Revisão para o Vestibular do Instituto Militar de Engenharia
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CÔNICAS
01. (IME-81/82) Determine a equação de um círculo que tangencia a hipérbole x 2
pontos em que esta hipérbole é encontrada pela reta y 3 .
02. (CPRIME-85) Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto Po
é a reta y 4 .
4y2
1 nos
( 3, 8) e cuja diretriz
03. (IME-79/80) Considere, no plano, o círculo de centro O (0, 0) e raio 4. Determine a equação
da hipérbole equilátera que passa pelas interseções do círculo com as retas y 0 e y 2 .
04. (IME-81/82) Determine a equação da parábola de eixo OX que tangencia a reta y
seus vértices na origem.
x
1 e tem
x2 y2
1, determine uma reta paralela ao eixo dos y tal que
16
9
seus pontos de interseção com a hipérbole formam com o foco F (de abscissa positiva) um
triângulo retângulo em F.
05. (IME-82/83) Dada a hipérbole
06. (CPRIME-84) Dada a hipérbole xy 20 , considere os pontos P0 (2, 10) , P1 ( 1, 20) e
P2 ( 4, 5) a ela pertencentes. Mostre que o ortocentro do triângulo P0 P1 P2 pertence à
hipérbole.
x2 y2
1 . Determine a
16
9
equação do lugar geométrico do ponto P, de tal forma que estas tangentes sejam perpendiculares
entre si.
07. (IME-77/78) De um ponto P( x, y ) traçam-se duas tangentes à elipse
08. (IME-79/80) Dada a cônica da equação 3 x 2
a) o centro da curva;
b) as assíntotas de curva.
y2
12x
0 , determine:
6y
09. (IME-75/76) Dada a equação 7 x 2 13 y 2 6 3 xy 16 0 , obtenha o ângulo de rotação que
faz desaparecer o termo em xy, e ache a nova equação no sistema de eixos obtido pela rotação.
10. O ponto Q(2, 1) pertence à cônica de equação 4 x 2 30 xy 4 y 2 40 x 210 y
Determine as novas coordenadas de Q, após transformação que elimine o termo em xy.
11. Dada a equação do termo retangular mediante uma rotação.
12. Identifique a cônica de equação 4 x 2
PROGRAMA IME
8x
9y2
1989
36 y
4
0.
GEOMETRIA ANALÍTICA
&
210 .
01. (IME-76/77) Sejam A, B R2 de coordenadas cartesianas (2, 5) e (1, 3), vértices fixos de um
conjunto de triângulos de área 12. Determine a equação do lugar geométrico do conjunto de
pontos C, terceiro vértice destes triângulos.
Observação: A área é considerada positiva qualquer que seja a orientação do triângulo, de acordo
com a definição axiomática.
02.
A
(IME-77/78
( x, y ) R2 88 x
de B e C, onde B
2º
70 y
concurso)
15
Enumere
os
elementos
x,
x
A,
sendo
que
0 e sabendo que os elementos de x eqüidistam dos elementos
( x, y ) R2 17 x
y
35
0 e C
( x, y ) R2 13 x
11y
50
0.
03. (IME-79/80) Por um ponto M qualquer de uma hipérbole (h), traça-se uma paralela a uma
assíntota (a) de (h), esta paralela encontra uma diretriz (d) de (h) em D. Sendo F o foco de (h)
correspondente à diretriz (d), mostre que MD MF .
04. (IME-80/81) Dados dois triângulos equiláteros ABC e A BC traça-se por A uma reta qualquer
que encontra os lados AC e AB, ou os seus prolongamentos, nos pontos D e E, respectivamente.
Determine o lugar geométrico dos pontos de encontro das retas BD e CE.
y
E
A
DM
B
C
x
A
05. (IME-81/82) Determine as equações de uma circunferência com centro nos pontos ( 2, 2) e
tangente à circunferência: x 2
y2
2x
4y
4
0.
06. (IME-82/83) Determine a equação, identificando a sua natureza, do lugar geométrico de um
ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância ao ponto (1, 1) é proporcional à
sua distância à reta x y 0 .
07. (IME-83/84) São dadas duas retas paralelas r e r e um ponto 0. Determine o lugar geométrico
dos pés das perpendiculares baixadas de 0 aos segmentos de reta AA , vistos de 0 sob um ângulo
reto e tais que A pertence a r e A pertence a r . Sabe-se que: distância de 0 a r : d; distância de 0 a
r : p; distância de r a r : p d.
08. (IME-84/85) Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1( 1, 3) e intercepta a reta
m2 : 3 x 2y 6 0 no ponto A e a reta m3 : y 3 0 no ponto B. Determinar a equação do lugar
geométrico do ponto do segmento retilíneo AB à medida que a reta m1 gira em torno do ponto P1.
09. (IME-85/86) Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos
segmentos determinados pela interseção da cônica 5 x 2
retas de coeficiente angular igual a
1
.
2
&
6 xy
5y2
4x
4y
4
0 com as
10. (IME-87/88) Mostre que por todo ponto não situado sobre o eixo Ox passam exatamente 2
parábolas com foco na origem e eixo de simetria Ox e que estão parábolas interceptam-se
ortogonalmente.
11. Ache o L.G. das projeções dos focos da elipse
x2
y2
a2
b2
1 (a
b
0) sobre uma tangente
genérica.
12. Mostre que é constante o produto das distâncias dos focos de uma elipse a uma tangente
genérica.
13. Prove que a área do triângulo determinado por uma tangente à hipérbole
x2
y2
a2
b2
1 e suas
assíntotas é uma constante, e determine-a.
14. Uma cônica de centro na origem e tendo eixos de simetria sobre os eixos coordenados
intercepta a parábola y 2
cônica.
4 x , ortogonalmente, nos pontos de abscissa 1. Encontre a equação da
15. Ache o L.G. das projeções do foco da parábola y 2
16.
k 2x2
Determine
2xy
o
y2
2kx
L.G.
2y
dos
k2
0, k
centros
2px , p
de
0 , sobre uma tangente genérica.
simetria
da
família
de
cônicas:
R.
17. (IME-72/73) Seja m R fixado e (k 1)2 y 2 x 2 2(k 1)xy mk 2 y 0 a equação cartesiana
de uma família F de cônica de parâmetro k. Determine a equação cartesiana do lugar geométrico
dos centros das cônicas da família F.
18. (IME-87-88) Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja soma dos quadrados das
distâncias a dois pontos fixos seja igual a uma constante k2.
19. (IME-1987/1988) Encontre a equação do círculo inscrito no triângulo formado pelas retas
4x 3y 6 0
4x 3y 9 0 .
3 x 4 y 12 0
20. (IME-1987/1988) Determine a equação e o raio do círculo de menor diâmetro que possui com o
círculo x 2
y2
8x
25
0 eixo radical y
MATRIZES
2x
5
SISTEMAS LINEARES
1 0
01. (IME-73/74) Sejam as matrizes A
0.
1
0 1 e B
2
1 1
BA, caso existam.
&
1
1
0
2
. Determine os inversos de AB e
1 2 3
02. (IME-73/74) Seja a matriz C
0 1 2 . Mostre que, para toda matriz B inversível, o
0 0 1
determinante de S 1CS é igual a 1.
03. (IME-73/74) Considere as matrizes A e B, apresentadas abaixo.
0 0 c
16 0 10
A
0 b 0 , B
0 25 0 . Os elementos a, b e c, da matriz A, são números positivos.
a 0 0
6 0 16
Determine a matriz A-1, sabendo que A 2
04. (IME-76/77) Seja A
I B (Observação: I é a matriz identidade).
2A
(aij ) uma matriz quadrada de ordem 3 em que aij
o menor inteiro positivo r tal que A
r
aij
0 se i
05. (IME-77/78) Sejam as matrizes reais n n A
aij
0 se i
j
n
1
aij
0 se i
j
n
1
bij
0 se i
j
n 1
bij
0 se i
j
n 1
0 se i
j . Determine
j ( representa a matriz nula).
(aij ) e B
(bij ) , onde
1) Determine a matriz C = AB.
2) Determine a matriz D = A-1.
2
06. (IME-78/79) Dada a matriz A
1
3
5
A=B
C
4
5
2
0
7
9
4
3
4 0
2
D e B = (bij), com B = bij = 0, se i
09. (IME-78/79) Dadas as matrizes: A
tal que: Cx
3
AB
. Determine as matrizes B, C, D, tais que:
j, C = cij = 0, se i
2 1
, B
0 3
j, D = dij = 0, se i
1 1
, C
2 1
j.
