmico [1].
Se em vez do operador, for utilizado um controlador automático, conforme apresentado na
Fig.7.5, o sistema de controlo passa a designar-se por automático. Neste caso, o operador
selecciona a temperatura de referência ("set-point") no controlador. A saída do processo
(temperatura real da água quente à saída do permutador de calor), é medida pelo transdutor de
temperatura, e comparada no controlador com a temperatura de referência de modo a gerar um
sinal de erro. Tomando como base este sinal de erro, o controlador gera um sinal de comando3
para a válvula de regulação de vapor (actuador). Este sinal de comando permite variar
gradualmente a abertura da válvula, e por conseguinte o caudal de vapor a admitir no
permutador. Deste modo, é possível controlar automaticamente a temperatura da água à saída do
permutador, sem que seja necessária a intervenção do operador.
Regulador PID
Set-point
válvula
Aquecedor
sensor
água quente
vapor
dreno
água fria
Fig.7.5. Esquema do sistema de regulação automática de um sistema térmico.
3 - Sinal de controlo -> o sinal de saída do regulador, é normalmente do tipo eléctrico, pneumático ou hidráulico. É
enviado para o actuador através de uma interface de potência (amplificador, conversor, corrente-pressão (I/P), etc.)
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.4
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
a)
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
b)
c)
d)
Fig.7.6. Dispositivo de regulação de temperatura com componentes actuais. a) Transdutor de temperatura. b)
Controlador digital PID. c) Conversor corrente-pressão (Conversor I-P), que converte o sinal de controlo de 4-20
mA para pressão (3-15 psi). d) Válvula de regulação com comando por ar comprimido (3-15 psi = 0.21-1.05 bar).
Como podemos verificar através das figuras anteriores, os dois sistemas funcionam de uma
forma muito semelhante. Deste modo, os olhos do operador e o termómetro, constituem o
dispositivo análogo ao sistema de medida de temperatura; o seu cérebro é análogo ao controlador
automático, realiza a comparação entre os valores de temperatura desejada e medida, e gera o
respectivo sinal de comando. Este sinal, é veiculado pelos seus músculos que realizam a abertura
ou fecho da válvula, os quais têm um papel análogo ao motor da válvula de regulação de vapor.
7.3.2. CONTROLO EM ANEL ABERTO
Neste tipo de sistemas de controlo, a saída não exerce qualquer acção no sinal de controlo. Deste
modo, a saída do processo não é medida nem comparada com a saída de referência. A Fig.7.7,
representa o diagrama de blocos de um sistema deste tipo.
Acção de controlo
Referência
Saída do processo
Controlador
Processo
Fig.7.7. Diagrama de blocos de um sistema de controlo em anel aberto.
Como se pode observar na figura, neste tipo de controlo, a saída não é comparada com a entrada
de referência. Deste modo, para cada valor da saída irá corresponder uma condição de
funcionamento fixa. No entanto, na presença de perturbações, o sistema não irá atingir os
objectivos desejados. Na prática, o controlo em malha ou anel aberto, somente deve ser utilizado
em sistemas para os quais a relação entre a entrada e a saída seja bem conhecida, e que não
tenham perturbações internas ou externas significativas.
7.3.3. COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS EM ANEL FECHADO E ABERTO
A vantagem dos sistemas de controlo em anel fechado, relativamente aos de anel aberto, consiste
no facto da realimentação, tornar a resposta do sistema relativamente insensível e perturbações
externas e a variações internas dos parâmetros do sistema. Deste modo, é possível utilizar
componentes mais baratos e de menor precisão, para obter o controlo preciso de um dado
processo. Esta característica, é impossível de obter com um sistema em anel aberto.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.5
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Do ponto de vista da estabilidade, os sistemas de controlo em anel aberto são mais robustos, uma
vez que a estabilidade não constitui um problema significativo. Nos sistemas de controlo em anel
fechado, a estabilidade constitui um problema de primordial importância, visto que o sistema
pode tender a sobrecorrigir erros, produzindo oscilações de amplitude constante ou variável.
Assim, podemos concluir que:
Nos sistemas para os quais sejam conhecidas as variáveis de entrada
antecipadamente no tempo, e em que não haja perturbações muito significativas, é aconselhável a utilização do controlo em anel aberto
Nos sistemas que estejam sujeitos a perturbações imprevisíveis e/ou variações
não previstas nos componentes do sistema, deve-se utilizar o controlo em anel
fechado.
Sempre que possível, é aconselhável utilizar uma combinação apropriada de controlo em anel
aberto e fechado, visto ser normalmente a solução mais económica, e que fornece um
desempenho global do sistema mais satisfatório.
NOTA: O conceito de controlador ou regulador é aplicado nestes apontamentos de forma
indistinta. No entanto, existem diferenças entre as duas designações. Assim, tem-se:
Regulador: dispositivo de controlo utilizado preferencialmente quando se pretende manter
fixa a referência r(t) e controlar as perturbações na saída c(t). É o caso usual do controlo de
processos utilizados na indústria (pressão, temperatura, caudal, nível, etc.).
Exemplo: Pretende-se manter constante a temperatura da água à saída de um permutador,
independentemente do caudal de passagem e da temperatura da água à entrada.
Controlador: dispositivo de controlo utilizado preferencialmente quando se pretende que
a saída c(t) acompanhe uma referência variável no tempo r(t) para além de efectuar
também o controlo das perturbações na saída. Um exemplo típico deste dispositivo de
controlo, designa-se por servomecanismo, sendo muito utilizado em sistemas de controlo
de posição e velocidade.
Exemplo:
1) Controlo do ângulo de leme de um navio. Neste caso pretende-se que o leme rode de
um ângulo igual ao da referência de ângulo de leme.
2) Controlo de velocidade de um motor Diesel de navio (MPP). Neste caso, pretende-se
controlar a velocidade e a carga do motor, as quais podem variar ao longo do tempo.
Fig.7.8-a) Sistema de controlo de velocidade de um motor Diesel marítimo (Fonte: Wartsila)
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.6
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.4. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA TEORIA DO CONTROLO
7.4.1. INTRODUÇÃO
O estudo dos sistemas de controlo contínuo exige o conhecimento de certas técnicas
matemáticas, como sejam as variáveis complexas, equações diferenciais lineares e a
transformada de Laplace. Para além destas técnicas e tendo em atenção a análise de sistemas de
controlo, é igualmente importante introduzir os conceitos de função de transferência e de
representação em espaço de estados.
O método da transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado com
assinaláveis vantagens, para resolver equações diferenciais lineares. Usando a transformada de
Laplace, podem-se converter muitas funções comuns, tais como funções sinusoidais amortecidas,
ou funções algébricas contendo funções exponenciais em funções da variável complexa "s".
Operações como a diferenciação ou a integração, podem ser substituídas por operações
algébricas no plano complexo. Deste modo, uma equação diferencial linear pode ser
transformada numa equação algébrica função da variável complexa "s". Se a equação algébrica
em "s" for resolvida em ordem à variável dependente, então a solução da equação diferencial
(Transformada de Laplace inversa da variável dependente) pode ser obtida através dos Pares de
Transformadas de Laplace, apresentados na TABELA 7.1.
NOTA IMPORTANTE:
Uma das vantagens da utilização da Transformada de Laplace, consiste em permitir o uso de
técnicas gráficas, para prever o desempenho de um sistema sem a necessidade de resolver as
respectivas equações diferenciais. Uma outra vantagem da utilização deste método, tem a ver
com a resolução da equação diferencial, pois tanto a componente transitória como a de regime
permanente da solução, podem ser obtidas em conjunto.
7.4.2. REVISÃO SOBRE VARIÁVEIS E FUNÇÕES COMPLEXAS
Variável complexa “s” - é composta de uma parte real ϑ, e uma parte imaginária ω.
Normalmente, esta variável representa-se no plano complexo, ou plano D’Argand. Assim para o
caso S 1 = ϑ1 + jω 1 , teremos:
jω
ω1
S
ϑ1,ω1 ε R
ϑ1
ϑ
Função complexa - Uma função complexa G(s) tem uma parte real G x e uma parte imaginária
G y , ou seja:
Gx , Gy ε R
G(s) = G x + jG y
O módulo de G(s), é dado por:
2
G(s) = G x + G y
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
2
7.7
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
e o seu argumento por:
Gx
)
Gy
Podemos fazer a representação destas duas grandezas no plano complexo da seguinte forma:
arg (G x + jG y ) = arctg(
Im
θ
Real
Complexo conjugado de G(s) = G x + jG y é G(s) = G x − jG y
NOTA:
- Os pontos do plano s em que a função G(s) é analítica são designados por pontos ordinários,
enquanto que os pontos em que G(s) não é analítica designam-se por pontos singulares.
