1
INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO J. ANDRADE
MATEMÁTICA
Teoria e Aplicações.
Anderson Dias Gonçalves
Juatuba, Fevereiro de 2007.
2
INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO J. ANDRADE
MATEMÁTICA
Teoria e Aplicações.
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS –Este material didático foi desenvolvido
exclusivamente para o uso nas aulas de Matemática ministradas pelo Prof. Anderson
Dias Gonçalves.
A autorização para a utilização deste material por outros professores deverá ser
concedida pelo autor.
Contato: [email protected]
Copyright c Anderson Dias Gonçalves 2007.
3
O AUTOR
Anderson Dias Gonçalves
Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Formiga – UNIFOR, pósgraduado em Matemática e Estatística pela UFLA, pós-graduado em Ensino da Matemática
pelo UNIFOR, mestre em Matemática e Estatística pela Universidade Vale do Rio Verde.
Professor dos cursos de Administração, Ciências Contábeis e Publicidade e Propaganda
do Instituto Superior de Ensino J. Andrade e professor dos cursos de Psicologia, Serviço
Social e Ciências Contábeis da Faculdade de Ciências Econômicas, Administrativas e
Contábeis de Divinópolis - FACED.
4
"A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer
os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens."
Descartes
5
Apresentação
O objetivo deste curso, que estamos chamando de Matemática - Teoria e Aplicações,
é dotar o estudante universitário do curso de Administração o conhecimento sólido de
alguns conceitos básicos fundamentais em matemática, de tal maneira que se sinta seguro e
consciente para entender o que lê em textos, o que é posto em aula e para a forma como está
operando matematicamente, e aplicar em situações de trabalho e ou pesquisa. Esperamos
ainda, possibilitar que o estudante utilize este conhecimento que aqui propomos em outras
disciplinas em períodos posterioes, e que possa obter consciência matemática, os invés de
repetir alguns mecanismos de procedimentos, os quais, via de regra, ele não sabe justi…car
a razão de estar fazendo.
Leia cada secção do capítulo sem interrupção, não se importe com o que não estiver
entendendo na primeira leitura; leia-o, não desista. Leia o parágrafo até o …nal, depois
releia e prossiga com a leitura até o …nal do capítulo, depois o releia mais uma vez.
Não se aprende à primeira leitura. Depois, já com um apanhado geral do que está no
parágrafo, retome a leitura pelo início do paragráfo. Não esqueça de destacar e identi…car
os conceitos já estudados que estão envolvidos no parágrafo, se não estiver assimilando,
volte aos parágrafos nos quais foram de…nidos.
Como regra geral, tente sempre enquadrar o que você está estudando (ou pensando) no
âmbito do seu conhecimento prévio ou atual. Depois, renove esse conhecimento.
6
SUMÁRIO
1. Capítulo 1 - Revisão
9
1.1 Objetivo do Capítulo
9
1.2 Potência
9
1.3 Radiciação
12
1.4 Módulo de um Número Real
13
1.6 Podutos Notáveis
14
2. Capítulo 2 - Conjuntos
17
2.1 Objetivo do Capítulo
17
2.2 Noção de Conjuntos
17
2.3 Princiapais Símbolos
18
2.4 Principais Conjuntos Numéricos
19
2.7 Intervalos
26
3. Capítulo 3 - Funções
28
3.1 Objetivo do Capítulo
28
3.2 Conceito de Função
28
3.3 Noção de Função Via Conjuntos
29
3.4 Igualdade de Funções
30
3.5 Operações com Funções
30
3.6 Estudo do Domínio de uma Função Real
31
3.7 Plano Cartesiano
32
3.8 Produto Cartesiano
33
3.9 Representação Grá…ca de uma função
34
4. Capítulo 4 - Funções Usuais
36
4.1 Objetivo do Capítulo
36
4.2 Modelos Lineares
36
4.3 Noção de Geoemtria Analítica
43
5. Capítulo 5 - Função Quadrática
50
5.1 Objetivo do Capítulo
50
5.2 Um Modelo de Função do 2 Grau
50
5.3 Caracterização Geral
50
5.4 Vértice de uma Parábola da Função Quadrática
53
7
5.5 Principais Pontos de uma Parábola
54
5.6 Imagem da Função Quadrática
54
5.7 Crescimento e Decrescimento de uma Função
56
6. Capítulo 6 - Aplicação de Função
60
6.1 Objetivo do Capítulo
60
6.2 Demanda de Mercado
60
6.3 Oferta de Mercado
60
6.4 Receita Total
61
6.5 Custo Total
62
6.6 Equilíbrio de Mercado (Break even-point)
62
7. Capítulo 7 - Função Exponencial
65
7.1 Objetivo do Capítulo
65
7.2 Modelos deFunções Exponenciais
65
7.3 Equação Exponencial
68
7.4 Caracterização Geral de uma Função Exponencial
68
7.5 Grá…co Cartesiano da Função Exponencial
68
7.6 Logarítmo
71
8. Capítulo 8 - Matrizes
75
8.1 Objetivo do Capítulo
75
8.2 Matriz
75
8.3 Representação de uma Matriz
75
8.4 Igualdade entre Matrizes
76
8.5 Tipos Especiais de Matrizes
76
8.6 Operações com Matrizes
77
9. Capítulo 9 - Sistemas de Equações Lineares
84
9.1 Objetivo do Capítulo
84
9.2 Conceitos
84
9.3 Operações Elementares
85
9.4 Forma Escada
82
9.5 Posto de uma Matriz
86
9.6 Soluções de um Sistema de Equações Lineares
87
8
10. Capítulo 10 - Determinate
91
10.1 Objetivo do Capítulo
91
10.2 Determinantes
91
10.3 Desenvolvimento de Laplace
94
11. Capítulo 11 - Limite
96
11.1 Objetivo do Capítulo
96
11.2 Limite de uma Função
96
11.3 Continuidade
98
11.4 Limite no In…nito
12. Capítulo 12 - Conceito de Derivada
102
104
12.1 Objetivo do Capítulo
104
12.2 Taxa de Variação
104
12.3 Derivada de uma Função em um Ponto
108
12.4 Derivada como Inclinação da Reta Tangente
110
13. Capítulo 13 - Técnicas de Derivação
112
13.1 Objetivo do Capítulo
112
13.2 Regra de Derivação
112
14. Capítulo 14 - Aplicação de Derivadas no Estudo de Funções
118
14.1 Objetivo do Capítulo
118
14.2 Funções Crescentes e Decrescentes
118
14.3 Teste da Derivada Primeira
119
14.4 Pontos Críticos
119
14.5 Pontos Extremos de uma Função
121
14.6 Extremos Absolutos
123
14.7 Concavidade e o Teste da Derivada Segunda
124
14.8 Pontos de In‡exão
125
15. Apêndice A
128
16. Apêndice B
130
17. Apêndice C
132
18. Referência Bibliográ…ca
133
9
1. CAPITULO
REVISÃO
1.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso objetivo nesse capítulo e proporcinar ao estudante um breve momento de revisão
de operações matemática elementares, que serão necessárias em capítulos posteriores.
Iniciamos com noção de potência e radiciação, seguida de valor absoluto de um número
e um estudo sobre produtos notáveis, incluindo a fatoração de polinômios. Para alguns
estudantes, este capítulo pode até ser desprezado, mas para outros nem tanto.
1.2. POTÊNCIA
Consideremos a seguinte situação:
Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos
duas moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro
possibilidades diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) ou (coroa, coroa).
Se lançarmos três moedas diferentes, serão oito resultados possíveis. E assim por diante.
Então, a relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na
tabela abaixo:
Número de Moedas Número de resultados
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
..
..
.
.
Vemos através da tabela que: 2 = 21 ; 4 = 22 ; 16 = 24 ; 32 = 25 e assim por diante. Essa
situação ilustra a operação de potenciação que iremos recordar nesse capítulo.
1.2.1. POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL
Seja a um número real positivo. Para todo n 2 N; a potência an , de base a e expoente
n é de…nida como produto de n fatores iguais a: Para n = 1, como não há produto de um
só fator, põe-se a1 = a , por de…nição.
De modo geral, para quaisquer m; n 2 N , tem-se:
am an = am+n
(1)
10
Essa propriedade continua válida para um número qualquer de fatores. Para m1 ; m2 ; :::; mp
quaiquer pertencentes a N , temos:
am1 am2 ::: amp = am1 +m2 +:::+mp
(2)
Convenção: a0 = 1
Quanto deverá ser o valor de a0 , mantendo-se a propriedade fundamental?
Como a propriedade fundamental deve ser mantida, temos que:
a0 a1 = a0+1 = a1
(3)
Vemos através da Eq (3) que a0 a1 = a1 , então podemos concluir que a0 precisa ser
igual a 1, então convencionou-se que:
a0 = 1
(4)
1.2.2. PROPRIEDADES DE POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL
As propriedades mostradas abaixo não serão demonstradas devido a …nalidade do curso,
porém o estudante que quiser fazê-las, terá como base a Eq(1).
Sendo a e b reais e m e n racionais, valem as seguinte propriedades:
[1] am an = am+n
m
[2] aan = am n
[3] (a:b)n = an bn
n
n
[4] ab = abn
[5] (am )n = am n
n
n
[6] ab
= ab
n
[7] (a) = a1n
p
1
n
[8] a n = p
a; 8a 2 R
m
n
n
[9] a = am ; 8a 2 R
Exercícios Resolvidos
1. (4)3 = 64
2. ( 3)2 = 9
3. ( 3)3 =
4.
32 =
27
9
11
5.
6.
2 3
3
=
8
27
(a2 b3 ) 5
(a2 )3 b7
=
3
p
5
23
1
p
3
8
7. 2 5 =
8. 8 3 =
a10 b15
a6 b7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule as potências
a) ( 2)3
b)
3 2
2
5 3
2
c)
1
d) (9) 2
1 5
2
e)
f) 74 73
g) 58 : 55
2. Calcule o valor de y =
3. Sabendo que 2x + 2
x
(
3+(
4
1 2
2
3 2
2
)
)
3x+2 3x+1
3x
b)
5x
3
5x +5x
5x 1
2
:
= 5, calcule o valor de 4x + 4
4. Simpli…que as expressões abaixo.
a)
1
x
12
1.3. RADIACIAÇÃO
De…nição:
Dados um número não negativo a e um número natural n, n p
1; chama-se raiz enézima
de a o número real e não negativo b tal que b = a. O símbolo n a; chamado de radical,
indica a raiz enézima de a . Nele, a é chamado de radicando, e n o índice.
p
n
a=b,b
0 e bn = a
(5)
1.3.1 PROPRIEDADES
Sendo a e b reais não negativos, m inteiro e n e p naturais não nulos, valem as seguintes
propriedades:
p
p
n
n:p
m:p
[1] p
am = p
ap
n
[2] a:b = pn a: n b
p
na
[3] n ab = p
n
bp
p
m
n
[4] (p a) = n am
p
p
[5] p n a = p:n a
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule os seguintes radicais
p
a) 48
p
b) 40
p
c) 3 72
p
d) 243
p
e) 196
p
f) 4 625
p
g) 3 216
q
1
h) 5 32
p
25
3+
p
3
2. Calcule o valor de y =
3. Calcule o valor de:
p
p
3
a) x = 1 + 49
r
q
b) y =
5
1+
2+
p
1
16 +
p
16
0
p
3
27:
13
c) k =
d) z =
p
p
3
8+
p
32 +
p
72
p
50
p
3
16+
54
p
3
125
4. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes frações:
a)
p2
3
b)
p1
2
p
p3
2
c)
d)
3
p
2 3
e)
1
p
3
4
f)
2
p
5
4
g)
14
p
3
7
1.4. MODÚLO DE UM NÚMERO REAL - VALOR ABSOLUTO
De…nição de valor absoluto: O valor absoluto de um número real a é:
jaj =
a, se a 0
a; se a < 0
(6)
O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número
real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é
igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem.
Assim:
Se jxj < a (com a > 0) signi…ca que a distância entre x e a origem é menor que
a, isto é, x deve estar entre a e a, ou seja, jxj < a , a < x < a:Veja a …gura 1.1.
FIG. 1.1
Se jxj > a (com a > 0) signi…ca que a distância entre x e a origem é maior que
a, isto é x, deve estar à direita de a ou à esquerda de a na reta real, ou seja: jxj > a ,
x > aoux < a:Veja a …gura 1.2.
FIG.1.2
14
1.5. PROPRIEDADES DE VALORES ABSOLUTOS
[1] Multiplicação:
[2] Potências:
[3] Divisão:
ja:bj = jaj : jbj
jan j = jajn
a
= jaj
b
jbj
p
2
a = jaj
[4] Raiz Quadrada:
[5] Desigualdade Triangular: ja + bj
jaj + jbj
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Resolva a equação jx
5j = 6.
2. Resolva a equação jx
6j = j3
3. Resolva a inequação j
2x + 6j < 2
4. Resolva a inequação j10
2xj.
xj > 4
5. Resolva a equação j2x + 1j = j3x
1j
1.6. PRODUTOS NOTÁVEIS
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a + b):(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a
b):(a
b) = a2
ab
ab + b2 = a2
2ab + b2
(a + b + c):(a + b + c) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c
Somando os termos semelhantes: a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
A…m de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar
a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
(a + b):(a
b) = a2
b2
(7)
Quadrado da soma (trinômio do quadrado perfeito): quadrado do primeiro,
mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
15
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(8)
Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo.
(a
b)2 = a2
2ab + b2
(9)
Cubo da soma: cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o
segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(10)
Cubo da diferença: cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro
vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo
do segundo.
(a
b)3 = a3
3a2 b + 3ab2
b3
(11)
Observação:
Diferença de dois Cubos.
a3
b3 = (a
b)(a2 + ab + b2 )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Efetue os seguintes produtos notáveis
a) (x + 2)2
b) (3x
c) (x
4)2
3) : (x + 3)
d) (2 4x) (2 + 4x)
p
2
e)
2+x
f) (2x + 3)3
(12)
16
2.
CAPÍTULO
CONJUNTOS
2.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso obejtivo nesse capítulo é descrever uma linguagem formal sobre conjuntos, subconjuntos, conjuntos numéricos, operações entre conjuntos e intervalos. Toda o estudo
sobre funções está solidi…cado sobre a teroria dos conjuntos. Por esta razão vamos dar
uma atenção especial na linguagem utilizada para representação e operacão de conjuntos.
2.2. NOÇÃO DE CONJUNTOS
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela
podem expressar todos os conceitos matemáticos. Intuitivamente, conjunto é uma lista,
coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc.
Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por
letras minúsculas.
Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras:
Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados
por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}.
Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos.
Ex.: B = fx=x é número ímpar menor que seteg.
Pelo diagrama de Venn, …gura 2.1.
•1
•3
•5
FIG.2.1
17
2.3 PRINCIPAIS SÍMBOLOS
2 pertence
2
= não pertence
= tal que
está contido
contém
9 existe ao menos um
9!existe um único
@ não existe
8 para todo ou qualquer
) implicação
, equivalência
[ união
\ intersecção
Exemplo
Sendo P = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g, determina, por extensão, os seguintes conjuntos:
A = fx 2 P=x = 3k; k 2 P g = f
g
B = fx 2 P=x = 2k; k 2 P g = f
g
Obseravações
Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por
? ou fg
Quando o conjunto é in…nito utilizamos reticências (:::). Ex.: E = f1; 2; 3; :::g.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de
B. Ex.: Se A = f1; 2; 3g e B = f1; 2; 3; 4; 5g então A B ou A é subconjunto de
B.
Chamamos de intersecção de dois conjuntos, o conjunto formado por todos os
elementos comuns a A e B, e representamos por A \ B . Ex.: Se A = f1; 2; 3; 8g e
B = f2; 8; 9g então A \ B = f2; 8g.
Chamamos reunião ou união de dois conjuntos, o conjunto formado por todos os
elementos de A ou B. Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos
A [ B = f1; 2; 3; 8; 9g:
18
2.3. PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais - N
N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g
(13)
Conjunto dos Números Inteiros - Z
Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; :::g
(14)
Conjunto dos Números Racionais - Q
a
Q = fx=x = ; coma 2 Z; b 2 Zeb 6= 0g
b
(15)
Observações
Z
Q, pois se a 2 Z , a =
a
1
2 Q;
Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois
casos:
1) a representação decimal é …nita:
– 74 = 1; 75
– 35 = 0; 6
2) a representação decimal é in…nita periódica:
1
= 0; 333:::
3
47
= 0; 5222:::
90
Conjunto dos Números Irracionais - I
Considere os números
p
2 t 1; 4142135:::
p
3 t 1; 7320508:::
p p
2, 3 e
, suas representações decimais são:
t 3; 14159265:::
e t 2; 71828:::( Número de Euler )
19
Observa que existem decimais in…nitos não periódicos, os quais damos o nome de
números irracionais que não podem ser escritos na forma ab . Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais.
Conjunto dos Números Reais - R
R = Q [ I = fx=x é racional ou irracionalg
(16)
Portanto, são números reais:
i) os números naturais;
ii) os números inteiros;
iii) os números racionais;
iv) os números irracionais.
Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a …gura 2.2:
FIG.2.2
(17)
Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem
um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou
abscissa do ponto.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Complete usando os símbolos 2 ou 2:
=
a)
7 __ N
p
b) 2 __ Q
c)
1
2
__ I
20
d)
q
9
4
__ Q
e) 0; 16666::: __ Q
p
64 __ R
f)
g) 3; 232 __ Q
p
h) 3 27 __ Z
2. Determine, por extensão, os seguintes conjuntos:
a) fx 2 N = 1
b) fx 2 Z =
x
4g
3<x
3g
c) fx 2 Z = 0
x < 5g
d) fx 2 N = x
3g
e) fx 2 Z = 0
x < 4g
3. Encontre as frações geratrizes das dízimas dadas por:
a) 2; 4333:::
b) 0; 1444:::
b) 31; 5343434:::
c) 0; 2919191:::
2.4. SUBCONJUNTOS
Um conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A pertence a B. Neste caso,
dizemos que A está contido em B e designamos este fato por:
A
B
[lê-se A está contido em B]
Por exemplo, se A = f2; 4; 6g e B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g , então temos que A B:
Muitas propriedades e relações entre conjuntos …cam claras quando representamos conjuntos por meio de regiões planas. Tais representações chamam-se diagramas de Venn. A
…gura 2.3 ilustra o fato de que A está contido em B:
21
2
1
4
5
6
A
2
B
FIG.2.3
2.5. REUNIÃO DE CONJUNTOS
A reunião, ou união de dois conjuntos A e B, é o conjunto, designado por A [ B,
formado por todos os elementos que pertencen a A ou B. Em outras palavras:
x 2 A [ B , x 2 A ou x 2 B
[AU B
lê-se A união B]
Por exemplo, se A = f1; 2; 3; 5g e B = f3; 4; 5; 7g, então A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 7g. O
diagrama de Venn da …gura 2.4, ilustra a reunião de A e B.
A
B
7
1
3
5
2
4
FIG. 2.4
22
Propriedades da reunião de conjuntos
Comutativa: A [ B = B [ A
Elemento Neutro: A [ ? = A
Associativa: A [ (B [ C) = (A [ B) [ C
2.6. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto, designado por A \ B, formado
pelos elementos comuns a A e a B. Em outras palavras:
x2A\B ,x2A e x2B
[A \ B lê-se A interseção B]
Por exemplo, se A = f1; 2; 3g e B = f2; 3; 4; 5; 6g, então A \ B = f2; 3g :O diagrama de
Venn da …gura 2.5, ilustra a intersecção de A e B.
