14. (UFES) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, -2), com inclinação de
60°. (R.
3x  y  2  3 3  0 )
15. (PUC-RS) Determine o valor de m para que reta que passa por A(m – 1, 2) e B(3, 2m)
forme com o eixo de abscissas, no sentido positivo, um ângulo de 45°. (R. m = 2)
Lista 2 – GEOMETRIA ANALÍTICA – 2º ano – Geometria / Fábio
1. (UFSC) Dados os pontos A(-1, -1), B(5, -7) e C(x, 2), determine x sabendo que o ponto C
é equidistante dos pontos A e B. (R. x = 8)
2. (PUC-SP) Sendo A(3,1), B(4, -4) e C(-2,2) os vértices de um triângulo, então esse
triângulo é:
a) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles.
c) equilátero.
d) isósceles e não retângulo.
(R. D)
16. (UFPI) Se a distância entre os pontos A(0, k) e B(3, 2) é igual a 5. Determine os valores
de k.
(R. k=6 ou k=-2)
17. Determine o ponto (x, x) que equidista de (4, 8) e (2, -2). (R. (3, 3)).
3. (UECE) Se o triângulo de vértices nos pontos P1(0, 0), P2(3, 1) e P3(2, k) é retângulo,
com os ângulo reto em P2, determine o valor de k. (R. k = 4)
18. Mostre que o triângulo de vértices A(6, 2), B(0, -2) e C(1, 3) é retângulo isósceles. (R.
Calcule que a distância entre AB, AC e BC – observe que existem duas medidas iguais,
portanto é isósceles; depois aplique o Teorema de Pitágoras e verifique que é válido,
portanto é retângulo).
4. (PUC-RS) Sendo A(-2, -1), B(2, 3), C(2, 6) e D(-2, 2) vértices de um paralelogramo,
determine o ponto de intersecção de suas diagonais. (R.(0, 5/2))
19. Obtenha o ponto k de modo que a reta que passa pelos pontos A(4, k) e B(1, 5) tenha
inclinação de 45°. (k = 8)
5. (PUC-SP) Os pontos (0, 0), (1, 3) e (10, 0) são vértices de um retângulo. Determine o
quarto vértice do retângulo. (R. (9, -3))
20. Uma reta de inclinação 135° passa pelo ponto (0, 6) e por um ponto P(x, y) da bissetriz
dos quadrantes ímpares. Obtenha o ponto P. (R. P(3, 3))
6. (UECE) Dois vértices de um quadrado ABCD são os pontos A (3, -4) e C(9, -4).
Determine a soma das abscissas dos outros dois vértices. (R. 12)
21. Na figura, o quadrado ABCD tem lado de medida 5. Escreva uma equação da reta
suporte da diagonal de BD. (R. y – 0 = - 1(x – 7))
7. (PUC-SP) Um lado de um paralelogramo tem extremidades nos pontos A (-3,5) e B (1,7).
Sabendo que P(1,1) é o ponto médio das diagonais, determine os outros vértices.
(R. C(5,-3) e D(1,-5)).
8. (MACK) Determinar o ponto P, distante 10 unidades do ponto A (-3,6), com abscissa
igual a 3. (R.P(3,14) ou P(3,-2))
9. (FUVEST) Determinar o ponto P equidistante da origem e dos pontos A(1,0) e B(0,3).