-
Os pontos onde G(s) ou as suas derivadas tendem para o infinito, designam-se por pólos.
Exemplo: Dada a função complexa G(s)
G(s) =
k(s + z)
(s + p1)(s + p 2 ) 2
verifica-se imediatamente que a função tem pólos em s = p1 e s = p 2 .
Se uma função G(s) tende para infinito à medida que s tende para -p e se a função
G(s)(s + p) n
(n= 1,2,3,...)
tem um valor finito, não nulo em s= -p, então o ponto s= -p designa-se por pólo de ordem n.
Se n=1, chama-se pólo simples
Se n=2, designa-se pólo de 2ª ordem, etc..
Os pontos em que a função G(s)=0, chamam-se zeros
A função anterior tem um zero para s= -z. Se incluirmos os pontos no infinito, por exemplo s= ±
∞, G(s) tem a mesma quantidade de zeros e de pólos. No caso anterior, temos:
2 zeros no infinito, mais um em -z
1 pólo em − p1 mais dois em − p 2
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.8
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.4.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
O estado de um sistema de controlo passa pelo conhecimento da forma como evolui no tempo,
em função das entradas a que está sujeito. A relação entre a entrada e a saída de um sistema é
normalmente traduzida por uma equação diferencial.
É possível portanto saber-se o comportamento do sistema para uma dada entrada, através da
resolução das respectivas equações diferenciais.
7.4.3.1. EQUAÇAO DIFERENCIAL ORDINÁRIA LINEAR
Equação diferencial ordinária linear - É uma igualdade formada pela soma dos termos do 1º
grau das variáveis dependentes e suas derivadas.
A forma canónica de uma equação diferencial ordinária linear não homogénea de coeficientes
constantes, é:
n
di y m di x
∑ a 1 i = ∑ bi i
i =0
i =0
dt
dt
ou seja:
dn y
d n −1 y
dy
dmx
d m −1 x
a n n + a n −1 n −1 + ... + a a
+ a 0 y = b m m + b m −1 m −1 + ... + b 0 x
dt
dt
dt
dt
dt
Como normalmente m≤n a ordem de uma equação diferencial ordinária linear não homogénea de
coeficientes constantes, é dada pelo valor de n.
A solução geral (resposta total) desta equação diferencial pode ser dividida em:
- Solução homogénea (resposta livre)
- Solução particular (resposta forçada)
A solução homogénea é a solução da equação diferencial quando a entrada x(t) é nula, ou seja, é
a solução da equação:
n
di y
∑ai i = 0
i =0
dt
ou seja:
dn y
d n −1 y
dy
a n n + a n −1 n −1 + ... + a 1
+ a0y = 0
dt
dt
dt
dn
Definindo um operador diferencial de ordem n: D n = n , obtêm-se:
dt
a n D n y + a n −1 D n −1 y + ... + a 1 Dy + a 0 y = 0
ou seja
(a n D n + a n −1 D n −1 + ... + a 1 D + a 0 )y = 0
Polinómio característico -
a n D n + a n −1 D n −1 + ... + a 1 D + a 0
Equação característica a n D n + a n −1 D n −1 + ... + a 1 D + a 0 = 0
D1,D 2 ,...D n
As raízes ou soluções são:
A forma da solução homogénea y(t)h será então função das raízes da equação característica. A
solução particular, é a solução da equação diferencial, quando todas as condições iniciais são
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.9
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
nulas, ou seja, a solução particular depende apenas da entrada x(t). A solução geral y(t), será
então:
y(t) = y(t) h + y(t) p
A solução geral pode ainda ser decomposta noutras duas soluções, que possuem um interesse
bastante grande nas aplicações de controlo:
- Solução de regime estacionário (resposta estacionária)
- Solução de regime não estacionário (resposta transitória)
A solução em regime estacionário, é a parte da equação geral que não se aproxima de zero
quando o tempo tende para infinito.
A solução em regime transitório, é a parte da equação geral que tende para zero quando o tempo
tende para infinito.
Exemplo:
Considere a resposta temporal de uma equação diferencial no domínio do tempo, dada por:
y( t ) = e −2 t + sin(πt )
Podemos ver imediatamente que as respostas em regime transitório e estacionário, são:
y rt ( t ) = e −2 t
y re ( t ) = sin( πt )
Na Fig.7.9 está representado o gráfico da evolução temporal do sistema físico. Em a) estão
representadas as evoluções em regime transitório e em regime estacionário. Em b) está
representada a evolução total. As curvas foram obtidas através do MATLAB.
Listagem do programa em Matlab
% calculo da resposta de um sistema
% vector de tempos – 0 a 6 seg. com intervalos de 0.01 seg.
t=0:0.01:6;
% calculo da resposta de um sistema
yt=exp(-2*t);
ye=sin(pi*t);
% resposta transitória e estacionária
subplot(211)
plot(t,yt),grid,ylabel('amplitude')
subplot(212)
plot(t,ye),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude')
pause
% resposta total
subplot(111)
plot(t,ye,'-.',t,yt,'--',t,ye+yt),grid,
xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude')
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.10
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
1
amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
tempo [s]
4
5
6
4
5
6
1
amplitude
0.5
0
-0.5
-1
a)
1.5
1
amplitude
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
tempo [s]
b)
Fig.7.9. Resposta de um sistema físico. a) Resposta em regime transitório e em resposta em regime estacionário.
b) Resposta total, na qual se pode observar que o sistema entrou em regime estacionário para t = 7.15 seg.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.11
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.4.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
7.4.4.1. PRINCIPAIS DEFINIÇÕES
Seja:
f(t)
s
L
F(s)
função do tempo de tal modo que f(t)=0 , para t<0
variável complexa
símbolo de transformada
transformada de Laplace de f(t)
Então, a Transformada de Laplace é definida da seguinte forma:
∞
∞
L[ f(t)] = F(s) = ∫ e dt[ f(t)] = ∫ f(t)e − st dt
− st
0
0
NOTA: O integral só existirá se for convergente (Ex. ≠ ∞).
Vamos a título de exemplo obter através da definição anterior, a transformada de Laplace de
algumas funções simples bastante utilizadas na análise de sistemas contínuos lineares.
i)
Função exponencial (exponential function)
Considere a seguinte função exponencial
⎧ f (t) = 0
⎨
− at
⎩f ( t ) = Ae
t<0
t≥0
em que A e a são constantes. A transformada de Laplace desta função, a partir da definição, é
dada por:
∞
∞
A
L{Ae −at } = ∫ Ae −at e −st dt = A ∫ e −(s +a ) t dt =
s+a
0
0
Pode-se verificar que a função exponencial produz um pólo s=-a no plano complexo.
ii)
Função degrau (step function)
Considere a seguinte função degrau
⎧ f (t) = 0 t < 0
⎨
⎩f ( t ) = A t > 0
em que A é uma constante. Deve-se notar que esta função é um caso especial da função
exponencial anterior quando a=0. A função degrau não é definida para t=0. Neste caso, a
transformada de Laplace desta função, é dada por:
∞
L{A} = ∫ Ae −st dt =
0
A
s
Físicamente, uma função degrau que ocorra para t=0 corresponde à aplicação súbita de um sinal
constante ao sistema para t=0.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.12
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
iii)
Função rampa (ramp function)
Considere a seguinte função rampa
⎧ f (t) = 0 t < 0
⎨
⎩f ( t ) = At t ≥ 0
A transformada de Laplace desta função, a partir da definição, é dada por:
e − st
L{ At } = ∫ Ate dt = At
−s
0
∞
iv)
∞
− st
=
0
A
s2
Função sinusoidal (sinusoidal function)
Considere a seguinte função rampa
f (t) = 0
t<0
⎧
⎨
⎩f ( t ) = A sin(ωt ) t ≥ 0
A transformada de Laplace desta função é dada por:
L{A sin(ωt )} =
As
s + ω2
2
Teorema do Valor Final – Este teorema relaciona o comportamento em regime estacionário de
f(t) com o comportamento de sF(s) na vizinhança de s=0. Este teorema, só é valido se o
lim f ( t ) existir, ou seja que f(t) convirja para um valor finito quando t → ∞ . Neste caso, o
t →∞
teorema é descrito por:
lim f ( t ) = lim sF(s)
t →∞
s →0
Para ver a demonstração deste teorema, ver ref. [1].