6
1
2
5
3
4
A
B
FIG. 2.5
Propriedades da Intersecção:
Comutativa: A \ B = B \ A
Associativa: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
A\?=?
Distributiva: A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
23
2.6.1. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos A e B são disjuntos se a intersecção é vazia, isto é, não possui nenhum
elemento. Em outras palavras, A e B são disjuntos se e somente se A \ B = ?: Por
exemplo, se A = f1; 3; 5g e B = f2; 4; 6; 8g, então A \ B = ?.
2.6.2. CONJUNTO DIFERENÇA
O conjunto diferença de dois conjuntos A e B, designado por AnB, é o conjunto dos
elementos de A que não pertencem a B.
[AnB lê-se A menos B]
Por exemplo, se A = f5; 6; 7; 8g e B = f1; 2; 3; 7; 8g, então AnB = f5; 6g, enquanto
BnA = f1; 2; 3g. O diagrama de Venn da …gura 2.6, ilustra o conjunto diferença AnB.
1
5
7
2
8
3
6
B
A
FIG. 2.6
2.6.3. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO
Se todos os elementos em consideração pertecem a um mesmo conjunto U , este chamase conjunto universo. Se A é um subconjunto de U , então a conjunto diferença U nA
chama-se complementar de A e é designado po C(A) ou Ac . Em outras palavras:
x 2 C(A) , x 2 U e x 2
=A
O diagrama de Venn da Figura 2.7 ilustra o complementar de A.
24
w
U
v
y
x
t
z
A
FIG. 2.7
2.6.4. NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS
Se A é um conjunto …nito, designamos por n(A) o número de elementos de A. Por
exemplo, se A=f0; 1; 5g, então n(A)=3.
Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos
o problema em dois casos:
1) A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que:
n(A [ B) = n(A) + n(B)
(18)
2) A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n(A) cpom n(B) contamos
os elementos de A\B duas vezes. Portanto:
n(A [ B) = n(A) + n(B)
n(A \ B)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam A = f1; 2; 3; 4ge B = f2; 3; 5; 7g. Determine:
a) A [ B
b) A \ B
c) AnB
d) BnA
2. Sejam A = f0; 1; 2; 3; 5g e B = f1; 2; 3; 4g. Calcule:
(19)
25
a) n(A [ B)
b) n(A \ B)
c) n(AnB)
d) n(BnA)
3. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100
pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B
e 10 pessoas não consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa
população consomem tanto o produto A quanto o produto B?
4. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas
assistem a esses programas.
Programas
E
N
H
E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Telespectadores 400 1220 1080 220
180
800
100
x
Através desses dados qual o número de pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas?
2.7. INTERVALOS
Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados
dois números reais a e b , com a < b, temos:
Intervalo aberto
(a; b) = fx 2 R=a < x < bg
intervalo fechado
[a; b] = fx 2 R=a
x
bg
intervalo semi-aberto à direita
(a; b] = fx 2 R=a < x
bg
intervalo semi-aberto à esquerda
[a; b) = fx 2 R=a
x < bg
intervalos in…nitos
(a; +1) = fx 2 R=x > ag
[a; +1) = fx 2 R=x
ag
( 1; a] = fx 2 R=x
ag
( 1; a) = fx 2 R=x < ag
26
Observação: (–1, + 1) = R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Se A = fx 2 R=2
A B.
2. Se A = fx 2 R=
e A B.
x < 5g e B = fx 2 R=3
2
x
x < 8g, determine A \ B, A [ B, e
0g e B = fx 2 R=2
x < 3g, determine A \ B, A [ B,
3. Determine A \ B, A [B, e A –B quando:
a) A = fx 2 R=0 < x < 3g e B = fx 2 R=1 < x < 5g
b) A = fx 2 R=
4<x
c) A = fx 2 R=
2
1g e B = fx 2 R=2
x < 2g e B = fx 2 R=x
x
3g
0g
4. Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos:
a) ] 10; 5[
b) [3; 6]
c) [0; 9]
d) [ 4; 8[
e) ]
5; +1[
27
3.
CAPÍTULO
FUNÇÕES
3.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração,
economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas
análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como crescimento e decrescimento, função linear, igualdade de funções, operações com funções, domínio de uma função
real e representação grá…ca, sempre associados a aplicações nas áreas administrativas,
econômica e contábil.
A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função e de limite, e
ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em outras áreas de
conhecimento.
3.2. CONCEITO DE FUNÇÃO
Na análise de fenômenos econômicos, muitas vezes usamos funções matemáticas para
descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáticas são usadas como
ferramentas que auxiliam na resolução de problemas ligados à ciências econômicas, administrativas e contábeis. Nesta seção descreveremos o conceito de função e algumas de
suas representações.
EXPLORANDO INTUITIVAMENTE A NOÇÃO DE FUNÇÃO.
Analise as seguintes situações:
Número de litros de gasolina e preço a pagar. Considere a tabela ao abaixo que relaciona
o número de litros de gasolina comprados e o preço a pagar por eles:
Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja,
o preço a pagar depende do número de litros comprados.
Número de litros Preço a pagar (R$)
1
2,50
2
5,00
3
7,50
4
10,00
..
..
.
.
40
100,00
Preço a pagar: R$ 2,50 vezes o número de litros comprados.
Pergunta-se:
a) Qual valor será pago por 23 litros de gasolina?
b) Quantos litros de gasolina poderão ser comprados com R$ 30,80?
Exemplo 1: Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 Km/h.
28
a) Construa uma tabela que indique a correspondência entre a quantidade de horas
(1,2,3,4,5) e a distância percorrida.
b) O que é dado em função do quê?
c) Qual é a regra que associa o número de horas e a distância percorrida?
d) Nesse caso, se o carro percorreu 225 Km, quantas horas ele gastou?
e) Se a viagem durasse 6 horas, quantos quilômetros seriam percorridos?
3.3. NOÇÃO DE FUNÇÃO VIA CONJUNTOS.
Dados os conjuntos A e B, dizemos que uma relação y = f (x) é uma função de A em
B, se e somente se, a cada elemento x 2 A, corresponder através de um único número y
2 B. Os conjuntos A e B são chamados respectivamente de domínio e contradomínio
de f (x). Observe a Fig.1.
FIG. 3.1
Notação : f : A ! B
x 2 A :! y 2 B
Exemplo 2: Dados os conjuntos A={1,2,3) e B={1,2,3,4,5,6}, vamos considerar a
função f : A ! B de…nida por f (x) = 2x.
a)
Faça o diagrama da função f:
b)
Qual o domínio da função f ?
c)
Qual a imagem da função f ?
Exemplo 3:Dada a função de…nida por f (x) = x2 4 com domínio D = [0; 6], encontre
alguns pontos que é a imagem da função .
3.4. IGUALDADES DE FUNÇÕES
Duas funções f e g são iguais quando possuem o mesmo domínio D e ainda f (x) = g(x),
para todo x 2 D.
Exemplo: Veri…que se as funções f e g são iguais, onde f é de…nida por f (x) = x2 3
com domínio D = [0; 5] e g de…nida por g(x) = x(x 3) + 3x 3 com domínio D = [0; 5].
29
3.5. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Sejam f e g funções reais de variável real. De…nimos a soma, a diferença, a produto e
o quaociente de f e g pelas seguintes expressões, respectivamente:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f
g)(x) = f (x)
g(x)
(f:g)(x) = f (x):g(x)
f
(x)
g
=
f (x)
;
g(x)
onde g(x) 6= 0
Por exemplo, se f (x) = 2x3 e g(x) = 4x + 1, calcule a soma, a diferença, o produto e
o quociente de f e g.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam as funções f (x) = 5x + 1 e g(x) = x2
Calcule a soma f (x) e g(x).
2. Sejam as funções f (x) = x2 e g(x) = 2
Calcule o produto das funções.
2 ambas de…nidas em um domínio D.
x ambas de…nidas em um domínio D.
3. Sejam as funções f (x) = x3 + 10 e g(x) = 4 x2 , ambas de…nidas no domínio
D = [3; 20]. Calcule o quocinete da função f (x) pela função g(x).
3.6. ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL
Normalmente, para que uma função f seja bem caracterizada, é necessário que se
conheça a lei de correspondência (lei de formação) que associa x (variável independente)
a y ( variável dependente), além do domínio de f .
Muitas vezes se faz referência a uma função f dizendo apenas qual é a lei de coorrespondência. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f , deve-se subentender
que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na
lei de correspondência y = f (x), de modo que, efetuando os cálculos, resulte um y real.
Vejamos alguns exemplos resolvidos:
1. O domínio da função de…nida pela lei y = 2x
de x (real), o número 2x 1 também é real.
1 é R, pois, qualquer que seja o valor
2
2. O domínio da função de…nida pela lei y = xx 25 ; eR f2g, pois para todo x real
2
diferente de 2, o número xx 25 é real.
p
p
3. O domínio da função y = x é R+ , pois só para valores negativos de x é que x
não é real.
p
4. A função y = x 1 2 + x 1 tem domínio D = fx 2 R=x 1ex 6= 2g, pois y só é
real se x 1 0 e x 2 6= 0:
30
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual o domínio das funções abaixo:
a) y = x2
10x + 4?
b) y =
x+1
2x 8
c) y =
p3
x 5
d) f (x) =
1
x 1
e) g(x) =
10x+3
x2 9
f) h(x) =
p
x+4
g) k(x) = x + 4
2. A função f : R ! Ré dada por f (x) = x + x2 . Determine:
a) f (3)
b) f ( 21 )
c) f (k + 1)
3. Dadas as funções f (x) = 2x
que f (2) + g(2) = 8.
3e g(x) = 3x + a. Determine o valor de a sabendo
4. Expressa por meio de uma fórmula matemática a função que a cada real x associa:
a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três
5. Uma livraria vende uma certa revista por R$ 15,00 a unidade. Considerando “x”a
quantidade vendida, expresse por meio de uma fórmula matemática a função receita
total como função da quantidade vendida.
6. Se A = f 2; 1; 0; 1g e de…nida por f (x) = x2
1 calcule Im(f ).
3.7. Plano Cartesiano
Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René
Descartes (1596-1650), …lósofo e matemático francês.O nome de Descartes em Latim, era
Cartesius, daí vem o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre
si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox) e o eixo
vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy). Associando a cada um dos eixos o conjunto de
todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = (a; b) do
plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses,
a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas
de um ponto.
31
y
Ordenada
abscissa
x
FIG. 3.2
O primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for
positivo) ou para a esquerda (se for negativo). O segundo número indica o deslocamento
a partir da origem para cima (se for positivo) ou para baixo (se for negativo). Observe
no desenho, abaixo, que: (a; b) 6= (b; a) se a 6= b.
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais
eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus).
Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme mostra a …gura
abaixo.
32
FIG. 3.3
3.8. Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, de…nimos o produto cartesiano entre A e B,
denotado por A B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x; y) onde
x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. Se A possui m
elementos e B possui n elementos, então A B possui m n elementos.
A
B = f(x; y) : x 2 A e y 2 Bg
Exemplo: Dados A = fa; b; c; dg e B = f1; 2; 3g, encontre o produto cartesiano A
(20)
B.
Referência Histórica:
Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque
para a Análise - estudo dos processos in…nitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi
o responsável também pela adoção do símbolo f (x) para representar uma função de x.
Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.
3.9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
Vamos, agora construir grá…cos de funções determinadas por leis de formação y = f (x)
em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o grá…co de uma
função dada por y = f (x), com x2 D, no plano cartesiano, devemos:
Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com
valores correspondentes para y = f (x);
A cada par ordenado (x; y) da tabela associar um ponto na plano cartesiano;
Marcar um número su…ciente de pontos, até que se tenha uma idéia do grá…co da
função (esboço do grá…co).
Exercícios Resolvido
33
Construa o grá…co da função dada por f (x) = 2x + 1.
Resolução: Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função
dada para colocarmos na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos
números reais, podemos escolher qualquer um.Veja a tabela abaixo.
x y = f (x) = 2x + 1
-2
-3
-1
-1
0
1
1
3
2
5
Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima.
Desta forma, temos um esboço do grá…co da função dada por f (x) = 2x + 1:
5
3
1
-2
-1
1
2
-1
-3
FIG. 3.5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Construa uma representação grá…ca que se aproxime das funçãoes abaixo.
a) f (x) = 2x + 3
b) g(x) = 20
c) y =
4x
2x + 4; se x 0
x + 3; se x > 0
34
4.
CAPÍTULO
FUNÇÕES USUAIS
4.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você analisará as funções constante, linear e suas aplicações estudando
conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro; demanda, oferta, break-even
point, juros simples; restrição orçamentária, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar gra…camente a função do primeiro grau, obtenção
de uma equação linear que passa por dois pontos.
4.2. MODELOS LINEARES
Analisaremos agora as funções do primeiro grau (linear); estas representam um dos
tipos de funções mais simples e de grande utilização.
4.2.1. Função do 1 grau
No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas.
Quantidade(q) 0
5
10 20 50 100
Custo(R$)
100 110 120 140 200 300
Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta
R$10; 00; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumento em R$20; 00. Concluímos
que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável
dependente. É isso o que caracteriza uma função do 1 grau.
Para um maior entendimento da função do 1 grau desse exemplo, podemos calcular a
taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em
relação à variável independente, q, pela razão:
m=
10
20
60
taxa de variação em C
=
=
=
= ::: = 2
taxa de variação em q
5
10
30
(21)
Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de
1 unidade na quantidade.
Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas , haverá um custo …xo de
R$100; 00. Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas
com pessoal etc.
De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte
variável, o Custo Variável, com uma parte …xa, o Custo Fixo:
C = CV + CF
Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação:
C(q) = 2q + 100
(22)
35
O grá…co da função de 1 grau é uma reta, onde m = 2 dá a inclinação da reta e termo
independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical (y).Observe
o grá…co abaixo.
C =2q+100
C
200
variação em C =60
140
va riação em q=3 0
100
20
50
q
FIG. 4.1
Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função
Receita obtida com a comercialização das unidades.
Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p , pela
quantidade, q , comercializada, ou seja, R = p:q.
Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de
R$7; 00, obtemos a função Receita, que é dada por:
R(q) = 7q
O grá…co para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados.
Veja o grá…co abaixo.
R=7q
R
280
variação em R=210
70
variação em q=30
10
40
FIG. 4.2
q
36
Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função Lucro.
De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo “Receita menos Custo”, ou
seja:
Lucro = Receita
(23)
Custo
Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas
de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos:
L=R C
L(q) = 7q (2q + 100)
L(q) = 5q 100
Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função de 1 grau, cujo grá…co
é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo da vertical em 100. Veja o grá…co
abaixo.
L =5 q -1 0 0
L
100
20
40
q
-1 0 0
FIG. 4.3
Podemos observar pelo grá…co que a reta que corta o eixo horizontal em q = 20 . Na
verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = 0:
L=0
5q 100 = 0
Logo, q = 20
Tal valor indica que , se q < 20 , temos lucro negativo ( L < 20 , o que indica prejuízo)
e,se q > 20 , temos lucro positivo (L > 0 ).Na verdade, podemos obter a quantidade de
dá lucro zero fazendo Receita = Custo.
L=0
R C=0
R=C
Gra…camente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even point e
é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. No nosso exemplo,
37
é dado pelos encontro das retas R = 7q e C = 2q + 100. A interpretação do break-even
point é mostrada nos grá…cos abaixo.
R,C
R=7q
C=2q+100
140
b reak -even point
100
q
20
L
L=5q-100
0
q
20
-100
FIG. 4.4
Como podemos observar, a função de 1 grau pode ser útil para representar o custo, a
receita e o lucro na comercialização de um determinado produto.
4.2.2. Caracterização Geral
De…nição: uma função de 1 grau é dada por:
(24)
y = f (x) = mx + b
com m 6= 0, onde:
m é chamado de coe…ciente angular, ou taxa de variação média, ou simplesmente
taxa de variação da variável dependente, y, em relação à variável independente, x,
e pode ser calculado pela razão:
m=
Variação em y
=
Variação em x
y
x
(25)
38
gra…camente, dá a inclinação da reta que representa a função.
b é chamado de coe…ciente linear e pode ser obtido fazendo x = 0
gra…camente, b dá o ponto em que a reta corta o eixo y.
Como já foi dito, m dá a taxa de variação da função, que representa se a função está
crescendo ou decrescendo e, gra…camente, m dá a inclinação da reta, sendo mais ou menos
inclinada positiva ou negativamente.
Se m > 0 , temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será
inclinada positivamente e, quanto maior for o valor de m , maior será o crescimento de y
a cada aumento de x , tendo a reta maior inclinação positiva.
Se m < 0 , temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta
será inclinada negativamente.
4.2.3. Obtenção da função do 1 grau
Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático
por meio de uma função de 1 grau, é importante a obtenção correta da expressão que
representa tal função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio
de uma expressão do tipo y = mx + b , é importante obtermos de maneira correta os
parâmetros m e b.
Para a obtenção de m, devemos estar atentos para as informações que dizem respeito
às taxa de variação,ou seja, qual a variação da variável dependente em relação à variável
dependente, assim podemos utilizar a de…nição da Eq(25):
m=
Variação em y
=
Variação em x
y
x
Para a obtenção do valor de b, utilizaremos um valor de x, seu correspondente y e o
valor de m obtido anteriormente, substituindo tais valores em y = mx + b , desta forma
obteremos o valor de b.
Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor …xo mais uma parte
variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se
que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$840; 00, e que em um
mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de R$1000; 00. Obtenha a relação que
dá o salário em função das horas extras.
Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5; 30) e (15; 10).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$2; 30 por litro.
a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V ) em função da quantidade
de litros (q) abastecidos por consumidor.
39
b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o
grá…co da função obtida no item anterior.
2. Um vendedor de planos de saúde recebe de salário R$300; 00, mais uma comissão
de R$5; 00 por plano vendido.
a) Determine uma expressão que relacione o salário total (S) em função da quantidade
de planos (x) vendidos.
b) Sabendo que seu salário em um mês foi de R$1550; 00, qual foi a quantidade de
planos vendidos?
c) Esboce o grá…co da função obtida no item (a).
3. Um vendedor de uma confecção recebe um salário de R$350; 00 mais 3% do valor
das vendas realizadas.
a) Determine uma expressão que relacione o salário em função do valor das vendas
realizadas.
b) Em um mês em que o salário foi de R$800; 00, qual o valor das vendas?
4. O valor inicial de um carro é R$20:000; 00, e a cada ano esse valor é depreciado em
R$1250; 00.
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de
anos passados após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
c) Esboce o grá…co da função obtida no item (a).
5. Supondo aplicações no sistema de capitalização simples em que P indica o capital
aplicado inicialmente e i a taxa de juros, obtenha para cada item, em função do
período, as funções dos juros e do montante, esboçando também seus grá…cos.
a) P = R$250:000; 00 e i = 3%;
b) P = R$4000; 00 e i = 1; 5%;
6. O custo de um produto é calculado pela fórmula c(q) = 10 + 20q , na qual indica o
custo (em reais) e q, a quantidade produzida (em unidade).
a) Construa o grá…co de c em função de q.
b) Observando no grá…co, qual seria o custo para a produção de 9 unidades do produto?
