Matemática – Prof. Bini
I. MATRIZES
Para iniciar os estudos de matrizes observe
uma tabela contendo informações sobre o
valor de determinados produtos em 3
supermercados:
__
Os índices i e j identificam a linha e a coluna
de
um
elemento
da
matriz
A,
respectivamente.
A matriz pode ser representada por:
Valor energético Carboidratos
Proteínas (g) Gorduras (g)
(kcal)
(g)
Batata frita
287
36
3
3
Refrigerante
120
30
0
0
Sorvete de
chocolate
302
43
7
4
Assim,
As informações numéricas podem ser
organizadas em uma tabela em que os
valores
ficam
dispostos
em
linhas
(horizontais) e colunas (verticais). Uma
tabela como essa é chamada de matriz.
a
matriz
quadrada
pode-se dizer, por exemplo, que:
a11 = 3 é o elemento da 1.ª linha e da 1.ª
coluna da matriz A;
a21 = 0 é o elemento da 2.ª linha e da 1.ª
coluna da matriz A;
a32 = –2 é o elemento da 3.ª linha e da 2.ª
coluna da matriz A.
É comum uma matriz ser apresentada em
função de uma lei de formação que
determina cada um dos seus termos.
Como
exemplo,
vamos
representar
explicitamente a matriz
, tal que
A matriz apresentada é formada por 3 linhas
e 4 colunas. Por esse motivo, dizemos que a
matriz é do tipo 3x4, ou de ordem 3x4.
Por ter três linhas e quatro colunas, a matriz
é formada por 3 . 4 = 12 elementos.
.
Representação de matrizes
Na representação de matrizes utilizamos dois
índices. A convenção é de que o primeiro
deve indicar a quantidade de linhas e o
segundo o número de colunas. As matrizes
quadradas são aquelas em que o número de
linhas é igual ao de colunas.
Exemplos:
A matriz
é de ordem 1 por 3
e não é uma matriz quadrada.
Porém, a matriz
para
Sabendo que
;
e
,
podemos encontrar os elementos por meio
da lei de formação
:
i = 1 e j = 1 → a11 = 1 – 1 = 0
i = 1 e j = 2 → a12 = 1 – 2 = –1
i = 2 e j = 1 → a21 = 2 – 1 = 1
i = 2 e j = 2 → a22 = 2 – 2 = 0
Logo, a matriz A é dada por:
é de ordem
3 por 3, portanto é uma matriz quadrada.
1) Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais quando têm
a mesma ordem e, além disso, possuem
todos os elementos correspondentes iguais.
Elementos correspondentes são aqueles que
ocupam as mesmas posições nas duas
matrizes.
Os elementos 1, 2 e 4 constituem a chamada
diagonal principal, enquanto os elementos –
1, 2 e 3 constituem a diagonal secundária.
Uma matriz A de ordem m por n pode ser
representada, genericamente, da seguinte
maneira:
Operações com matrizes
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2) Adição e subtração de matrizes
A adição e a subtração de matrizes podem
ser efetuadas somente quando as matrizes
têm a mesma ordem. Se as matrizes tiverem
a mesma ordem, devem operar os elementos
correspondentes.
Exemplo:
Obtenha a matriz resultante da soma das
matrizes A e B, sendo
Observação:
Salvo alguns casos particulares, a
operação de multiplicação entre matrizes
não é comutativa, ou seja, A x B é
diferente de B x A.
Para multiplicar duas matrizes é
necessário que o número de colunas da
primeira seja igual ao número de linhas
da segunda matriz.
Exemplo:
Efetue o produto de uma matriz A por outra
B, nessa ordem, sendo:
Na subtração, A – B, efetuamos a adição da
matriz A com a oposta de B:
A matriz oposta da matriz B, representada
por –B, tem a mesma ordem de B, mas os
elementos correspondentes são opostos,
observe:
Assim, temos:
Exemplo:
5) Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada
cujos elementos são todos nulos, com
exceção dos elementos da diagonal principal,
que são unitários.
Uma matriz identidade de ordem 3, por
exemplo, é dada por:
3) Multiplicação por um número real
Para multiplicar uma matriz por um número
real, basta multiplicarmos o número real
pelos elementos da matriz, mantendo-se a
ordem da matriz.
Exemplo:
Se
, então
É importante destacar que, na multiplicação
matricial, o produto de uma matriz A por uma
matriz identidade resulta na própria matriz A.
Isso, evidentemente, se o produto matricial
for possível.
4) Multiplicação de matrizes
O produto entre duas matrizes A e B gera
uma matriz C cujos elementos são
resultantes da soma dos produtos entre os
elementos das linhas da matriz A pelos
correspondentes elementos das colunas da
matriz B.
