5. DETERMINANTES
5.1. Definição e Propriedades
Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por
definição a aplicação
det : M 2×2 ( IR ) → IR
a ⎤
a
a
⎡a
A = ⎢ 11 12 ⎥ → det ( A ) = 11 12 = a11a22 − a21a12
a21 a22
⎣ a21 a22 ⎦
5⎤
3
5
⎡3
Exemplo 1: A = ⎢
(
)
⇒
det
A
=
= 3 × (− 1) − (− 2 ) × 5 = 7
⎥
−
2
−
1
−
2
−
1
⎣
⎦
Definição 2 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por
definição a aplicação
det :
M 3×3 ( IR ) → IR
⎡a
a
⎢ 11 12
A = ⎢ a21 a22
⎢
⎢⎣ a31 a32
a13 ⎤
⎥
a23 ⎥ → det ( A ) =
⎥
a33 ⎥⎦
a11 a12
a21 a22
a31 a32
= + a11
a22
a32
a13
a23 =
a33
a23
a21 a23
a21 a22
− a12
+ a13
=
a31 a32
a33
a31 a33
( )
(
)
( )
= + a11 det A11 − a12 det A12 + a13 det A13
onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
1
2 1 0
1 4
1 4
1 1
Exemplo 2: 1 1 4 = 2
−1
+0
=
2 5
−3 5
−3 2
−3 2 5
= 2(5 − 8 ) − (5 + 12 ) = −23
Definição 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por
definição a aplicação
det : M n×n ( IR ) → IR
A → det ( A ) = a11 det ( A11 ) − a12 det ( A12 ) + L + ( −1)
n +1
a1n det ( A1n )
onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Exemplo 3:
0
1
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1 1 0 1 0 1
0
1 0
1 1
0 1
= −1 0 1 0 − 1 0 1 1 = −1× 1
− 1× 1
− 1×
0
3 4
2 3
1 2
1 3 4 1 2 3
4
= −(4 − 0 ) − (3 − 2 ) − (0 − 1) = −4 − 1 + 1 = −4
2 0
Exercício 2: Calcule
−1 0
2 1 −1 0
.
0 3 0 1
0 3 −2 0
2
Propriedades dos Determinantes:
• Se A é uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma
linha nulas, então det ( A) = 0 .
( )
• Para qualquer matriz quadrada A, temos que det ( A) = det AT .
• O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é
igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
• O determinante da matriz identidade é igual a um.
• Se B é uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas
linhas (ou duas colunas) entre si, então det (B ) = − det ( A) .
• Se B é a matriz quadrada que se obtém de A multiplicando-se uma
sua linha (ou coluna) por α ∈ IR , então det (B ) = α det ( A) .
• Se B é a matriz quadrada que se obtém de A substituindo-se uma sua
linha (ou coluna) pela que dela se obtém adicionando-lhe um
múltiplo escalar de outra, então det (B ) = det ( A).
• Se B é a matriz quadrada que se obtém da soma da linha i (coluna j)
da matriz A' com a linha i (coluna j) da matriz A' ' , sendo as restantes
linhas (colunas) das matrizes
A' ,
A' '
e B iguais, então
det (B ) = det ( A') + det ( A' ') .
Nota: Em geral, para A, B ∈ M n×n (IR ) , temos:
• det ( A + B ) ≠ det ( A) + det (B ) .
• det (αA) ≠ α det ( A) ; de facto, det (αA) = α n det ( A) .
3
Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as
propriedades:
a b
c
d
a −b −c −d
3.2:
a b −c −d
a b c
3.1: c a b
b c a
a
b
c
−d
Exercício 4: Sem calcular o valor dos determinantes, demonstre a
1
2
igualdade:
3
1
4
9
4 16
1 4
1
8 15 2
=
27 40 3
64 85
1
4
9
4 16
1 1
8 1
.
27 1
64 1
5.2. Técnicas Para o Cálculo de Determinantes
5.2.1. Regra de Sarrus
O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado
utilizando uma regra conhecida por Regra de Sarrus.
Os "termos positivos" de uma matriz A de terceira ordem obtêm-se
multiplicando os elementos da diagonal principal e multiplicando os
vértices dos triângulos que se podem construir de base paralela à diagonal
principal:
4
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
Assim, segundo o esquema de cima, os "termos positivos" são:
a11a22 a33 , a12 a23 a31 , a21a13 a32 .