40
7. Observe o grá…co abaixo. Qual a função linear deu origem a este grá…co?
y
4.0
3.0
2.0
1.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
FIG. 4.5
8. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dadas,
respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q e , onde q é a quantidade comercializada
que se supõe ser a mesma para o custo e receita.
a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os grá…cos de custo e receita. Determine
também e indique no grá…co o break-even point.
b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu grá…co e determine as quantidades necessárias
para que o lucro seja negativo, nulo e positivo.
9. Um fabricante vende um produto por R$0; 80 a unidade. O custo do produto consiste
numa taxa …xa de R$40; 00 mais o custo de produção de R$0; 30 por unidade.
a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem
prejuízo?
b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De
quanto será o lucro ou prejuízo?
4.3. NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA
Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII,
René Descartes revolucionou a maneira de encarar a matemática. Anteriormente a Descartes,
a álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos
a possibilidade de resolver problemas algebricamente e gra…camente. Faremos uma revisão
de alguns conceitos básicos da Geometria Analítica (GA) de Descartes.
Nos anos de 1980, a introdução de instrumentos grá…cos de fácil manejo, acarretou
outra revolução na forma de estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos
estabelecer a analisar modelos matemáticos de forma muito mais simples do que anteriormente.
41
4.3.1. Coe…ciente Angular
Nesta secção utilizaresmos a linguagem da Álgebra auxiliado pela Geometria Analítica
para descrever o conjunto de todos os pontos que pertecem a uma reta. Essa descrição
algébrica chama-se equação de reta. O modelo matemático mais simnples para relacionar
duas variáveis é a equação linear y = mx + b. Esta equação é chamada linear porque
seu grá…co é uma linha reta. No entanto, é necessário, discutir um importante conceito
preliminar.
O coe…ciente angular de uma reta é o número de unidades que a reta se eleva (ou desce)
verticalmente para cada unidade de variação horizontal da equerda pra a direita.
Como vimos na Eq(25) o coe…cinte angular é a taxa de varição em y ( y) dividido pela
taxa de variação em x ( x). Agora vamos ver esse conceito do ponto de vista geométrico.
Escolhemos dois pontos distintos da reta, digamos P1 = (x1 ; y1 ) e P2 = (x2 ; y2 ). Então,
o coe…ciente angular é denotado por m e de…nido como sendo a razão:
m=
y2
x2
y1
x1
(26)
Observe a …gura abaixo, nela está representado o coe…ciente angular da reta que passa
pelo pontos P1 e P2 .
FIG. 4.6
Se invertermos a ordem de subtração no numerador e no denominador, o sinal de cada
um deles muda, mas m penrmanece inalterado, ou seja:
m=
y2
x2
y1
y1
=
x1
x1
y2
x2
42
Isto mostra que o coe…ciente angular pode ser calculado como a diferença das coordenadas y dividida pela diferença das coordenadas x, numa das duas possíveis, contanto
que ambas as diferenças sejam formadas na mesma ordem. Dai vemos que o coe…ciente
angular é simplesmente a variação em y quando um ponto (x,y) se move ao longo da
reta de tal modo que x cresça de uma unidade. Temos portanto, as seguintes correlações
importantes entre o sinal de m e as direções indicadas:
m > 0; a reta tem inclinação àdireita
m < 0; a reta tem inclinaçao à equerada
m = 0; a reta é horizontal.
Exemplo
1. Determine o coe…ciente angular da reta que passa pelos pares de pontos.
a) ( 2; 0) e (3; 1)
b) ( 1; 2) e (2; 2)
c) (0; 4) e (1; 1)
d) (3; 4) e (3; 1)
4.3.2. Equação de reta que passa por dois pontos.
Se (x1 ; y1 ) é um ponto de uma reta de coe…ciente angular m e (x; y) é um ponto arbitrário
da mesma reta, então:
m=
y
x
y1
x1
Esta equação, envolvendo as variáveis x e y, pode ser na forma:
y
y1 = m(x
x1 )
(27)
A Eq(27) é a equação da reta com coe…ciente angular m e que passa pelo ponto (x1 ; y1 ),
podemos ainda escrever a Eq(27) de uma outra forma:
y = m(x
x1 ) + y1
(28)
Exercício resolvido: Dado os pontos (4; 3) e (0; 5), escreva a equação de reta que
passa por esses dois pontos.
43
Incialmente vamos encontrar o coe…ciente angular.
m=
5 3
=
0 4
8
=2
4
Agora utilizando a Eq(28) vamos encontrar a equação de reta. Sabemos que m = 2,
então escolhemos um ponto arbitrariamente. Seja (4; 3) o ponto escolhido.Dai segue-se
que:
y = m(x x1 ) + y1
y = 2(x 4) + 3
y = 2x 8 + 3
y = 2x 5
Desta maneira encontramos a equação de reta que tem o coe…ciente angular igual a 2
e passa pelo ponto (4; 3).
Observação:
A reta pode se apresentar na forma de equação geral:
ax + by + c = 0
ou na forma de equação reduzida:
y = ax + b, onde a = m ( coe…ciente angular)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre a equação de reta que passa pelos pontos:
a) (0; 0) e ( 1; 3)
b) (2; 3) e (2; 2)
c) ( 3; 6) e (1; 2)
d) (6; 1) e (10; 1
2. Escreva a equação de reta conhecido o seu coe…ciente angular e um ponto dado.
a) (0; 3) e m =
3
4
b) ( 2; 7) e m =
2
3
c) (0; 2) e m = 4
d) ( 2; 4) e m =
3
5
4.3.3. Retas Paralelas e Retas Perpendiculares
O coe…ciente angular de uma reta constitui um recurso convenienete para determinar
se duas retas são paralelas ou perpendiculares.
1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coe…cientes
angulares são iguais, ou seja,
44
m1 = m2 :
2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de
seus coe…cientes angulares for igual a 1, ou seja,
m1 m2 =
1
Exemplo:Determine a equação de reta que passa pelo ponto (2,-1) e é:
a) Paralela à reta 2x
3y = 5;
b) Perpendicular à reta 2x
3y = 5;
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e é paralela à reta dada e
perpendicular à reta dada. Faça o grá…co das três equações no mesmo sistema de
eixos coordenados.
a) ( 3; 2) e x + y = 7
b) ( 6; 4) e 3x + 4y = 7
c) (2; 1) e 4x
d) (1; 1) e
2y = 3
2x + 3y =
3
4.3.4. Intersecções de Retas
Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais
funções do 1 grau (linear), podemos investigar se tais funções têm valores em comum,
ou seja, se há encontro das retas que representam as funções. Uma aplicação comum em
administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de intersecção, é a análise do
ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número su…ciente de unidades, de
modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge seu
ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a
receita total da venda de x unidades do produto é representada por R. Podemos então
achar o ponto de equilíbrio igulando o custo C à receita R, e resolvendo a equação em
função de x. Matematicamente, isso signi…ca dizer que estamos resolvendo um sistema
de equação linear.
Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolver os sistema
formado por elas, ou seja, resolver o sistema:
y = mx + b
S=
y = m0 x + b0
Observações:
45
Se S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único
ponto comum, dizemos que tal sistema é possível e determinado;
Se S não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas
e dizemos que o sistema é impossível.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre se possível, em cada caso, o ponto de encontro de cada uma das retas
abaixo.
a) 2x + y = 10 e 3x
2y = 1
b) 2x + 3y = 10 e 4x
y=
1
2. Um industrial fabrica um produto ao custo de $0; 65 por unidade e vende-o a $1; 20
por unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de $10:000; 00.
Quantas unidades o industrial deve vender para atinguir o ponto de equilíbrio?
3. Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções.
a) x + y = 2 e 2x
b) 2x
y=1
3y = 13 e 5x + 3y = 1
c) x + y = 7 e 3x
2y = 11
4. O custo mensal …xo de uma fábrica que produz esquis é $4:200; 00 e o custo variável
é $55; 00 por par de esquis. O preço de venda é $105; 00 por par de esquis.
a) Se x pares de esquis são vendidos durante um mês, expresse o lucro mensal como
uma função de x.
b) Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro de dezembro se 600 pares de
esquis forem vendidos nesse mês.
c) Quantos pares de esquis devem ser vendidos para que a fábrica encerre um mês sem
lucro nem prejuízo?
46
5.
CAPÍTULO
FUNÇÃO QUADRÁTICA
5.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções do segundo grau
a partir da construção e análise de seu grá…co. No esboço grá…co da função do segundo
grau, será dada atenção especial para a parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para determinação de valores máximos e mínimos e intervalos de crescimento
(ou decrescimento) das funções associadas.
5.2. UM MODELO DE FUNÇAO DO 2 GRAU
Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é
a obtenção da função receita quando consideramos o preço e a quantidade comercializada
de um produto.
Sabemos que a receita R é dada pela relação:
R = p:q
em que p representa o preço unitário e a quantidade comercializada do produto. Por
exemplo, se o preço dos sapatos de uma determinada marca variar de acordo com a relação:
p = 2q + 200
podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão:
R = p:q
R = ( 2q + 200):q
R = 2q 2 + 200q
Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um grá…co a partir de uma
tabela com algumas quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes.
Receita para a venda de pares de sapatos
Quantidade (q) 0 10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Receita($)
0 1800 3200 4200 4800 5000 4800 4200 3200 1800 0
Gra…camente, temos a curva conhecida como parábola:
47
FIG. 5.1
Nessa parábola , convém observar alguns aspectos interessantes associados à função:
R=
2q 2 + 200q
A concavidade está voltada para baixo, pois o coe…ciente do termo
2q 2 é negativo.
O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0:
R=
2(0)2 + 200(0) = 0
Os pontos em que a curva corta o eixo q, ou seja as raízes da função, são obtidos
fazendo R = 0:
R=
2q 2 + 200q = 0
q = 0 ou q = 100
O vértice V = (50; 5000) da parábola em que qv = 50 é a média aritmética das
raízes e Rv = 5000 é a receita correspondente.
Especi…camente para essa função do 2 grau, o vértice é importante, pois nos dá
a quantidade qv = 50 que deve ser comercializada para que a receita seja máxima
Rv = 5000.
48
5.3. CARACTERIZAÇÃO GERAL
De…nição: uma função do 2 grau é dada por:
y = f (x) = ax2 + bx + c
(29)
com a 6= 0:
Para a obtenção do grá…co, conhecido como parábola, devemos observar e seguir os
passos abaixo:
O coe…ciente determina se a concavidade é voltada para cima (a > 0) ou para baixo
(a < 0):
a>0
a<0
y
y
x
x
O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser
obtido fazendo x = 0;
Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da
função y = f (x) = ax2 + bx + c e podem ser obtidos fazendo y = 0:
Para tal resolução dessa equação, utilizaremos a fórmula resolutiva de uma equação
do 2 grau, (também conhecida como fórmula de Báskara):
= b2
x=
b
4ac
p
2a
(30)
(31)
O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x, depende do
discriminante ( ), em resumo temos:
= 0 A função possui apenas uma raiz real (a parábola intercepta o eixo x em
apenas um ponto):
49
y
x
> 0 A função possui duas raízes reais (a parábola intercepta o eixo x em dois
pontos):
y
x
< 0 A função não possui nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo x):
y
x
Observação: As três parábolas mostradas nas …guras acima estão indicadas como
sendo a > 0, caso, tivéssemos a < 0, as parábolas estariam com a concavidade voltada
para baixo.
5.4. VÉRTICE DA PARÁBOLA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O vértice de uma parábola é o ponto onde ela muda de sentido. Veja a …gura abaixo:
50
O vértice de uma função quadrática y = f (x) = ax2 + bx + c é dado pela fórmula:
xv =
yv =
b
2a
4a
Logo podemos descrever o vértice como sendo:
V =
b
;
2a 4a
5.5. PRINCIPAIS PONTOS DE UMA PARÁBOLA
(32)
51
5.6 IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA –VALOR MÁXIMO E VALOR
MÍNIMO
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do grá…co e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo e mínimo.
Veja os exemplos:
1. Encontre a imagem da função dada por f (x) = 2x2
8x.
Inicialmente, vamos encontrar o vértice da função. O vértice determina se o ponto é
mínimo ou máximo, e a partir daí podemos encontrar a imagem de f (x).
xv =
b
( 8)
8
=
= =2
2a
2(2)
4
yv =
4a
(b2
=
4ac)
4a
=
[( 8)2 4(2):(0)]
=
4(2)
(64)
=
8
8
Daí segue que V = (2; 8). Desta forma se …zermos o esboço do grá…co da função f (x)
termos a seguinte …gura:
y
8
6
4
2
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
x
28
30
-2
-4
-6
-8
-10
Neste- 1 2caso podemos observar facilmente que o mínimo da função é
a imagem
- 1 4 é dado por:
8, e segue-se que
-16
-18
20
Im(f ) -=
fy 2 R = y
8g
-22
De forma geral, seja f : R ! R, onde f (x) = ax2 + bx + c com a 6= 0 e vértice igual a
V = (xv ; yv ), então a sua imagem é dada por:
a > 0 ) yv é o valor mínimo da função, então Im(f ) = fy 2 R= y
yv g
a < 0 ) yv é o valor máximo da função, então Im(f ) = fy 2 R= y
yv g
52
5.6. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O crescimento de uma função quadrática depende do valor do coe…ciente “a”da função
f : R ! R, de…nida por f (x) = ax2 + bx + c com a 6= 0. Para descobrirmos em
qual intervalo a função é crescente e ou decrescente, devemos analisar os valores em x
(domínio), para assim estabelecermos o intervalo de crescimento e ou decrescimento da
função, oberserve as …guras abaixo.
1 caso: a > 0
1 caso: a < 0
Observações:
No 1 caso a função f é decrescente na intervalo ( 1; xv ) e crescente no intervalo
(xv ; +1).
No 2 caso a função f é crescente no intervalo ( 1; xv ) e decrescente no intervalo
(xv ; +1).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
53
1. Faça o estudo do crescimento e decrescimento das funções abaixo.
a) f (x) = x2
b) f (x) =
3x
4
3x2 + 2x + 1
c) f (x) = x2 + 4x + 4
d) f (x) = x2 + 4x + 4
2. Em uma certa plantação de feijão, a produção P , de feijão depende da quantidade
q , de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = 3q 2 +
90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medida em Kg e a quantidade
de fertilizante em g=m2 , faça um esboço do grá…co, comente os signi…cados dos
principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja
máxima, bem como a produção máxima.
3. Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21 dias em que trabalhou
na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de
aparelhos vendidos, dados por N , em um função do número de dias, dado por t ,
pode ser obtido por N = 0; 25t2 4t + 16 . Diante dessa situação, esboce o grá…co
da função salientando os principais pontos e seus signi…cados.
4. Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos
meses, indicados por t , é dado pela expressão v = 2t2 20t + 60 . Sabendo que o
valor da ação é dado em reais (R$), faça um esboço do grá…co, comente o signi…cado
dos principais pontos e determine a variação percentual da ação após um ano.
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por
C(x) = x2 80x + 3000. Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
b) o valor mínimo do custo;
2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R C, em que L
é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa
que produziu x unidades, veri…cou-se que R(x) = 6000x x2 e C(x) = x2 2000x.
Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja
máximo?
3. Para um determinado produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente, por R = 2q 2 + 1000q e C = 200q + 35000. Obtenha então:
54
a) Os grá…cos da receita e custo do produto comercializado.
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para
que a receita seja máxima e a receita máxima.
c) Os break-even points e seu signi…cado.
d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo.
e) A função lucro e o seu grá…co.
f) A quantidade pra que o lucro seja máximo e o lucro máximo correspondente.
4. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado
por E = t2 8t + 210 , onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se
t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro e assim sucessivamente.
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195Kwh .
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano.
c) Esboce o grá…co de E .
5. O número N , de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser modelado
pela expressão N = t2 + 14t + 32 , onde representa o mês da venda.
a) Esboce o grá…co dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices
vendidas para os dez primeiros meses de vendas.
b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo
número de apólices e qual o número máximo vendido?
c) Qual a média de apólice vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para
os dez primeiros meses?
6. Para cada item a seguir, esboce o grá…co a partir da concavidade, dos pontos em
que a parábola cruza os eixos e o vértice.
a) y = x2
4x
b) y = x2
8x + 16
5
c) y =
3x2 + 6x + 9
d) y =
x2 + 4x
6
e) y = 4x2 + 12x + 16
f) y =
2x2
4x
2
55
7. O valor em (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias
de pregão pode ser modelado pela expressão V = 0; 5t2 8t + 45. Considere t = 0
o momento inicial de análise; t = 1 após um dia; t = 2 após dois dias e assim
sucessivamente.
a) a) Esboce o grá…co indicando os principais pontos e o eixo de simetria.
b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo?
c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente?
d) Determine a variação percentual do valor da ação após vinte dias de pregão.
8. Para a comercialização de relógios,um lojista nota que a receita é dada por R =
3q 2 + 120q e o custo é dado por C = 2q 2 + 20q + 375 .
a) Esboce o grá…co da receita e custo sobre o mesmo sistema de eixos coordenados.
b) Determine os break-even points.
c) Indique no grá…co do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo.
d) Obtenha a função lucro e esboce o grá…co, indicando os principais pontos.
e) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máximo?
Qual o lucro máximo?
f) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo?
56
6.
CAPÍTULO
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES
6.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você estudará aplicações de funções em problemas de microeconomia,
tais como: demanda de mercado, oferta de mercado, equilíbrio de mercado (break evenpoint), receita total, lucro total. Você analisará como problemas de microeconomia entre
outros podem ser estudados como modelos matemáicos e ainda poderá fazer inferência a
partir das terias de funções estudadas nos capítulos anteriores.
6.2. DEMANDA DE MERCADO
A teoria Microeconômica ou teoria dos Preços, como também é conhecida, preocupa-se
em estudar o comportamento econômico das unidades econômicas individuais, tais como
consumidores, empresários e proprietários de recursos. Ela trata, basicamente, dos ‡uxos
dos recursos produtivos (ou seus serviços) dos seus proprietários para as empresas, da
composição desses ‡uxos e da formação dos preços dos componentes desses ‡uxos.
O termo demanda é empregado para fazer referência a toda uma escala de demanda
ou curva de demanda. Um ponto na curva de demanda é chamado ponto de “quantidade
demandada”e indica uma única relação preço quantidade.
Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja D a demanda ou procura de
mercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os
compradores do mercado estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P , em determinado
período de tempo, que pode ser dia, uma semana, um mês, um ano, etc.
A função que a todo preço P associa a demanda ou procura de mercado ao preço P é
denominada função demanda ou função mercado da utilidade, no período considerado.
A representação grá…ca desta função constitui a curva de demanda ou de procura da
utilidade.
Exemplo: A função dada por D = 45 5P , onde P é o preço por unidade do bem
ou serviço e D é a demanda de mercado correspondente. Responda:
a) Qual o intervalo de variação de P ?
b) Qual a intervalo de variação de D?
c) Construa a representação grá…ca da função demanda.
6.3. OFERTA DE MERCADO
Consideremos uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado
desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os produtos serão
dispostos e aptos a vender ao preço P , durante um certo período de tempo.
A função que a todo preço P associa a oferta de mercado ao preço P é denominada
função oferta de mercado da utilidade, no período considerado.
A representação grá…ca desta função constitui a curva de oferta da utilidade.