(R. P(1/2,3/2))
10. (AMAN) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (1, -1) e (2, 2). (R. y = 3x
– 4)
11. (FGV) Determine a equação de uma reta que corte o eixo y no ponto (0, 5) e corte o x
em (0, 0). (R. x = 0)
12. (FMU) A reta da equação 2x + 3y – 5 = 0 intercepta o eixo y no ponto:
a) (0, 5) b) (5/3, 0)
c) (0, 5/3)
d)(0, - 5/3)
e) (0, 5/2)
(R. C)
13. (FGV) A inclinação do segmento de reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0) é:
a) +1
b) – 1
c) 0
d) 3
e) 1/3 (R. B)
22. Determine o valor de k, tal que a reta que passa por A(k, 2) e B(6, k) forme um ângulo
de 45° com o eixo x, no sentido positivo. (R. k = 4)
23. (UFES) Determine o valor de k para que a equação kx – y – 3k + 6 = 0 represente a
reta que passa pelo ponto (5, 0). (R. k = - 3)
24. (UFRS) Sabe-se que a reta r, de equação ax + by = 0, é paralela à reta t, de equação
3x – 6y + 4 = 0. Então, determine a/b. (R. – ½)
25. (PUC) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de
equação x – y + 2 = 0. (R. x – y + 3 = 0)
26. (Universidade Pelotas) Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos
pontos (2, 3) e (1, - 4), passando pela origem. (R. y = 7x)
39. (UFMG) Seja P = (a, 1) um ponto da reta r de equação 4x – 2y – 2 = 0. Determina a
equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r. (R. x + 2y – 3 = 0)
27. (PUC) Para que 2x – y + 4 = 0 e ax – 2y = - c sejam equações da mesma reta,
determine os valores de a e c, respectivamente. (R. 4 e 8)
40. (PUC) A reta r é determinada pelos pontos (8, 0) e (0, -6). Determine a reta s que passa
pela origem e é perpendicular a r. (R. 4x + 3y = 0)
28. Determine o ponto de intersecção das retas (r)x + y = 5 e (s) 3x + 2y – 12 = 0. (R. (2, 3))
41. (UNESP) Determine a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os
pontos A(3, 2) e B(-2, -4).
(R. 10x + 12y + 7 = 0)
29. (CESGRANRIO-RJ) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 são paralelas,
então determine o coeficiente m. (R. m = 4)
30. Determine k, de modo que as retas (r)x – 2 = 0, (s) y + 3 = 0 e (t) 2x – y + k = 0 sejam
concorrentes num mesmo ponto. (R. k = -7)
42. (FUVEST) São dados os pontos A(1, 1) e B(9, 3). A mediatriz do segmento AB encontra
o eixo dos y no ponto de ordenada igual a:
a) 20
b)21
c)22
d)23
d)24
(R.
C)
43. (PUC) Determine a distância do ponto P(3, 1) à reta r de equação 2x + 5y – 1 = 0. (R.
10
)
29
44. (PUC) Qual é a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10? (R. 2)
31. (FATEC) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, -1) e é paralela á reta y
+ 2x = 0.
(R. 2x + y – 5 = 0)
34. Três vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD são A(-1, 0), B(3, 8) e C(6, 5).
Dê a equação geral da reta DC. (R. 2x – y – 7 = 0)
45. Determine o valor de comprimento da altura do triângulo ABC relativo ao vértice A,
dados A(2, 4), B(0, 3) e C(-1, -3). (R.
11 37
37
)
46. (CESGRANRIO) O ponto A(-1, 2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC cujo lado
BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determinar a medida h da altura relativa ao
vértice A.
(R. 2√5/5)
47. Determinar o valor de a para que a distância do ponto P(-1, a) à reta de equação 3x +
4y – 5 = 0 seja igual a 2 unidades. (R. a = 9/2 ou a = -1/2)
35. (UFMG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são vértices do triângulo ABC, retângulo em A. O
vértice C está sobre o eixo x. Determine a abscissa do ponto C. (R. x = 8)
36. (FGV) Considere os pontos A(2, 3), B(6, 5) C(3, -1) e D(5, t) do plano cartesiano.
Sabendo que as retas AB e CD são perpendiculares, determine o valor de t. (R, t = - 5)
37. (PUC) As retas 2x + 3y = 1 e 6x – ky = 1 são perpendiculares. Determine o valor de k,
(R. k = 4)
38. (FAAP) Num sistema cartesiano ortogonal XY, tomamos os pontos A(1, -2), B(3, 4) e
C(x, -1). Calcule a abscissa x, para que as retas AB e BC sejam perpendiculares. (R. x =
18)
48. Determinar a medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1),
C(2, 3) e D(4, 3). (R. 2)
49. Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 3) e B (–
1, – 4) é de 45°. (k = 6).