Os "termos negativos" da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos
da diagonal secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que se
podem construir de base paralela à diagonal secundária:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
Assim, segundo o esquema de cima, os "termos negativos" são:
a13 a22 a31 , a21a12 a33 , a11a23 a32 .
Subtraindo a soma dos “termos negativos” à soma dos “termos positivos”,
obtemos o valor do determinante de A.
Ou seja,
det ( A) = a11 a 22 a33 + a12 a23 a31 + a 21 a13 a32 − a13 a 22 a31 − a21 a12 a33 − a11 a23 a32
5
2 1 2
Exemplo 4: − 1 0 1 = (0 + 1 + 2) − (0 − 2 − 1) = 6
1 −1 1
Exercício 5: Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
1 −1 3
2
5.1: − 2 4
1
2 −3
−2 1 3
5.2: 1 1 − 2
0 0 −4
5.2.2. Eliminação de Gauss
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz
triangular aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.
Exemplo 5:
0
2
3
1
3
1 2
= − 0
3
3 1L↔
L
1
2 4
4
5 6
2
1 2 3
3 1
1
2 3 =− 0 2 3 =
3
L −4 L
5 6
4 5 6 3 1
1 2 3
1 2
3
1
1
1
⎛ 3⎞
3 = − ×1× 2 × ⎜ − ⎟ = 1
=− 0 2 3
= − 0 2
3
3
3
3
⎝ 2⎠
0 −3 −6 L3+ 2 L2
3
0 0 − 2
6
0 2 0 0 2
1
Exercício 6: Calcule 0
0
2
0
3
0
0
1
0
4
0
0
3
0
2
1
0 usando a eliminação de Gauss.
0
0
5.2.3. Fórmula de Laplace
Por definição o determinante é calculado usando o desenvolvimento
segundo a primeira linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o
desenvolvimento segundo qualquer linha i ou qualquer coluna j do
seguinte modo:
Fórmula de Laplace segundo a linha i:
det ( A) = (− 1)i +1 ai1 det ( Ai1 ) + (− 1)i + 2 ai 2 det ( Ai 2 ) + L + (− 1)i + n ain det ( Ain )
Fórmula de Laplace segundo a coluna j:
det ( A) = (− 1)1+ j a1 j det (A1 j ) + (− 1)2+ j a2 j det (A2 j ) + L + (− 1)n+ j anj det (Anj )
onde Aij é a matriz de ordem n − 1 obtida de A por eliminação da linha i e
da coluna j e os sinais (− 1)i + j podem ser obtidos da seguinte matriz de
sinais:
⎡+ − + L⎤
⎢ − + − L⎥
⎢
⎥.
⎢+ − + L⎥
⎢
⎥
⎦
⎣M M M
7
0 1 0 0
Exercício 7: Calcule o valor do
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
7.1: segundo a 4ª linha;
7.2: segundo a 2ª coluna.
5.3. Menores, Menores Complementares e Complementos Algébricos
Definição 4 Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, chama-se
submatriz quadrada de A de ordem m à matriz formada pelos elementos
comuns a m linhas e m colunas (m ≤ n ) .
Chama-se menor de ordem m ao determinante de uma submatriz de
ordem m.
Dois menores dizem-se complementares sempre que em cada um deles
estão representadas as linhas e as colunas que não figuram no outro.
Chama-se complemento algébrico de um menor ao produto do seu menor
complementar por (− 1)s onde s é a soma das ordens das linhas e das
colunas envolvidas no menor complementar.
Um menor de A diz-se principal se a sua diagonal é totalmente
constituída por elementos da diagonal principal de A.
Nota: Para a formação do expoente s podemos usar as colunas e as linhas
envolvidas no menor em vez do menor complementar.
8
⎡ a11
⎢a
Exemplo 6: Para A = ⎢ 21
⎢ a31
⎢
⎣ a41
• Menor:
a11
a13
a41
a43
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
;
Menor complementar:
a22
a24
a32
a34
;
Complemento algébrico: (− 1)2+3+ 2+4
• Menor:
a11
a12
a21
a22
a14 ⎤
a24 ⎥
⎥ temos
a34 ⎥
⎥
a44 ⎦
a 22
a 24
a32
a34
a33
a34
a43
a44
.