20, onde P é o preço por
Exemplo: A função dada por S = 5 + P2 , com 0 < P
unidade e S é a correspondente oferta de mercado.
57
a) Construa a representação grá…ca desta função.
b) Qual o valor mínimo de P para que a oferta seja positiva?
6.4. RECEITA TOTAL
Seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidades seja um preço
…xo Po , para quantidades compreendidas entre q1 e q2 unidades.
A função dado por:
RT = Po :q
(33)
com q1 q q2 é denominada função receita total ou simplesmente receita total
Exemplo: Uma empresa fabrica mensalmente 50 produtos de beleza da marca “Pele
Lisa”. Cada produto tem o preço de venda …xado em R$4; 00.
a) Encontre a função Receita Total dessa empresa.
b) Construa o grá…co dessa função.
c) Se a empresa vender 38 produtos, qual o valor da receita total referente a esses
produtos?
Observação: Considere agora a questão da receita, quando o preço de venda não for
…xo.
Dada uma utilidade qualquer, seja A o conjunto de todos os pares (P; D) em que D é
a demanda de mercado da utilidade ao preço P .
A função que a todo par (P; D) 2 A associa o número:
RT = P:D
(34)
é denominada de função receita total associada à venda da utilidade.(quando o preço
não é …xo).
Exemplo: Suponhamos que a demanda de mercado seja dada por D = 40 5P , em
que 0 < P < 8 e 0 < D < 40.
a) Encontre a função receita total.
b) Esboce o grá…co da receita total.
58
6.5. CUSTO TOTAL
O custo total (CT) em qualquer nível de produção é a soma do custo …xo (CF ) e do
custo variável (CV ) à aquele nível de produção.
O custo …xo permanece constante em todo o nível de produção e normalmente incluem
fatores como aluguel, juros, instalação, equipamentos. O custo variável é aquele que
varia com a produção e incluem fatores como mão-de-obra, matérias-primas e gastos
promocionais.
Exemplo: Uma companhia investiu R$98000; 00 em equipamentos para fabricar um
novo produto. Cada unidade do produto custa R$12; 30 e é vendida por R$17; 80. Seja x
o número de unidades produzidas e vendidas. A companhia deseja quitar o investimento
assim que tiver lucros sobre as vendas.
a) Escreva o custo total C como função de x.
b) Escreva a receita total R como função de x.
c) Escreva o lucro L como função de x.
d) Construa o grá…co da função L(x).
e) Quantas unidades de x devem ser vendidas para que a companhia recupere todo o
investimento feito em equipamentos?
6.6. EQUILÍBRIO DE MERCADO (BREAK EVEN-POINT)
Diz-se que o equilíbrio de mercado ocorre em um ponto (preço) no qual a quantidade
demanda dada de um bem ou serviço iguala-se à quantidade de ofertada. Esse encontro
é chamado de preço de equilíbrio e denominaremos de (P E). Veja a …gura abaixo:
D
Curva de oferta
Preço de Equilíbrio (PE)
Curva de demanda
P
Exemplo 1 : Estamos estabelecendo um negócio de tempo parcial com investimento
inicial de $5000; 00.O custo unitário do produto é de $11; 80 e o preço de venda é de
$19; 30.
a) Determine as equações do custo total C e da receita R para x unidades.
59
b) Determine o ponto de equilíbrio achando o ponto de intersecção das equações de
custo e receita.
c) Quantas unidades produzirão um lucor de $1000; 00?
Exemplo 2 : Um diretório estudantil deseja levantar fundos vendendo camisetas. Cada
camiseta custa R$8; 00. O desenhista cobra R$200; 00 pelo Silk screen, mais R$2; 00 por
camiseta. Cada camiseta é vendida or R$14; 00.
a) Estabeleça equaçoes do custo total C e da receita R para a venda de x camisetas
b) Determine o ponto de equilíbio
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. A demanda de mercado de um produto que é vendido em galões é dada por D =
8000 100P .
a) Determinar a intervalo de variação de P
b) Determinar a intervalo de variação de D
c) Representar gra…camente a função demanda
d) Calcular os valores da demanda correspondentes aos preços: P = R$40; 00 e P =
R$75; 00
e) A que preço a demanda será de 4500 galões?
2. Sendo D =
P2
P + 56 a função demanda de um determinado produto,calcule:
a) Qual o valor da demanda de mercado para P = R$6; 00 ?
b) Qual o intervalo de variação de D?
c) Qual o intervalo de variação de P ?
d) Construa o grá…co que represente a função demanda.
3. Seja a oferta de mercado de uma utilidade de…nida por S =
270(reias)
a) A partir de que preço haverá oferta?
b) Qual o valor da oferta quando P = R$270; 00?
c) A que preço a oferta será de 80 unidades?
20 + 2P , com P
60
d) A partir de que preço a oferta será maior que 150 unidades?
e) Faça o esboço do grá…co da função oferta.
4. Seja a oferta de mercado de um produto de…nida por S = P 2
P 60(reais)
11P + 28 com
a) A partir de que preço haverá oferta?
b) Qual o valor da oferta quando P = R$50; 00?
c) A que preço a oferta será de 40 unidades?
d) Faça o esboço do grá…co da função oferta.
5. Determinar o preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio em cada um dos casos
abaixo:
a) D = 34
5P e S =
b) D = 10
0; 2P e S =
11 +
c) D = 81
P2 e S = P2
P
d) D =
2P 2
8 + 2P
P
2
6
40P + 160 e S =
1+
P
2
6. Uma companhia vende 20:000 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário
é $14; 00 e a companhia determinou que pode vender 2:000 unidades a mais com
uma redução de $2; 00 no preço unitário. Ache a equação de demanda, supondo-se
linear, e trace um esboço da curva de demanda.
61
7.
CAPÍTULO
FUNÇÃO EXPONENCIAL
7.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir do fator
multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial como montante de uma
dívida ou aplicação, juros compostos, o crescimento populacional, entre outros. Você
estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar a função exponencial.
7.2. MODELOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Estudaremos nesta secção problemas e situações práticas que envolvem modelos exponenciais.
Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de R$10:000; 00 e cujo
montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês
sobre o montante do mês anterior. Podemos determinar tal montante utilizando um fator
multiplicativo:
Após o 1 mês:
M (1) =Valor inicial+5% do valor inicial
5
:10:000
M (1) = 10:000 + 100
M (1) = 10:000 + 0; 05:10:000
M (1) = 10:000(1 + 0; 05)
M (1) = 10:000(1; 05)
M (1) = 10500
Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% uma quantia, basta
multiplicá-la pelo fator 1; 05. Chamaremos esse fator de aumento de fator multiplicativo. Para determinação do montante após dois meses de maneira análoga aos passos
anteriores, ressaltaremos o aparecimento do fator multiplicativo. Desta maneira temos:
Após o 2 mês:
M (2) =Montante após o 1 mês+5% do Montante após o 1 mês
M (2) = M (1) + 5%M (1)
M (2) = 10:500 + 5%:10:500
M (2) = 10:500 + 0; 05:10:500
M (2) = 10:500(1 + 0; 05)
M (2) = 10:500(1; 05)
Mas por outro, temos da Eq(??) que M (1) = 10:500 = 10:000(1; 05), então segue que:
M (2) = 10:000(1; 05):(1; 05)
M (2) = 10:000(1; 05)2
Após três meses, representando o montante por M (3) temos que:
M (3) = 10:000(1; 05)3
62
Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo incidindo no
montante do mês anterior, porém podemos simpli…car ainda mais tais cálculos e obter o
montante de qualquer mês sem, no entanto recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível
obter o montante em um mês qualquer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo
se considerarmos os seguintes raciocínios:
Observemos que o montante de cada mês é calculado multiplicando-se o valor anterior
pelo fator 1; 05, então temos que:
M (1) = 10:000(1; 05)
M (2) = 10:000(1; 05)2
M (3) = 10:000(1; 05)3
M (4) = 10:000(1; 05)4
De modo geral, podemos escrever o montante para x meses daseguinte forma:
M (x) = 10:000(1; 05)x
Nesse exemplo temos que o capital inicial (C ) era de R$10000; 00 e a taxa (i ) era de
5% ao mês. Suponha, agora e , então o montante após x meses é dado por:
M (x) = C:(1 + i)x
(35)
Montante do exemplo anterior, é mostrado na …gura abaixo.
FIG. 7.1
Observação: Notamos que tal função é crescente, e isso se deve ao fato de sua base
1; 05 ser um número maior que 1.
Exemplo:Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma
máquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa …xa que incide sobre
o valor da máquina no ano anterior. Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de
R$240:000; 00 e a depreciação é de 15% ao ano, vamos obter o fator multiplicativo e, na
seqüência, a função que representa o valor no decorrer do tempo.
63
7.3. EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em
expoente.
Exemplos de equações exponenciais:
a) 3x = 81
b) 2x
5
= 16
Qual a solução das equações acima?
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1. redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;
2. aplicação de propriedades de potência:
Observação: Caso seja necessário volte ao capítulo 1, onde você encontrará todas as
fórmulas para equação exponencial.
7.4. CARACTERIZAÇÃO GERAL DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL
De…nição: uma função exponencial é dada por:
y = f (x) = b:ax
(36)
com a > 0, a 6= 1 e b 6= 0.
O coe…ciente b representa o valor da função quando x = 0 e dá o ponto em que a
curva corta o eixo y;
Se temos a base a > 1, a função é chamada de função crescente;
Se temos a base 0 < a < 1, a função é chamada de função decrescente.
7.5. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
O grá…co de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas
particularidades:
o grá…co nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros
(raízes);
o grá…co corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0; 1);
os valores de y são sempre positivos.
64
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números
reais positivos. Ou seja:
D(f ) = R
Im(f ) = R+
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:
Base maior que um (a > 1) ) f (x) = ax ;
A função é crescente;
D(f ) = R;
Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im(f ) = R+ ;
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ) y2 > y1 .
Acompanhe o exemplo abaixo:
f (x) = 2x (nesse caso, a = 2, logo a > 1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a
tabela e o grá…co abaixo:
x
y
2
1
4
1 0 1 2
1 2 4
1
2
3.0
2.0
1.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0
FIG. 7.2
2.0
3.0
4.0
5.0
65
Base entre zero e um (0 < a < 1) ) f (x) = ax ;
A função é decrescente;
D(f ) = R;
Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im(f ) = R+ ;
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ) y2 < y1 .
Acompanhe o exemplo abaixo:
f (x) =
1 x
2
(nesse caso, a = 21 , logo 0 < a < 1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a
tabela e o grá…co abaixo:
x
y
2
4
1 0
4 1
1
2
1
2
1
4
3.0
2.0
1.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0
-2.0
-3.0
FIG. 7.3
As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências
naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2; 7182:::, número
irracional chamado número de Euler.
A função exponencial f (x) = ex é chamada de função exponencial natural. Para simpli…car a tipogra…a, esta função é, algumas vezes, escrita como exp(x). Assim, por exemplo,
você pode ver a relação ex1 +x2 expressa como exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ):exp(x2 )
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função
x
e com alguma variação do comando EXP . Voltaremos a falar de exponencial ex , mas
como a sua inversa que chamaremos de ln(x); quando falarmos sobre logarítmos.
Exercícios Propostos
66
1. Trace o grá…co das funções abaixo.
a) f (x) = 6x
b) f (x) = ( 15 )x
c) f (x) = 2
x+3
7.6. LOGARÍTMO
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO DE UM NÚMERO
Dados os números reais positivos a e b , com b 6= 1 , chamamos de logaritmo de a na
base b, o número real c, que deve ser o expoente de b, para que a potência seja igual ao
número a, ou seja:
logb a = c , a = bc
(37)
Com a > 0, b > 0 e b 6= 1:
Neste caso a é chamado de logaritmando, b é chamado de base e c é o logaritmo.
De acordo com a de…nição, podemos escrever, por exemplo:
log2 8 = 3 , 23 = 8
log5 25 = 2 , 52 = 25
No primeiro exemplo, 2 é a base; 8 o logaritmando ou antilogaritmo e 3 é o logaritmo.
No segundo exemplo, 5 é a base; 25 é o logaritmando ou antilogaritmo e 2 é o logaritmo.
Notamos que respeitadas as condições de existências, podemos escrever logaritmos em
diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos matemáticos e nos estudos de
fenômenos naturais são a base 10 e a base e, onde e é um número irracional e seu valor é
aproximado é e = 2; 71828:::, como já mostramos anteriormente.
Quando se trabalha na base 10, denotamos log10 c = x simplesmente por log c = x:
Por exemplo:
log 1000 = 3 ) 103 = 1000
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule os logaritmos abaixo nas respectivas bases.
a) log2 64
b) log3 27
c) log2 32
d) log5 125
67
2. Calcule o valor de x.
a) logx 8 = 3
b) logx 81 = 4
c) log2 x = 5
d) log4 x = 3
3. Dados log 2 = a e log 3 = b, qual o valor de log 60, em função de a e b.
4. Resolva as equações abaixo.
log2 (x
3) = log2 (x) = 2
log2 (x + 1) = 4
logx 3 (9) = 2
De modo análogo à base de 10, ao trabalhar na base e denotamos simplesmente por
ln c = x (chamado de logaritmo natural). Em outras palavras, os símbolos loge e ln são
iguais.
Enfatizaremos o logaritmo escrito na base e, também conhecido como logaritmo natural,
pois tal base é comum em muitos fenômenos naturais, bem como em várias aplicações nas
áreas de administração e economia. As calculadoras cientí…cas possuem as teclas log e ln e
que calculam o valor do logaritmo nessas bases. As calculadoras …nanceiras possuem pelos
menos a tecla ln, que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos priorizando
essa notação para o desenvolvimento das propriedades e dos problemas adiante.
Nesse sentido, por exemplo, se em sua calculadora você digitar 200 e acionar a tecla ln,
o resultado obtido será 5; 2983173666, o que indica simplesmente que:
ln 200 = loge 200 = 5; 2983173666
7.6.1. PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS
Na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com muitas propriedades, entretanto, conforme proposto, vamos estabelecer apenas as propriedades necessárias para a
resolução das equações que seguem nos problemas envolvendo funções exponenciais. Cabe
ainda lembrar que as propriedades desenvolvidas a seguir são expressas nas base e , sendo
válidas de forma similar, para outras bases. No que se segue, temos que a > 0, b > 0, e
k 2 R.
ln (a b) = ln(a) + ln(b)
ln
a
b
= ln(a)
ln (a)k = k: ln(a)
ln (b)
68
Decorre da de…nição de logaritmo que ln(1) = 0, pois pelas propriedades de potências
temos que e0 = 1, e também que ln(e) = 1, pois e1 = e.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
i x
1. O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por M (x) = C(1 + 100
) .
Sabe-se que a dívida é de R$10:000; 00 e a taxa de juros ao mês é de 5%. Determine
após quanto tempo o montante será de R$40:000; 00.
2. Um carro cujo valor inicial é de R$35:000; 00 e cuja depreciação é de 12; 5% ao ano.
Determine após quanto tempo o valor do carro é e metade do valor inicial.
3. Seja uma aplicação …nanceira no valor de R$50:000; 00 a uma taxa de juros de 8%
ao ano.
a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
b) Esboce o grá…co do montante após x anos.
c) Após quanto tempo o montante será de R$80:000; 00?
4. Um trator tem seu valor dado pela função V (x) = 125:000(0; 91)x , onde x representa
o ano após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi comprado o trator.
a) Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra.
b) Qual o valor do trator da data da compra?
c) Qual o percentual de depreciação do trator na data da compra?
d) Esboce o grá…co de V (x).
e) Após quanto tempo o valor do trator será de R$90:000; 00?
5. Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ano.
Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que seu valor
na compra é de R$45:000; 00:
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é,
V = f (x) .
b) Obtenha o valor do automóvel após 1, 5 e 10 anos após a compra.
c) Esboce o grá…co de V (x).
d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação percentual em 3 anos.
e) Após quanto tempo o valor do automóvel será de R$25:000; 00?
6. Uma pessoa faz um empréstimo no valor de R$35:000; 00, que será corrigido a uma
taxa de 3; 5% ao mês no sistema de juros compostos.
69
a) Obtenha o montante da dívida M como função dos meses após a data de empréstimo,
isto é, M = f (x)
b) Obtenha o montante da dívida após 12, 24 e 36 meses do empréstimo.
c) Esboce o grá…co de M (x) .
d) Após quanto tempo o valor do montante será de R$50:000; 00?
7. O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma
função exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de R$28; 50, e a taxa
percentual de aumento é de 4% ao mês.
a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após o montante em que foi
calculado o preço médio inicial, isto é, P = f (t).
b) Calcule o preço médio dos componentes após 1,5 e 10 meses do momento em que
foi calculado o preço médio inicial.
c) Esboce o grá…co de P (t).
d) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará?
8. Uma cidade no ano de 2000 tinha 1:350:000 habitantes e, a partir de então, sua
população cresce de uma forma exponencial a uma taxa de 1; 26% ano.
a) Obtenha a população como função dos anos , isto é, P = f (t).
b) Estime a população da cidade para os anos de 2001, 2003, 2005 e 2010.
c) Esboce o grá…co de P (t).
d) Em que ano a população será de 15:000:000 habitantes?
e) Após quanto tempo a população será duplicará?
70
8.
CAPÍTULO
MATRIZES
8.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Neste capítulo você estudará os conceitos básicos sobre matrizes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas
porque eles "ordenan e simpli…cam " o problema, mas também porque fornecem novos
métodos de resolução.
8.2. MATRIZ
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por
exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro
pessoas, podemos dispô-los na tabela:
Pessoa
Pessoa
Pessoa
Pessoa
Altura (m) Peso(Kg) Idade(anos)
1,70
70
23
1,75
60
45
1,60
52
25
1,81
72
30
1
2
3
4
Ao abstraírmos os signi…cados das linhas e colunas, temos a matriz:
2
1; 70
61; 75
6
41; 60
1; 81
70
60
52
72
3
23
457
7
255
30
Observe que um problema em que o número de variáveis e de observações é muito
grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente
indispensável.
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda
outras matrizes.
8.3. REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
Amxn
2
a11
6 a21
6
= 6 ..
4 .
a12
a22
..
.
am1 am2
3
a1n
a2n 7
7
.. 7 = [aij ]mxn
. 5
amn
71
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especi…car a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos Amxn .
Também são utilizadas outras notações para matrizes, além de colchetes, como parentêses
ou duas barras. Por exemplo:
2
1
2
1
e
0 4
0 4
Veremos neste curso que serão utilizadas as matrizes na representação entre colchetes.
Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem)
em que ele está. Por exemplo, na matriz:
1 0
4
A2x3 =
4
3 2
O elemento que está na primeira linha e terceira coluna é 4, isto é, a13 = 4. Ainda
neste exemplo, temos a11 = 1; a21 = 4:
8.4. IGUALDADE ENTRE MATRIZES
De…nição: Duas matrizes Amxn = [aij ]mxn e Brxs = [bij ]rxs são iguais, A = B, se
elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos
correspondentes são iguais (aij = bij ).
Exemplo:
32 1 log 1
9 sen90 0
=
2
2 2
5
2
4
5
8.5. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES
Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades
que diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, estes tipos de matrizes aparecem
frequentemente na prática e, por isso, recebm nomes especiais.