0 1
, determine a matriz x,
1 1
0 0
.
0 0
5 0 0
10. (IME-81/82) Dada a matriz A
1 5 0 determine os vetores x
0 1 5
escalar c tal que AS = cX.
11. (IME-82/83) Resolva a equação A-1x = B, onde
1
1 1
2
A
1 2
1 , B 0 .
1
1 3
8
&
R3 para os quais existe um
12. (CPRIME-84) Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n. Usando as propriedades de
produtos matriciais, dê uma condição para que se tenha ( A
A2
B)2
A2
2AB
B2 , onde
A . A.
11. O produto da matriz A
3
5
x
4
5
y
pela sua transposta é igual à identidade. Determine x e y
sabendo que det (A) > 0.
12. Sejam A, B, C matrizes quadradas de ordem n, On a matriz nula de ordem n e k
as afirmativas verdadeiras.
a) AB = BA;
b) A2 = On
A = On;
c) AB = On
(A = On ou B = On)
d) (AB) C = A(BC);
e) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;
f) AB = AC
B = C;
g) det (KA) = K det (A);
h) det (A + B) = det (A) + det (B);
1
i) det( A 1)
;
det ( A )
j) det (AB) = det (A) . det (B).
a
4b
13. Resolva pelo processo matricial o sistema: 2a
2a
3x
y
z
b
b
c
1
c 4 .
3c 8
3
14. Resolva pela Regra de Cramer: x 2y z 1 .
2 x 2 y 4z 2
15. Resolva os sistemas anteriores por Gauss-Jordan.
16. (IME-76/77) Dada a equação matricial
x1
1
2
0
1
5
x2
3
5
2
1
10
. Determine a matriz X
0
3 1
5 x3
6
x4
1 1
1 1
4
x3
x2
x1
x2
x3
x4
x3
6
17. (IME-79/80) Resolva o seguinte sistema: 3 x1
4x 2
2x 3
2x1
5x 2
x3
18. (IME-83/84)Dado o sistema:
&
.
2.
0
R. Identifique
1 1 1 1
x
17
2 3 3 4
y
53
1 1 2 2
w
28
1 1 1 3
z
27
. Encontre o seu conjunto solução.
19. (IME-81/82) Determine a matriz H tal que HÁ = B onde:
4 2 6
1 0 2
A
eB 3 1 5 .
2 1 3
2 0 4
20. (IME-79/80) Determine os valores de K para que o sistema abaixo tenha solução única:
x + (5 + k) y 3z = -6
5x + y 4z = -5
x+y z=0
x + 5y + kz = -1
2x
21. Determinar m de modo que o sistema x
x
y
y
z
2y
x
22. Ache o valor de
mz
para o qual o sistema x
x
1
possua uma única solução.
3
3z
y
y
(1
2
z
0
z
0
)y
admita soluções distintas de (0, 0,
z
0
0).
x
23. (CPRIME-81) Determine
e
para que o sistema 2x
3x
2y
z
y
3z
y
z
3:
4
a) tenha solução única;
b) tenha um número infinito de soluções;
c) não tenha solução.
24. (CPRIME-82) Dê condições necessárias e suficientes para que um sistema homogêneo de n
equações com n incógnitas tenha solução não trivial.
25. (CPRIME-82) Dê a inversa da matriz A
1
1
6
2
1
6
0 0 0
1
0 0
3
.
0 1 0
1
0 0
2
&
1
26. (CPRIME-85) Determine a inversa da matriz A
inversa da matriz B
2
1
0
1
0
1
1 0
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
. Complemento: Determine a
4
1
5
0 0
1 1
.
1 1
0
3
27. (CPRIME-85) Seja o sistema:
1
2 1 x
y1
2 1
1 y
y 2 . Discutir os valores de y1, y2 e y3 para que este sistema admita solução.
0 5
1 z
y3
28. (CPRIME-85) Determine o ponto e a nulidade da matriz abaixo:
2
1 3
1 4 2
B
. Complemento: Determine o ponto e a nulidade da matriz abaixo:
1
5 1
4
A
16
8
1
2
1 0
1
1
0 3 5 .
2 1 1
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
01. (CPRIME-84) Dada a aplicação linear L: R2
R2 definida por L9x, y) = (x + 2y, x
matriz associada, com respeito à base canônica de R2.
y), dê sua
02. (CPRIME-84 e 85) Dada a função linear L: R3
R3 definida por L(x, y, z) = (x + y + z, 2x + 3y,
x 2z), dê sua matriz associada, com respeito à base canônica de R3.
03. (IME-80/81) Seja a transformada linear T: R3
R3, tal que T(x, y, z) = (x + y, z, y
Determine a matriz associada à transformação linear T com relação à base canônica de R3.
z).
04. (CPRIME-84) Dada a aplicação linear T em R2 que a cada ponto do plano associa seu
simétrico em relação ao eixo ox, dê o núcleo e a imagem desta aplicação, bem como sua matriz
em relação à base canônica de R2.
05. Ache o núcleo, a imagem, o ponto e a nulidade das transformações:
PROGRAMA IME/1989
01. (IME-88/89
MATRIZES/SISTEMAS LINEARES
CFOEM) Dados:
&
M
x
1 0
y
0 1
0 1
0 0
x, y
R , A
a a'
0 a
e B
b b'
0 b
, onde a, a , b, b
R, resolva a
equação AZ = B, sabendo que Z M, discutindo as condições que a . a . b e b devem satisfazer
para que a equação tenha solução.
02. (IME-86/87) Seja A
1
0
.
1 1
a) Encontre todas as matrizes B, 2 x 2, que comutam com A;
b) Calcule A-1;
1 0
c) Mostre que A2 = 2A I, onde I
;
0 1
d) Encontre uma fórmula para An em função de A e I, e calcule A100.
03. (IME-87/88) Seja A uma matriz 2 x 2.
a) Mostre que A comuta com todas as matrizes 2 x 2 se e somente se comuta com as matrizes
1 0
0 1
0 0
0 0
.
.
.
;
0 0
0 0
1 0
0 1
b) Calcule todas as matrizes A, 2 x 2, do tipo acima, isto é, que comuta com qualquer matriz 2 x 2;
c) Diga quais destas matrizes A são inversíveis e determine a inversa.
04. (IME-87/88) Sejam A, B e C matrizes 5 x 5, com elementos reais. Denotando-se por At a matriz
transposta de A.
a) Mostre que se AAT = 0, então A = 0;
b) Mostre que se BAAT = AT então BA = CA.
x1
05. (IME-87/88
CFOEM) Determine os valores de k para que o sistema 2x1
x1
kx 2
2x 2
3x3
3
x3
2.
kx 3
1
a) tenha solução única.
b) não tenha solução.
c) tenha mais de uma solução.
06. (IME-87/88) Resolva e discuta o sistema abaixo.
mx
y
z
1
x
my
z
m .
x
y
mz
m2
07. (IME-87/88) Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma solução e
resolva-o, neste caso:
x y z 1
2x 3 y az 3 .
x ay 3z 2
x y az 0
08. (IME-88/89) Dado o sistema de equações lineares ax y z 0 , pede-se:
x ay z 1
item a) os valores de a para que o sistema tenha solução;
&
item b) os valores de a para que a solução (x, y, z) satisfaça à equação x + y + z = 1.
09. (IME-81/82) Seja Mn (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais.
Define-se a função : Mn (R) x Mn (R)
Mn (R) por (A, B) = AB BA. Calcule:
( (A, B), C) + ( (B, C) . A) + ( (C, A), B).
10. Calcule pela regra de Chió.
3 4 8 1
2 2 3 1
.
5 6 11 6
5 4
7
3
Resp.: 24.
11. Calcule pelo processo de Hoüd-Gauss:
2 1 3 4
1 0 3 5
a)
.
0 2 11 3
1 1 2
1
Resp.: 30.
b)
2 1 3
4
1 0 3
5
0 2 1
3
1 1 2
.
1
Resp.: 4.
12. Calcule os determinantes:
0
2
3
2 5
2 0
7
5 2
a) A
3
7 0
4 4 .
2
5
4 0 1
5
2
4
1 0
Resp.: 0.
b)
1
1
1
1
2
3
5
4
4
9
25
16
.
8 27 125 64
Resp.: -12.