Conhecendo a definição de transformada de Laplace não é necessário calcular a transformada de
Laplace de uma função f(t) ao longo do tempo. Existem para esse efeito tabelas de transformadas
de Laplace, as quais são bastante úteis para obter a transformada de Laplace de uma determinada
função f(t).
A TABELA 7.1 apresenta alguns pares de transformadas de Laplace de funções temporais
geralmente utilizadas na análise de sistemas de controlo lineares. A TABELA 7.2 apresenta
algumas propriedades da Transformada de Laplace, para as quais, como é óbvio, não se irá
fornecer a sua demonstração. Para uma melhor compreensão destas matérias, o aluno deverá
consultar a referência [1]. Nesta obra, poderá encontrar as demonstrações relativas a estas
propriedades, bem como uma descrição bastante detalhada sobre esta matéria.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.13
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
TABELA 7.1. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.14
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
TABELA 7.1. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (CONT.)
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.15
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
TABELA 7.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.16
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.4.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
O processo inverso, ou seja a determinação de f(t) a partir da Transformada de Laplace F(s), é
designado por Transformada de Laplace Inversa, sendo designado por L −1 . Deste modo
L−1 [F(s)] = f(t)
A Transformada de Laplace inversa é definida pela seguinte expressão:
1 c+∞
st
f(t) =
∫ F(s)e ds
2πj c−∞
onde c a abcissa de convergência. Este valor é uma constante real, que é escolhida como tendo
um valor superior a todas as componentes reais das singularidades de F(s).
Aplicação do método da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais
Conforme visto anteriormente, o método da transformada de Laplace, fornece a solução
completa (a solução geral mais a solução particular) de equações diferenciais lineares. Os
métodos clássicos para a determinação da solução completa de uma equação diferencial,
requerem a determinação das constantes de integração através das condições iniciais. Na
transformada de Laplace, a determinação das constantes de integração a partir das condições
iniciais não é necessária, visto que estas são automaticamente incluídas na transformada de
Laplace da equação diferencial.
Se todas as condições iniciais forem nulas, a transformada de Laplace da equação diferencial,
d2
d
por s, 2 por s 2 , etc (Ver Tabela 7.12). Deste
obtêm-se simplesmente, por substituição de
dt
dt
modo, para resolver equações diferenciais lineares pelo método da transformada de Laplace,
devemos proceder de acordo com as seguintes etapas:
1. Aplica-se a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial linear
dada;
2. Converte-se a equação diferencial numa equação algébrica em s, e obtêm-se a
expressão da transformada de Laplace da variável dependente através de um
rearranjo da equação algébrica;
3. Obtêm-se a solução temporal da equação diferencial, ou seja f(t), através da
aplicação da transformada inversa de Laplace à variável dependente.
7.4.5.1. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Dado um sistema físico, cujo comportamento dinâmico é descrito pela seguinte equação
diferencial
d2y
dy
+ 3 + 2 y = 12e −2 t
2
dt
dt
determine a respectiva transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas.
RESOLUÇÃO:
Aplicando as propriedades das transformadas de Laplace (Ver TABELA 7.2):
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.17
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
⎧d 2 y ⎫ 2
L⎨ 2 ⎬ = s Y(s)
⎩ dt ⎭
⎧ dy ⎫
L ⎨3 ⎬ = 3sY(s)
⎩ dt ⎭
(Propriedade 4)
(Propriedade 3)
L{2 y} = 2Y(s)
{
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
(Propriedade 2)
}
⎛ 1 ⎞
L 12e − 2 t = 12⎜
⎟
⎝s+ 2⎠
(Ver TABELA 7.11 - função 6)
NOTA: Da TABELA 7.1, função 6, podemos verificar que:
{ }
L e −at =
1
s+a
(função de excitação da equação diferencial -> entrada)
Assim teremos:
⎛ 1 ⎞
s 2 Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = 12⎜
⎟
⎝s+ 2⎠
pelo que:
12
Y(s) =
(s + 2)(s 2 + 3s + 2)
7.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Na teoria do controlo clássica, para caracterizar a relação entrada-saída de um sistema linear
invariável no tempo, utiliza-se geralmente a “função de transferência". O conceito de função
de transferência aplica-se somente a sistemas lineares invariantes no tempo, embora este
conceito possa ser estendido a determinados sistemas de controlo não lineares.
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida através da
relação entre a transformada de Laplace da saída (função resposta) e a transformada de
Laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais.
Vamos considerar um sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação
diferencial:
a 0 y ( n ) + a 1 y ( n −1) + ... + a n −1 y (1) + a n y = b 0 x m + b1 x ( m −1) + ... + b m −1 x (1) + b m
(7.1)
(n ≥ m )
onde y(t) é a saída do sistema e x(t) é a entrada. A função de transferência deste sistema obtém-se
através da aplicação da transformada de Laplace a ambos os membros da equação anterior.
Devem-se considerar todas as condições iniciais como nulas, pelo que:
[Função de transferência] = G (s) =
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
Y(s) b 0 s m + b 1s m −1 + ... + b m −1s + b m
=
X(s)
a 0 s n + a 1s n −1 + ... + a n −1s + a n
(7.2)
7.18
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
A função de transferência é uma expressão que relaciona a saída e a entrada de um sistema linear
invariante no tempo, em termos dos parâmetros do sistema. É uma propriedade do próprio
sistema, sendo portanto independente da entrada ou da função de excitação.
A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada com a saída.
No entanto não fornece qualquer informação relativamente à estrutura física do sistema. Isto
significa que as funções de transferência de muitos sistemas físicos diferentes podem ter
estruturas iguais.
7.5.1. SISTEMA MECÂNICO MASSA-MOLA-AMORTECEDOR
Considere o sistema massa-mola-amortecedor viscoso, indicado na Fig.7.10. Um amortecedor é
um dispositivo que proporciona um atrito viscoso, ou amortecimento. Consiste de um cilindro
cheio de óleo no interior do qual se desloca um êmbolo. Qualquer movimento relativo entre a
haste do êmbolo e o cilindro é sustido pelo óleo, visto que este terá de se escoar em redor do
êmbolo de um lado para o outro (ou através de orifícios existentes no êmbolo). O amortecedor
absorve essencialmente energia. Esta energia é dissipada como calor, pelo que o amortecedor
não irá armazenar qualquer energia cinética ou potencial.
Vamos determinar a função de transferência deste sistema, admitindo que a força u(t) é a entrada
e o deslocamento y(t) da massa é a saída. Deste modo, deve proceder-se da seguinte forma:
1 - Escrever a equação diferencial do sistema.
2 - Aplicar a transformada de Laplace à equação, admitindo que todas as condições
iniciais são nulas.
3 - Calcular a relação entre a saída Y(s) e a entrada U(s), relação esta que é a função
de transferência.
u(t)
k
M
y(t)
b
Fig.7.10. Sistema mecânico massa-mola-amortecedor viscoso
Para determinar a equação diferencial linear invariante no tempo, vamos supor que a força de
atrito do amortecedor é proporcional à velocidade da massa y& e que a mola é linear, ou seja que
a força da mola é proporcional ao deslocamento y. Neste sistema, m indica a massa, b o
coeficiente de atrito viscoso e k a constante da mola.
A lei fundamental que rege os sistemas mecânicos é a lei de Newton. Para sistemas de
translação, esta lei estabelece que:
∑ F = ma
(7.3)
em que:
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.19
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
m = massa (Kg)
a = aceleração (m/s2)
u = força (N)
Ao aplicarmos a lei de Newton ao sistema, vamos obter a seguinte equação:
m
d2y
dy
= −b
− Ky + u
2
dt
dt
ou seja
m
d2y
dy
+b
+ Ky = u
2
dt
dt
Aplicando a transformada de Laplace a cada termo e considerando condições iniciais nulas,
obtém-se:
ms 2 Y(s) + bsY(s) + KY(s) = U(s)
(7.4)
Se calcularmos a relação entre Y (s) e U ( s ) vamos obter a função de transferência do sistema.
Este sistema é de 2ª ordem, devido ao facto de o polinómio do denominador ser de 2ª ordem.
G (s) =
Y (s)
1
=
2
U(s) ms + bs + K
(7.5)
Exemplo de aplicação usando o Matlab - Considere o sistema mecânico da Fig.7.11. Suponha
que o sistema é posto em movimento por uma força do tipo impulso unitário δ(t). Determine a
resposta (oscilação) resultante da aplicação desta força. Suponha que o sistema está inicialmente
em repouso e que o coeficiente de atrito viscoso b pode ser considerado nulo.