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxn
Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas, ou
seja, m = n:
2
1
4
Exemplos: 3
3
Matriz Nula é
3
2 0
0
55
12
4 7
aquela em que aij = 0,2 para todo e qualquer
i e j:
3
0 0 0 0 0
0 0
Exemplos: A2x2 =
B3x5 = 40 0 0 0 05
0 0
0 0 0 0 0
Matriz-Coluna
é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
2 3
1
x
Exemplos: 4 4 5 e
y
7
Matriz-Linha é aquela que possui uma núnica linha (m = 1).
2 e 0 0
1 2
Exemplos: 1 6
72
Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i 6= j, isto é, os
elementos que não estão na "diagonal
2 " principal
3 são nulos.
2
3
5 0 0 0
7 0 0
60 5 0 07
7
Exemplos: 40 1 0 5 e 6
40 0 5 05
0 0
1
0 0 0 5
Matriz Identidade é aquela matriz em que aii = 1 e aij = 0, para i 6= j:
2
3
2
3
1 0 0 0
1 0 0
60 1 0 07
7
4
Exemplos: I3 = 0 1 05 e I4 = 6
40 0 1 05
0 0 1
0 0 0 1
Matriz Triangular Superior é aquela matriz quadrada onde todos os elementos
abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j:
2
3
3
2 1
a b
Exemplos:40 6 75 e
0 c
0 0 1
Matriz Triangular Inferior é aquela matriz quadrada onde todos os elementos acima
da diagonal são nulos, isto é, m2= n e aij = 0,3para i < j:
2
3
9 0 0 0
8 0 0
6 4 3 0 07
7
Exemplos:43 1 05 e 6
4 5 3 1 05
6 7 5
8 4 2 3
Matriz Simétrica é aquela onde
2 m = n e a3ij = aji :
2
3
a b c d
4 3
1
6b e f g7
7
Exemplos:4 3 2 0 5 e 6
4c f h i 5
1 0 5
d g i k
8.6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações.
Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem aprodução de grãos em dois anos
consecutivos.
Produção de grãos durante o primeiro ano.
Soja Feijão Arroz
Milho
Região A 3000
200
400
600
Região B 700
350
700
100
Região C 1000
100
500
800
Produção de grãos durante o segundo ano.
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 5000
50
200
0
Região B 2000
100
300
300
Região C 2000
100
600
600
73
Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois
anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas
anteriores:
2
3 2
3 2
3
3000 200 400 600
5000 50 200 0
8000 250 600 600
4 700 350 700 1005 + 42000 100 300 3005 = 42700 450 1000 400 5
1000 100 500 800
2000 100 600 600
3000 200 1100 1400
Ou seja:
Produção de grãos durante os dois anos.
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 8000
250
600
600
Região B 2700
450
1000
400
Região C 3000
200
1100 1400
Podemos considerar agora a seguinte situação. Existe muitos incentivos para se incrementar a produção, condições climáticas favoráveis etc., de tal forma que a previsão para
a safra do terceiro ano será o triplo da produção do primeiro ano. Assim, a matriz de
estimativa de produção deste último será dada por:
2
3 2
3
3000 200 400 600
9000 600 1200 1800
3 4 700 350 700 1005 = 42100 1050 2100 300 5
1000 100 500 800
3000 300 1500 2400
Acabamos de efeturar, neste exemplo, duas operações com matrizes: soma e multiplicação por um número, que serão de…nidas formalmente a seguir.
8.6.1. Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij ] e Bmxn = [bij ], é uma matriz
de ordem mxn, que denotaremos por A + B, cujos elementos são somas dos elementos
correspondentes de A e B. Isto é:
A + B = [aij + bij ]mxn
Exemplo Resolvido:
2
3
2
3
1
1
0 4
Seja A = 44 0 5 e B = 4 2 55, calcule A + B :
2 5
1 0
2
3 2
3 2
3 2
3
1
1
0 4
1+0
( 1) + 4
1 3
44 0 5 + 4 2 55 = 44 + ( 2)
0 + 5 5 = 42 55
2 5
1 0
2+1
5+0
3 5
Observação:
Pela forma que foi de…nida, a adição de matrizes tem as memas propriedades que a
adição de números reais.
74
PROPRIEDADES
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn
8.6.2. Multiplicação por Escalar
Seja A = [aij ]mxn e k um número, então de…nimos uma nova matriz:
k:A = [k:aij ]mxn
Exemplo Resolvido
2 10
Seja A =
, calcule 2A:
1
3
2 10
4 20
2A = 2:
=
1
3
2
6
PROPRIEDADES
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k1 e k2 , temos:
i) k(A + B) = kA + kB
ii) (k1 + k2 )A = k1 A + k2 A
iii) 0 A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos
a matriz nula.
iv) k1 (k2 A) = (k1 k2 )A
8.6.3. Transposição de Matrizes
Dada uma matriz A = [aij ]mxn , podemos obter uma outra matriz At = [bij ]nxm , cujas
as linhas são colunas de A, isto é, bij = aji . At é denominada transposta de A .
Exemplo Resolvido:
2
3
2 1
I) Dada a matriz A = 4 0 35 encontre a transposta de A.
1 4
At =
2 0
1 3
1
4
II) Dada a matriz B =
1 3
encontre a transposta de B.
3 2
75
Bt =
1 3
3 2
PROPRIEDADES
i) Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é, se, e
somente se A = At . (observe o exemplo II acima)
ii) (At )t = A. Isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.
iii) (A + B)t = At + B t . Em palavras, a transposta de uma soma é igual à soma das
transpostas.
8.6.4. Multiplicação de Matrizes
Antes de de…nirmos formalmente a opreção de multiplicação de matrizes vamos a um
exemplo prático.
Supnhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas
em cada unidade dos alimentos I, II e III.
A B C
Alimento I 4 3 0
Alimento II 5 0 1
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II ( nesta ordem) ela matriz "consumo
"
5 2
A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o "produto":
4 3 0
5 2
= [(5 4 + 2 5) (5 3 + 2 0) (5 0 + 2 1)] = 30 15 2
5 0 1
Isto é, serão ingeridas 3o unidades da vitamina A, 15 de B e 2 de C.
Outro problema que poderermos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte:
Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos
que os preços por unidade de vitamina A, B, e C respectivamente, 1:5, 3 e 5 u.c.p. ,
quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente?
2 3
1:5
30 15 2 4 3 5 = [30 1:5 + 15 3 + 2 5] = [100]
5
Ou seja, pagaríamos 100 u.c.p.
76
Multiplicação de Matrizes
DEFINIÇÃO:
Sejam A = [aij ]mxn e B = [brs ]nxp : De…nimos AB = [cuv ]mxp tal que:
cuv =
n
X
auk bkv = au1 b1v +
+ aun bnv
k=1
Observações:
i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas
da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l . Além disso, a
matriz-resultado C = AB será de ordem mxp.
ii) O elemento cij (i-ésima linha e i-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeria matriz pelos elementos correspondentes
da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplos Resolvidos
2
3
2
3 2
3
2 1
(2:1 + 1:0) (2: (1) + 1:(4)
2 2
1
1
I) 44 25
=4(4:1 + 2:0) (4:( 1) + 2:4) 5 = 44 45
0 4 2x2
5 3 3x2
(5:1 + 3:0) (5:( 1) + 3:4)
5 7 3x2
2
3
2 1
1
1
44 25 Não é possível efetuar esta multiplicação, porque o número
II)
0 4 2x2
5 3 3x2
de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda.
2
3
2
3
1 0
0 6 1
6 2 37
6 9 12
0 6 1
87
7
7
III) 6
=6
4 5 45
4
3 8
2 2x3
12 62
35
0 1 4x2
3 8
2 4x3
PROPRIEDADES
i) Em geral AB 6= BA (podendo mesmo um dos membros estar de…nido e o outro não)
Exemplo: 2
3
2
3
1
1 1
1 2 3
15 e B = 42 4 65
Sejam A = 4 3 2
22 1 3 0
2 1 2 3
3
0 0 0
11 6
1
25
Então AB = 40 0 05 e BA = 4 22 12
0 0 0
11 6
1
ii) AI = IA = A ( isto signi…ca o nome da matriz identidade)
iii) A(B + C) + AB + AC (distributiva à esquerda da multiplicação, em relação à soma)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita da multiplicação, em relação à soma)
77
v) (AB)C = A(BC) (associativa)
vi) (AB)0 = B 0 A0 (observe a ordem!)
vii) 0 A = 0 e A 0 = 0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam
A=
1 2
2 1
3
,B=
1
Encontre:
2
3
1
2 0 1
,C=4 2 5eD= 2
3 0 1
4
1
a) A + B
b) A:C
c) B:C
d) C:D
e) D:A
f) D:B
2. Seja A =
2
2x
x2
. Se At = A, então qual o valor de x?
1 0
3. Encontre o valor de x, y, z, w se
4. Se A =
3
4
x y
z w
2 3
1 0
=
3 4
0 1
2
, ache B de modo que B 2 = A:
3
5. Um construtor tem contratos para construir e estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa é dada
pela matriz:
Moderno
Mediterrâneo
Colonial
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
5
20
16
7
17
7
18
12
9
21
6
25
8
5
13
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
78
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo
sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual o preço unitário de cada tipo
de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
79
9.
CAPÍTULO
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
9.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso obejtivo nesse capítulo é estudar um método para resolução de sistemas lineares
em geral. A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de sistemas muito
simlples, mas tem a vantagem poder ser aplicada sempre e facilmente mecanizada. É particularmente útil em sistemas com grande número de incógnitas onde o uso de calculadoras
é inevitável. Em síntese, este método, consiste em substituir inicial por sistemas cada vez
mais simples, sempre "equivalentes "ao original, fazendo uso da álgebra matricial vista
no capítulo anterior.
9.2. CONCEITOS
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de
equações do tipo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
a11 x1 + a12 x2 +
a21 x2 + a22 x2 +
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2 +
+ a1n xn = b1
+ a2n xn = b2
..
..
.
.
+ amn xb = bm
((i))
com aij ; 1 i m, 1 j m, números reais (ou complexos).
Uma solução do sistema é uma n-upla de números (x1 ; x2 ; x3 ;
; xn ) que satisfaça
simultaneamente estas m equações.
Dois sistemas de equações leneares são equivalentes se , e somente se toda solução de
qualquer um dos sistemas também é solução do outro.
Podemos escrever o sistema (i) na forma matricial:
2
a11
6 a21
6
6 ..
4 .
a12
a22
..
.
am1 am2
3
a1n
a2n 7
7
.. 7
. 5
amn
2
3 2 3
x1
b1
6 x 2 7 6 b2 7
6 7 6 7
6 .. 7 = 6 .. 7
4 . 5 4 . 5
xm
bm
ou ainda podemos escrever (i) como sendo:
A X=B
onde:2
a11
6 ..
A=4 .
am1
3
a1n
.. 7 é a matriz dos coe…cientes.
. 5
amn
80
2
3
x1
6 7
X = 4 ... 5 é a matriz das incógnitas.
x
2 n3
b1
6 .. 7
B = 4 . 5 é a matriz dos termos independentes.
bn
Uma outra matriz que podemos
associar ao sistema lineares de equação é:
3
2
a11 a12
a1n b1
6 a21 a22
a2n b2 7
6
7
6 ..
..
..
.. 7
4 .
.
.
.5
am1 am2
amn bn
que chamamos de matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é simplesmente
uma representação abreviada da equação correspondente no sistema.
Assim,
por exemplo, no sistema dado por:
8
x
+
< 1 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
:
x1 3x2 2x3 = 5
temos a forma
2
3 matricial:
2 3 2 3
1 4
3
x1
1
42 5
4 5 4x2 5 = 445
1
3
2
x3
5
Em termos de matrizes ampliadas, na resolução do sistema, partimos de:
2
3
1 4
3 1
42 5
4 45
1
3
2 5
e2 chegamos em:
3
1 0 0 3
40 1 0
25
0 0 1 2
que
82 é a matriz ampliada
3 do sistema (i); de onde temos:
= 3
< x1
4
x2
=
25
:
x3 = 2
Esta matriz ampliada foi resolvida através de operações equivalentes efetuadas nas
equações dos sistemas. Estas operações serão de…nidas a seguir, e são chamadas de operações elementares sobre as linhas de uma matriz.
9.3. OPERAÇÕES ELEMENTARES
São três as operações elementares sobre linhas de uma mesma matriz.
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (Li , Lj ):
Exemplo:L2 ! L3
81
2
1
44
3
3
2
0
1
5
4
1 !
3
4
4
3
0
45
1
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (Li ! kLi )
Exemplo:L
2
3 2!
2 3L2 3
1
0
1 0
44
15 ! 4 12 35
3 4
3 4
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha. (L1 !
L1 + kLj ).
Exemplo:L
2
3 3!
2 L3 + 2L31
1
0
1
0
44
15 ! 4 4
15
3 4
1 4
9.4. FORMA ESCADA
De…nição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada se:
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é1.
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos
ps seus outros elementos iguais a zero.
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas ( isto é, daquelas que
possuem pelo menos um elemento não nulo)
4. Se as linhas 1;
; r são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha
i ocorre na coluna ki , então k1 < k2 <
< kr
Exemplos:
2
3
1 0 0 0
1 05 não é a forma escada pois a segunda condição não é satisfeita.
1. 40 1
0 0 1 0
2
3
0 2 1
35 não é a forma escada pois a primeira e a quarta condições não são
2. 41 0
0 0 0
satisfeitas.
2
3
0 1
3 0 1
0 05 não é forma escada pois a primeira e a terceira condições não
3. 40 0 0
0 0 0
1 2
são satisfeitas.
2
3
0 1
3 0 2
4. 40 0 0 1 25 é a forma escada, pois todas as condições são satisfeitas.
0 0 0 0 0
82
9.5. POSTO DE UMA MATRIZ
De…nição:Dada uma matriz Amxn , seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada
linha equivalente a A.O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de
B. A nulidade de A é o número n p:
Observação: Dada uma matriz A qualquer, para achar seu posto necessitamos encontrar sua matriz-linha reduzida à forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. Este
número é o posto de A.
Exemplo:
Desejamos
encontrar3o posto da matriz A, onde:
2
1
2 1 0
A = 4 1 0 3 55 , após efetuarmos as operações possíveis com as linhas da matriz
1
2 1 1
A, temos:
3
2
7
1 0 0
8
15
A = 40 1 0
4
0 0 1 11
8
O posto de A é 3.
9.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
O objetivo desta secção é estudar detalhadamente todas as situações que podem ocorrer
na resolução de um sistema linear.
Caso Geral: Consideremos um sistema de m equações lineares e com n incógnitas
x 1 ; x2 ;
; xn :
8
>
>
>
<
>
>
>
:
a11 x1 + a12 x2 +
a21 x2 + a22 x2 +
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2 +
+ a1n xn = b1
+ a2n xn = b2
..
..
.
.
+ amn xb = bm
cujos coe…cientes aij e termos constantes bi são números reais (ou complexos).
Este sistema poderá ser:
i) ter uma única solução;
ii) in…nitas soluções;
iii) nenhuma solução.
Em (i) dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado.Em (ii) dizemos
que o sistema é possível e indeterminado. E em (iii), dizemos que o sistema é impossóivel
(incompatível).
Teorema
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto
da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coe…cientes;
83
ii) Se duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única;
iii) Se as duas matrizes têm posto p e p < n, podemos escolher n
outras p incógnitas serão dadas em função destas.
p incógnitas, e as
Para …nalizarmos este assunto, convém ilustrá-lo. Dizemos no casso (iii) que o grau de
liberdade do sistema é n p.
Em cada exemplo, é dada a matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada.Usamos a seguinte notação:
pc =posto da matriz dos coe…cientes e
pa =posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p.
Exemplos
2
1 0 0
4
1. 0 1 0
0 0 1
3
3
25
2
pc = pa = 3; m = 3, n = 3, p = 3. Então, a solução é única e x1 = 3, x2 =
2.
1 0 7
0 1 5
pc = pa
x2 = 6
2
1
4
3. 0
0
2 e x3 = 2
10
6
= 2, m = 2, n = 3 e p = 2. Temos um grau de liberdade: x1 =
5x3 :
3
0 7
10
1 5
65
0 0 2
10
7x3 e
m = 3, n = 3, pc = 2 e pa = 3. O sistema é impossível e, portanto, não existe solução.
2
1 0
4
4. 0 1
0 0
10
7
0
2
1
0
3
10
4 5
0
m = 3, n = 4, pc = pa = 2. Temos dois graus de liberdade: x1 =
x2 = 4 7x3 x4
10 + 10x3 + 2x4 e
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos
novos sistemas.
84
8
< x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
a)
:
x1 3x2 2x3 = 5
8
2x y + 3z = 11
>
>
<
4x 3y + 2z = 0
b)
x+y+z =6
>
>
:
3x + y + z = 4
2. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas.
2
3
1
2 3
1
1 2 35
a) 42
3 1 2 3
2
3
0 1 3
2
4 35
b) 42 1
2 3 2
1
2
3
0 2 2
61 1 37
7
c) 6
43
4 25
2
3 1
3. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinouse que:
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades
de vitamina C.
ii) O alimento II tem 2,3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 3 unidades da vitamina A, 3 unidades da vitamina B e não
contém a vitamina C.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,
a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a
quantidade de vitaminas desejada.
b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma
solução custando exatamente R$1; 00?
4. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma
escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coe…cientes e, se
possível, o grau de liberdade.
a)
x+y+z =4
2x + 5y 2z = 3
85
8
<
x+y+z =4
2x + 5y 2z = 3
b)
:
x + 7y 7z = 5
8
< x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
c)
:
3x + 2y + z = 0
8
3x + 2y 4z = 1
>
>
>
>
< x y+z =3
x y 3z = 3
d)
>
>
3x
+ 3y 5z = 0
>
>
:
x+y+z =1
5. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incóginitas aquele sistema
cujos termos independentes, bi , são todos nulos.
a) Um sistema homogêneo adimite pelo menos uma solução. Qual é ela?
b) Encontre os valores de k 2 R, tais que o sistema homogêneo dado por:
8
< 2x 5y + 2z = 0
x+y+z =0
:
2x
+ kz = 0
tenha uma solução distinta da solução trivial (x = y = z = 0).
86
10.
CAPÍTULO
DETERMINANTE
10.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso objetivo nesse capítulo é dar ao estudante uma noção e revião de determinante de
uma matriz. O conceito de determinante de uma forma geral envolve muitos símbolos, o
que di…culta a leitura. Para tornar a discussão mais simples e organizada, vamos introduzir
algumas de…nições necessárias e posteriormente trabalhar algumas técnicas que facilitarão
nosso trabalho.
10.2. DETERMINANTE
A cada matriz
especial chamado
a11 a12
a21 a22
..
..
.
.
quadrada de ordem n, A = (aij ) está associado um número escalar
de determinante de A, denotado por det(A), ou jAj ou ainda
a1n
a2n
..
.
am1 am2
amn
Salientamos que um quadro nxn de escalares entre duas barras, chamado de determante
de ordem n, não é uma matriz; denota o determinante entre aquelas duas barras.
A função determinante foi descoberta no estudo de sistemas de equações lineares. Veremos que o determinante é um instrumento indispensável para investigar e obter propriedades de matrizes quadradas.
10.2.1. Determinante de Ordem Um e Dois.
De…nem-se como segue os determinantes de ordem um e dois:
a11 = a11
a11 a12
= a11 :a22
a21 a22
Exemplo
a12 :a21
1. 5 = 5
2.