&
a a a a
a b b b
c) A
.
a b c c
a b c d
Resp.: a(b
1
1
2
2
a) (c
b) (d
c).
1
d) a b c 2 .
a3 b 3 c 3
Resp.: (b
a0
1
a) (c
a) (c
b) (ab + ac + bc).
a1
x
a2
0
...
...
an 1
0
an
0
1
x
...
0
0
...
0
0
x
0
0
e)
0
0
1
0
0
0
...
0
0
0
...
Resp.: ao xn + a1 xn
1
1
.
x
+ ... + an + 1 x + an.
1 cos a cos 2a
f) 1 cos b cos 2b .
1 cos c cos 2c
Resp.: 2 (cos b
cos a)(cos c
cos a)(cos c
13. Resolva as equações:
1
1
1
1
1
1 2 x
1
1
1
a) 1
1
2 x
1
1
1
1
1
2 x
1
1
1
1
1
2 x
1 x
b)
1
2
2
3
x
1
2
1
2
4
x
3
0.
4
3
3
cos b).
0.
4
4
x
14. (IME) Calcule o valor do determinante de ordem n:
&
a
1
1
a
1
1
...
...
1
1
1
1
a
...
1
1
1
1
a
.
PROGRAMA IME ESPECIAL/1989
MATRIZES/DETERMINANTES
01. (IME-77/78) Sejam A, B, C, D matrizes reais 2x2.
1
A
(aij ) ;
A
C
(c ij ) ;
Cij
B
(bij )
aij 1 ;
Sabe-se que aij . bij
(dij ) ;
D
0, 1 i
2; 1
bij 1 .
dij
2 , e que C é matriz singular (não admite inversa).
j
Calcule o determinante de D.
02. (IME-78/79) Dadas as matrizes:
x 2
A
0
3
1
0
1 1
0 1 x
0
e B
1
1
x
1
0
0
1
1
determine x, sabendo-se que existe uma matriz inversível P, tal que A = p-1 . B. P.
03. (IME-80/81) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B, que verifiquem AB - BA = I,
onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer.
04. (IME-80/81) Seja M
permanente de M
(mij ) uma matriz quadrada real nxm de termos positivos. Define-se o
como: perm M
m1 (1) . m2 ( 2) . ... mn (n) onde S é o conjunto das
S
1 2 3
permutações ( (1) ,
(2) , ...,
(n)) de {1, 2, ..., n} . A matriz
permanente 1x 5 x 9 x 4 x 9 x 3
onde hij
tem, por exemplo, como
2 x 6 x 7 3 x 5 x 7 2 x 4 x 9 1x 6 x 8. Seja a matriz nxm, H
(hij )
i ( j i) . Calcule o permanente de H.
05. (IME-82/83) Seja um determinante definido por A1
An
4 5 6
7 8 9
2
1
1
1
1
1
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
| 1| e
.
2
a) Pede-se a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre An e An-1).
b) Calcule a expressão de An em função de n.
06. (IME-83/84) Seja D o determinante da matriz A
que: D
( 1)n
1
. (n 1) . 2n
2
.
07. (IME-83/84) Dada a matriz M
(mij )
&
[aij ] de ordem n, tal que aij | i j | . Mostre
M
1 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
e o conjunto A
{a1, a 2 , a3 , a 4 } , define-se em A uma relação R por:
1 1 1 1
ai R a j
mij
1 verifique se R é uma relação de equivalência.
TRIGONOMETRIA
PROGRAMA IME
1989
01. Ache os valores máximos e mínimos das funções:
i) f ( x ) 2 3 cos x .
ii) f ( x ) (2 sen x )(2 sen x ) .
02. Estabelecer as condições a que deve satisfazer k para que as equações sejam possíveis.
i) 4 k sen x 2k 1 0 .
ii) sen2 x
2k sen x
k2
03. Sabendo que sen x
1 0.
cos x
sen3 x cos3 x
.
sen x . cos x
m , calcular y
04. Determine m para que a expressão
y
(m 1)(sen4 x
cos4 x )
2 cos2 x
m cos x
2 cos x
05. Para qual valor do parâmetro k a expressão y( x )
mesmo valor, qualquer que seja o arco x?
1 independa de x.
sen6 x
cos6 x
k(sen4 x
co4 x ) tem o
06. Eliminar o arco x entre as equações:
i) cos2 x
sen2 x
ii) sen3 x
a ; 2 sen x cos x
cos3 x
b ; sen x cos x
07. Eliminar x e y das equações:
sen x . cos y a ; sen x . sen y
b.
a.
b ; cos x
a.
08. Determinar k de modo que a equação sen x
x2
x1
2
cos x
k admita soluções x1 e x 2 tais que
.
09. Achar o valor máximo da expressão y( x )
csc 2 x
ctg2 x
tg2 x
tg2 x
.
1
10. Prove que quando os arcos x e y verificam a relação a sen x sen y
expressão
1
a sen2 x
1
b cos2 x
a sen2 y
b cos2 y
&
b cos x cos y
é independente de x e y.
0, a
11. Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a relação
A
B
B
A
sen cos3
sen
cos3 .
2
2
2
2
12. Eliminar x e y entre as equações:
a sen2 x
b cos2 x
m ; b sen2 y
13. Resolva: 4 sen2 x
2(1
a cos2 y
2 ) sen x
14. Sabendo que sen x . tg y
02. Dada a relação tg(m
obtuso.
y)
60º )
, prove que tg
60º )
x
y
. ty
2
2
tg
z
04. Se a
b
c
180º , mostre que sen2 a
05. Se a
b
c
, mostrar que cos2 a
cos x
sen x
10. Dada a equação: 3 sen 2x
11. Mostrar que: tg (a
b)
tg
sen2 c
cos2 c
27
cos2 x
4
cos 2x
1 2 cos a cos b cos c .
3
.
4
1 , calcular tg x .
sen2 b
.
sen b cos b
y
z
, então tg x
13. Demonstrar que, se x
y
z
, então cot x . cot y
b)
sen (a
sec a . sec . b
2 sen a sen b cos bc .
tg x , calcular cos x .
sen2 a
sen a cos a
sen (a
1.
sen x . cos x .
12. Demonstrar que, se x
14. Partindo-se de
y
z
. tg
2
2
.
4
7 cos4 x
09. Dada a relação: sen 3 x . cos x
x
z
. tg
2
2
cos2 b
tg x
sen y ) .
6 3 , calcule tg( 45º m) , sendo m um ângulo
sen2 b
07. Calcular sen x , dada a relação: cos 3 x
08. Resolver a equação: cos 4 x
sen y ) . (sen x
tg(m
y
sen x
cos x
1989 - TRIGONOMETRIA
(sen x
03. Se x
06. Demonstrar que:
cot g a , calcule cos x e sen y .
tg b e cos y . cot g x
y ) . sen( x
b tg y .
0.
2
PROGRAMA IME
01. Mostre que sen( x
n ; a ty x
b)
tg y
tg z
tg x . tg y . tg z .
cot x . cot z
cot y . cot z
1.
0,8 , mostrar que também existe a relação
5
tg a .
2
&
15. Sendo x
y
90º , demonstrar que: sen2 x
z
16. Dada a relação: cos a . cos x
1 cos x
1 cos x
17. Demonstrar que:
sen2 y
sen a . cos b . sen x
sen x
sen x
tg
x
. tg
2
4
sen2 z
1 2 cos x cos y sen z .
cos b . Calcular tg
x
.
2
x
.
2
18. Demonstrar:
a) cos 55º cos 65 º cos 175 º 0 ;
b) sen 99º sen 39º sen 21º 0 ;
c) tg 70º tg 20º 2 sec 50º ;
d) sen 30º sen 70º cos 30º cos 70º
2 2 cos 5º cos 20º ;
e)
sen a sen 3a sen 5a
cos a cos 3a cos 5a
tg 3a ;
f)
sen a
cos a
sen 3a
cos 3a
sen 5a
cos 5a
sen 7a
cos 7a
g) sen a
sen 4a
sen 5a
4 sen 2a sen
a
5a
sen
;
2
2
1
;
8
h) cos 40º . cos 80º . cos 160º
i) tg 85º tg 63º tg 27º tg 9º
tg 4a ;
4.
19. Calcular:
5
a) cos
. cos
;
24
24
13
5
b) sen
. cos
.
12
12
20. Sendo sen (a
b)
sen2 a
sen2 b , demonstrar que a
b
k
ou a
b
2k
2
, k
Z.