Resolução:
O sistema é excitado por uma entrada do tipo impulso unitário. Portanto:
m
d2x
+ kx = δ( t )
dt 2
x
k
δ(t)
m
b=0
Fig. 7.11. Sistema mecânico
Aplicando as transformadas de Laplace a ambos os lados da equação, obtemos:
[
]
m s 2 X(s) − sx(0) − x′(0) + kX(s) = 1
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.20
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Substituindo as condições iniciais x(0)=0 e x´(0)=0 nesta última equação e determinando X(s),
obtemos:
1
X(s) =
2
ms + k
Aplicando a transformada de Laplace inversa a X(s) permite obter:
x(t) =
⎛ k ⎞
⎟t
sin ⎜⎜
km ⎝ m ⎟⎠
1
A oscilação é um movimento harmónico simples. Este resultado era esperado, devido ao facto de
não se ter considerado o efeito dissipativo do atrito. Deste modo, teremos:
Amplitude de oscilação (A):
1
A=
km
Frequência angular de oscilação ω (rad/s):
k
ω=
m
Se considerarmos os valores numéricos m=10 Kg e k=200 N/m, teremos, através do MATLAB a
solução apresentada na Fig.7.12.
Listagem do programa em Matlab
% calculo da resposta de um sistema massa-mola
% vector de tempos
t=0:0.01:5;
% características do sistema
m=10;
k=200;
% função de transferência do sistema massa-mola
num=1;
den=[10 0 200];
sys=tf(num,den);
% obtenção da saída por aplicação de uma entrada impulso
[y]=impulse(sys,t);
% gráfico da saida
plot(t,y),
xlabel('tempo [s]'),grid,ylabel('amplitude x [m]')
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.21
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
0.025
0.02
0.015
amplitude x [m]
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Fig.7.12. Resposta do sistema mecânico (posição x(t) da massa) a uma entrada impulso.
7.6. DIAGRAMAS DE BLOCOS
Um sistema de controlo é composto por diversos componentes. Para representar as funções
realizadas por cada componente é geralmente utilizado um esquema designado por diagrama de
blocos. A Fig.7.13, representa o diagrama de blocos típico de um sistema em anel fechado. A
saída C(s) é realimentada no ponto de soma, onde é comparada com a entrada de referência R(s).
A natureza do anel fechado do sistema, é claramente indicada pela figura. A saída do bloco C(s)
obtém-se pela multiplicação da função de transferência G(s) pela variável E(s) de entrada no
bloco G(s).
Ponto de soma
R(s) +
-
E(s)
Ponto de junção
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
Fig.7.13. Diagrama de blocos de um sistema em anel fechado.
Qualquer sistema de controlo linear, pode ser representado por um diagrama de blocos que
consiste de blocos, pontos de soma e de junção.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.22
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Quando a saída é realimentada no ponto de soma, para comparação com a entrada é necessário
converter o sinal de saída no tipo de sinal da entrada R(s). Por exemplo, num sistema de controlo
de temperatura, a saída é normalmente a temperatura controlada, a qual deve ser convertida num
sinal pneumático ou eléctrico antes de ser comparado com o sinal de referência. Esta função é
executada pelo elemento de realimentação (sensor) cuja função de transferência é H(s), como se
indica na Fig.7.13. Um outro papel importante do elemento de realimentação é o de modificar a
saída C(s), antes de ser comparada com a entrada R(s). Neste caso, o sinal de realimentação
B(s)= H(s)C(s) é enviado para o ponto de soma, para comparação com a entrada R(s).
A relação entre o sinal realimentado B(s) e o sinal de erro E(s), designa-se por função de
transferência em anel aberto, ou seja:
B(s)
[Função de transferência em anel aberto] =
= G (s)H(s)
(7.6)
E(s)
A relação entre a saída C(s) e o sinal de erro E(s), designa-se por função de transferência do
ramo directo, pelo que:
[Função transferência do ramo directo] =
C(s)
= G (s)
E(s)
(7.7)
Se a função de transferência da realimentação for unitária ou seja H(s)=1, a função de
transferência em anel aberto e a função transferência do ramo directo serão iguais. Para o sistema
da Fig.7.13, a saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas através de:
C(s) = G (s)E(s)
E(s) = R (s) − B(s)
B(s) = H(s)C(s)
pelo que
E(s) = R (s) − H(s)C(s)
Eliminando E(s) destas equações, obtém-se
C ( s) = G ( s)[ R ( s) − H ( s)C ( s)]
ou:
C(s)
G (s)
=
R (s) 1 + G (s)H (s)
(7.8)
A função de transferência que relaciona C(s) e R(s), designa-se por função de transferência em
anel fechado. Esta função relaciona a dinâmica do sistema em anel fechado, com a dinâmica dos
elementos do ramo directo e os elementos da realimentação (feedback). Da Eq.7.8 pode-se obter
C(s) através de:
⎛
⎞
G (s)
⎟⎟R (s)
C(s) = ⎜⎜
⎝ 1 + G (s)H(s) ⎠
Portanto, a saída do sistema em anel fechado C(s) depende da função de transferência em anel
fechado e da natureza da entrada R(s).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.23
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Diz-se que um sistema de controlo é de realimentação unitária, quando o sinal de realimentação
B(s) é idêntico ao da saída controlada C(s). O diagrama de blocos respectivo é dado por:
+
R(s)
-
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
Fig.7.14. Sistema de controlo com realimentação unitária.
Neste caso, a função de transferência global do sistema em anel fechado, é dada por:
C(s)
G (s)
=
R (s) 1 + G (s)
7.6.1. REGRAS DE CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS
Para construir o diagrama de blocos de um sistema deve-se escrever em primeiro lugar as
equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente. Seguidamente, aplicase a Transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas, e representa-se cada equação na
forma de bloco. Finalmente, ligam-se os elementos num diagrama de blocos completo.
Como exemplo, considere o circuito RC indicado na Fig.7.15-a). As equações dinâmicas
relativas a este circuito, são:
ei − e0
R
1
e 0 = ∫ idt
C
i=
(7. 9)
(7.10)
As transformadas de Laplace das Eq.7.9 e 7.10, supondo condições iniciais nulas, são:
E i (s) − E 0 (s)
R
I(s)
E 0 (s ) =
Cs
I(s) =
(7.11)
(7.12)
A Eq.7.9 representa uma operação de soma, cujo diagrama está representado na Fig.7.15-b). A
Eq.7.10 representa o bloco indicado na Fig.7.15-c). Ligando estes dois blocos, obtêm-se o
diagrama de blocos completo do sistema. Este diagrama está representado na Fig.7.15-d).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.24
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Fig.7.15-a) Circuito RC. b) Diagrama de blocos (Eq.7.10). c) Diagrama de blocos (Eq.7.11).
d) Diagrama de blocos completo [1].
7.6.2 SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BLOCOS
Quando se constrói um diagrama de blocos de um sistema a partir das respectivas equações, é
necessário reduzi-lo ou seja simplificá-lo. Para facilitar estas simplificações, apresenta-se
seguidamente a TABELA 7.3, no qual estão representadas algumas regras de manipulação de
blocos, designadas correntemente por Álgebra de Blocos.
O diagrama de blocos de um sistema real é geralmente bastante complexo, pois pode incluir
vários anéis de realimentação ou directos, e possuir entradas múltiplas. Para efectuar a redução
de um diagrama de blocos à sua forma mais simples, pode-se utilizar a seguinte sequência de
operações:
1. Eliminar todos os blocos em cascata
2. Eliminar todas os anéis activos
3. Eliminar todos os anéis de realimentação secundários
4. Permutar os pontos de soma para a esquerda e os pontos de junção para a direita dos
anéis principais
5. Repetir estes passos até obter a forma canónica.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.25
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
TABELA 7.3. Regras da Álgebra de Blocos [1]
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.26
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.6.3. EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Reduza o seguinte diagrama de blocos à sua forma mais simples G (s) =
C(s)
.
R (s)
Fig.7.16. Simplificação de um sistema através das regras da Álgebra de Blocos [1].
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.27
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.7. ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA
7.7.1. INTRODUÇÃO
Depois de estabelecido o modelo matemático do sistema, para se fazer a sua análise, deve-se
determinar a sua resposta, atendendo à entrada bem como a possível perturbações. Na prática, os
sinais de entrada são aleatórios, e, portanto, impossíveis de reproduzir. Deste modo, usam-se um
determinado número de sinais considerados típicos, que nos permitirão comparar os
comportamentos dos vários sistemas.
Existem dois grupos de sinais. Os sinais não-periódicos ou aperiódicos e os periódicos. Os
sinais aperiódicos mais importantes são:
δ(t)
Impulso
1(t)
Degrau
t
Rampa
Aceleração
t2
Fig.7.17. Sinais aperiódicos.