3.
5 4
= 5:3
2 3
2 1
= 2:6
4 6
4:2 = 15
8=7
1:( 4) = 12 + 4 = 16
10.2.2. Utilizando Determinate para Resolver Sistemas Lineares 2x2.
Consideremos duas equaçãoes lineares com duas incógnitas:
a1 x + b 1 y = c 1
a2 x + b 2 y = c 2
87
Um sistema de linear como mostrado acima tem solução única se e somente se:
D
a1 b 2
a2 b1 6= 0
e que a solução é dada por:
x=
b2 c 1
a1 b 2
b1 c 2
a2 b 1
e
a1 c 2 a2 c 1
a1 b 2 a2 b 1
Assim a solução pode ser expressa compeletamente através de determinantes:
y=
x=
Dx
D
Dy
D
Aqui D, o determinante da matriz dos coe…cientes, aparece no denominador de ambos os
quocientes. Os numeradores Dx e Dy das expressões de x e y, respectivamente, obtêm-se
substituindo a coluna dos coe…cientes das incógnitas pela de termos constantes.
y=
Exemplo Resolvido
1. Resolva por determantes
2x 3y = 7
3x + 5y = 1
2
3
= 19
3 5
7
3
Dx =
= 38
1 5
2 7
Dy =
= 19
3 1
Assim a solução (única) so sistema é:
x = Dx
= 38
= 2 e y = Dy
= 1919 = 1
D
19
D
S = f(2; 1)g
D=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Utilizando determinantes, resolva os sistemas abaixo.
a)
2x y = 3
x + 4y = 2
b)
2x + y = 5
x 3y = 6
88
10.2.3. Determinante de Ordem Três
Seja a matriz arbitrária 3x3, A = (aij ). O determinante de A de…ne-se como:
a11 a12 a13
det(A) = a21 a22 a23 = a11 a22 a23 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33
a31 a32 a33
a11 a23 a32
Notse-se que há seis produtos, cada um deles consistindo de três elementos da matriz
original. Três deles conservam seu sinal, três deles tomam o sinal "menos ".
Exemplo Resolvido:
2 1
1
0 5
2 = (2)(5)(4)+(1)( 2)(1)+(1)( 3)(0) (1)(5)(1) ( 2)( 3)(2) (4)(0)(1) =
1
3 4
40 2 + 0 5 12 0 = 21
Propriedades de Determinantes
P.1 Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são todos nulos, então
det(A).
P.2 det(A) = det(At ):
P.3 Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante …ca
multiplicado por esta constante.
P.4 Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal.
P.5 O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é igual a zero.
P.6 O determinante não se altera de somarmos a uma linha outra linha multiplicada
por uma constante.
P.7 det(A:B) = det(A).det(B)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
2
3
1
2 3
1
15
a) A = 4 2
2
1 2
2
3
2 1 0
b) B = 4 3 1 45
1 6 5
89
10.3. DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE
Na secção 10.2.3 vimos que:
a11
a21
jAj = ..
.
a12
a22
..
.
a1n
a2n
.. == a11 a22 a23 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
.
am1 am2
amn
Mas, podemos escrever esta soma como:
a
a
a
a
a
a
a11 22 23
a12 21 23 + a13 21 22
a32 a33
a31 a33
a31 a32
Observe que o determinante da matriz inicial 3x3 pode ser expresso em função dos
determinantes de submatrizes 2x2, iso é,
det(A) = a11 A11
a12 A12 + a13 A13
Onde a matriz Aij é a submatriz da inicial, de onde i-ésima linha e a j-ésima coluna
foram retiradas. Além disso, se chamarmos:
ij
= ( 1)i+j Aij
a partir dai obtemos:
det(A) = a11
11
a12
12
+ a13
13
Ao número ij ( que é o determinante afetado pelo sinal ( 1)i+j da submatriz Aij
obtida de A retirando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna), chamamos cofator.
Exemplo Resolvido
1
2 3
A = 2
1
1
2
1 2
Vamos escolher uma coluna para efetuarmos o determinante. Para tal, esolhemos uma
coluna que possua números que facilitem o nosso trabalho. Por exemplo, na coluna 2 da
matriz acima, temos dois números 1, o que vai facilitar os cálculos. Desta forma temos:
A = ( 2) 12 + 1 22 + ( 1) 32
1
1+2 2
= 2
12 = ( 1)
2 2
3
2+2 1
=8
22 = ( 1)
2 2
3
3+2 1
=7
32 = ( 1)
2
1
Portanto, vemos que:
A = ( 2) 12 + 1 22 + ( 1) 32 = ( 2)( 2) + (1)(8) + ( 1)(7) = 5
O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o
determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes
quadradas de ordem n-1. Em grande parte dos casos ele simpli…ca muito o cálculo de
determinantes.
90
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
3
2 0
1
25
1. Calcule o det 43 0
4
3 7
2. Dadas as matrizes A =
a) det(A) + det(A + B)
2
2 3
1
65 3
1
3. Dada A = 6
40 1
2
3
1
2
1 2
3
eB=
1 0
0
1
calcule:
1
3
2
47
7 calcule:
25
4
a) A23
b) jA23 j
c)
23
d) det(A)
2
3
60
4. Calcule o determinante da matriz dada por 6
42
1
1
2
0
1
5
0
1
2
3
0
17
7
35
0
91
11.
Capítulo
Limites
11.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, trabalharemos o conceito de limite de uma função em um determinado
ponto. No cotidiano, referimo-nos ao limite de velocidade, ao limite da resistência humana.
Todas essas expressões e muitas outras nos sugere que o limite é uma cota, que em certas
ocasiões pode não ser atingida, mas em outras poder ser atingida ou ultrapassada. Nosso
principal objetivo é estudar o conceito de limite de uma função próximo de um ponto, e
a utilizamos para o estudo da continuidade de uma função. Em capítulos subseqüentes a
noção de limite será usada na formulação das de…nições de derivada e integral.
11.2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limite de uma função num ponto
Nosso objetivo agora é desenvolver uma linguagem que nos permita a descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b. Diremos que f
está de…nida à direita de b se estiver de…nida num intervalo ]b; c[; do mesmo modo diremos
que f está de…nida à esquerda de b quando estiver de…nida num intervalo ]a; b[.
1o caso: Limite …nito
Seja f a função cujo grá…co está na …gura a seguir, de…nida à direita e à esquerda de b.
FIG.8.1
Observemos que quando x assume valores que se aproximam do ponto b pela direita, isto
é, por valores maiores que b , os correspondentes valores f (x) se aproximam do número
L1 . Para descrever este comportamento dizemos que o limite lateral direito de f no ponto
b é o número L1 e escrevemos:
lim f (x) = L1
x!b+
92
(lê-se: limite de f (x) para x tendendo a b pela direita é igual a L1 )
Observemos, por outro lado, que quando x assume valores que se aproximam de b pela
esquerda, isto é, por valores menores que b, os correspondentes valores f (x) se aproximam
do número L2 . De novo, para descrever este comportamento dos valores f (x), dizemos
que o limite lateral esquerdo de f no ponto b é o número L2 e escrevemos:
lim f (x) = L2
x!b
(lê-se: limite de f (x) para x tendendo a b pela esquerda é igual a L2 )
No presente caso os limites laterais L1 e L2 não são iguais.
Consideremos a função g cujo grá…co está na …gura seguinte.
FIG.8.2
Observando a …gura, podemos a…rmar que:
lim g(x) = L
x!b+
lim g(x) = L
x!b
isto é, os limites laterais de g no ponto b são iguais.
Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos:
limg(x) = L
x!b
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Avalie os limites abaixo
(38)
93
a) lim
x!2
b) lim
x!6
3x2 1
x+3
p
x+3
1 x2
c) lim
1
+5
px
x2 +5
d) lim
ex +e x
1+ex
e) lim
1
x 1
x!2
x!0
x!2
2+x
x+1
11.3. CONTINUIDADE
Em matemática, o termo “contínuo”tem o mesmo signi…cado que na linguagem cotidiana. Dizer que uma função é continua no ponto x = b signi…ca que não há interrupção
no grá…co de f no ponto b. O grá…co de f não se parte em b, e não há buracos, saltos
ou lacunas. Apesar da simplicidade deste conceito, sua de…nição precisa escapou aos
matemáticos durante muitos anos.Não foi senão em princípio do século XIX que se formulou uma de…nição precisa.
De…nição de Continuidade
Seja b um número no intervalo (a; c) e seja f uma função cujo domínio contém o
intervalo (a; c). A função f é contínua no ponto b se veri…car as seguintes condições:
1. f (b) é de…nida;
2. limf (x) existe;
x!b
3. limf (x) = f (b)
x!b
Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a; c), então f é contínua no intervalo
(a; c). Veja a …gura abaixo.
FIG. 8.3
94
Grosso modo, podemos dizer que a função é contínua em um intervalo se seu grá…co
pode ser traçado com papel e lápis se levantar o lápis do papel, conforme é mostrado na
…gura acima.
Exemplo
1. Veri…que se a função f (x) = x2 é contínua no ponto x = 2:
I) Sendo x = 2, temos que f (2) = 4 é de…nida;
II) Existe o limite da função, ou seja, lim x2 = 4
x!2
III) De I e II podemos concluir que lim x2 = f (2) = 4, desta forma concluimos que a
x!2
função f (x) = x2 é contínua no ponto x = 2, como mostra a …gura abaixo.
FIG. 8.4
2. Veri…que se a função dada por f (x) =
x2 4
,
x 2
com x 6= 2, é contínua no ponto x = 2.
I) Sendo x = 2, temos que f (2) não está de…nido, pois f (2) =
indeterminado;
4 4
2 4
=
0
0
o que é
II) Existe o limite da função, pois fatorando o numerador e simpli…cando com o de2
2)
nominador temos: lim xx 24 = lim (x+2)(x
= lim x + 2 = 4;
(x 2)
x!2
x!2
x!2
III) Veri…camos que I é indeterminado e que II existe, porém não se veri…cando I,
2
temos que a função f (x) = xx 24 não é contínua no ponto x = 2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
95
1. Avaliar os limites indicados e determinar, em cada caso, se a função é contínua no
ponto dado.
a) lim (x2
x!2
b) lim
x! 2
1)
3x+1
5
c) lim
x!1
x2 1
x 1
d) lim
x!3
9 x2
x 3
e) lim
x3 x
x
f) lim
x!2
x2 5x+6
x 2
g) lim
x2 3x+4
1+x+x2
x!0
x!1
2o caso: limite in…nito
Seja f uma função de…nida à direita de um ponto b. Dizemos que f tem limite lateral
direito +1 ( mais in…nito ) no ponto b e escrevemos:
lim f (x) = +1
x!b+
Quando, qualquer que seja o número k > 0 , existe x > b , tal que f (x) > k.
De modo análogo, se f está de…nida à esquerda de b , dizemos que f tem limite lateral
esquerdo +1 (mais in…nito) no ponto b e escrevemos:
lim f (x) = +1
x!b
Quando para todo k > 0, existe x < b tal que f (x) > k:
Se lim f (x) = lim f (x) = +1, dizemos que f tem limite +1 (mais in…nito) no ponto
x!b+
x!b
b e escrevemos:
(39)
limf (x) = +1
x!b
Exemplo
1. Encontre o limite da função dada por f (x) =
1
;
jxj
quando x ! 0.
96
Resolução:
1
lim jxj
= +1 e lim
1
x!0 jxj
x!0+
abaixo.
1
= +1, portanto segue-se que lim jxj
= +1. Veja a …gura
x!0
FIG. 8.5
De modo análogo podemos de…nir o limite:
limf (x) =
x!b
1
(40)
2. Encontre o limite da função dada por f (x) =
Resolução:
1
lim
=
x2
x!0+
…gura abaixo.
1 e
lim
x!0
FIG. 8.6
EXERCÍCIOS PROOSTOS
1
x2
=
1
,
x2
quando x ! 0.
1, portanto segue-se que lim
x!0
1
x2
=
1.Veja a
97
2. Avaliar em cada caso os limites abaixo.
1
x!5+ x 5
a) lim
1
x!5 x 5
b) lim
1
2
x!0+ x
c) lim
x+2
x!2+ 2 x
d) lim
e) lim
x!0
3 x
x2
11.4. LIMITE NO INFINITO
Seja f uma função de…nida num intervalo ]a; +1[. Se à medida que x assume valores
cada vez maiores no intervalo ]a; +1[ os correspondentes valores de f (x) se aproximam
de um número L, dizemos que o limite de f para x tendendo a +1 é L e escrevemos:
(41)
lim f (x) = L
x!+1
Exemplos Resolvidos:
1. Encontre o limite da função dada por f (x) = ( x1 + 1), quando x ! +1.
Resolução:
lim ( x1 + 1) = 1. Veja a …gura abaixo.
x!+1
FIG.8.7
2. Seja f (x) =
2x+1
,
x 2
encontre o limite dessa função quando x ! +1.
98
Resolução:
lim
x!+1
2x+1
x 2
2+ 1
( 2x+1
x )
= lim 1 x2 = 2
x 2
x!+1 ( x )
x!+1
x
= lim
Se à medida que x assume valores cada vez maiores no intervalo ]a; +1[ os correspondentes valores de f (x) crescem inde…nidamente (ou decrescem inde…nidamente) dizemos
que o limite de f quando x (respectivamente) e escrevemos:
lim f (x) = +1 (respectivamente temos que lim f (x) =
x!+1
x! 1
1):
Exemplo Resolvido
Seja a função de…nida por f (x) = x2 : Encontre seu limite quando x ! 1.
Resolução:
A mdeida que x se aproxima de 1, vemos que f (x) = x2 tende a um número muito
grande, ou seja, tende ao in…nito. Desta forma vemos que lim x2 = +1.
x! 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre em cada caso os limites abaixo.
a) lim
1
x+2
b) lim
1
x2 1
c) lim
x2
x+1
d) lim
2x
x2 1
e) lim
x3 +2x 1
3x 4
f) lim
4x 1
3x+2
g) lim
x2 +x+1
2x2 3
x!+1
x!+1
x! 1
x! 1
x!+1
x!+1
x!+1
x3 +3x2
x3 1
h) lim
x! 1
i) lim
x!+1
x2 +
ex )
j) lim (2
x!+1
k) lim e1
1
x
x2
x! 1
l) lim (10 + e x )
x!+1
99
12.
CAPÍTULO
CONCEITO DE DERIVADA
12.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, trabalharemos os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação
instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma função em um ponto e seu
signi…cado numérico e grá…co. Fique atento à derivada de uma função, pois trata - se de
um dos conceitos mais importantes do cálculo diferencial e integral. Nesse capítulo, você
terá contato com as primeiras aplicações da derivada na análise do comportamento local
de uma função e, nos próximos capítulos, você estudará inúmeras aplicações da derivada
na análise geral de uma função e de modelos da economia, administração e contabilidade.
12.2. TAXA DE VARIAÇÃO
Nesta seção, estudaremos o conceito de taxa de variação analisando a taxa de variação
instantânea. Tais análises permitirão entender o conceito de derivada, que tem grande
aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento. Naturalmente, nossa atenção estará voltada para aplicação de tal conceito, principalmente nas áreas de administração,
economia e contabilidade.
12.2.1. Taxa de Variação Média
Nos capítulos anteriores, estudamos o custo C para a produção de uma quantidade qq de
camisas produzida, ou seja, C = f (q), vimos também que, para tal função, uma variação
na quantidade de camisetas produzidas determinava uma variação correspondentes nos
custos de produção e assim pudemos de…nir que a taxa de variação média, ou simplesmente
taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, é dada
pela razão:
m=
Variação em C
Variação em q
Em tal exemplo prático, por se tratar de uma função do 1o grau, salientamos que a taxa
de variação média representa o coe…ciente angular da reta que representa gra…camente
tal função. A equação de tal reta (ou função) é dada por y = f (x) = mx + b.
Na verdade, o conceito de taxa de variação média não é exclusivo das funções de 1o
grau. A taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função. Se y representa
a variável dependente e x a variável independente, então a taxa de variação média de y
em relação a x é calculada pela razão:
Taxa de Variação média =
Variação em y
=
Variação em x
y
x
Vamos explorar mais atentamente tal conceito em uma situação prática que norteará o
desenvolvimento deste capítulo.
100
12.2.2. Taxa de Variação Média em um Intervalo.
Nos capítulos interiores, estudamos a produção como função do insumo (fatores como
matéria-prima, dinheiro, mão-de-obra, energia, etc) disponibilizado no processo de produção. Nesse sentido, considerando que, para um grupo de operários em uma indústria
de alimentos, a quantidade P de alimentos produzidos (ou industrializados) depende do
número x de horas trabalhadas a partir do início do expediente e que tal produção é dada
por P = kx2 e fazendo k = 1 , temos:
P = x2
onde P é dada em toneladas. Então, temos a produção como função do tempo x , ou
seja, P = f (x), e podemos escrever a produção como:
f (x) = x2
O instante do início do expediente é representado por x = 0, ou seja, 0:00 hora. Vamos
determinar a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3:00
horas até as 4:00 horas e também para o intervalo das 4:00 horas até as 5:00 horas(ou
seja, para 3 x 4 e para 4 x 5 ).
De acordo com de…nição dada anteriormente, podemos dizer que a taxa de variação
média para esse exemplo será:
Taxa de variação média :
Variação em P
=
Variação em x
P
x
Responda:
Qual é a taxa de variação média para os intervalos acima?
A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, na prática, têm
unidades de medida, então a taxa de variação também tem unidade de medida que será
dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.
Percebemos tal fato ao notar que, para as taxas obtidas anteriormente, a tonelada é a
unidade de medida da produção, então sua variação ( P ) também é medida em tonelada,
enquanto que hora é a unidade de medida do tempo, então sua variação ( x) também é
medida em hora, assim a taxa de variação média foi medida em:
tonelada
P
=
x
hora
Notamos também que, com o passar do tempo, as taxas de variação médias da produção
aumentam e, como a produção é crescente, concluímos que a produção é crescente as taxas
crescentes. O fato de as taxas de variação serem crescentes é observado gra…camente, se
notarmos que o grá…co de tal função é parábola com a concavidade virada para cima.
A taxa de variação média é sempre calculada para intervalos da variável independente.
Se inscrevermos de maneira geral em um intervalo a até b , a taxa de variação média será
dada por:
101
Taxa de variação média de f (x) para o intervalo de a até b =
f (b)
b
f (a)
a
(42)
Para essa forma de de…nir a taxa de variação média, podemos ainda considerar o
“tamanho”do intervalo como sendo h, ou seja:
b
a=h
Ao isolarmos b, obtemos:
b=a+h
e o intervalo de a até b passa a ser de a até a + b. Então, podemos escrever a taxa de
variação média como:
Taxa de variação média de f (x) para o intervalo de a até a + h =
f (a + h)
h
f (a)
(43)
Perceberemos a seguir que escrever a taxa de variação média dessa forma pode ser
bastante prático para a obtenção da taxa de variação instantânea.
12.2.3. Taxa de Variação Instantânea
Estudamos até agora a variação da produção para intervalos de tempo, como das 3:00 às
4:00 horas ou ainda das 4:00 às 5:00 horas, e a taxa de variação média em um intervalo foi
útil para analisar o comportamento da produção, pois dizer que a produção está variando
a uma taxa de 5 ton=h signi…ca que, em uma hora, são produzidas 5 toneladas. De modo
que análogo, dizer que a produção varia a uma taxa de 9 ton/h signi…ca que, em uma hora,
são produzidas 9 toneladas – produções essas referidas a intervalos de tempos distintos
do processo de produção.
