Introdução ao determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que é?
Quais são suas propriedades?
Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o
cálculo)?
Para que serve?
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
1 / 44
Introdução ao determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que é?
Quais são suas propriedades?
Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o
cálculo)?
Para que serve?
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
1 / 44
Introdução ao determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que é?
Quais são suas propriedades?
Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o
cálculo)?
Para que serve?
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Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
1 / 44
Introdução ao determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que é?
Quais são suas propriedades?
Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o
cálculo)?
Para que serve?
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&
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DMA / IM / UFRJ
1 / 44
Área e Determinante em R2

↑ ↑
A =  u v  matriz 2 × 2.
↓ ↓
P paralelogramo com arestas u e v.

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
u+v
Equivalências
Propriedades
v
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
u
Mudança de Área
0
Definição
det A é a área (com sinal) do paralelogramo P.
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&
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2 / 44
Área e Determinante em R2

↑ ↑
A =  u v  matriz 2 × 2.
↓ ↓
P paralelogramo com arestas u e v.

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
u+v
Equivalências
Propriedades
v
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
u
Mudança de Área
0
Definição
det A é a área (com sinal) do paralelogramo P.
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&
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DMA / IM / UFRJ
2 / 44
Área e Determinante em R2

↑ ↑
A =  u v  matriz 2 × 2.
↓ ↓
P paralelogramo com arestas u e v.

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
u+v
Equivalências
Propriedades
v
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
u
Mudança de Área
0
Definição
det A é a área (com sinal) do paralelogramo P.
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&
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DMA / IM / UFRJ
2 / 44
Volume e Determinante em R3

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica

↑ ↑ ↑
A =  u v w  matriz 3 × 3.
↓ ↓ ↓
P paralelepípedo com arestas u, v e w.
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
v
Transformações
Lineares
w
Mudança de Área
u
0
Definição
det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P.
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3 / 44
Volume e Determinante em R3

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica

↑ ↑ ↑
A =  u v w  matriz 3 × 3.
↓ ↓ ↓
P paralelepípedo com arestas u, v e w.
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
v
Transformações
Lineares
w
Mudança de Área
u
0
Definição
det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P.
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3 / 44
Volume e Determinante em R3

Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica

↑ ↑ ↑
A =  u v w  matriz 3 × 3.
↓ ↓ ↓
P paralelepípedo com arestas u, v e w.
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
v
Transformações
Lineares
w
Mudança de Área
u
0
Definição
det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P.
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3 / 44
Determinante Matriz Diagonal
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
a 0
, com a, b > 0. Calcule det A.
Considere A =
0 b
Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de
tamanho a e b. Portanto, det A = ab.
Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz
diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal.
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4 / 44
Determinante Matriz Diagonal
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
a 0
, com a, b > 0. Calcule det A.
Considere A =
0 b
Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de
tamanho a e b. Portanto, det A = ab.
Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz
diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal.
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Prof. Paulo Goldfeld
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4 / 44
Determinante Matriz Diagonal
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
a 0
, com a, b > 0. Calcule det A.
Considere A =
0 b
Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de
tamanho a e b. Portanto, det A = ab.
Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz
diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal.
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Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
4 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
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Prof. Marco Cabral
&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
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5 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
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&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
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5 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
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&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
5 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
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Prof. Marco Cabral
&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
5 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
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Prof. Marco Cabral
&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
5 / 44
O que significa det(A) = 0?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0 em R2 ?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3 ?
Volume do
paralelepípedo é zero.
Álgebra Linear II 2008/2
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&
Um vetor pertence ao
=⇒ plano gerado pelos
outros dois.
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
5 / 44
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
12 −4
=0
det
−9
3
Por quê?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
6 / 44
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
12 −4
=0
det
−9
3
Por quê?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
6 / 44
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
12 −4
=0
det
−9
3
Por quê?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
6 / 44
det(A) = 0 em R2 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
12 −4
=0
det
−9
3
Por quê?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
3 3
det
=0
3 3
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
6 / 44
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Por quê?
3a col = 1a col + 2a col
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
7 / 44
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Por quê?
3a col = 1a col + 2a col
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
7 / 44
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Por quê?
3a col = 1a col + 2a col
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
7 / 44
det(A) = 0 em R3 : Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo


1 3 1
det  1 7 1  = 0
1 9 1
Por quê?
3a col = 1a col
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1 2 3
det  1 2 3  = 0
1 2 3
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Por quê?
3a col = 1a col + 2a col
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
7 / 44
Sinal do Determinante
Determinante
Introdução
Mantendo fixo u e variando v, como varia o sinal do
determinante?
vu + v
R2 e R3
Algumas
Propriedades
vu + v
Definição Algébrica
0 u
vu + v
Equivalências
Propriedades
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
0 u
0 u
Fórmula Matriz
2 × 2
determinante positivo
vu + v
determinante zero
0 u
determinante negativo
0 u
vu + v
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
0 vu + v
u
0 u
0 u
vu + v
vu
+Paulo
v Goldfeld
Prof.
&
DMA / IM / UFRJ
8 / 44
Propriedade (a)
Determinante
Introdução
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
2
det
−3

↑
det  u
↓

↑
det  u
↓
2
−3
↑ ↑
v u
↓ ↓
↑ ↑
v v
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
=0

=0

=0
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
9 / 44
Propriedade (a)
Determinante
Introdução
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
2
det
−3

↑
det  u
↓

↑
det  u
↓
2
−3
↑ ↑
v u
↓ ↓
↑ ↑
v v
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
=0

=0

=0
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
9 / 44
Propriedade (a)
Determinante
Introdução
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
2
det
−3

↑
det  u
↓

↑
det  u
↓
2
−3
↑ ↑
v u
↓ ↓
↑ ↑
v v
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
=0

=0

=0
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
9 / 44
Propriedade (a)
Determinante
Introdução
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
2
det
−3

↑
det  u
↓

↑
det  u
↓
2
−3
↑ ↑
v u
↓ ↓
↑ ↑
v v
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
=0

=0

=0
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&
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DMA / IM / UFRJ
9 / 44
Propriedade (a)
Determinante
Introdução
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
2
det
−3

↑
det  u
↓

↑
det  u
↓
2
−3
↑ ↑
v u
↓ ↓
↑ ↑
v v
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
=0

=0

=0
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
9 / 44
Propriedade (b1 )
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
(b1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
3, 5u
v
Sistemas
Transformações
Lineares
3u
Mudança de Área
2u
u
0
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10 / 44
Propriedade (b1 )
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
(b1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
3, 5u
v
Sistemas
Transformações
Lineares
3u
Mudança de Área
2u
u
0
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10 / 44
Propriedade (b1 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Exemplo
5 0
1 0
det
= 5 det
.
0 1
0 1
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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DMA / IM / UFRJ
11 / 44
Propriedade (b1 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Exemplo
5 0
1 0
det
= 5 det
.
0 1
0 1
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedade (b2 )
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades

↑
(b2 ) det  u + v
↓
Definição Algébrica
Equivalências




↑
↑ ↑
↑
w  = det  u w  + det  v
↓
↓ ↓
↓
u+v

↑
w 
↓
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
v
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
u
Mudança de Área
w
0
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Propriedade (b2 )
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades

↑
(b2 ) det  u + v
↓
Definição Algébrica
Equivalências




↑
↑ ↑
↑
w  = det  u w  + det  v
↓
↓ ↓
↓
u+v

↑
w 
↓
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
v
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
u
Mudança de Área
w
0
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
2 0
1+1 0
det
= 6 = det
=
8 3
5+3 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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Propriedade (b2 ): Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Exemplo
1+1 0
2 0
=
det
= 6 = det
5+3 3
8 3
1 0
1 0
det
+ det
=3+3=6
5 3
3 3
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
Note
que det(A+ B) =det(A) + det(B)!
que nãoé verdade
1 0
1 0
2 0
det
+
= det
= 4 6=
0 1
0 1
0 2
1 0
1 0
det
+ det
= 1 + 1 = 2.
0 1
0 1
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linearidade
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Utilize
na primeira coluna para calcular
a linearidade
2 0
det
.
6 3
2
2+0
2
0
Como
=
=
+
,
6
0+6
0
6
2 0
2+0 0
= det
=
det
6 3
0+6 3
2 0
0 0
det
+ det
= 6 + 0 = 6. O primeiro
0 3
6 3
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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linearidade
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Utilize
na primeira coluna para calcular
a linearidade
2 0
det
.
6 3
2
2+0
2
0
Como
=
=
+
,
6
0+6
0
6
2 0
2+0 0
= det
=
det
6 3
0+6 3
2 0
0 0
det
+ det
= 6 + 0 = 6. O primeiro
0 3
6 3
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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linearidade
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Utilize
na primeira coluna para calcular
a linearidade
2 0
det
.
6 3
2
2+0
2
0
Como
=
=
+
,
6
0+6
0
6
2+0 0
2 0
=
= det
det
0+6 3
6 3
2 0
0 0
det
+ det
= 6 + 0 = 6. O primeiro
0 3
6 3
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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linearidade
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Utilize
na primeira coluna para calcular
a linearidade
2 0
det
.
6 3
2
2+0
2
0
Como
=
=
+
,
6
0+6
0
6
2+0 0
2 0
=
= det
det
0+6 3
6 3
2 0
0 0
det
+ det
= 6 + 0 = 6. O primeiro
0 3
6 3
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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linearidade
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Utilize
na primeira coluna para calcular
a linearidade
2 0
det
.
6 3
2
2+0
2
0
Como
=
=
+
,
6
0+6
0
6
2+0 0
2 0
=
= det
det
0+6 3
6 3
2 0
0 0
det
+ det
= 6 + 0 = 6. O primeiro
0 3
6 3
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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Propriedade (c)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
(c) o determinante da matriz identidade é 1:
área de um quadrado de lado 1
= volume de um cubo de lado 1
= 1.
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedade (c)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
(c) o determinante da matriz identidade é 1:
área de um quadrado de lado 1
= volume de um cubo de lado 1
= 1.
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Definição Algébrica em Rn
Um fato surpreendente é:
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Teorema
Considere o conjunto Mn×n , o conjunto das matrizes
quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n → R
com as seguintes propriedades:
(a) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(b) é linear em cada coluna;
(c) na matriz identidade o valor é 1.
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
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Definição Algébrica em Rn
Um fato surpreendente é:
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Teorema
Considere o conjunto Mn×n , o conjunto das matrizes
quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n → R
com as seguintes propriedades:
(a) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(b) é linear em cada coluna;
(c) na matriz identidade o valor é 1.
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
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Definição Algébrica em Rn
Um fato surpreendente é:
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Teorema
Considere o conjunto Mn×n , o conjunto das matrizes
quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n → R
com as seguintes propriedades:
(a) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(b) é linear em cada coluna;
(c) na matriz identidade o valor é 1.
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
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Definição Algébrica em Rn
Um fato surpreendente é:
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Teorema
Considere o conjunto Mn×n , o conjunto das matrizes
quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n → R
com as seguintes propriedades:
(a) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(b) é linear em cada coluna;
(c) na matriz identidade o valor é 1.
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
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Comentários
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
Equivalências
“Se você ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente você compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Comentários
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
Equivalências
“Se você ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente você compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedade Equivalente
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Lema
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
As propriedades abaixo são equivalentes:
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(a’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Mudança de Área
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Propriedade Equivalente
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Lema
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
As propriedades abaixo são equivalentes:
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(a’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Mudança de Área
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Propriedade Equivalente
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Lema
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
As propriedades abaixo são equivalentes:
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(a’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
Mudança de Área
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Prova do Lema
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Prova
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Vamos provar para matriz 2x2.