Estes sinais são aplicados ao sistema, determinando-se depois a resposta completa, i.e., o regime
transitório e estacionário da resposta do sistema.
O sinal periódico utilizado normalmente, é do tipo sinusoidal. Neste tipo de análise, espera-se
que o regime transitório passe e seguidamente representa-se em função da frequência, o módulo
e a fase do sinal de saída.
Se compararmos estes dois métodos de análise, observa-se que o primeiro tem a vantagem de dar
o conhecimento directo dos regimes transitórios do sistema aos diversos sinais de entrada,
enquanto que o segundo permite apenas a interpretação indirecta destes regimes. Por outro lado,
a interpretação de sinais periódicos, permite um estudo experimental muito mais simples.
Critério de escolha do sinal - Para a determinação do sinal de teste típico que se deve usar para
analisar as características de um sistema, deve atender-se ao tipo de sinal a que o sistema
dinâmico vai estar sujeito mais frequentemente, durante as condições normais de funcionamento.
Assim, teremos:
1. Entradas gradualmente variáveis no tempo ⇒ função rampa
2. Perturbações bruscas ⇒
função degrau
3. Entradas bruscas ⇒
função impulso
Resposta transitória e resposta estacionária - A resposta temporal de um sistema dinâmico, é
composta por duas partes:
Resposta transitória - A resposta que vai do estado inicial ao estado final
Resposta estacionária - A forma da saída quando o tempo tende para infinito
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.28
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Características do comportamento dinâmico - As principais qualidades que deverá ter um
sistema dinâmico, são: estabilidade e precisão, que são difíceis de se conseguir
simultaneamente. Com efeito, se a organização de um sistema em anel fechado é mais
complicada que a de um sistema em anel aberto, é evidente que se necessita, em contrapartida,
que a sua precisão seja maior. Para se obter este resultado, deve-se dispor de uma grande
amplificação a fim de que o orgão de comando possa actuar enquanto exista um intervalo muito
pequeno entre a grandeza controlada e a variável de referência. No entanto, um sistema em anel
fechado com ganho elevado, é normalmente instável. Noutros casos, ainda que estável, pode
possuir uma estabilidade insuficiente, i.e., cada vez que há uma mudança de estado, aparecem
oscilações pouco amortecidas, antes de se obter a resposta pretendida.
Pode-se então dizer, que a característica mais importante do comportamento dinâmico de um
sistema, é a "estabilidade absoluta", i.e., se o sistema é estável ou instável. Um sistema está em
equilíbrio se, na ausência de qualquer perturbação ou entrada, a saída se mantiver no mesmo
estado. No caso particular de sistemas invariantes no tempo, são estáveis se a saída voltar ao seu
estado de equilíbrio quando for submetida a uma perturbação.
Um sistema linear invariante no tempo, é instável se continuar indefinidamente com a saída a
oscilar, ou se a saída diverge sem limite, quando o sistema é submetido a uma perturbação. Por
vezes, a estabilidade absoluta não chega para obedecer a certos requisitos pretendidos e então
introduzem-se certas restrições dentro do domínio da estabilidade absoluta, tornando-o mais
pequeno, eliminando oscilações pouco amortecidas, que aparecem devido a um armazenamento
de energia que se verifica nestes tipos de sistemas, que leva a saída a não seguir logo a entrada,
apresentando uma resposta transitória muitas vezes oscilatória com amortecimento. Está-se
assim a estudar o problema da "estabilidade relativa".
Se a saída de um sistema em regime estacionário, não coincide exactamente com a entrada, dizse que o sistema tem um "erro em regime estacionário". Este erro, indica a exactidão do
sistema. Ao efectuar-se a análise a um sistema dinâmico, deve-se examinar o comportamento da
resposta transitória, bem como o tempo requerido para alcançar um novo estado estacionário.
Deve-se examinar também o valor do erro em seguir um sinal de entrada, bem como o
comportamento em regime estacionário.
2
entrada
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
tempo [s]
2.5
3
3.5
4
0.4
saída
0.3
0.2
0.1
0
Fig.7.18. Representação da saída temporal de um sistema contínuo para uma entrada degrau unitário.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.29
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Representação das entradas e saídas - Normalmente, são utilizados dois tipos de representação
distintas da resposta do sistema, que atende à periodicidade ou não do sinal de entrada. Assim, a
representação normal para o caso de sinais aperiódicos, é em ordenadas a entrada e/ou saída, e
em abcissas o tempo (ver Fig.7.18).
Código em Matlab para obtenção do gráfico da Fig.7.18.
% limpar o ambiente
clear all
close all
% definição do função de transferência - sys
num=[1];
den=[1 2 4];
sys=tf(num,den);
% vector de tempos
ts=0.1;
t=0:ts:4;
t=t';
% resposta a uma entrada degrau
entrada=ones(length(t),1);
[saida]=step(sys,t);
% grafico da entrada e da saída
subplot(211)
plot(t,entrada),grid,
ylabel('entrada')
subplot(212)
plot(t,saida),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('saída')
7.7.2. SISTEMAS DE 1ª ORDEM
Considere o sistema de 1ª ordem cujo diagrama de blocos está representado na Fig.7.19.
R(s)
+
E(s)
-
C(s)
1
Ts
a)
R(s)
1
Ts + 1
C(s)
b)
Fig.7.19-a) Diagrama de blocos de um sistema de 1ª ordem. b) Diagrama de blocos simplificado,
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.30
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Fisicamente, este sistema pode representar por exemplo um circuito RC eléctrico, fluídico,
térmico, etc.. A sua relação entrada-saída, é dada por:
C(s)
1
(7.7.1)
=
R (s) Ts + 1
T=RC (constante de tempo – segundos)
Vamos seguidamente analisar a resposta de sistemas a entradas típicas (degrau unitário, rampa
unitário e impulso unitário), supondo condições iniciais nulas.
7.7.2.1. RESPOSTA A UM DEGRAU UNITÁRIO
A transformada de Laplace da função de entrada degrau unitário, é dada por 1/s. Substituindo
R(s) = 1/s na Eq.7.7.1, obtemos:
Aplicando a transformada de Laplace inversa (Ver Tabela 2.1), obtemos:
c( t ) = 1 − e − t / T
t≥0
(7.7.2)
A Eq.7.7.2 permite-nos concluir que:
c(t = 0) = 0
c(t → ∞)= 1
Uma das características importantes desta curva de resposta exponencial, pode ser observada
para t=T, em que c(t)=0.632, ou seja que resposta atingiu 63.2% da sua variação total. Podemos
comprovar este valor, substituindo na Eq.7.7.2, t = T, ou seja:
c( t = T) = 1 − e −1
= 0.632
em que T é a constante de tempo. Deste modo, quanto menor for T, mais rápida será a
resposta do sistema. Podemos também verificar que a inclinação da curva de c(t) na origem, é
dada por:
dc 1 − t / T
= e
dt T
t =0
=
1
T
Da análise da curva de resposta representada na Fig.7.20, podemos verificar que para t ≥ 4T, a
resposta permanece dentro de uma faixa de 2% do valor final. Na prática, o tempo que o sistema
demora a atingir o regime estacionário é definido como o tempo que a resposta do sistema
demora a atingir a linha dos 2% do valor final, ou seja quatro constantes de tempo.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.31
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
2
entrada
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
2%
erro
1
0.8
saída
63.2%
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
1/T
t=4T
Fig.7.20. Curva de resposta c(t) a uma entrada degrau.(Nota: T = 1 segundo).
7.7.2.2. RESPOSTA A UMA RAMPA UNITÁRIA
Como a transformada de Laplace da função rampa unitária, é
dada por:
1
, a saída do sistema C(s), será
s2
⎛ 1 ⎞1
C(s) = ⎜
⎟ 2
⎝ Ts + 1 ⎠ s
Aplicando a transformada Inversa de Laplace, obtêm-se:
c( t ) = t − T + Te − t / T ,
t≥0
(7.7.3)
O sinal de erro e(t), é dado por:
e(t) = r(t) - c(t)
= t (1 − e − t / T )
Nesta equação, quando t → ∞, e − t / T → 0 , e portanto e(t) tende para T, ou seja e(t→∞)=T. A
entrada rampa unitária e a saída do sistema, estão representadas na Fig.7.21. Verifica-se que o
erro segue a entrada rampa unitária com valor igual a T, para valores de t elevados. Deste modo,
quanto menor for o valor da constante de tempo T, menor será o erro em regime estacionário da
resposta a uma rampa unitária.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.32
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
1
entrada
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
0
1
2
3
4
5
3
4
5
entrada ; saída
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tempo [s]
Fig.7.21. Resposta de um sistema de 1ª ordem para uma entrada rampa unitária. (Nota: T = 1 segundo).