Sabemos que tais taxas foram calculadas para intervalos de tempo especí…cos. Nesse
momento, cabe perguntar:
a) É possível calcular a taxa de variação da produção para um instante especi…co?
b) Por exemplo, qual a taxa de variação da produção exatamente às 3 horas?
c) Se for possível calcular a taxa, como realizamos tal calculo?
Na verdade, estudar o comportamento da produção em um instante especi…co nos
remete ao desenvolvimento de “ferramentas” matemáticas que permitem estudar mais
profundamente tal função e analisá-la de modo mais detalhado.
Para a primeira pergunta feita, a resposta é “sim”! Podemos calcular a taxa de variação
da produção para um instante especi…co e, ao calcularmos tal taxa, vamos denominá-la
taxa de variação instantânea.
Ao perguntarmos “Qual a taxa de variação da produção exatamente às 3 horas?”,
estamos perguntando: “Qual a taxa de variação instantânea da produção no instante
x = 3 ?”
102
Para compreender como é possível o cálculo da taxa de variação instantânea da produção e qual o valor de tal taxa para o instante x = 3, vamos utilizar a seguinte idéia:
calcularemos varias taxas de variações médias para intervalo de tempo “muito pequenos”,
cada vez mais “próximos”do instante x = 3.
Considerando o instante x = 3, vamos tomar para os cálculos das taxas de variação
média o intervalo de 3 até 3+h, onde h representa o tamanho do intervalo; então, teremos:
Taxa de variação média de f (x) para o intervalo de a até 3 + h =
f (3 + h)
h
f (3)
Fazendo h = 0; 1 temos que a taxa de variação é igual a 6; 01;
Fazendo h = 0; 01 temos que a taxa de variação é igual a 6; 001;
Fazendo h = 0; 001 temos que a taxa de variação é igual a 6; 0001.
Assim, calculamos as taxas de variação média para os intervalos de “3 até um instante
um pouco maior que 3”e notamos que tal taxa é cada vez mais se “aproxima”do valor 6.
Vamos agora calcular a taxa de variação média para intervalos de “um instante pouco
menor que 3 até o instante 3”e veri…car se, nesses casos, a taxa também vai se “aproximar”
do valor 6. Para obter tais intervalos e calculá-los basta tomar os valores negativos para
h na expressão dada por:
Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até 3 + h =
f (3 + h)
h
Fazendo h =
0; 1 temos que a taxa de variação é igual a 5; 9;
Fazendo h =
0; 01 temos que a taxa de variação é igual a 5; 99;
Fazendo h =
0; 001 temos que a taxa de variação é igual a 5; 999:
f (3)
Por esses últimos cálculos, onde os intervalos são obtidos fazendo h negativo notamos
que a taxa de variação média também se “aproxima”do valor 6.
Dai podemos dizer que a taxa de variação instantânea de f (x) quando x = 3 é igual a
6 ton=h.
Tal resultado permite dizer que às 3:00 horas, a produção é de 6 ton=h. Como a taxa
de variação instantânea é calculada a partir de taxas de variações médias, é normal que
se use para ambas a mesma unidade de medida ( tonelada / hora).
O procedimento de tomar h ”próximo”de zero e torná-lo “mais próximo ainda”se zero
pode ser resumido por h ! 0 . Na verdade, o cálculo da taxa de variação instantânea
em a partir das taxas de variação média para h ! 0 pode ser resumido na linguagem de
limites por:
f (3 + h)
h!0
h
Taxa de variação instantânea de f (x) em x = 3 = lim
f (3)
103
Considerando a taxa de variação instantânea assim de…nida, os três primeiros cálculos
da taxa de variação média, com h > 0, resume a tentativa de determinar o limite lateral
dado por:
f (3 + h)
h!0+
h
lim
f (3)
=6
(i)
Os três últimos cálculos da taxa de variação média, com h < 0, resumem a tentativa
de determinar o limite lateral dado por:
lim
h!0
f (3 + h)
h
f (3)
=6
(ii)
A partir de (i) e de (ii) chagamos a conlusão de que:
f (3 + h)
h!0
h
lim
f (3)
(iii)
=6
A equação (iii) só é possível porque os limites laterais são um número, e tal número
coincide nos dois limites laterais.
Observação: Caso os limites laterais resultem em números diferentes, ou um deles
resulta em +1 e o outro em 1 , dizemos que o limite que da origem aos limites laterais
não existe, ou seja, a taxa de variação instantânea não existe.
12.3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO.
A taxa de variação instantânea da função produção no instante x = 3 é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto x = 3. Simbolizamos
a taxa de variação instantânea, ou derivada, no ponto x = 3 por f 0 (3):
Assim, de um modo geral, a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação
instantânea da função no ponto:
f (x + h)
h!0
h
f 0 (x) = lim
f (x)
(44)
Encontre a partir da de…nição de derivada a derivada da função f (x) = x2 .
A partir da de…nição de função derivada, vamos veri…car se tal função realmente representa a derivada da produção ou, em outras palavras, vamos calcular algebricamente a
derivada de f (x) = x2 :
Concluímos após a demonstração que, de fato, f 0 (x) = 2x:
Vamos agora recordar cada um dos conceitos discutidos durante este capitulo resolvendo
os itens do problema proposto a seguir:
Problema: Na comercialização de um componente químico líquido, utilizado na fabricação de sabão e detergente, a receita R para a venda da quantidade q é dada por
R(q) = 5q 2 , onde a receita é dada em reais (R$) e a quantidade é dada em litros(l).
104
a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo 4
q
6.
b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita para q = 1.
c) Determine a derivada da receita em q = 1. Qual a unidade de medida dessa
derivada?
d) Qual o signi…cado numérico e grá…co de tal valor?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Para um produto, a receita R, em reais (R$), ao se comercializar a quantidade q,
em unidades, é dada pela função R(q) = 2q 2 + 1000q.
a) Esboce o grá…co de R ressaltando os principais pontos.
b) Determine a taxa de variação média da receita para os intervalos 100
q
200.
c) Estime a derivada da receita em q = 100, ou seja, R 0 (100). Qual a unidade de
medida dessa derivada?
2. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas,
leva à função P (t) = 2t2 + 24t + 128.
a) Esboce o grá…co ressaltando os principais pontos.
b) Encontre, algebricamente, a função derivada P 0 (t).
c) Em que momento a produção é máxima? Utilizando P 0 (t), encontrada no item
anterior, calcule o valor da derivada para esse ponto. Represente gra…camente a
reta tangente nesse ponto.
d) Utilizando P 0 (t), encontrada no item (b), calcule o valor de P 0 (8) e comente seu
signi…cado numérico.
e) Comente o sinal de P 0 (8) e sua relação com o comportamento da função P (t).
3. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p(t) = 0; 25t2
2; 5t+60 para um período do ano, onde t = 0 representa o momento inicial de análise,
t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses, etc.
a) Esboce o grá…co ressaltando os principais pontos.
b) Encontre, algebricamente, a função derivada p0 (t).
c) Em que momento o preço é mínimo? Utilizando p0 (t), encontrada no item anterior,
calcule o valor da derivada para esse ponto. Represente gra…camente a reta tangente
nesse ponto.
d) Utilizando p0 (t),encontrada no item (b), calcule o valor de p0 (7) e comente seu signi…cado numérico.
e) Comente o sinal de p0 (7) e sua relação com o comportamento da função p0 (t).
105
12.4. DERIVADA COMO INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE
Sabemos que a taxa de variação instantânea representa a derivada de uma função no
ponto, então visualizamos a derivada de uma função em um ponto pela inclinação da reta
tangente à curva naquele ponto.
Dada a derivada de uma função em um ponto x = a, temos:
f (a + h)
h!0
h
f 0 (a) = lim
f (a)
(45)
Gra…camente, dizemos que:
f 0 (a) representa a inclinação da reta tangente à curva f (x) no ponto x = a e
obtemos a representação grá…ca seguindo os mesmos passos realizados nos exemplos
anteriores. Observe a …gura abaixo.
FIG. 10.1
12.4.1. Reta Tangente à Curva em um Ponto
Para a representação grá…ca da derivada em um ponto, estamos nos referindo à reta
tangente à curva nesse ponto. Para a função produção, por exemplo, temos um esboço
de tal curva. Vamos agora determinar a equação de reta tangente à curva.
Conforme o estudado em capítulos anteriores, a equação de uma reta é dada por:
y = mx + b
onde m dá a inclinação da reta e o ponto em que a reta corta o eixo y.
Para a reta tangente à curva em um ponto, sua inclinação é dada pela derivada da
função nesse ponto; assim, se o ponto é x = a , a inclinação será m = f 0 (a). Dessa
forma, em nosso exemplo anterior, no ponto x = 3 a inclinação da reta tangente será dada
por:
106
m = f 0 (3) = 6:
Sabendo que m = 6 , na equação da reta tangente podemos escrever y = 6x + b. Falta
então determinar o coe…ciente b, que pode ser encontrado a partir do ponto em que a
reta é tangente à curva. Para a produção, o ponto por onde passa a reta é dado por
P = (3; f (3)) = (3; 9); assim, substituindo as coordenadas de (3; 9) em y = 6x + b , temos:
9 = 6(3) + b
9 = 18 + b
9
18 = b
b=
9
Assim, a equação da reta tangente à curva da produção é dada por:
y = 6x
9
A equação de tal reta é usada nos estudos de “linearidade local”de uma função, e tais
aspectos, além de sua utilização.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Para um produto, a receita R, em reais (R$), ao se comercializar a quantidade q,
em unidades, é dada pela função R(q) = 2q 2 + 1000q.
a) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 100. Faça também a
representação grá…ca sobre o grá…co da função R(q).
2. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas,
leva à função P (t) = 2t2 + 24t + 128.
a) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 8 e represente-a sobre o grá…co
da função P (t).
3. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p(t) = 0; 25t2
2; 5t+60 para um período do ano, onde t = 0 representa o momento inicial de análise,
t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses, etc.
a) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 7 e represente-a sobre o grá…co
da função p(t).
107
13.
CAPÍTULO
TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
13.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar de maneira
prática as funções derivadas, ou seja, dada uma função, você aplicará as técnicas de
derivação para obter de modo rápido a derivada de uma função dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresentada.
13.2. REGRA DE DERIVAÇÃO
No capítulo anterior, para algumas funções onde era dada a expressão algébrica que a
de…nia, obtivemos a função derivada a partir da de…nição. Por exemplo, dada f (x) = x2
obtivemos a função derivada f/ 0 (x) = 2x a partir da determinação do limite dado por:
f (x + h)
h!0
h
f 0 (x) = lim
f (x)
Notamos que, muitas vezes, o processo de determinação da função derivada é trabalhoso
e, por isso, é interessante trabalhar com técnicas que permitem a determinação rápida da
derivada. Nesta seção, estudaremos as principais regras de derivação necessárias para a
obtenção das derivadas de maneira rápida e simpli…cada. Abordaremos apenas as regras
necessárias para a derivação das funções abordadas em nosso curso.
Salientamos que nossa preocupação inicial é apresentar as regras de maneira simpli…cada, deixando de lado as demonstrações e justi…cativas da validade de tais regras. Sugerimos ao leitor interessado nas demonstrações de tais regras a consulta de livros de cálculos
indicados na bibliogra…a, onde constam as demonstrações de todas as regras apresentadas
a seguir.
Entre os exemplos de aplicação para cada regra apresentada, procuramos utilizar funções
já desenvolvidas nos capítulos anteriores.
13.2.1. Função Constante
Seja a função f (x) = k , onde k é uma constante, então, sua derivada será:
f 0 (x) = 0
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) f (x) = 7 ! f 0 (x) = 0
b) g(x) = 10 ! f 0 (x) = 0
(46)
108
13.2.2. Função Linear
Seja a função linear dada pela lei de formação f (x) = mx + b .Então, sua derivada será:
f 0 (x) = m
(47)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) f (x) = 3x + 5
b) g(q) =
2q + 10
c) h(n) = 500n
d) f (x) = x
f 0 (x) = 3
g 0 (q) =
2
h 0 (n) = 500
f 0 (x) = 1
13.2.3. Soma ou Diferença de Funções
Seja a função f (x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x) e f (x) = u(x) + v(x).Sendo
u(x) e v(x) e deriváveis então a derivada de f (x) será dada por:
f 0 (x) = u0 (x) + v 0 (x)
(48)
Podemos realizar os cálculos de modo análogo para a diferença de u(x) e v(x). Podemos
dizer que a “derivada de uma soma / diferença de funções”é a “soma / diferença das
derivadas das funções”
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) Dada f (x) = u(x) + v(x) , onde u(x) = 3x + 5 e v(x) = 7x + 15 , obtenha f 0 (x)
f (x) = u(x) + v(x)
f (x) = (3x + 5) + (7x + 15)
f (x) = 10x + 20
f 0 (x) = 10
109
13.2.4. Potência de x
Seja a função f (x) = xn .Onde n é um número real, então sua derivada será:
f 0 (x) = nxn
1
(49)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
f (x) = x3
f 0 (x) = 3x
f (x) = 15x2
f 0 (x) = 30x
1
f (x) = x
f 0 (x) =
3
g 0 (x) = 34 1000:q
g(p) = 1000q 4
p(t) = t3
x
6t2 + 9t + 10
p 0 (t) = 3t2
1
4
= 750:q
1
4
=
750
p
4q
12t + 9
13.2.5. Função Exponencial
Seja a função exponencial f (x) = ax , onde a é um número real tal que a > 1 e a 6= 1,
então sua derivada será dada por:
f 0 (x) = ax ln(a)
(50)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
f (x) = 2x
M (x) = 100(1; 05)x
f 0 (x) = 2x ln(2)
M 0 (x) = 100(1; 05)x ln(1; 05)
13.2.6. Função Exponencial na Base e
Seja a função exponencial f (x) = ex , onde e t 2; 71828::: , então sua derivada será
dada por:
f 0 (x) = ex
(51)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) f (x) = 5ex
b) f (x) =
2ex + 3e
f 0 (x) = 5ex
f 0 (x) =
2ex
110
13.2.7. Logaritmo Natural
Seja a função obtida pelo logaritmo de x, ou seja, f (x) = ln(x). Então, sua derivada
será dada por:
f 0 (x) =
1
x
(52)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
f 0 (x) =
a) f (x) = 5 ln(x)
b) f (x) = 20 ln(M )
188
f 0 (x) =
5
x
20
M
13.2.8. Produto de Funções
Seja a função f (x) obtida pelo produto das funções u(x) e v(x), ou seja, f (x) =
u(x):v(x). Sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f (x) será dada por:
f 0 (x) = u0 (x):v(x) + u(x):v 0 (x)
(53)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) f (x) = (5x + 10)(x4 10x2 )
f (x) = (5):(x4 10x2 ) + (5x + 10)(4x3
5x4 50x2 + 20x4 100x2 + 40x3 200x = 25x4 + 40x3 150x2 200x
20x) =
b) f (x) = x2 :3x = 2x(3x ) + (x2 ):3x ln(3)
13.3. Quociente de Funções
Seja a função f (x) obtida pelo quociente das funções u(x) e v(x), ou seja, f (x) =
Sendo u(x) e v(x) e deriváveis, então a derivada de f (x) será dada por:
f 0 (x) =
u0 (x):v(x) u(x):v 0 (x)
[v(x)]2
u(x)
.
v(x)
(54)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
100x+300
x+10
100x+1000 100x 300
(x+10)2
f 0 (x) =
a) f (x) =
b) f (x) =
500
x3
=
(100)(x+10) (100x+300)(1)
(x+10)2
=
700
(x+10)2
f 0 (x) =
(0):(x3 ) (500):(3x2 )
(x3 )2
=
1500x3
x6
111
13.3.1. Função Composta –Regra da Cadeia
Seja a função f (x) obtida pela composição das funções u(x) e v(x);ou seja, f (x) =
v[u(x)]. Sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f (x) será dada por:
f 0 (x) = v 0 [u(x)]:u0 (x)
(55)
Exemplos Resolvidos
1. Encontre a derivada das funções abaixo.
a) f (x) = (2x + 5)3
Fazendo u(x) = (2x + 5) temos que:
f (x) = v[u(x)]3
Aplicando a regra da cadeia (55) temos:
f 0 (x) = 3(u(x))2 :u0 (x) = 3(2x + 5)2 :(2) = 6(2x + 5)2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Para cada função a seguir encontre a sua derivada.
a) y = 15
b) f (x) = 12x
c) q =
35
3p + 15
d) f (x) =
x
e) g(x) = x4
f) h(x) = 20x3
g) y =
x2
5
h) P = 24q 6
i) f (x) =
800
x4
j) p(t) = 5t3 + 10t2
k) f (x) = 5x
l) M (x) = 25(1; 05)x
m) g(x) = 2ex
15t + 30
112
n) f (x) =
5 ln(x)
o) f (x) = (3x
20):(x3
p) h(x) = x5 8x
q) f (x) =
25x+400
x+20
r) f (x) = (3x + 10)3
s) g(x) = 105x
20
t) g(x) = (5x2 + 2x)4
50x2 )
113
14.
CAPÍTULO
APLICAÇÕES DE DERIVADAS NO ESTUDO DE FUNÇÕES
14.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO
Neste capítulo, você utilizará a derivada para estudar detalhadamente o comportamento
das funções, determinando seus principais valores e pontos para a análise numérica e
grá…ca. Você perceberá como as derivadas primeira e segunda são úteis para determinar
intervalos de crescimento - decrescimento; pontos de máximo - mínimo; diferenças taxas
de crescimento - decrescimento e pontos de in‡exão de uma função.
14.2. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma propriedade muito importante que utilizaremos para a análise das funções e construção de seus grá…cos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento
de tal função em um intervalo. Sabemos que a derivada em um ponto dá a taxa de
variação da função no ponto, bem como a inclinação da reta tangente no ponto. Uma
função é crescente se seu grá…co sobe quando x se desloca para direita, e é decrescente
se seu grá…co desce quando x se desloca para direita. A de…nição a seguir constitui um
enunciado mais formal:
De…nição de uma função Crescente e Função Decrescente
Uma função f é crescente em um intervalo, se para quaisquer x1 e x2 no intervalo,
x1 > x2 implica em f (x1 ) > f (x2 ) .
Uma função f é decrescente em um intervalo, se para quaisquer x1 e x2 no intervalo,
x1 > x2 > implica em f (x1 ) < f (x2 ).
114
14.3. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes
Seja f diferenciável no intervalo (a; b), então através da derivada primeira de f podemos
dizer que:
Se f 0 (x) > 0 para todo x 2 (a; b), então f é crescente no intervalo (a; b) ;
Se f 0 (x) = 0 para todo x 2 (a; b), então f é constante no intervalo (a; b) ;
Se f 0 (x) < 0 para todo x 2 (a; b), então f é decrescente no intervalo (a; b);
Exemplo:
De 1970 a 1990, o consumo C de aves (libras sem osso por pessoa por dia) admite como
modelo funcional a função escrita por:
C(t) = 33; 5 + 0; 074t2 , onde 0 t 20
Mostre através do uso de derivadas que o consumo de aves cresceu de 1970 a 1990.