↑
↑
Suponha (a). Então det  u + v u + v  = 0
↓
↓
(colunas iguais)
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Prova do Lema
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Prova
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Vamos provar para matriz 2x2.


↑
↑
Suponha (a). Então det  u + v u + v  = 0
↓
↓
(colunas iguais)
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Prova do Lema (continuação)
Prova
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

↑
↑
Por (b) (linearidade) 0 = det  u + v u + v  =
↓
↓




↑
↑
↑
↑
det  u u + v  + det  v u + v  =
↓
↓
↓
↓






↑ ↑
↑ ↑
↑ ↑
det  u u  + det  u v  + det  v u  +
↓ ↓
↓ ↓
↓ ↓


↑ ↑
det  v v 
↓ ↓

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Prova do Lema (continuação)
Prova
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área




↑ ↑
↑ ↑
Por (a) novamente det  u u  = det  v v  = 0.
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑



Logo 0 = det u v + det v u 
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑
det  u v  = − det  v u .
↓ ↓
↓ ↓
Suponha (a’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
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Prova do Lema (continuação)
Prova
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área




↑ ↑
↑ ↑
Por (a) novamente det  u u  = det  v v  = 0.
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑



Logo 0 = det u v + det v u 
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑
det  u v  = − det  v u .
↓ ↓
↓ ↓
Suponha (a’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
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Prova do Lema (continuação)
Prova
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área




↑ ↑
↑ ↑
Por (a) novamente det  u u  = det  v v  = 0.
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑



Logo 0 = det u v + det v u 
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑
det  u v  = − det  v u .
↓ ↓
↓ ↓
Suponha (a’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
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Prova do Lema (continuação)
Prova
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área




↑ ↑
↑ ↑
Por (a) novamente det  u u  = det  v v  = 0.
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑



Logo 0 = det u v + det v u 
↓ ↓
↓ ↓




↑ ↑
↑ ↑
det  u v  = − det  v u .
↓ ↓
↓ ↓
Suponha (a’). Tomando u = v , det(u|u) = − det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
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Propriedades do Determinante
Determinante
Introdução
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j, o determinante não se
altera;
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4
determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedades do Determinante
Determinante
Introdução
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j, o determinante não se
altera;
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4
determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedades do Determinante
Determinante
Introdução
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j, o determinante não se
altera;
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4
determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedades do Determinante
Determinante
Introdução
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j, o determinante não se
altera;
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4
determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Propriedades do Determinante
Determinante
Introdução
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
R2 e R3
Algumas
Propriedades
1
trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j, o determinante não se
altera;
2
determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3
determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4
determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Produto de Matrizes
Lema
Determinante
Introdução
R2 e R3
det(AB) = det(A) det(B)
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Prova
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Se det(A) 6= 0, defina fA (B) = det(AB)/ det(A). É fácil ver
que possui as propriedades da definição (fA (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo
fA (B) = det(B).
Corolário
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Produto de Matrizes
Lema
Determinante
Introdução
R2 e R3
det(AB) = det(A) det(B)
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Prova
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Se det(A) 6= 0, defina fA (B) = det(AB)/ det(A). É fácil ver
que possui as propriedades da definição (fA (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo
fA (B) = det(B).
Corolário
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Produto de Matrizes
Lema
Determinante
Introdução
R2 e R3
det(AB) = det(A) det(B)
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Prova
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Se det(A) 6= 0, defina fA (B) = det(AB)/ det(A). É fácil ver
que possui as propriedades da definição (fA (I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo
fA (B) = det(B).
Corolário
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Transposta de Matrizes
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Lema
det(At ) = det(A).
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Transposta de Matrizes
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Lema
det(At ) = det(A).
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
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24 / 44
Transposta de Matrizes
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Lema
det(At ) = det(A).
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
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24 / 44
Transposta de Matrizes
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Lema
det(At ) = det(A).
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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25 / 44
Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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25 / 44
Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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25 / 44
Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Exemplos
Determinante
Exemplo
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Considere A = [u|v |w|z] 4 × 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] =
32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Exemplo
Mudança de Área
Considere A = [u|v |w] 3 × 3.
det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] =
− 3 det[u|v |w] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Exemplos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Exemplo
det(P −1 ) =?
det(I) = 1 = det(PP −1 ) = det(P) det(P −1 ).
Conclusão: det(P −1 ) = 1/ det(P).
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo
det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Fórmula para 2 × 2: parte 1
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
+
, linearidade na primeira
Como
=
b
0
b
coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 1
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
+
, linearidade na primeira
Como
=
b
0
b
coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 1
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Vamos deduzir fórmula do determinante de
a c
b d
utilizando somente propriedades básicas.
a
a
0
+
, linearidade na primeira
Como
=
b
0
b
coluna implica:
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 2
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na segunda
d
0
d
coluna implica:
a c
a c
a 0
= det
+ det
det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 2
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na segunda
d
0
d
coluna implica:
a c
a c
a 0
= det
+ det
det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 2
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na segunda
d
0
d
coluna implica:
a c
a c
a 0
= det
+ det
det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 2
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
a c
a c
0 c
det
= det
+ det
.
b d
0 d
b d
c
c
0
Como
=
+
, linearidade na segunda
d
0
d
coluna implica:
a c
a c
a 0
= det
+ det
det
0 d
0 0
0 d
0 c
0 c
0 0
det
= det
+ det
.
b d
b 0
b d
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Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
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Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
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Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
+
det
+ a det
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
29 / 44
Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
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Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
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Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
29 / 44
Fórmula para 2 × 2: parte 3
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto, obtemos:
colocando
constantes
em evidência:
a c
det
=
b d a c
1 c
det
+ a det
+
0 0
0 0 a 0
+
det
0 d 0 c
det
+
0 b
0 0
det
b d
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&
1
ac det
0
1
ad det
0
0
bc det
1
0
bd det
1
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1
+
0 0
+
1 1
+
0 0
1
DMA / IM / UFRJ
29 / 44
Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac det
ac · 0
0 0 1 0
+ad det
+ad · 1
0 1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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&
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(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
DMA / IM / UFRJ
30 / 44
Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac · 0
ac det
0 0 1 0
+ad det
+ad · 1
0 1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
DMA / IM / UFRJ
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Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac · 0
ac det
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0 1
0 1
1 0
+bc det
−bc det
−bc · 1
0 1
1 0 0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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(colunas iguais)
(identidade)
(colunas iguais)
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Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac · 0
ac det
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0 1 1 0
−bc det
−bc · 1
0 1
0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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(colunas iguais)
(identidade)
(troca colunas)
(colunas iguais)
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Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac · 0
ac det
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0 1 1 0
−bc det
−bc · 1
0 1
0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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(colunas iguais)
(identidade)
(identidade)
(colunas iguais)
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Fórmula para 2 × 2: parte 4
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Portanto,
obtemos:
a c
=
det
b d
1 1
ac · 0
ac det
0 0 1 0
+ad · 1
+ad det
0 1 1 0
−bc det
−bc · 1
0 1
0 0
+bd det
+bd · 0
1 1
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(colunas iguais)
(identidade)
(identidade)
(colunas iguais)
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Fórmula para 2 × 2: Fim!
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Finalmente,
a c
det
= ac · 0 + ad · 1 − bc · 1 + bd · 0 = ad − bc
b d
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Regra de Sarrus
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2 × 2 para matriz
3 × 3.
Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada
através da Regra de Sarrus:


a11 a12 a13 a11 a12
 a21 a22 a23  a21 a22
a11 a12
a31 a32 a33 a31 a32
a21 a22
−
+
−
−
−
+
+
+
Mudança de Área
Observação (regra se Sarrus)
A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior
que 3: Não existe procedimento semelhante a este para
matrizes 4 × 4.
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Regra de Sarrus
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2 × 2 para matriz
3 × 3.
Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada
através da Regra de Sarrus:


a11 a12 a13 a11 a12
 a21 a22 a23  a21 a22
a11 a12
a31 a32 a33 a31 a32
a21 a22
−
+
−
−
−
+
+
+
Mudança de Área
Observação (regra se Sarrus)
A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior
que 3: Não existe procedimento semelhante a este para
matrizes 4 × 4.
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Regra de Sarrus
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2 × 2 para matriz
3 × 3.
Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada
através da Regra de Sarrus:


a11 a12 a13 a11 a12
 a21 a22 a23  a21 a22
a11 a12
a31 a32 a33 a31 a32
a21 a22
−
+
−
−
−
+
+
+
Mudança de Área
Observação (regra se Sarrus)
A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior
que 3: Não existe procedimento semelhante a este para
matrizes 4 × 4.
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Como calcular de forma eficiente?
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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33 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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34 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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34 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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34 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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34 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área

0 4 8
Considere a matriz A =  2 1 8 .
3 6 9


3 6 9
Troque l1 com l3 : det A = − det  2 1 8 .
0 4 8



1 2 3
Coloque 3 em evidência em l1 : det A = −3 det  2 1 8 .
0 4 8


1
2 3
Faça l2 ← l2 − 2l1 : det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
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34 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1
2 3
det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
Faça l3 ← l3 + 4l
/3:
2

1
2
3
2 .
det A = −3 det  0 −3
0
0 8 + 8/3 = 32/3
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: det A = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1
2 3
det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
Faça l3 ← l3 + 4l
/3:
2

1
2
3
2 .
det A = −3 det  0 −3
0
0 8 + 8/3 = 32/3
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: det A = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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35 / 44
Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1
2 3
det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
Faça l3 ← l3 + 4l
/3:
2

1
2
3
2 .
det A = −3 det  0 −3
0
0 8 + 8/3 = 32/3
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: det A = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1
2 3
det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
Faça l3 ← l3 + 4l
/3:
2

1
2
3
2 .
det A = −3 det  0 −3
0
0 8 + 8/3 = 32/3
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: det A = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo


1
2 3
det A = −3 det  0 −3 2 .
0
4 8
Faça l3 ← l3 + 4l
/3:
2

1
2
3
2 .
det A = −3 det  0 −3
0
0 8 + 8/3 = 32/3
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: det A = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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Matrizes em Blocos
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Lema (determinante de matrizes triangulares por blocos)
A B
A 0
Suponha que M =
ou ou M =
, com A
0 D
C D
e D matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D)
Mudança de Área
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1 b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Sistemas
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Lineares
Mudança de Área
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Sistemas e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1
o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2
A não possui inversa;
3
det(A) = 0.
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
1 2
. Determine valores para λ
Considere a matriz A =
2 1
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A − λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A − λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica
que det(A − λI) = 0. Agora
1−λ
2
det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 4 = 0.
2 1−λ
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
1 2
. Determine valores para λ
Considere a matriz A =
2 1
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A − λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A − λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica
que det(A − λI) = 0. Agora
1−λ
2
det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 4 = 0.
2 1−λ
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
1 2
. Determine valores para λ
Considere a matriz A =
2 1
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A − λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A − λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica
que det(A − λI) = 0. Agora
1−λ
2
det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 4 = 0.
2 1−λ
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
1 2
. Determine valores para λ
Considere a matriz A =
2 1
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A − λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A − λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica
que det(A − λI) = 0. Agora
1−λ
2
det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 4 = 0.
2 1−λ
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
1 2
. Determine valores para λ
Considere a matriz A =
2 1
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A − λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A − λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica
que det(A − λI) = 0. Agora
1−λ
2
det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 4 = 0.
2 1−λ
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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Determinante de TLs
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V ?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP −1 .
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Determinante de TLs
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V ?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP −1 .
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Determinante de TLs
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V ?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP −1 .
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Determinante de TLs
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V ?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP −1 .
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Determinante de TLs
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V ?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP −1 .
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP −1 ) = det(P) det(A) det(P −1 ) =
det(P) det(P −1 ) det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Definição de Determinante de TL
Determinante
Definição
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Dada transformação linear T : V → V , seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V . São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Definição de Determinante de TL
Determinante
Definição
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Dada transformação linear T : V → V , seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V . São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Definição de Determinante de TL
Determinante
Definição
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Dada transformação linear T : V → V , seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V . São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Definição de Determinante de TL
Determinante
Definição
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Dada transformação linear T : V → V , seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V . São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Definição de Determinante de TL
Determinante
Definição
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Dada transformação linear T : V → V , seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V . São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Mudança de Área e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Seja T : R2 → R2 uma transformação linear e Ω ⊂ R2
um conjunto limitado qualquer.
Qual a relação entre volume de Ω e a área de T (Ω)?
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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42 / 44
Mudança de Área e Determinante
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Seja T : R2 → R2 uma transformação linear e Ω ⊂ R2
um conjunto limitado qualquer.
Qual a relação entre volume de Ω e a área de T (Ω)?
Transformações
Lineares
Mudança de Área
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Relação Determinante e Mudança de Área
Determinante
Introdução
R2 e R3
Teorema
Área de T (Ω) é igual a área de Ω vezes | det(T )|.
Algumas
Propriedades
T
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
T (Qi )
T (Ω)
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Ω
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Qi
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Relação Determinante e Mudança de Área
Determinante
Introdução
R2 e R3
Teorema
Área de T (Ω) é igual a área de Ω vezes | det(T )|.
Algumas
Propriedades
T
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
T (Qi )
T (Ω)
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Ω
Álgebra Linear II 2008/2
Qi
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
43 / 44
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Uma aplicação deste Teorema é em cálculo de várias
variáveis. Uma função qualquer f : R2 → R2 pode ser
aproximada localmente por uma transformação linear.
Por este resultado, a distorção local de área será dado
pelo determinante desta transformação linear, o
chamado jacobiano de f .
Este mesmo resultado poder ser generalizado para
três dimensões: Seja T : R3 → R3 uma transformação
linear e Ω ⊂ R3 um conjunto qualquer. O volume de
T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes | det(T )|.
Podemos reinterpretar a propriedade do determinante
do produto da seguinte forma. Dado C = AB,
composição das TLs A e B, a distorção de área (ou
volume) de C é igual ao produto da distorção de A e
distorção de B.
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Definição Algébrica
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Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Uma aplicação deste Teorema é em cálculo de várias
variáveis. Uma função qualquer f : R2 → R2 pode ser
aproximada localmente por uma transformação linear.
Por este resultado, a distorção local de área será dado
pelo determinante desta transformação linear, o
chamado jacobiano de f .
Este mesmo resultado poder ser generalizado para
três dimensões: Seja T : R3 → R3 uma transformação
linear e Ω ⊂ R3 um conjunto qualquer. O volume de
T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes | det(T )|.
Podemos reinterpretar a propriedade do determinante
do produto da seguinte forma. Dado C = AB,
composição das TLs A e B, a distorção de área (ou
volume) de C é igual ao produto da distorção de A e
distorção de B.
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Mudança de Área
Uma aplicação deste Teorema é em cálculo de várias
variáveis. Uma função qualquer f : R2 → R2 pode ser
aproximada localmente por uma transformação linear.
Por este resultado, a distorção local de área será dado
pelo determinante desta transformação linear, o
chamado jacobiano de f .
Este mesmo resultado poder ser generalizado para
três dimensões: Seja T : R3 → R3 uma transformação
linear e Ω ⊂ R3 um conjunto qualquer. O volume de
T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes | det(T )|.
Podemos reinterpretar a propriedade do determinante
do produto da seguinte forma. Dado C = AB,
composição das TLs A e B, a distorção de área (ou
volume) de C é igual ao produto da distorção de A e
distorção de B.
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