7.7.2.3. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO
Para uma entrada impulso unitário, R(s)=1, pelo que a saída C(s) será igual a:
⎛ 1 ⎞
C(s) = ⎜
⎟ ×1
⎝ Ts + 1 ⎠
ou seja:
1
c( t ) = e − t / T ,
t≥0
T
(7.5.4)
A curva de resposta, relativa à Eq.7.5.4 está representada na Fig.7.22.
1
entrada
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
0
1
2
3
4
5
3
4
5
1
saída
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tempo [s]
Fig.7.22. Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma entrada impulso unitário. (Nota: T = 1 segundo).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.33
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.7.3. SISTEMA DE 2ª ORDEM
Muitos sistemas físicos podem ser descritos ou aproximados por equações diferenciais de 2ª
ordem, cuja expressão geral, é:
d 2 c( t )
dc( t )
+ 2ξω n
+ ω 2n c( t ) = ω 2n r ( t )
2
dt
dt
(7.7.5)
em que:
ω n → frequência natural não amortecida, ou seja a frequência a que o sistema
oscilaria, se o amortecimento fosse nulo
ξ → coeficiente de amortecimento do sistema
ξ × ω n → atenuação
A função de transferência em anel fechado da Eq.7.7.5, supondo condições iniciais nulas, é:
s 2 C(s) + 2ξωn sC(s) + ω 2n C(s) = ω 2n R (s)
ou seja:
ω 2n
C(s)
=
R (s) s 2 + 2ξω n s + ω 2n
(7.7.6)
O correspondente diagrama de blocos, é dado por:
R(s)
+
E(s)
-
ω n2
s( s + 2ξω n )
C(s)
a)
R(s)
ω n2
s 2 + 2ξω n s + ω n2
C(s)
b)
Fig.7.23-a) Diagrama de blocos do sistema de 2ª ordem. b) Diagrama de blocos simplificado.
O comportamento dinâmico dos sistemas de 2ª ordem, pode ser descritos em termos dos seus
parâmetros característicos ξ e ω n . Se 0 < ζ < 1, os pólos do sistema em anel fechado são
complexos conjugados, pelo que situam-se no semi-plano esquerdo do plano complexo. Este
sistema, diz-se sub-amortecido e a resposta transitória é oscilatória.
1. Se ζ = 1, o sistema diz-se criticamente amortecido, e não oscila
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.34
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
2. Se ζ > 1, o sistema diz-se sobreamortecido, e não oscila
3. Se ζ = 0, o sistema oscila permanentemente (amortecimento nulo)
Vamos seguidamente determinar a resposta do sistema de 2ª ordem para a entrada degrau
unitário.
7.7.3.1. RESPOSTA A UMA ENTRADA DEGRAU UNITÁRIO
1) SISTEMA SUBAMORTECIDO → 0 < ζ < 1
Neste caso, C(s)/R(s), pode ser escrita da seguinte forma:
ω 2n
C(s)
=
R (s) (s + ξωn + jωd )(s + ξωn − jωd )
em que:
ωd = ω n 1 − ξ 2
Frequência natural amortecida (rad/s)
Para a entrada degrau unitário, a saída C(s), será dada por:
⎛
ω 2n
C(s) = ⎜⎜ 2
2
⎝ s + 2ξωn s + ω n
⎞1
⎟⎟
⎠s
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
c( t ) = 1 −
−ξ
t
e ωn
sin(ωd t + arctan g
1 − ξ2
)
ξ
,t ≥ 0
(7.7.7)
1 − ξ2
Da expressão anterior, podemos verificar que a frequência de oscilação transitória, é a frequência
natural amortecida ωd, e portanto varia com o coeficiente de amortecimento ζ. O erro para este
sistema, é dado por:
⎞
⎛
ξ
e( t ) = r ( t ) − c( t ) = e −ξωn t ⎜ cos ωd t +
sin ω d t ⎟ t ≥ 0
⎟
⎜
1 − ξ2
⎠
⎝
Este erro, apresenta uma oscilação sinusoidal amortecida. Em regime permanente, quando t→∞,
o erro anula-se, pelo que o sistema de 2ª ordem é exacto para uma entrada em degrau unitário.
Se o coeficiente de amortecimento ζ for nulo, a resposta será oscilatória pura. Neste caso, basta
substituir ζ=0, em (7.7.6) e aplicar R(s) =1/s, pelo que:
⎛ ω 2n
C(s) = ⎜⎜ 2
2
⎝ s + ωn
⎞1
⎟⎟
⎠s
A resposta temporal, será dada por:
c( t ) = 1 − cos ω n ( t )
,t ≥ 0
(7.7.8)
Da Eq.7.7.8, vemos que ω n corresponde à frequência natural não amortecida do sistema, ou seja
a frequência à qual o sistema oscilaria se o amortecimento fosse nulo. Nestas condições, a
frequência natural não pode ser observada experimentalmente. A frequência que pode ser
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.35
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
medida experimentalmente, designa-se por ω d , e é igual a ω n 1 − ξ 2 , sendo portanto menor que
ω n . Se ζ aumentar para além da unidade, a resposta torna-se sobreamortecida e o sistema deixa
de oscilar.
2) SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTECIDO (ζ = 1)
Se os pólos da função de transferência forem iguais, e substituirmos ζ=1 em (7.7.6), teremos
para a entrada R(s)=1/s, a seguinte resposta de C(s):
⎛ ω 2n
C(s) = ⎜⎜
2
⎝ (s + ω n )
⎞1
⎟⎟
⎠s
(7.7.9)
Aplicando a transformada de Laplace inversa à Eq. 7.7.9, obtêm-se:
−
t
c( t ) = 1 − e ωn (1 + ω n t )
3) SISTEMA SOBREAMORTECIDO (ζ > 1)
Neste caso, os pólos da função de transferência são reais, negativos e distintos. Para a respectiva
entrada R(s)=1/s, obtêm-se:
C(s) =
ω 2n
(7.7.10)
(s + ξωn + ω n ξ 2 − 1)(s + ξωn − ω n ξ 2 − 1)
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
⎧⎪s = ω ξ + ξ 2 − 1
⎛ e −s1 t e −s 2 t ⎞
ωn
1
n
⎜⎜
⎟⎟
−
c( t ) = 1 +
⎨
2
s
s
⎪⎩s 2 = ω n ξ − ξ 2 − 1
2 ξ −1 ⎝ 1
2 ⎠
(
(
)
)
(7.7.11)
Como podemos observar, a resposta c(t) não apresenta oscilações. Na Fig.7.24, apresenta-se uma
série de curvas em função de ζ. O eixo das abcissas, representa como habitualmente a variável
tempo (t). De notar que o sistema está inicialmente em repouso. Para simplificar a análise do
gráfico, considerou-se que a frequência natural do sistema é ωn=1 rad/s.
Repare-se que à medida que ζ aumenta desde o valor nulo (sistema oscilatório puro – sem
amortecimento), a amplitude das oscilações vai diminuindo até desaparecer para ζ=1.0, que
corresponde a um sistema criticamente amortecido. Para ζ=2.0, verifica-se que a resposta é mais
lenta que para ζ=1.0 e bastante mais lenta que as respostas com ζ< 1.0 (sistema sub-amortecido).
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.36
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
2
1.8
ξ=0.0
c(t)
1.6
1.4
ξ=0.1
1.2
ξ=0.2
1
ξ=2.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
t [seg.]
8
10
12
Fig.7.24. Curvas de resposta de um sistema de 2ª ordem a uma entrada em degrau unitário. (Nota: ωn=1 rad/s).
7.7.3.2. ESPECIFICAÇÕES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SIST. DE 2ª ORDEM
Em muitos casos práticos, as características do desempenho desejadas para os sistemas de
controlo são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo. Os sistemas que
armazenam energia, não conseguem responder instantaneamente e terão respostas transitórias
quando forem sujeitos a perturbações.
Em geral, as características de desempenho de um sistema de controlo são especificadas em
termos da resposta transitória para uma entrada degrau unitário, pois esta entrada é fácil de obter
e é suficientemente brusca. (NOTA: Se a resposta a uma entrada degrau for conhecida, é
matematicamente possível determinar a resposta para qualquer outro tipo de entrada).