21. Sabendo que sen 2A , sen 2B e sen 2C estão em P.A., nesta ordem, demonstrar que
tg (B C) , tg (C A ) e tg ( A B) também estão em P.A., nesta ordem.
22. Sendo A, B, C os ângulos de um triângulo, demostre:
A
B
C
a) sen A sen B sen C 4 cos cos cos ;
2
2
2
A
B
C
b) cos A cos B cos C 1 4 sen
sen sen ;
2
2
2
c) sen A
sen B
sen C
4 sen
A
B
C
sen cos .
2
2
2
23. Demonstrar que é retângulo o triângulo no qual se verifica a relação:
a) sen C cos A cos B ;
b) sen 4 A sen 4B sen 4C 0 .
&
24. Se A B C
, torne a seguinte expressão calculável por logaritmos:
y sen 2A sen 2B sen 2C .
25. Mostre que tg 20º . tg 30º . tg 40º tg 10 º .
26. Prove que se os ângulos de um triângulo
cos 3 A cos 3B cos 3C 1 , então um deles vale 120º .
ABC
verificam
a
relação
27. Demonstre que cada uma das relações abaixo caracteriza um triângulo retângulo:
sen B sen C
a) sen A
;
cos B cos C
b)
sen B
cos C
c) tg
B
2
cot g B . cos A ;
sen A
sen B
;
sen A sen C
d) sen B
cos C
(cos B
sen C)tg B .
28. Sendo sen x
sen y
a e cos x
cos y
b , calcule sen ( x
29. Sendo cos x
cos y
m e sen x
sen y
n , calcule csc( x
y) .
y) .
30. Determinar entre que limites k deve variar, para que a equação sen x . (sen x
admite raízes.
31. Sabendo que tg ( cos x )
cot g ( sen x ) , calcule cos x
33. Ache o número de soluções da equação cos4 x
intervalo 0, 2 .
a
, cos y
b c
z
tg2 .
2
34. Sendo cos x
x
2
tg2
y
2
35. Sendo a
k
.
tg . 1º . tg 3º . ... . tg 89º
.
cos 4º cos 8º cos 12º ... cos 356º
32. Simplifique:
tg2
4
cos x )
b
c
b
a
c
180º , calcular: y
, cos z
c
a
b
cos (a b)
sen a sen b
cos8 x
&
...
cos x
, calcular:
cos (a c )
sen a sen c
36. Determinar a relação que deve existir entre a, b e c no sistema:
x y a ; tg x tg y b ; cot g x cot g y c .
37. Simplifique:
a) sen a sen 3a ... sen (2n 1) a ;
b) cos a cos 3a ... cos (2n 1) a ;
cos7 x
cos (b c )
.
sen b sen c
1 0 no
c) sen a cos 5a
d)
sen 3a cos 7a
1
sen a sen 3a
e) sen3 a
f) cos2
17
38. Para x
sen 5a cos 9a
1
sen 3a sen 5a
2n3 3a
sen3 5a
2
17
cos2
0, a
cos2
0, x
...
3
17
a
...
1
sen 5a sen 7a
, provar: sen ( x
2
3 sen x
40. Resolver a equação:
3
1
;
sen (2n 1)a sen (2n 1)a
...
3 tg x
a)
tg ( x
a)
3.
3 sen x
42. Resolver a equação: 2 sen4 x
2 sen2 x cos2 x
43. Resolver a equação: 2 sen x
sen x
1 por três métodos.
41. Resolver a equação: 5 sen2 x
cos x )
2 (sen x
4 cos2 x
3.
4 cos4 x
2 sen x cos x
cos x )
1.
1.
2 sen x cos x
1.
45. Resolver as equações:
a) tg x tg 2x 2 tg 3 x ;
b) sen x sen 2x sen 3 x 0 ;
c) sen 3 x sen x cos 2x 0 ;
d) 2 cos
x
3
sen
x
2
2.
46. (IME) Resolver as equações:
2
a) arc tg x 2 arc cot g x
;
3
b) arc tg x
4
;
3
arc tg(2 csc x ) ;
arc tg(1 x )
c) 2 arc tg (cos x )
d) arc sen x 3
arc tg
arc sen x .
arc sen 2x
47. Resolver: tg (cot g x )
cot g ( tg x ) .
48. Resolver e discutir: 3 tg 3 x
(3n2
4 x 4n
2) tg x .
49. Resolver os sistemas:
a)
x
x
y
2
sen x sen y
;
1
3) a ;
sen3 (2n 1)a ;
8
... cos2
;
17
39. Resolver a equação cos x
44. Resolver a equação:
sen (2n 1)a cos (2n
y
105º
b)
cos x . cos y
2 ;
4
c)
&
2
;
3
sen x 2 sen y
x
y
tg x .
d)
g)
j)
x
y
tgx
tg x
15º
tgy
tg y
3
1
2
2 cos x cos y
ctg x
tg x
ctg y
tg y
;
1
e)
x
3 tgx
;
2 3
h)
;
ctgx
2y
2
;
12tgy
sen x
sen y
cos x
cos y
k)
2 3
3
2
tgy
f)
2
ctg x
5 3
5
4
2
tg y
1
4
;
3
4
sen x . sen y
1
3
;
i)
cos x . cos y
tg x
tg y
0
x
tg
2
y
tg
2
4 3;
3
l)
arc sen xy
arc tg 2x
;
arc sen 1 xy .
arc t 2y
6.
2
arc tg
50. (IME) Determine a condição que deve ser imposta a b para que seja possível o sistema:
tg x tg y 2
.
sec 2 x sec 2 y b
x
y
51. (IME) Determine os valores de x e y que satisfazem as equações:
5
sen2 x
.
sen2 y
1 cos
5
52. (IME) Um triângulo tem um ângulo interno de 75º e os outros ângulos internos definidos pela
equação abaixo. Determinar m.
3 sec x
m(cos x
sen x )
3(sen x
cos x )
0.
53. Determine o menor ângulo positivo x, para o qual valem simultaneamente:
1 cos x
cos 2x
cos 3 x
cos 4 x
0 e sen x
sen 2x
sen 3 x
sen 4 x
0.
54. Dividir o ângulo de 45º em duas partes, tais que suas tangentes estejam na razão
55. Resolver o sistema
sen x
sen y
2a sen
cos x
cos y
2a cos
5
.
6
, indicando as condições de possibilidade.
56. (IME) Calcule as menores determinações de x que satisfazem a:
4 sen x
2 cos x
3 tg x
2
0.
Dados: tg 12º 0,212 ; tg 14º 0,249 ; tg 15º 0,268 ; tg 19º30' 0,354 ; tg 23º30' 0,435 ;
tg 26º36' 0,500 ; tg 17º 0,306 ; tg 29º18' 0,560 ; tg 37º30' 0,757 ; tg 50º12' 1,2 .
57.
(IME-87/88)
Sejam
2 cos A cos B cos C
A, B e
sen 2A
.
tg B tg C
C
os
ângulos
&
de
um
triângulo.
Demonstre
que
58. (IME-87/88) Resolva, no intervalo 0, 2
,
2 sen2 x
sen x
cos x
cos x
59. (IME-87/88) Demonstre que, num triângulo ABC, ctg
60. (IME-87/88) Calcule a identidade tg2 x
ctg2 x
A
2
1
2
0.
sen B
cos B
sen C
.
cos C
3 cos 4 x
.
1 cos 4 x
2
61. (IME-87/88) Calcule o lado c de um triângulo ABC, em função de sua área S, do ângulo C e de
k, onde k a b c .
TRIGONOMETRIA
PROGRAMA IME
1989
01. (IME-90/91) Sejam A, B, C os ângulos de um triângulo. Mostre que:
sen 2A sen 2B sen 2C 4 sen A sen B sen C .
02. (IME-90/91) Mostre que: Se num triângulo ABC vale a relação:
cos (B - C)
tg B então o triângulo é retângulo com ângulo reto A.
sen A sen (C - B)
03. (IME-90/91) Resolver o sistema:
tg2 x tg2 y
tgx tgy
tgy tgx
6
6
sabendo que x e y pertencem ao intervalo
,
.
2 2
04. (IME-87/88) Determine o valor de: p
sen
24
sen
5
7
11
sen
sen
.
24
24
24
05. (IME-89/90)
a) Obtenha a expressão para tg 3 em função de tg
x.
b) Utilize o item anterior para determinar as soluções da equação: x3
é um número real dado.