Assim, para que seja possível calcular o
produto entre as matrizes A e B, o número
de colunas da matriz A deve ser,
impreterivelmente, igual ao número de linhas
da matriz B.
6) Matriz inversa
A matriz inversa de uma matriz quadrada A,
representada por A-1, é a matriz tal que:
Assim, o produto de duas matrizes
quadradas, respectivamente inversas, resulta
sempre na matriz identidade.
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Em um exemplo anterior, observamos que
se:
10) Determinante de matrizes de segunda
ordem
Para matrizes de ordem 2, o correspondente
determinante é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal
secundária.
Exemplo:
então,
Logo, B = A-1, ou seja, B é a matriz inversa
da matriz A.
7) Matriz nula
Quando adicionamos duas matrizes opostas,
o resultado é uma matriz nula, ou seja, uma
matriz formada somente por elementos
nulos.
Por exemplo, se
Se
É importante destacar que uma matriz e o
correspondente determinante podem ter
notações parecidas, mas são essencialmente
diferentes.
, então
11) Determinante de matrizes de terceira
ordem
Para calcular o determinante de uma matriz
de ordem 3, pode-se utilizar a regra de
Sarrus.
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz A:
Uma matriz nula pode ter qualquer ordem,
mas deve ter todos os elementos nulos.
8) Matriz transposta
Qualquer matriz admite uma matriz
transposta correspondente, obtida trocandose ordenadamente as linhas pelas colunas.
Por exemplo, se uma matriz A é dada
por
,
então
a
, então
matriz
Vamos reescrever ao lado da 3.ª coluna, a
1.ª e 2.ª colunas da matriz correspondente:
transposta de A, representada por A-t, é dada
por:
Agora, efetuar os produtos em “diagonal”,
mantendo o sinal dos resultados à direita e
trocando o sinal dos resultados à esquerda:
II. DETERMINANTES
Determinante é um número real associado a
uma matriz quadrada.
Para calcularmos o valor do determinante de
uma matriz, utilizamos regras que variam de
acordo com a ordem da matriz quadrada
correspondente.
9) Determinante de matrizes de primeira
ordem
O determinante de uma matriz de primeira
ordem é igual ao próprio elemento da matriz:
Assim, se
, então o determinante de A
é igual a 7:
Em seguida, vamos efetuar a soma
algébrica. O resultado encontrado será o
determinante associado à matriz dada, ou
seja:
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12) Determinante de matrizes de ordem
superior (n > 3)
Para determinantes de ordem superior a 3,
pode-se utilizar o Teorema de Laplace.
Antes de apresentar o teorema de Laplace,
vamos compreender o conceito de cofator.
Em uma matriz quadrada, cada elemento
possui um cofator correspondente. O cofator
de um elemento aij é igual ao determinante
que se obtém eliminando-se a linha i e a
coluna j de aij e multiplicando o resultado por
(-1)i+j.
Por
exemplo,
para
a
matriz
Obs.: só vale a pena utilizar o teorema de
Laplace se a matriz quadrada tiver ordem
maior do que 3.
EXERCÍCIOS
1. (ESAF)
Genericamente,
qualquer
elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde i representa a
linha e j a coluna em que esse elemento
se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das
matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se
que aij = i2 + j2 e que bij = (i + j)2 , então a
razão entre os elementos s31 e s13 é igual
a
a. 1/5
b. 2/5
c. 3/5
d. 4/5
e. 1
, o cofator do elemento a11=2 é
dado por:
Logo, o cofator do elemento a11 é igual a –3.
Os cofatores dos elementos da terceira
coluna seriam dados por:
2. (IDECAN/AGU–2014) Seja A uma matriz
2 x 3 e B uma matriz 3 x 2. A matriz C
resultante do produto da matriz A pela B
nesta ordem é uma matriz de ordem
a. 2x2.
b. 2x3.
c. 3x2.
d. 3x3.
e. Não é possível fazer o produto.
A partir da definição de cofator, podemos
enunciar o Teorema de Laplace:
O determinante de uma matriz quadrada de
ordem n, sendo n > 2, é igual ao número
obtido pela soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou
coluna) pelos respectivos cofatores.
O enunciado diz que podemos calcular o
determinante de uma matriz utilizando
qualquer linha ou coluna da matriz.
Aplicando-se o teorema de Laplace à terceira
coluna da matriz
3. (IF/SE–2014) Observe a matriz abaixo:
Nessa matriz, cada elemento aij
corresponde, em graus centígrados, à
temperatura observada no momento i do
dia j, em um bairro da região central de
Aracaju.
A
diferença,
em
graus
centígrados,
entre
a
temperatura
observada no momento 2 do 3° dia e a
temperatura observada no momento 1 do
2° dia é igual a
a. 4,5
b. 3,5
c. 3,0
d. 2,6
, temos:
4