A resposta transitória de um sistema para uma entrada degrau unitário, depende das condições
iniciais. Por conveniência na comparação das respectivas respostas transitórias de diversos
sistemas, é usual aplicar a condição padrão do sistema inicial em repouso, com a saída e todas as
suas derivadas nulas. Desta forma, podemos comparar facilmente as respostas de sistemas
diferentes.
A especificação das características transitórias de um sistema de controlo para uma entrada
degrau unitário, são geralmente as seguintes:
1) Tempo de atraso ( t d ) - Tempo necessário para a resposta alcançar pela primeira vez metade
do valor final
2) Tempo de subida ( t r ) - Tempo necessário para a resposta passar de 10% a 90% (ou de 5% a
95%, ou ainda de 0% a 100%) do seu valor final
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.37
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
3) Tempo de pico ( t p ) - Tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro pico do sobresinal
4) Sobre-sinal máximo ( M p ) - É o máximo valor do pico da curva de resposta, medido a partir
do valor final de resposta (Neste caso -> c(∞)=1)
NOTA: Se o valor final do regime estacionário da resposta, difere do valor unitário, usa-se
geralmente o máximo sinal percentual. Esta grandeza, é definida por:
c ( t p ) − c( ∞ )
⎡sobre − sinal máximo⎤
= Mp =
× 100%
⎢
⎥
percentual
c( ∞ )
⎣
⎦
5) Tempo de acomodação ( t s ) - É o tempo necessário para a curva de resposta atingir e
permanecer dentro de uma faixa em redor do valor final (normalmente 2% e 5%).
(NOTA: A escolha da percentagem de erro a usar, pode ser determinada a partir dos objectivos de
dimensionamento do sistema em questão).
É conveniente referir que nem todas estas especificações, são aplicáveis a qualquer caso em
estudo. Por exemplo, para um sistema sobreamortecido, o tempo de pico e o sobre-sinal máximo,
não se utilizam, visto que estes sistemas não exibem oscilações.
Fig.7.25. Curva de resposta do sistema a uma entrada degrau unitário.
Sistemas de 2ª ordem e especificações da resposta transitória - Para um sistema de 2ª ordem e
supondo que este é sub-amortecido, teremos:
i)
Tempo de subida tr - Se substituirmos em (5.7) c(t)=1, obtêm-se:
⎛
⎞
ξ
c( t r ) = 1 = 1 − e −ξωn t ⎜ cos ω d t +
sin ω d t ⎟
⎜
⎟
1 − ξ2
⎝
⎠
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
t≥0
7.38
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
como o termo exponencial é ≠ 0, visto o tempo ser geralmente pequeno (t << ∞), conclui-se a
partir da expressão anterior, que:
⎛
⎞
⎜ cos ω t + ξ sin ω t ⎟ = 0
d r
d r
⎟
⎜
1 − ξ2
⎝
⎠
ou
1 − ξ2
ω
tan ωd t r = −
=− d
σ
ξ
Assim, o tempo de crescimento tr será dado por:
tr =
1
⎛ ω ⎞ π−β
tan −1 ⎜ d ⎟ =
ωd
ωd
⎝−σ⎠
sendo β definido de acordo com a representação indicada na Fig.7.26.
Fig.7.26. Representação de um polo no diagrama complexo.
ii)
Tempo de pico t p - Se derivarmos c(t) em ordem ao tempo e igualarmos a derivada a
zero, obtemos:
ωn
dc( t )
−ξ
t
e ωn p = 0
= sin(ωd t p )
2
dt t = t
1− ξ
p
Esta expressão anula-se para sin ω d t p = 0, ou seja:
ωd t p = 0, π,2π,3π,...
O tempo de pico t p corresponde ao primeiro pico do sobre-sinal, ou seja sin ω d t p = π , pelo que:
π
tp =
ωd
iii)
Sobre-sinal máximo M p - Ocorre para t = t p . Portanto, da equação de resposta c(t),
obtemos:
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.39
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
M p = c( t p ) − 1
= (1 − e
=e
−ξ
π
ωn ω
d
− ξωn ( π / ωd )
ξ
(cos π +
1 − ξ2
sin π)) − 1
⎛
⎞
ξ
⎜ cos π +
sin π ⎟
⎜
⎟
1 − ξ2
⎝
⎠
Como ω d = ω n 1 − ξ , obtêm-se finalmente
2
Mp = e
iv)
−
ξπ
1− ξ 2
Tempo de acomodação ( t s ) - Para um sistema de segunda ordem subamortecido, a
resposta a um degrau é dada de acordo com (7.7.7). As curvas envolventes à curva de
resposta para uma entrada em degrau unitário, são dadas por:
(
t
−ξ
1 ± e ωn / 1 − ξ 2
)
conforme podemos observar na figura seguinte
Fig.7.27. Curvas envolventes da resposta de um sistema de 2ª ordem da Fig.7.26.
O tempo de acomodação correspondente aos critérios de 2 % e 5 %, pode ser medido em termos
da constante de tempo T = 1 / ξω n , a partir da curvas representadas na Fig.7.27, para diversos
valores de ξ. Deste modo, obtiveram-se os seguintes valores:
4
4
t s = 4T = =
(Criterio de 2%)
σ ξω n
t s = 3T =
3
3
=
σ ξω n
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
(Criterio de 5%)
7.40
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.7.3.3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO
A Fig.7.28-a) representa um sistema mecânico massa-mola-amortecedor, que representa por
exemplo o modelo simplificado de uma suspensão automóvel. Quando se aplica uma entrada em
degrau P = 7.9 N, este sistema oscila de acordo com o gráfico representado na Fig.7.28-b).
Determine os valores de m, b e k do sistema a partir da curva de resposta.
P(t)
k
M
x(t)
b
a)
entrada P [N]
10
9.5
9
8.5
8
7.5
0
1
2
0
1
2
3
4
5
3
4
5
saída x [m]
0.04
0.03
0.02
0.01
0
tempo [s]
b)
Fig.7.28. Sistema mecânico oscilatório. b) Curva de resposta para uma entrada degrau.
RESOLUÇÃO: A função de transferência do sistema é dada por:
X(s)
1
=
2
P(s) ms + bs + k
8.9
P(s) =
⇒
s
1
⎛
⎞ 8.9
X(s) = ⎜ 2
⎟
⎝ ms + bs + k ⎠ s
G (s) =
Entrada degrau de amplitude 7.9 N
O valor em regime estacionário de x(t) é dado por aplicação do Teorema do Valor Final
(Tabela 7.2), ou seja:
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.41
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
x estacionario = lim sX(s) =
s →0
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
8.9
= 0.03 m
k
pelo que
k=
8.9
= 297 Nm −1
0.03
O sobre-sinal máximo, obtêm-se através do gráfico e é dado por Mp=9.66%, o que corresponde
a ζ=0.6, ou seja:
M p = 0.0966 = e
ξπ
−
1− ξ 2
⇒ ξ = 0.6
O tempo correspondente, será:
t max =
π
ωn 1 − ξ 2
=
π
= 2 seg.
0.8ω n
pelo que
ωn =
Como ω2n =
m=
3.14
= 1.96 rad / s
0.8 × 2
k
, obtêm-se
m
297
= 77.3 Kg
1.96 2
e que 2ξ ωn =
b
, teremos
m
b = 2 × 0.6 × 1.96 × 77.3 = 181.8 Nm −1s
Deste modo, a função de transferência do sistema mecânico, será dada por:
G (s) =
X(s)
1
=
2
P(s) 77.3s + 181.8s + 297
G (s) =
X(s)
0.01294
= 2
P(s) s + 2.3513s + 3.325
ou
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.42
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.8. ANÁLISE DA ESTABILIDADE NO PLANO COMPLEXO
7.8.1. INTRODUÇÃO
Empiricamente, pode-se dizer que um sistema linear é estável, se ao ser afastado da sua posição
de equilíbrio por uma perturbação temporária, tende a voltar à sua posição de equilíbrio, assim
que esta desaparece.
Assim, a instabilidade não é função de qualquer tipo de entrada ou perturbação externa. É
uma característica intrínseca do sistema. Deste modo, basta um pequeno erro introduzido no
sistema em anel fechado, devido a uma perturbação, para que o sistema se afaste da sua condição
de equilíbrio.
Considere o sistema de controlo em anel fechado, representado na Fig.7.29.
R(s)
E(s)
G(s)
C(s)
R(s)
G(s)
C(s)
1+G(s)H(s)
_
H(s)
Fig.7.29. Sistema de controlo em anel fechado.