06. (IME-88/89) Resolva a seguinte desigualdade:
cos 2x cos x
cos 2x
1
3mx 2
3x
2 para 0
0 onde m
m
x
.
07. (IME-88/89) Mostre que, se os ângulos de um triângulo ABC verificam a igualdade
sen 4 A sen 4B sen 4C 0 , então o triângulo é retângulo.
08. (IME-87/88) Demonstre que, num triângulo ABC, ctg
09. (IME-87/88) Demonstre a identidade tg2 x
ctg2 x
&
2
A
2
sen B
cos B
sen C
.
cos C
3 cos 4 x
.
1 cos 4 x
10. (IME-86/87) Resolva a inequação
2 cos x 2 sen x
cos x sen x
2
0.
11. (IME-86/87) Dado um triângulo ABC de lados a, b, c opostos dos ângulos A, B, C
p sen
respectivamente e de perímetro 2p, mostre que a
12. (IME-85/86)
a) Resolva a equação m cos x
(m
A
2
B
C
cos cos
2
2
.
m, m R .
1) sen x
b) Determine m de modo que essa equação admita as raízes x e x cuja diferença seja
13. (IME-85/86) Num triângulo ABC ( A
2
.
C) traçam-se as bissetrizes externas AA , do ângulo
B
A , com A sobre o prolongamento de BC, e CC , do ângulo C sobre o prolongamento de AB. Se
A
AA' CC' , mostre que c sen
B
a sen
2
B
C
.
2
14. (IME-83/84) Sejam l o lado de um polígono regular de n lados, r e R, respectivamente, os raios
l
dos círculos e circunscrito a este polígono. Prove que r R
cot g
.
2
2n
15. (IME-85/86) Mostre que o lado do isoságono regular convexo é igual à diferença, divididaq por
2 , entre o lado do decágono regular estrelado é o lado do pentágono regular convexo. Todos os
três polígonos estão inscritos em um mesmo círculo de raio r.
16. (IME-79/80) Sejam l4 , l6 e l10 os lados do quadrado, do hexágono e do decágono regulares,
inscritos todos no mesmo círculo (C). Com esses três lados constroi-se um triângulo ABC, não
inscrito em (C), tal que BC
ABC.
l4 ,
AC
l6 e AB
17. (IME-82/83) Dada a equação cos 2x
6
l10 . Pede-se calcular o ângulo A do triângulo
m sen2 x
0 , determine a condição a que deve
satisfazer m para que ela tenha pelo menos uma solução xo, tal que 0
xo
2 .
18. (IME-77/78) Dados os arcos A, B, C e D , todos do primeiro quadrante, e tais que tan A
tan B
1
, tan C
5
1
e tan D
7
1
, verificar se A
8
B
C
D
4
.
19. (IME-76/77) Prove que para todo arco x cada uma das relações abaixo é verdadeira:
sen x
sen x
2
3
sen x
4
3
0
cos x
cos x
2
3
cos x
4
3
0.
&
1
,
3
20. (IME-80/81) Determine todos os valores de x, y e z, situado no intervalo fechado 0,
cos x cos 2y 0
satisfazendo ao sistema: cos y cos 2z 0 .
cos z cos 2x 0
21. (IME-79/80) Determine x na equação
1
arc tg x
2
arc tg
,
1 x
.
1 x
22. (IME-78/79) Achar os valores de x que satisfazem a equação:
2
4x2
arc sen (cos x ) .
23. (IME-83/84) Obtenha uma relação entre a, b e c, eliminando x entre as duas equações abaixo:
1
a sen x b cos x
c sen 2x
.
2
a cos x b sen x c cos 2x
24. (IME-77/78-2º Concurso) Resolver o sistema:
arc sen
xy
arc tg 2x
arc sen
arc tg 2y
1 xy
6.
arc tg 2
25. (IME-80/81) Dado o triângulo escaleno ABC, sejam respectivamente D, E, F os pontos de
contato do círculo inscrito ao triângulo ABC com os lados BC, AC e AB. Mostre que os triângulos
EF
B
C
ABC e DEF não são semelhantes, e estabeleça a relação
em função de sen e sen .
BC
2
2
TEORIA DOS CONJUNTOS
01. Sejam U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , B
Ache x U sabendo que:
i) X e B são disjuntos.
ii) ( x ) D {4, 7}
iii) X é subconjunto próprio de C.
iv) E X .
{2, 4, 6, 8} , C
{1, 3, 5, 9} , D
{1, 4, 7} , E
{3, 5} .
02. Sejam A e B conjuntos. A diferença simétrica entre A e B é definida por:
A B ( A B) (B A ) . Sendo A {a, b, c} e B {b, c, d, e, f} , ache A B .
03. Dos conjuntos x, y, z sabe-se que x y z {a, b} , x
x z {a, b, e, f, g} . Determine x, y, z e ( y x Z ) ( y x x ) .
04. (IME-76/77) Dada a sucessão A
( A n ) , onde A n
C, D, abaixo.
3
a)
Ak
B;
k 1
&
[1
y
{a, b, c, e, f } , y
1
1
,2
]
n
n
z
{a, b, c, g} e
R , pede-se determinar B,
4
b)
At
C;
t 2
3
3
c)
Ak
D.
t 1 k t
05. (IME-75/76) Dado um conjunto E {1, 2, 3, 4, 5} e três sub-conjuntos de E, a saber, A, B e C,
tais que: A B {2, 4} ; A B {2, 3, 4, 5} , A C {2, 3} ; A C {1, 2, 3, 4} , determine
C (B A ) e A (B C) .
06. (IME-73/74) Considerar os conjuntos U {a, b, c, d, e, f, g, h, i} , A {a, b, c, d, e, f, g, h} ,
B {a, c, e, i} , C {a, b, c, e, h, i} , D {a, e, f, i} . Determine o único conjunto x u que satisfaz a
equação ( A B) X C D .
07. (IME-73/74) Para os mesmos conjuntos U, A e B do exercício anterior, calcule
V CU (CU A CUB) e Z (CU A B) ( A CUB) .
08. (IME-74/75) Dado o conjunto A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} , considere os pares ( x, y ) e a relação R,
tais que: x A , y A , x R y
1 x y 5 . Escreva os pares ( x, y ) que pertencem ao produto
cartesiano A x A e que satisfazem a relação R.
09. (IME-73/74) Sejam as relações F, G e H abaixo, definidas como conjuntos de pares ordenados:
F = {(1, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 3), (5, 4), (6, 1)};
G = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (4, 5), (3, 4)};
H = {(1, 1), (2, 3), (5, 4), (3, 5), (4, 7).
- quais das relações acima são funções?
- defina pelo conjunto de pares ordenados a relação composta de F com G, isto é, o resultado de
aplicar primeiro F e depois G.
- se entre F, G e H existir uma função que possua inversa, indique esta inversa por seus pares
ordenados.
10. (IME-78/79) Dados os conjuntos S = {2, 3} e H = {0, 1, 2}, exiba todas as funções que podem
ser definidas de H para S. Seja F(H, S) o conjunto de tais funções. Indique em F(H, S), se existir:
a) uma função crescente.
b) uma função sobrejetora.
c) uma função injetora.
d) uma função bijetora.
e) uma função decrescente.
f) uma função nem crescente, nem decrescente.
11. (IME-77/78) Determine o domínio A da função f: A
R tal que f ( x )
ln{[log1c ( x 2
x 2)] 1} .
12. (IME-77/78) É dada a função f real da variável real, definida como f ( x ) | x 1 |
Esboce o gráfico de f nos seguintes intervalos: x
1
;
2
&
1 x
1
; x
2
1.
| 2x 1 | .
13. (IME-73/74) Uma função f(x) é definida em R de modo que f ( x )
x
J
x 2 , se x
1
0,5, se x
1
. Considere
[ 0,5; 3] . Qual o intervalo (ou os intervalos) descrito por f(x) quando x varia em J.
14. (PRIME-84) Seja Z o conjunto dos números inteiros. Define-se em Z uma relação R por x Ry
xy > 0. Verifique se R é uma relação de equivalência.
15. (PRIME-84 e 85) Sejam A, B, C S (universo); seja A o complementar de A em S, ou seja,
A ' { x S; x A } . Justifique por diagrama de Venn que em geral é falsa a igualdade A U B = (A
U B) . (quando é verdadeira?).
16. (IME-82/83) Complete a tabela abaixo que define uma operação binária associativa sobre o
conjunto P {1, 2, 3, 4} .