50. Determine o valor de k para que o ponto P(–5, 2k – 8) pertença ao eixo horizontal do
sistema cartesiano ortogonal. (k = 4)
51. Determine a para que o ponto M (a² + 2a, 15) pertença à bissetriz ímpar. (a = -5 ou a =
3)
52. (UFRJ) Em um aeroclube, o custo de um voo com 10 quilômetros de distância é de R$
40,00, acrescidos das despesas com pouso e decolagem, que perfazem R$ 1.000,00. No
plano cartesiano abaixo, temos representados os pontos A e B, e cada unidade
corresponde a 10 km. Um avião decola do ponto A e pousa no ponto B fazendo uma
trajetória retilínea. Qual o gasto desse voo? (R$ 1.520,00)
55. Um arquiteto gostaria de construir um edifício de base quadrada em frente à praia, de
tal forma que uma das diagonais de sua base fosse paralela à orla, conforme ilustração
abaixo.
Utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, ele determinou que os vértices fossem
A (2, 6), B (7, 7) e C (8, 2). Determine:
53. (UNESP) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram na mesmo dia, foram
tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o
crescimento, em centímetros, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o
gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que
representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática
y
24 x  x ²
. Um esboço desses gráficos está apresentado na figura. Determine:
12
a) as coordenadas do vértice D, de modo que o quadrilátero ABCD seja, de fato, um
quadrado. (D (3, 1))
b) a equação geral da reta que passa por D e é paralela à orla. (2x + 3y – 9 = 0)
56. Em um mapa, o marco zero de uma cidade planejada localiza-se no cruzamento dos
eixos cartesianos ortogonais. A linha reta de metrô AB, indicada nesse mapa, passa pelos
pontos de coordenadas A (–2, 3) e B (3, 6). Nas condições dadas, escreva a equação da
reta que represente uma outra linha reta de metrô que passe pelo marco zero da cidade e
que seja perpendicular à linha AB. (5x + 3y = 0)
57. (UNESP) Sejam P (a, b), Q (1, 3) e R (–1, –1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine
P de modo que P, Q e R sejam colineares. (P(2,5))
59. (UEMA) Um pintor é chamado para fazer o orçamento da pintura de um muro, cuja área
a ser pintada é a que está hachurada. Sabendo-se que o muro tem forma retangular e 3
metros de altura e que o preço da pintura por metro quadrado é de R$ 6,00, qual o valor do
orçamento a ser apresentado? (R$ 66,00)
a) a equação da reta. (3x – 2y = 0)
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. (6ªdia e 9
cm)
54. A trajetória de um móvel é definida por uma reta paralela à reta de equação 2x + 3y – 1
= 0. Sabendo-se que este móvel passa pelo ponto (1, 2), determine a equação que define a
trajetória desse móvel. (2x + 3y – 8 = 0)
60. (UFPel-RS) Na arquitetura, a Matemática é usada a todo momento. A Geometria é
especialmente necessária no desenho de projetos. Essa parte da Matemática ajuda a
definir a forma dos espaços, usando as propriedades de figuras planas e sólidas. Ajuda
também a definir as medidas desses espaços. Uma arquiteta é contratada para fazer o
jardim de uma residência, que deve ter formato triangular. Analisando a planta baixa,
verifica-se que os vértices possuem coordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). No ponto
médio do lado formado pelos pontos A e C, é colocado um suporte para luminárias.
Considerando o texto e seus conhecimentos, determine a distância do suporte até o ponto
B. (√5)
61. Num mapa da cidade de São Paulo, o Parque do Ibirapuera está representado
sobre um plano de coordenadas cartesianas xy. A alameda A é uma reta que
passa pelos pontos (20, 23) e (4, 35), e João está na origem do sistema
cartesiano, ponto (0, 0). Desconsiderando os obstáculos que possam estar em
seu caminho, calcule a menor distância entre João e essa alameda. (30,4)