FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Engenharia Ambiental e Sanitária
Curso de Engenharia de Produção
Cálculo Diferencial e Integral III – 5ª Lista de Exercícios
(Retirados do livro de James Stewart, Cálculo, vol. 2.)
1. Determine os pontos da superfície x 2y 2z = 1 que estão mais próximos da
origem.
2. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos
que pode ser inscrita no elipsóide 9x 2 + 36y 2 + z 2 = 36.
3. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
4. A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro.
Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do
vidro, determine as dimensões do aquário que irá minimizar o custo de material.
5. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo
e o valor mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
a. f (x, y) = 4x + 6y; x 2 + y 2 = 13.
b. f (x, y) = x 2 + y 2; x 4 + y 4 = 1.
c. f (x, y, z) = 8x – 4z; x 2 + 10y 2 + z 2 = 5.
d. f (x, y, z) = x 2y 2z 2; x 2 + y 2 + z 2 = 1.
e. f (x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4; x 2 + y 2 + z 2 = 1.
f. f (x, y, z) = 3x – y – 3z; x + y – z = 0, x 2 + 2z 2 = 1.
6. Determine os valores extremos de f (x, y) = 2x 2 + 3y 2 – 4x – 5 na região x 2 + y 2 ≤
16.
7. Use multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área máxima
e que tem perímetro constante p é um quadrado.