*
1
2
3
4
1
1
2
3
2
2
1
4
3
3
3
3
4
4
4
4
17. (CPRIME-84 e 85) Dados os conjuntos A = {y R; y xo Z}, B = {xo + z; z Z}, onde xo é um
real fixado, R indica o conjunto dos números reais e Z indica o conjunto dos números inteiros,
mostre que A = B.
18. Sendo f ( x )
3 2x
3x 1
, ache f-1, g-1 e g o g.
2x 5
3 1 e g( x )
19. Sejam q e r funções cujo domínio é o conjunto dos inteiros maiores que zero. Sabe-se que q(1)
= 1, r(1) = 0 e:
r(n 1) r(n) 1
se r(n) < 2q(n) + 1, então
q(n 1) q(n)
se r(n) = 2q(n) + 1, então
r(n 1)
0
q(n 1)
q(n) 1
Determine q(5) e r(5).
20. Prove que
2 e
3 são irracionais.
21. Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, verifique dentre as relações abaixo quais são:
- reflexivas em A; simétricas; simétricas em A.; anti-simétricas; anti-simétricas em A; transitivas;
transitivas em A; de equivalência em A; de ordem em ª
R1 = {(1, 1); R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}; R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)};
R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}; R5 = {(1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (1, 1), (3, 3)};
R6 = {(1, 1), (2, 3), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 1)}; R7 = {(1, 2), (1, 3)};
R8 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 5), (5, 3)}; R9 = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 4)};
R10 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (1, 2)}.
22. Seja A = {a, b, c}. Determine todas as relações de ordem em A, especificando as de ordem
total e parcial.
23. Seja A = {1, 2, 3}.
a) Determine as relações de equivalência em A.
&
b) Determine [1]R, [2]R e [3]R para cada uma destas relações.
A
c) Determine o conjunto quociente
para cada uma destas relações.
2
d) Determine as partições de A e compare com o item anterior.
A
e) Determine 2 .
A
24. Ache as partições de A = {a, b, c, d}.
25. Determine o conjunto das partes (ou conjunto potência) de:
a) S = {1, 2, 3}.
b) S = {8, {1, 4}}.
26. Considere o número inteiro N, tal que N > 1. Sejam m1 e n2 dois números inteiros, positivos,
distintos, não quadrados perfeitos, ambos situados no intervalo aberto (1, N2). Seja o número real
d, tal que d | n1
n2 | . Calcule os valores máximo e mínimo de d, verificamos a seguir, se d é
racional ou irracional.
27. Dados dois números reais a e b, definimos uma função f que chamamos distância ao conjunto
{a, b} da seguinte forma: f(x) = distância de x ao conjunto {a, b} = menor valor entre | x a | e | x
b |. Esboce o gráfico de f para a = -1 e b = 1.
PROGRAMA IME ESPECIAL
DERIVAÇÃO
01. Derive as funções:
2
a) y
ex
b) y
cos(ln x 3 ) ;
c) y
arc tg (L(3 x 5 )) ;
3x 3
d) y
e) y
sen x
3
;
x 1;
a x2
;
a x2
f) y
sen x 3 ;
g) y
sen 3 x ;
h) y
sen 3 x 3 ;
i) y
arc sen 1 x 2 .
02. Determine y , utilizando derivada logarítmica.
( x a)m
a) y
;
( x b)n
b) y
xx ;
c) y
xx ;
d) y
(arc cos x ) x .
x
03. Determine uma equação da reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados.
a) y x 2 ; x 1 ;
&
b) y
c) 3 xy 2
d) 2x
;
4
2x 3 y 10
tg x; x
3
2y
2
e) sen xy y
3 xy
2
0 ; x = 2;
3y
0; x
1;
2
x , ponto (0, 0).
04. Determine o ângulo das curvas.
a) y sen x e y cos x ;
4
8
ey
;
x2
x2 4
c) circunferências x 2 y 2
b) y
4x 1 0 e x 2
y2
2y 9
05. Determine as equações das tangentes à curva y
x2
0.
2x que passam por (1, -2).
06. Determine a condição a ser imposta a a, b e c para que as curvas de equação y
y
x2
ax b e
2
cx x sejam tangentes entre si.
07. Encontre equações das retas tangente e normal à curva 2x 3
2y 3
9 xy
0 no ponto (2, 1).
08. Determine dy / dx e d2 y / dx 2 para as seguintes funções implícitas.
x2
a2
y2
b2
1.
09. Sejam x t 3 3 t 2 2t 1 e y x 4 3t 3 2t 2 1 equações paramétricas de uma curva em R2.
a) Calcule dy/dx em t = 1;
b) Ache a equação da reta tangente correspondente;
c) Calcule d2 y / dx 2 em t = 1.
10. (CPRIME-84) Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f ( x )
1
no
x
1
ponto ( , 2) .
2
11. (CPRIME-84) Usando derivação implícita, ache dy/dx na expressão x 3
12. (IME-73/74) Dado o conjunto de retas (5 2k )x (2 3k )y 12 4k
tais que as retas correspondentes sejam tangentes à parábola y
2
3x 2 y 4
4y 3
6x 1 .
0 , calcule os valores de l
16 x .
13. (IME-75/76) Dada a curva (c), de equação 7 x 2 13 y 2 6 3 xy 16 0 , determine as equações
das retas tangentes a (c) paralelas ao eixo y y e os pontos de tangência.
14. (IME-79/80) Sejam g e f funções reais da variável real tais que a função completa
go f : x
g( f ( x )) é definida para todo x real. Seja g a derivada de g, g' ( y ) 3 y 2 e y , e seja f a
função definida por f ( x )
3x 2
3 x 5 . Determine o valor da derivada da função g o f em x = 0.
&
15. (IME-83/84) Determine as equações da reta tangente e da reta normal à elipse
4 x 2 8 x 9 y 2 36 y 5 , no ponto (4, 3).
LIMITES DE FUNÇÕES
01. Calcule (se existir).
1
a) lim ;
x 0x
1
b) lim 2 ;
x 0x
c) lim
x;
d) lim
|x|
.
x
x
x
0
0
02. (IME-76/77) Sejam f, g, h, j funções reais de variável real definidas como:
x se x ]0, 3[
x 2 se x ]0, 3[
f (x)
;
g
(
x
)
;
x 2 7 se x ]3, 7[
2x 3 se x ]3, 7[
x
2 se x ]0, 3[
se x ]0, 3[
;
j( x )
. Obtenha existir, o limite de cada função
x 4
x 1 se x ]3, 7[
x 2 se x ]3, 7[
acima no ponto x = 3. Quando não existir o limite, determine o limite à esquerda, isto é, o limite
quando x se aproxima de 3 por valores inferiores a 3.
h( x )
03. Calcule (se existir).
x 1
a) lim
;
x 3x 3
x3
b) lim
;
x 2 4 x2
c) lim
x
2x 2 1
;
x3 4
d) lim
2x 3 1
;
5 x 3 2x
e) lim
x4 2
;
2x 3 1
x
x
2x 6 3 x 1
;
x
x3 x2 4
2x 7
g) lim
;
x
3x 2 5
f) lim
h) lim ( x 2 1 x ) ;
x
i) lim ( x 2
x
j) lim (3 x 3
5x 2 1
x
x
x) ;
3
x3
x2
x).
04. Calcule (se existir).
&
x sen x
;
x2
1 cos ( tg x )
b) lim
;
x 0
x2
sen 2x
c) lim
;
x 0 tg 5 x
d) lim sen x ;
a) lim
x
0
x
1
;
x
sen x
f) lim
;
x
x
1
g) lim x sen ;
x 0
x
1
h) lim x sen ;
x
x
x sen x
i) lim
;
x
x sen x
j) lim x sen x ;
e) lim sen
x
0
x
tg x
1
k) lim x 2 .
x 0
x
x 1 2
.
x 3
05. (IME-75/76) Calcule lim
x
3
06. (IME-79/80) Determine lim
x
e sen x 1
0 ln(1
3
x)
.
07. (CPRIME-84) Usando a regra de L Hôpital, calcule o lim (cos ec x
x
08. Calcule (se existir).
x
1
a) lim
;
x 1 x 1 ln x
2
b) lim (cos
x
0
2
3x) x
;
1
sen x
c) lim
x 0
x
d) lim
x
x 3
x 5
e) lim ( tg x )2 x
x
x2
;
2x
;
.