14.4. PONTOS CRÍTICOS
De…nição de um ponto crítico:
Se f é de…nida em c, então c é um ponto crítico de f se:
f 0 (c) = 0
f 0 não é de…nida em c.
Diretrizes para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
1. Encontrar a derivada da função f ;
2. Determinar os pontos críticos de f , ou seja, f 0 (x) = 0 ;
3. Testar o sinal de f 0 (x);
4. Utilizar o teste das funções crescentes ou decrescentes.
Exercício Resolvido
1. Encontre os intervalos onde a função dada por
decrescente.
f (x) = x3
Resolução:
Passo 1: Encontre a derivada da função: f 0 (x) = 3x2 3x
Passo 2: Encontre os pontos críticos da função, ou seja, f 0 (x) = 0
3x2
3x = 0
3x2
2
é crescente ou
115
3x(x
1) = 0
i)3x = 0
ou
ii)x
1=0
De (i) temos que x = 0 e de (ii) temos que x = 1, segue-se então que os pontos críticos
são x = 0 e x = 1:
Passo 3: Testar o sinal da derivada da função. Para isso vamos utilizar uma tabela que
facilita estes cálculos.
Intervalo
Valor do Teste
Sinal da derivada
Conclusão
1<x<0 0<x<1
x= 1
x = 12
f 0 ( 1) = 6 f 0 ( 12 ) = 34
Crescente
Decrescente
1 < x < +1
x=2
0
f (2) = 6
Crescente
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Mostre que f (x) = x3
3x2 + 3x é crescente em toda a reta real.
2. Utilizando uma tabela como feita no exercício anterior, encontre todos os intervalos
de crescimento e/ou decrescimento das funções dadas por:
a) f (x) =
2x2 + 4x + 3
b) f (x) = x2 + 8x + 10
c) f (x) = x2
6x
d) f (x) = (x
1)2 (x + 2)
3. Análise de Lucro: Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes
modelos funcionais de custo e receita para um de seus jogos:
116
C(x) = 2; 4x
0; 0002x2 ; onde 0
R(x) = 7; 2x
0; 001x2 ; onde 0
x
x
6000
6000
Determine o intervalo onde a função lucro é crescente.
4. O custo da encomenda e do transporte C( em centenas de reais) para um distribuidor
de automóveis é dado por:
1
x
C(x) = 10( +
); com x
x x+3
1
Encontre os intervalos em que é crescente ou decrescente.
5. O lucro P obtido por um cinema com a venda de x sacos de pipoca admite como
modelo funcional a seguinte função:
P (x) = 2; 36x
x2
25000
3500; com 0
x
50000
a) Encontre os intervalos em que P é crescente ou decrescente;
b) Se o leitor fosse o proprietário do cinema, que preço cobraria para obter máximo
lucro com a venda das pipocas? Explique seu raciocínio.
14.5. PONTOS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO
No estudo de situações práticas ou fenômenos econômicos, administrativos e contábeis,
é muito comum surgirem perguntas como: Que quantidade devo comercializar para que
o lucro seja máximo? Qual quantidade devo armazenar em estoque para que o custo
de estoque seja mínimo? Quanto devo aplicar em propaganda para que a receita seja
máxima? Qual a quantidade de insumo a ser usada para que a produção seja máxima?
Em que momentos, em um curto intervalo de tempo, devo comprar e vender as “ações”
de uma empresa para que o lucro na operação seja máximo?
Nos fenômenos citados, se o lucro, custo, receita e produção são expressos por funções,
então as respostas a tais perguntas envolvem pontos especiais, como os pontos de máximo,
de mínimo e de in‡exão.
Nos exemplos anteriores vimos como utilizar a derivada para determinar intervalos onde
uma função é crescente ou decrescente. Agora estudaremos os pontos em que uma função
passa de crescente para decrescente e vice e versa. Em tais pontos, a função tem um
extremo relativo. Os extremos relativos de uma função incluem os pontos mínimos e
máximos relativos da função.
De…nição de extremos relativos
Seja f uma função de…nida no ponto x = c:
117
f (c) é um máximo relativo da função f se existe um intervalo (a; b) contendo o
ponto c, tal que f (x) f (c) qualquer que seja x 2 (a; b)
f (c) é um mínimo relativo da função f se existe um intervalo (a; b) contendo o ponto
c, tal que f (x) f (c) qualquer que seja x 2 (a; b).
Se f tem um mínimo ou máximo relativo quando x = c , então c é um ponto crítico
de f , isto é:
f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não está de…nida.
Veja abaixo as possíveis representações grá…cas dos extremos relativos.
O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos
Seja f contínua no intervalo (a; b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável
no intervalo (exceto possivelmente no próprio ponto c ), então f (c) pode ser classi…cado
como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois como se segue:
1. No intervalo (a; b), se f 0 (x) é negativa à esquerda de x = c e positiva à direita de
x = c, então f (c) é um mínimo relativo. Veja a …gura abaixo.
2. No intervalo (a; b), se f 0 (x) é positiva à esquerda de x = c e negativa à direita de
x = c , então f (c) é um máximo relativo. Veja a …gura abaixo.
118
3. No intervalo (a; b), se f 0 (x) tem o mesmo sinal à esquerda e a direita de x = c ,
então f (c) não é extremo relativo de f . Veja as …guras abaixo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre todos os extremos relativos das funções abaixo.
a) f (x) = 2x3
b) f (x) = x4
3x2
36x + 14
x3
14.6. EXTREMOS ABSOLUTOS
As expressões mínimo relativo e máximo relativo descrevem o comportamento local
de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo,
podemos aplicar as expressões mínimo absoluto e máximo absoluto.
De…nição de Extremos Absolutos
Seja f de…nida em um intervalo I que contém o ponto c.
1. f (c) é mínimo absoluto de f em I se f (c)
f (x) para todo x 2 I.
2. f (c) é máximo absoluto de f em I se f (c)
f (x) para todo x 2 I:
O mínimo absoluto e o máximo absoluto de uma função em um intervalo são
chamados, sem perda de generalidade, de mínimo e máximo de f em I .
119
14.7. CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
Concavidade
Lembramos que, dada uma função f (x) , após obtermos a função derivada f 0 (x),
podemos obter a derivada segunda de f (x) simplesmente derivando a derivada f 0 (x) ou,
em outras palavras, a derivada segunda de f (x) é a derivada da derivada de f (x) . A
derivada segunda de f (x) é simbolizada por f "(x):Já vimos como a determinação dos
intervalos em que uma função f (x) é crescente ou decrescente pode facilitar o traçado e
a interpretação do seu grá…co. Agora veremos que a determinação dos intervalos em que
a derivada f 0 (x) é crescente ou decrescente servirá para indicar onde o grá…co de f (x) se
encurva para cima ou para baixo. Esta noção de encurvamento para cima ou para baixo
é de…nida formalmente como concavidade do grá…co da função.
De…nição de Concavidade
Seja f diferenciável em um intervalo aberto I. O grá…co de f é:
1. côncavo para cima em I se f 0 é crescente no intervalo;
2. côncavo para baixo em I se f 0 é decrescente no intervalo.
Pela …gura abaixo podemos chegar a seguinte interpretação grá…ca da concavidade:
1. Uma curva que é côncava para cima está acima de sua tangente;
2. Uma curva que é côncava para baixo está abaixo de sua tangente.
14.8. TESTE DA CONCAVIDADE
Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I :
1. Se f "(x) > 0 para todo x em I, então f é côncava para cima em I ;
2. Se f "(x) < 0 para todo x em I, então f é côncava para baixo em I.
Diretrizes para Aplicação do Teste da Concavidade
120
1. Localizar os valores de x nos quais f "(x) = 0 ou f "(x) não está de…nida;
2. Com esses valores de x, estabelecer os intervalos de teste;
3. Testar o sinal de f "(x) em cada intervalo de teste.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Faça um estudo do crescimento e da concavidade das seguintes funções.
a) f (x) = x3
b) f (x) =
12x2 + 6
x2 + 12x + 8
c) g(x) = x3
6x2 + 20
d) g(x) = x4
18x2 + 5
e) h(x) = 2x4
8x3 + 12x2 + 12x
100
2. Seja P (q) = q+5
2 , com 5 q 20 o modelo funcional que descreve o preço de
um bem em função da quantidade comercializada. Faça um estudo do crescimento
e da concavidade desta função.
14.9. PONTOS DE INFLEXÃO
Se a tangente a um grá…co existe em um ponto no qual a concavidade muda de sentido,
o ponto é um ponto de in‡exão. A …gura abaixo mostra três exemplos de pontos de
in‡exão.
De…nição de ponto de in‡exão.
Se o grá…co de uma função contínua possui uma tangente em um ponto onde sua
concavidade muda de sentido, então o ponto é um ponto de in‡exão.
Diretrizes para determinar um ponto de in‡exão:
1. Determine os pontos que são “candidatos” a in‡exão de f (x), para isso devemos
encontrar os valores de x tais que f "(x) = 0 , ou f "(x) não existe;
2. Marque tais pontos em uma reta numérica. Nos diferentes intervalos obtidos faça
os estudo de sinal da derivada segunda.
3. Concluímos que o ponto é de in‡exão se houver mudança das concavidades analisadas à esquerda e à direita do ponto.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determine a concavidade do grá…co de f e encontre seus pontos de in‡exão
121
a) f (x) = x3
9x2 + 24x
b) f (x) = x4
18x2 + 5
c) f (x) =
4x3
d) f (x) = (x
18
8x2 + 32
2)(x + 1)2
2. Em cada exercício a seguir, é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos
números reais. Para cada um deles, esboce o grá…co utilizando apenas o teste da
derivada primeira e indicando:
i) Pontos de máximo e mínimo, se existirem, bem como os valores da função nesses
pontos.
ii) Ponto onde a curva cruza o eixo y;
iii) Intervalos de crescimento / decrescimento da função, bem como o sinal da derivada
primeira nesses intervalos.
a) f (x) = x3
9x2 + 15x + 50
b) f (x) = x4
18x2 + 100
c) f (x) =
x3 + 15x2
d) f (x) =
x2 + 10x + 24
3. Em cada exercício a seguir, é dada uma função associada a uma situação prática.
Para cada um deles, realize os itens:
i) Esboce o grá…co utilizando o teste da derivada primeira e indicando: os pontos
máximo ou mínimo, se existirem, interpretando seus signi…cados práticos; os pontos
extremos dos intervalos onde as funções são de…nidas.
ii) Veri…que quais os intervalos de crescimento / decrescimento da função, indicando o
sinal da derivada primeira nesses intervalos.
a) L(x) = x3
b) P (t) =
400 (Lucro L para quantidade x vendida; 0
x
t3 + 12t2 ( Produção P de um operário no decorrer das t horas; 0
c) N (t) = t2
d) L(q) =
30x2 + 300x
20t + 150 (Unidades N vendidas no decorrer dos t dias; 0
q 4 + 8q 2
7 ( Lucro L para quantidade q vendida; 0
q
20)
t
t
12)
30)
5)
4. O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode
ser aproximado pela função p(t) = t3 6t2 + 9t + 10, onde t representa o número do
mês a partir do mês , que marca o início das análises.
122
a) Esboce o grá…co da função para os cinco primeiros meses a partir do início das
análises, indicando, se existirem, pontos de máximo ou mínimo, além de pontos de
in‡exão para o preço do produto.
5. O custo C (em milhares de R$) para a produção x (em milhares de unidades) de
um produto é dado por C(x) = x3 12x2 + 69x + 200.
a) Esboce o grá…co de C(x) indicando o ponto de in‡exão, bem como os pontos de
máximo / mínimo, se existirem.
b) Analisando o traçado grá…co de C(x), determine qual o signi…cado do ponto de
in‡exão.
123
Apêndice A
Processos de Resolução de Problemas.
1. Entender o problema –“Entrar no problema.”
Ver o que se pede
Relacionar as incógnitas
Identi…car as informações e as condições dadas no problema e distinguir o que não
é necessário. Ver se falta qualquer informação. A informação que falta é um fato de
conhecimento geral?
Esboçar um grá…co ou traçar um diagrama da situação.
Formular uma descrição verbal da relação entre todas as grandezas. Atribuir notação
adequada às quantidades dadas e às incógnitas.
Formular uma estimativa do que pensa que será a solução …nal.
2. Planejar um Método para a Solução. –“Pensar, antes de agir.”
Realçar seu grá…co ou diagrama, conforme se a…gure adequado.
Achar a fórmula que descreve a situação.
Decidir se a tecnologia pode auxiliar no todo ou em parte da solução.
Construir uma tabela.
Examinar problemas análogos para ver se suas técnicas de resolução são aplicáveis.
Procurar um padrão.
Trabalhar em caminho inverso.
Começar com um caso especial ou mais simples, a …m de ter uma idéia de como
abordar o problema.
Introduzir uma relação entre os dados e as incógnitas.
Separar o problema em partes que não interceptam e resolver cada caso individualmente.
3. Executar o plano de resolução. “Trabalhar com segurança.”
Manter o registro preciso de seu trabalho, fazer todos os cálculos necessários de
acordo com o plano e escrever todos os detalhes.
124
Veri…car cada etapa de sua solução e conferir o resultado …nal. (Se utilizar uma
tabela para resolver o problema, procure conferir s solução analiticamente. Se escolher o processo analítico, veri…que por um processo grá…co.)
4. Volta ao Problema Original. –“Cheque Mate.”
Sua solução dá a resposta à questão original?
Sua solução tem sentido à vista da situação original?
Há uma forma mais simples de resolver o problema?
Pode utilizar essa técnica ou esse resultado em outro problema?
125
Apêndice B
Como estudar Matemática?
1. Estudando Matemática: No estudo da Matemática, o material aprendido em um
dia se baseia em material estudado anteriormente. É preciso manter-se atualizado
com o curso, dia-a-dia.
2. Fazendo um Plano: Faça seu próprio plano de curso agora! Determine o número
de horas semanais a serem dedicadas ao estudo da Matemática. Uma boa orientação
consiste em estudar de duas a quatro horas para cada hora de aula.
3. Assimilando o Material:
Antes de assistir à aula, leia a parte do texto que o professor está usando em seu
curso, que será abordado naquela aula, dando especial atenção às defnições, aos
teoremas, fórmulas e resumos. Comparecendo à aula preparado, o estudante se
bene…ciará muito mais com a apresentação do professor.
Assista a todas as aulas e não chegue atrasado. Se tiver de faltar a uma aula, recorra
às notas de um colega ou procure a monitoria (caso exista). Procure aprender o
assunto lecionado na aula a que faltou antes de assistir à proxima aula.
Tome nota da aula, com ênfase as sugestões e indicações do professor sobre o material
importante. Em seguida, após a aula, logo que possível, leia as notas, acrescentando
as explicações necessárias para tornar as notas compreensíveis.
4. Trabalho em Casa: Aprender Matemática equivale a adquirir qualquer outra
habilidade. A prática sob a forma de exercícios para casa, é indispensável para
desenvolver a compreensão. Fazendo o trabalho em casa enquanto os conceitos
estão frescos em sua memória, o leitor aumentará as chances de reter informações.
5. Escolhendo um Companheiro de Estudo: Ao encontrar di…culdades em um
problema, é conveniente trabalhar em conjunto com um colega. O trabalho em
grupo é uma técnica e…ciente de estudo. Mesmo no caso de o estudante estar mais
dando auxílio do que recebendo, veri…cará que ensinar os outros é uma excelente
maneira de melhorar a compreensão dos conceitos Matemáticos.
6. Fazendo uma Biblioteca de Matemática: Forme uma biblioteca que possa
servir para o curso que você está fazendo e para cursos futuros. Mesmo após terminar
o curso, é aconselhavél conservar este livro, que poderá ser útil não só em classes
futuras, mas também como preparo paraexames de pós-graduação, concursos, etc.
Os manuais de software e tecnologia constituem acréscimos valiosos à sua biblioteca
de Matemática.
126
7. Manter-se Atualizado com o Trabalho: Não se deixe …car par trás no curso. Se
tiver tendo di…culdade, procure ajuda imediatamente. Procure o professor ou seu
assistente, recorra ao serviço de monitoria, converse com seu colega, apele para outros recursos de estudo - faça alguma coisa. A di…culdade em um capítulo de seu livro
ou apostila muito provavelmente se re‡etirá no estudo de capítulos subsequentes.
8. Con…ra seu Trabalho: Saber conferir seu trabalho constitui uma parte importante
do aprendizado de Matemática e é particularmente útil para testar situações. Uma
maneira de veri…car seu trabalho é perguntar: "Minha resposta tem sentido? "ou
"Está é a resposta que eu esperava obter? ", no contexto de um problema especí…co.
Com este processo simplesm, o estudante poderá se sua resposta tem, ou não, o sinal
correto (positivo ou negativo) ou a grandeza correta. Outras formas de veri…car seu
trabalho são estudar em grupo e comparar as respotas, utilizar tecnologia ou um
método diferente de resolução.
9. Estudando para a Prova: Se o estudante manteve em dia com o trabalho e
seguiu as sugetões dadas aqui, está quase pronto para a prova. Para auxiliá-lo no
preparo …nal, reveja o Resumo do Capítulo, faça os Exercícios de Revisão. Paraa
prática adicional em certas áreas, o estudante sempre pode refazer os exercícios para
casa ou os exercícios que não foram marcados. Analise seu trabalho para detectar
possíveis erros.
10. Fazendo a Prova: A maioria dos Professores recomenda que não se estude até o
momento de enfrentar a prova, pois isto pode tornar o estudante ancioso. O melhor
remédio para controlar a ansiedade durante as provas é um bom preparo. Iniciando
o teste, leia cuidadosamente a orientação e procure trabalhar metodicamente. A
prese faz com que o estudante cometa erros or discuido. Lembre-se também de que
não há regra que mande resolver os problemas na ordem em que eles são dados.
O estudante deverá escolher a ordem que lhe parecer mais conveniente. Em geral,
fazer o primeiro os que se a…guram mais fáceis reforçará sua con…ança. Se terminar
cedo, gaste alguns minutos para conferir sua prova.
11. Aprendendo com os Erros: Quando o estudante recebe de volta sua prova, deve
analisar os erros cometidos. Se não compreender determinada correção, procure o
professor ou fale com um colega. Entender os erros cometidos evitará sua repetição.
Tenha um bom curso, e lembre-se: "Você pode, você consegue e você merece.
"
127
Apêndice C
CRONOGRAMA DE ATIVIDADES
ATIVIDADE
1a Avaliação
1o Trabalho
2a Avaliação
2o Trabalho
3a Avaliação
Trab. Interdisciplinar
DATA PREVISTA
19/03/2007
18/04/2007
09/05/2007
04/06/2007
18 ou 20/06/2007
de 14 a 18/05/2007
VALOR
20 pontos
10 pontos
20 pontos
10 pontos
30 pontos
10 pontos
128
REFERÊNCIA
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de administração, economia
e ciências contábeis. SP: Atlas, 1999.
MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração,
Economia e Contabilidade. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P., EDWARDS, Bruce H., Cálculo com
Aplicações,4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2002.
HARIKI, Seiji; HARIKI, Oscar João Abdounur. Matemática Aplicada à Administração,
Economia e Contabilidade. SP: Saraiva, 1999.
TAN, S.T. Matemáica Aplicada à Administração e Economia. SP: Pioneira, 2001.
BOLDRINI, José Luiz...[et. al.]. Álgebra Linear. SP: Harba, 1986.