Exercícios – Funções Quadráticas
1. Estude os sinais e esboce os gráficos das funções seguintes. (Dica: encontre as raízes, o
intercepto y e o vértice para esboçar o gráfico).
a) y = x2 – 3x + 2
b) y = –x2 + 7x – 12
2.
a)
b)
c)
d)
e)
Encontre os intervalos para os quais f(x) >0 e f(x) < 0 para as funções quadráticas.
y = - x2 + 9
y = x2 – 4x + 3
y = x2 – 3x +2
y = x2 – 1
y = - x2+1
3. Dada a função de demanda p = 20 – 2x e a função custo C = 5 + x.
a) Obtenha o valor de x que maximiza a Receita.
b) Obtenha o valor de x que maximiza o Lucro.
1
2
4. Resolva o exercício anterior supondo p = 40 – x e C = 20 + 31x.
5. Sabendo que a função demanda de um bem é p=10 – x, e a função custo é C=12+ 3x:
a) O preço que maximiza o lucro;
b) O intervalo em deve variar o preço para o lucro seja igual ou maior que zero.
6. Considere a função de demanda y = cx + c e a função custo C(x) = kx2, onde k é uma
constante, x é a quantidade demandada e y4 o nível de preços. Com base nestas informações e
outras apresentadas no Anexo, resolva as questões a, b e c.
a) Escreva a função receita R(x) (receita em função de x).
b) Escreva a função lucro em função de x.
c) Encontre o nível da demanda que maximiza o lucro.
Exercícios livro Morretin (pags 80 e 81): 92, 93, 97, 99, 100, 102, 103, 108, 109.
Referências
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol 1. 5ª Ed. Rio de Janeiro:LTC, 2008.
MORETTIN, P.; BUSSAB, W.; HAZZAR, S. Cálculo – Função de uma e várias variáveis. 1ed.
Atual Editora. Capitulo 3 (itens 3.5.7 e 3.5.8)
Respostas
1. a) y = x2 – 3x + 2

intercepto y = c = 2

Δ = (-3)2 – 4(1)(2) = 1

raízes: 1 e 2

YM = -Δ /4a =-1/4 = -0,25
2
1
2
1/4
2.
a) f(x) > 0 para -3<x<3 f(x) < 0 para x <-3 e x >3
b) f(x) > 0 para x <1 e x>3; f(x) < 0 para -1<x<3
c) f(x) > 0 para x <1 e x>2; f(x) < 0 para 1<x<2
d) f(x) > 0 para x <-11 e x>1; f(x) < 0 para -1<x<1
e) f(x) > 0 para -1<x <1; f(x) < 0 para x<-1 e x>1.
3.
a) R = p.x = (20 – 2x).x = -2x2 +20x
XM = -b/2a= -20/-4 = 5
Logo, 5 unidades do produto maximizam a receita
b)
L = R – C = -2x2 + 20 x –(5 + x) = -2x2 + 19 x – 5
XM = -b/2a= -19/-4 = 19/4 ou 4,75
Logo 4,75 produtos maximizam a receita
4. Idem
5.
a.
R = p . x = (10 – x).x = -x2 +10 x
L = R – C = -x2 +10 x – (12 + 3x) = -x2 +7 x – 12
XM = -b/2a= -7/-2 = 7/2 ou 3,5 (quantidade que maximiza o lucro)
Substituindo na função demanda, tempos o preço que maximiza o lucro:
p = 10 – x = 10 – 3,5 = $ 6,5
b.
O intervalo em deve variar o preço para o lucro seja igual ou maior que zero.
Encontrando as raízes
 x 2  7.x  12  0
 7  7 2  4.  1.  12  7  49  48


2.  1
2
 7 1
 7 1

 x1 
3
2
2
 7 1
 x2 
4
2
x
Pelo gráfico da função lucro: vemos que L > 0 para 3 < x < 4:
3
4
Substituindo na função demanda achamos os preços relacionados a estas quantidades
p1 = 10 – x = 10 – 3 = $ 7
p2 = 10 – x = 10 – 4 = $ 6
Logo o preço deve estar entre $6 e $7 para que o lucro seja igual ou maior que zero
6. a) R(x) = x. p
R(x) = x (cx + d)
R(x) = cx2 + dx.
b) L(x) = R(x) – C(x)
Lx) = cx2 + dx – kx2
L(x) = (c – k) x2 + dx
c) XM = - b/ 2a
XM = - d/2(c-k)
7.
Raízes 0 e 2; b) hM = -delta /4a =-16/-4 = 4 c) tM = - b /2a =-4/-2 = 2