2
&
0
1
).
x
1
09. (IME-78/79) Seja t a função definida por: t( x )
a) l lim t( x ) ;
x
b) h
(1 x ) x , x > 0. Determine:
0
lim t( x ) .
x
1
10. (IME-77/78) Calcule lim (ln x ) x
x
e
.
e
cot g
11. (IME-75/76) Calcule lim (cos x )
x
x
2
0
.
12. Calcule.
a) lim x sen x ;
0
b) lim
x
1
xx
.
CONTINUIDADE - DIFERENCIABILIDADE
01. Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados.
a) f ( x )
xo 1
x2 1
,x 1
;
x 1
3
,x 1
sen x x
,x
x3
1
,x
6
b) f ( x )
xo 0
c) f ( x )
e
xo 0
0
1
2,
x
0
;
0
0;
,x
0
1
d) f ( x )
e
xo 0
0
x2
,x
0.
,x
0
02. Determine, se possível, o valor dos parâmetros a e b para que as funções abaixo sejam
contínuas nos pontos indicados.
1 cos 3 x
,x 0
a) f ( x )
;
4x 2
xo 0
a
,x 0
sen x
b)
f (x)
x o 0 e x1
,x
a sen x b,
2
2 cos x
,x
2
x
2
0.
0
&
03. Usando o TVI, mostre que o polinômio P( x )
ente 1 e 2.
x3
4x 2
x 3 possuir pelo menos uma raiz
04. Determine a função derivada das funções a seguir, evidenciando, se existir, f (0). Verifique
também a função derivada é contínua no ponto x = 0.
a) f ( x ) | x | ;
b) f ( x )
1
x sen , x
x
c) f ( x )
1
x 2 sen , x
x
d) f ( x )
1
x arc tg , x
x
0, x 0
e) f ( x )
e
0;
0;
0
;
1
x2
0, x
f) f ( x )
,x
0;
0
sen x
,x
x
1, x 0
0
.
05. (IME-77/78) Seja a função f, real de variável real, definida como f ( x )
x3
ax, se x
2
bx , se x
Determine a e b , (a, b
1
.
1
R) para que f seja derivável no ponto x = 1.
1
06. (IME-83/84) Considere a função f : ( 1,
)
R dada por f ( x )
x(1 x ) x , 1
0, x
x, x
0.
0
a) Calcule a derivada desta função no ponto x = 0.
b) Verifique se a função derivada é contínua no ponto x = 0.
07. (CPRIME-82) Um ponto xo é dito máximo de uma função f : R R se, dado h
f ( x o h) . Mostre que se f é derivável em um ponto de máximo tem-se f ' ( x o ) 0 .
TEOREMA DE ROLLE
R , se tiver
TEOREMA DO VALOR MÉDIO (TVM)
01. (CPRIME-84) Mostre que as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas para as funções f
dadas abaixo no intervalo (a, b). Ache o valor de c no intervalo aberto (a, b) para o qual f ' (c ) 0 .
a) f ( x )
6x 2
b) f ( x )
4
x3
x 3 ; (a, b)
1
3x 3 ;
(a, b)
(0, 6) ;
(0, 3) .
02. (IME-76/77) Seja o polinômio f ( x ) ao x n a1 x n 1 ... an 1 x an onde ai R ,
i 0, 1, ..., n, ao 0 , cujas n raízes são reais e distintas. Sabendo-se que o polinômio f (derivada
de f com relação a x) tem n 1 raízes, demonstre que essas n 1 raízes são reais e distintas.
&
03. (CPRIME-82) Sabe-se que entre duas raízes consecutivas de f existe no máximo uma raiz de
f. Usando tal fato, mostre que o polinômio p( x ) x 3 6 x 2 9 x 1 possui exatamente uma raiz no
intervalo (1, 3).
04. (IME-78/79) Sabe-se que, dados um intervalo fechado [a, b], a c b, e uma função f definida e
contínua [a, b] e diferenciável no interior de [a, b], existe um ponto c
]a, b[, tal que se tem
f ' (c )(b a) f (b) f (a) . Dada a função g : [0, 1]
exista, o ponto c nas condições acima.
R definida por g( x )
x , determine, caso
05. (IME-74/75) Se uma função f é derivável em um intervalo fechado [a, b] e se c [a, b], então:
f (b) f (a) (b a) f ' (c ).
a) Faça uma figura explicativa do Teorema acima, interprete-o geometricamente e dê um nome
segundo o qual ele é conhecido;
b) Particularizando o Teorema, para a função e o intervalo fechado definidos abaixo.
f ( x ) x 3 , e, [a, b] = [0, 2] calcule o valor de c e determine a equação da tangente em c.
06. (CPRIME-82) Seja f : [a, b]
R , contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Mostre que dado h
R, arbitrário, existe c (a, b) tal que f ' (c )
e aplique o Teorema de Rolle).
h f (c ) . (Sugestão: considere a função
MÁXIMOS E MÍNIMOS
CONCAVIDADE
(x)
f(x) e
hx
CRESCIMENTO
ASSÍNTOTAS - GRÁFICO
01. Analise crescimento, decrescimento e máximo e mínimo relativos.
a) f ( x ) x 3 3 x 2 1 ;
3
x2 ;
b) f ( x )
1
c) f ( x )
tg x 8 sen x ;
d) f ( x )
x 2x x 2 .
02. Dada a função g tal que g( x )
1
A x 2 ln( ) , determine a constante A para que o valor máximo
x
de g seja 1.
03. (IME-74/75) Ache as dimensões do retângulo de área máxima que tenha dois vértices sobre a
reta x = a e os outros dois sobre a parábola y 2 2px .
04. (IME-80/81) Um triângulo retângulo, de hipotenusa p b e catetos b e c, onde p é constante,
girar em torno de c gerando um cone. Que valor deve ser dado a b para que o volume do cone seja
máximo?
05. (IME-77/78) Sobre o eixo dos x tem-se dois pontos A e B de abscissas a e b, respectivamente
(b > a > 0). Achar um ponto P sobre o eixo y tal que o ângulo APB seja máximo.
06. (IME-83/84) Determine, entre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa é igual a H, o que
tem área máxima.
07. (IME-78/79) Ache as dimensões do retângulo de área que se pode inscrever no interior da
região limitada pela parábola y 2 8 x e pela reta x = 8, com um dos lados apoiado na reta x = 8.
&
x2
. Determine as coordenadas do ponto desta
x
curva mais próximos do ponto de coordenadas (4, 1).
08. (IME-76/77) Considere a curva de equação y
09. Determinar os pontos de inflexão das seguintes funções:
a) f ( x ) x 3 3 x 1 ;
b) f ( x )
2x 2
.
x 2x 2
2
10. (CPRIME-81) Determine os pontos de inflexão y
e
x2
.
11. Ache todas as assíntotas das funções abaixo.
1
a) f ( x ) x
;
x
3x 3 5x 2 1
b) f ( x )
;
x 3 5x 2
c) f ( x )
2x 3 x 2 1
.
x2 1
( x 2)2
a equação de uma curva C. Determine, caso existam, suas
x2
assíntotas, seus pontos de máximo e mínimo, seus pontos de inflexão, os pontos onde C encontra
o eixo x x e faça um esboço de C onde estejam indicados os pontos e as retas acima referidas.
11. (IME-75/76) Seja y
x2
4x 4
, determine seus pontos de máximo e
x2
de mínimo, de inflexão e as assíntotas. Trace um esboço da função, assinalando os pontos acima
aludidos e as assíntotas, concluindo, a seguir, sobre a existência ou não de alguma região para a
qual y < 0.
12. (IME-74/75) Estude a variação da função y
3
13. (IME-83/84) Dada a função definida nos reais por y
( x 1)( x 2)2 determine:
a) zeros da função;
b) intervalos onde a função é crescente ou decrescente;
c) pontos de máximo e mínimo;
d) pontos onde a derivada primeira não é definida;
e) concavidade do gráfico da função.
(3 sen x 4) sen x cos 2 x , para todo número
14. (IME-79/80) Seja a função y definida por y( x )
real x.
a) É a função y crescente ou decrescente nos pontos x = 0 e x
2
b) Qual é a concavidade de y nos pontos acima?
COMPLEMENTOS
16. Determine as assíntotas da função f tal que f ( x )
1
ex,
0, x
&
x
0.
0
?
17. Esboce o gráfico das funções abaixo:
b) y
x2 x
;
x2 1
x 4 3x 3
c) y
x 2e x ;
d) y
x x (x
a) y
3x 2 1 ;
0) .