Na secção 7.2, vimos que a resposta de um sistema linear, era composta pela soma de duas
respostas parcelares, ou seja:
•
•
Resposta forçada (estacionária), imposta pela entrada
Resposta livre (transitória), que é propriedade intrínseca do sistema, e que é composta
pela soma de termos exponenciais do tipo
n
t
clivre (t ) = ∑ esi
i =1
em que os termos si , são as raízes da equação característica (1+G(s)H(s)=0).
Para que o sistema forçado seja atingido, é necessário que o regime livre se anule ao fim de um
certo tempo. Deste modo, se todas as exponenciais tenderem para zero com o tempo, o sistema é
estável. Se uma das exponenciais tender para o infinito o sistema será instável. (Nota: Basta
apenas uma delas tender para infinito, que o sistema é imediatamente instável).
A estabilidade aparece assim associada aos zeros (raízes) da equação
característica, e estes dependem apenas dos parâmetros do sistema
Dada uma solução (raiz) s = a + bi da equação característica, podemos ter os casos,
representados na Fig.7.30. Da análise das três hipóteses, podemos concluir que:
As raízes da equação característica, não podem ter parte real positiva, para que o sistema seja
estável. Se a parte real for nula, diz-se que o sistema está no limiar da estabilidade ou que tem
estabilidade limitada, visto que a sua resposta não tende para infinito. No entanto, como é
óbvio, o sistema não é estável do ponto de vista prático.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.43
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
c(t)
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
c(t)
e -at
t
Estável
(a<0)
c(t)
e at
t
Instável
(a>0)
t
Oscilatório
(a=0)
Fig.7.30. Respostas transitórias em função do coeficiente "a" da raiz característica.
O sistema diz-se assimptóticamente estável, quando todas as raízes da equação característica se
situam no semi-plano esquerdo aberto (excluindo o eixo imaginário).
O comportamento de um sistema contínuo, face à localização das raízes da equação
característica, está representado na Fig.7.31, para uma entrada impulso unitário.
NOTA: As raízes da equação característica (1+G(s)H(s)=0), são designados por pólos da
função de transferência em anel fechado.
Fig.7.31. Localização das raízes de um sistema contínuo no plano de Argand.
Os métodos de análise da estabilidade mais conhecidos, são os seguintes:
1. Pesquisa dos zeros de 1+G(s)H(s)=0 e sua localização no plano de Argand. São
designados por:
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.44
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
•
•
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
Critério de Routh-Hurwithz
Lugar geométrico das raízes (Root-Locus)
2. Na análise da função de transferência em anel aberto G(jω)H(jω), no domínio da
frequência. Estes métodos, são designados por Critério de Bode e Critério de Nyquist.
7.7.2. CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITHZ
Com este método pretende-se determinar se existem pólos da função de transferência em anel
fechado, no semi-plano direito. Não diz quais são os valores dos pólos, mas apenas indica qual o
número de pólos instáveis. Este método, permite evitar a resolução analítica da equação
característica, e aplica-se a polinómios de grau n.
Considere a equação característica sob a forma de um polinómio em s:
1 + G ( s) H ( s ) = 0
a o sn + a1 sn −1 +.....+ a n −1 s + a n = 0
em que os coeficientes ai são todos reais e diferentes de zero. Deste modo, deve-se proceder da
seguinte forma:
a) Construa uma tabela da seguinte forma:
s
s
s
s
n
n-1
n-2
n-3
.
.
.
s
o
a
a
x
y
a
o
a
1
y
1
.
a
3
x
1
a
2
2
2
x
y
.
f
4
5
3
3
.
1
em que:
•
•
As duas primeiras linhas são preenchidas com os coeficientes do polinómio
As outras linhas são preenchidas, a partir das primeiras e de acordo com as
seguintes expressões:
a1 a 2 − a o a 3
a1
x a −a x
y1 = 1 3 1 2
x1
x1 =
a1 a 4 − a o a5
a1
x a −a x
y2 = 1 5 1 3
x1
x2 =
x3 =
a1 a 6 − a o a 7
a1
..........
b) Uma vez completada a tabela, o critério permite afirmar o seguinte:
"O número de pólos instáveis da função de transferência em anel fechado,
é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela"
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.45
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
EXEMPLO DE APLICAÇÃO:
Dada a seguinte equação característica, verifique a estabilidade absoluta do sistema.
1 + G ( s) H ( s) = 0 ⇒ s 3 + 2s 2 + 3s + 10 = 0
Solução: Construa a tabela conforme indicado, pelo que
s
s
s
s
3
1
3
2
10
1
-2
0
o
10
2
Verifica-se que existem duas mudanças de sinal, na primeira coluna => 2 pólos instáveis.
(NOTA: Mudanças de sinal:
2 → - 2 → 10)
CONCLUSÃO:
De acordo com o critério, a equação característica tem duas raízes com parte real positiva, pelo
que o sistema é instável.
CASOS ESPECIAIS:
1) Se um dos valores "a" for zero, isto significa que existem zeros no semi-plano direito. O
sistema é automaticamente instável.
2) Se nem todos os valores de "a" tiverem o mesmo sinal, existem zeros instáveis.
3) Se ao completar a tabela, algum dos coeficientes da 1ª coluna for nulo, deverá ser
substituído por um ε → 0. Neste caso, determinam-se os coeficientes da coluna tomando
o limite, quando ε→ 0.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.46
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
7.9. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
1. Determine as equações algébricas no domínio complexo das seguintes equações diferenciais
lineares, supondo condições iniciais nulas:
d2y
+ 2 y = 5e − 4 t
dt 2
d2y
d3y
+
+ 8 y = t + sin( t )
b)
4
dt 2
dt 3
d2y
c) 4 2 + 10 y = t + 5e − 2 t
dt
2
d y
dy
+ 8 + 12 y = t 2 + sin( t )
d)
2
dt
dt
a) 3
2. Considere o exemplo massa - mola apresentado em 7.5.1. Repita a resolução do problema
considerando neste caso uma força do tipo degrau unitário. Faça o respectivo gráfico.
Comente a resposta obtida.
3. Considere o exemplo massa - mola dado em 7.5.1. Repita a resolução do problema
considerando neste caso atrito viscoso linear com um coeficiente b=20 Ns/m e uma força
do tipo impulso unitário. Faça o respectivo gráfico. Comente a resposta obtida. (NOTA:
Considere que a força dissipativa do atrito é proporcional à velocidade de deslocamento da
massa m).
4. Considere o sistema representado na figura. Determine a resposta temporal y(t) para o tipo de
entrada considerada. (Entrada sinusoidal de amplitude A e frequência angular ω).
P=A.sin(ωt)
M
y(t)
k
k
5. Considere o seguinte diagrama de blocos:
R(s)
+
-
+
k
-
1
s +1
C(s)
s
0.5
a) Reduza o diagrama de blocos à sua forma canónica em anel aberto.
b) Qual a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s) do sistema?
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.47
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO
7. REVISÕES SOBRE CONTROLO CONTÍNUO
c) Qual a ordem do numerador, do denominador e do sistema?
6. Considere um sistema linear dado pelo seguinte diagrama de blocos:
R(s)
-
s +1
s+2
C(s)
1/s
a) Determine a função de transferência G(s)=C(s)/R(s) do sistema.
b) Justifique que se trata de um sistema causal.
c) Represente a localização no plano complexo (d'Argand), dos pólos e zeros do sistema.
8) Considere um termómetro analógico que mede a temperatura do líquido num tanque,
conforme representado na figura. O modelo matemático do termómetro, pode ser descrito
através de um sistema de primeira ordem, com os seguintes parâmetros característicos:
Constante de ganho K = 0.10 V/ºC
Constante de tempo T = 1.5 segundos
Mostrador
vapor
sensor de temperatura
Tanque
Válvula
a) Admita que o tanque está inicialmente vazio, e que súbitamente é despejada água para dentro
do tanque à temperatura de 50 ºC. Admitindo que a temperatura atmosférica é de 20 ºC,
determine a evolução no tempo da saída V(t) do sensor. Calcule a tensão V(t) e a respectiva
temperatura para t = 6 s.
b) Represente o gráfico da evolução de V(t). Diga ao fim de quanto tempo poderá considerar
que o sistema entrou em regime estacionário.
c) Considere agora que o tanque está cheio de água à temperatura de 20 ºC. Em seguida, é
ligada a serpentina a vapor pelo que a água no tanque começa a aquecer a uma taxa constante
de 0.5 ºC/seg.
• Determine a resposta V(t) para este tipo de entrada. Determine a tensão V(t) e a
temperatura ao fim de t = 1 minuto.
• Represente o gráfico V(t) em função do tempo. Determine o erro (ºC) em regime
estacionário. Comente o valor obtido e diga como poderia diminuir esse erro.
Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM
7.48