PROGRAMA IME-ESPECIAL/1989 - LIMITES
01. (IME-76/77) Sendo x
R, calcule lim
x
0
x2
cos x .
02. (IME-77/78) Para r > 0 e x > 1, defina a função ft, real de variável real, como:
ft ( x )
x
xt
( t 1)
. Supondo-se que o limite indicado exista, define-se f ( x )
t
lim , x > 1.
t
0
2
Determine f(e ), onde e é base dos logaritmos neperianos.
03. (IME-78/79) Calcule lim
x
x 1
x 1
x
.
04. (IME-82/83) Considere a função f definida nos reais por: f ( x )
domínio e calcule lim f ( x ) .
( x 1) ln( x 1) x ln x . Dê seu
x
05. (IME-80/81) Calcule lim ( 4 3 x )
x
1
tg ( x )
2 .
06. (IME) Calcule lim(1 sen x )cot g x .
0
07. (IME-86/87) Calcule os valores das constantes a e b tais que lim
x
sec 2
08. Calcule lim sen
x
2
0
2 ax
2 bx
.
09. Calcule, se existir:
a) lim n n ;
n
b) lim 1
n
a
n
n
;
1
c) lim (1 kn) n ;
n
d) lim
n
n 3
n 1
5n
.
&
0
sen 3 x ax bx 3
x3
0.
10. (IME) Calcule lim
1
1n
1
2n
1
3n
n
.
3
n
11. (IME-88/89) Seja 0 < a < b. Calcule lim
n
n
an
bn .
n
1
1
n
12. (IME-87/88) Calcule lim
n
13. Calcule lim (3 ( x 4)2
3
x
x
1
ex
14. Seja f ( x )
,x
1
0, se x
1 2 ln
1
n
, onde ln denota logaritmo neperiano.
( x 4 )2 .
0
. Verifique se f é contínua, ache f e verifique se f é contínua.
0
INTEGRAÇÃO - PROGRAMA IME-ESPECIAL
01. Resolva os seguintes integrais indefinidos.
3
i) ( x
x )dx ;
2x 15
dx ;
x2
iii) x sen 2x 2dx ;
ii)
y dy
iv)
v)
vi)
2y 2 1
;
cos x
dx ;
x
z 1
3
z2
vii)
t 2 (1 2t 3 )
viii)
sen3
2
3 dt
;
y
y
cos dy ;
2
2
2
ix)
xe x dx ;
x)
arc tg x
dx ;
1 x2
xi)
dx ;
2z 2
x2
dx ;
x 1
xii) tg x dx ;
xiii)
2
e x tg(e x )dx ;
&
x
xiv)
x
2
4
x
xv)
x 1
dx ;
dx ;
cos2
xvi)
xvii)
cos
d ;
3
d ;
x2
xviii)
1 x2
dx ;
xix)
x 1 x dx ;
xx)
x e x dx ;
xxi)
x 2 sen x dx ;
xxii)
x ln x dx ;
xxiii)
e x ln x dx ;
xxiv)
arc tg x dx ;
xxv)
arc sen x dx ;
x3 1
dx ;
x 2
dx
xxvii)
;
2
x 1
x3 1
xxviii)
dx .
x( x 1)3
xxvi)
x 2 arc tg x dx .
02. (IME-mil) Calcule y( x )
dx
03. (IME-65) Sendo m um número real maior que 1, calcule
04. (IME-mil) Calcule, usando a substituição x
sen t , I
x ln x(ln ln x )m
1
0
.
1 x 2 dx .
05. (IME-mil) O gráfico ao lado mostra a figura A, compreendida entre a reta y = x e a parábola y
x2.
figura
Calcule a área da figura A.
06. Sejam f : R
h( x )
R e g:R
min{ f ( x ), g( x )} ,
x
R . Definimos min {f, g} como sendo a função h : R
R . Se f ( x )
x
2
3 e g( x )
4x ,
x
R , calcule
07. (IME-64) Determine a área da superfície limitada pela curva y
2x y 4
0.
&
2x 2
R tal que
4
0
min{ f , g} dx .
2x 12 e pela reta
08. (IME-65) Calcular a soma das áreas das superfícies finitas limitadas pelos gráficos da curva
x 2 2y 0 e das assíntotas da hipérbole 4 x 2 y 2 16 0 .
09. (IME-66) Determine o valor numérico da área delimitada pelas curvas x 2y
x
3 e
2
y 3y 1.
10. Ache a área da região delimitada por x
y 2 e x 2y 3
0.
11. (IME-77/78) Dadas as parábolas y1 e y2, y1(x) = 51 x2 e y2(x) = x2 + 1, sabe-se que a área
entre y1 e y2, mediria entre x = 0 e x = 6, é igual a 3 vezes a área entre y1 e y2, medida entre x = 5 e
x = 4. Determine a.
12. Seja R a região dos pontos x1, x2) do plano, delimitada
x12 4 x1 4 x 2 24 0 ; x 2 x1 3 0 ; x1 0; x 2 0 . Calcular a área de R.
pelas
inequações
13. Determinar a área da região compreendida entre as curvas:
a) f ( x ) x 3 2x; g( x ) x 2 ;
b) y 2
2x; x 2
c) x 2
y2
2y ;
16; y
x2
;
6
d) y
tg2 x; eixo 0 r; reta x
e) y
3x 2
;
4
2x 1; eixo 0 r; x = -1; x = 0.
14. (IME-76/77) Sejam as regiões definidas pelos conjuntos de pontos A e B, onde
A {( x, y ) R 2 | y 2 mx, m R } e B {( x, y ) R 2 | x 2 ny, n R } . Determine a área do
conjunto C A B .
15. (IME-78/79) Calcule a área da superfície finita entre as curvas de equação y
y
x4
5x 2
4.
16. (IME-81/82)(mil) Determine m tal que a região acima da reta y
y
16 x 4 e
mx e abaixo da parábola
2
x x tenha uma área de 36 unidades.
17. (IME-80/81
x = e.
mil) Calcule a área limitada pelo eixo das x, a curva y
18. Determine a área da região interna à curva fechada y 2
19. (IME-66) Calcule o limite das seqüências abaixo.
3p ... np
(p
1) ;
n
np 1
1
1
2
n
b) lim
sen
sen
... sen
.
n
n
n
n
n
a) lim
1p
2p
&
x2
x4 .
x(ln x )2 e as retas x = 1 e
20. (CPRIME-84) Determine a área da região sob a curva f ( x )
x 4 x 2 entre x
2 e
2.
x
21. (CPRIME-84) Calcule o valor médio da função f ( x )
valor de c neste intervalo tal que f(c) dê seu valor médio.
x 2 no intervalo [1, 4] e determine um
22. Ache a derivada das funções a seguir:
x2
a) F( x )
x
x
b) f ( x )
c) y
x
2
2tdt ;
sen t 3 dt ;
x
cos t 2 dt ;
x
(1 t 4 )dt .
1
x
d) y
2
23. (IME-74/75
se que
mil) As variáveis x e y estão relacionadas pela equação x
dt
y
0
1 4t 2
. Sabendo-
d2 y
é proporcional a y, determine a constante desta proporcionalidade.
dx 2
24. (IME-65) Dada a função F( x )
os limites 1 e 2.
1 2x | x 1 | , pede-se calcular a integral definida de F(x) entre
25. (IME-67) Calcule, entre os limites
1
G( x ) lim
.
n
3 xn
ay
ay a
26. (IME-67) Calcule lim
y
0,7 e 0,8, a integral da função definida por
y x
a
e dx . (a é uma constante; e é a base dos logaritmos neperianos).
27. (IME-67) Seja a função F definida por F( x )
ax 2
bx c, x
| 3 x 5 |, x
1
1
. Sabe-se que:
i) a função F é contínua sobre seu conjunto de definição;
ii)
1
0
F( x )dx
1,5 ;
iii) a função primeira derivada de F é descontínua apenas em um número do conjunto dos reais.
Pede-se determinar os números a, b, c.
28. (IME-68) Seja f uma função real de variável real tal que:
x 2, x
f (x)
| x |, 1
2, x
1
x
1 . Determine a função F, real de variável real, cuja derivada seja f, de modo
1
que F(0) = 0.
&
dt
, para x > 0; mostre que
t
r log x , onde r é um número racional.
29. (CPRIME-82) Define-se a função logaritmo como log x
log xy
log x log y e que log ( x r )
&
x
1