;
Menor complementar:
a33
a34
a43
a44
;
Complemento algébrico: (− 1)3+4 +3+4
.
• Menor: a32 ;
a11
a13
a14
Menor complementar: a21
a41
a23
a24 ;
a43
a44
a11
Complemento algébrico: (− 1)15 a21
a41
a13
a14
a23
a24 .
a43
a44
9
5.4. Inversa de uma Matriz
5.4.1: Definição e propriedades
Definição 5 Uma matriz quadrada A de ordem n, diz-se invertível, se
existir uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = I .
A matriz B chama-se inversa de A e representa-se por A−1 , isto é,
B = A− 1 .
⎡1 2⎤
Exemplo 7: Calcule a inversa de A = ⎢
⎥ usando a definição
3
4
⎦
⎣
Resolução:
2 ⎤ ⎡ x11 x12 ⎤ ⎡1 0 ⎤
⎥=⎢
⎥⎢
⎥⇔
⎢⎣3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ x21 x22 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦
⎡1
AX = I ⇔ ⎢
⎧ x + 2x = 1
⎡1
21
⎪ 11
⎢
⎪⎪ x12 + 2 x22 = 0
⎢0
⇔⎨
⇔⎢
⎪3x11 + 4 x21 = 0
⎢3
⎪
⎢0
⎣
⎪⎩3x12 + 4 x22 = 1
⎡x ⎤
0 2 0 ⎤ ⎢ 11 ⎥ ⎡1 ⎤
⎥
⎢ ⎥
1 0 2 ⎥ ⎢⎢ x12 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥
=⎢ ⎥
⎥
0 4 0 ⎥ ⎢ x21 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
3 0 4 ⎥⎦ ⎢ x ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦
⎣ 22 ⎦
Então, usando o algoritmo de Gauss, vem:
⎡1
⎢0
⎢3
⎢⎣0
0 2 0 1⎤
1 0 2 0⎥
⎡1
⎢0
→
0 0⎥
0
L − 3L ⎢
3
1
⎢⎣0
4 1⎥
⎦
0
1
0 4
3 0
0 −2
3 0
2
0
⎤
⎥
0 − 3⎥
L
4 1 ⎥
⎦ 4
0 1
2 0
⎡1
⎢0
→
0
− 3L ⎢
2 ⎢0
⎣
0
1
2
0
0 −2
0 0
−2
⎤ ⎡ x11 ⎤ ⎡⎢ 1 ⎤⎥
⎥ ⇒ ⎢ x12 ⎥ = ⎢ 3 ⎥
⎢ x21 ⎥
0 − 3⎥
2
⎢
⎥
−2 1 ⎥
⎦ ⎢⎣ x22 ⎥⎦ ⎣⎢− 1 ⎥⎦
2
0
2
1
0
1 ⎤
⎡− 2
Logo A−1 = ⎢ 3
1 ⎥
⎣ 2 − 2⎦
10
⎡ 1 1⎤
Exemplo 8: A = ⎢
⎥ não é invertível, pois não é possível resolver o
0
0
⎣
⎦
sistema AX = I .
Teorema 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então A é invertível
sse car ( A) = n (sse A é não singular), isto é, após a eliminação de
Gauss, a matriz em escada de linhas não tem nenhum zero na diagonal
principal.
Propriedades: Sejam A e B matrizes não singulares de ordem n. Então
• A−1 é única.
•
(A ) = A .
(A ) = (A ) .
•
( AB )−1 = B −1 A−1 .
•
−1 −1
T −1
−1 T
• Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = I , então também
BA = I e, consequentemente, B = A−1 .
• Se
A
e
B
são
duas
matrizes
quadradas,
então
det ( AB ) = det ( A) ⋅ det (B ) e consequentemente, se A é invertível,
( )
det A −1 = (det ( A))−1 =
1
.
det ( A)
• Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível sse A é não
singular sse car ( A) = n sse det ( A) ≠ 0 .
11
Exercício 8: Suponha que B = P −1 AP sendo A, B e P matrizes quadradas
de ordem n. Prove que B m = P −1 A m P,
∀m ∈ Z .
Exercício 9: Sejam A e B matrizes de ordem n invertíveis. Mostre que
A− 1 + B − 1 = A− 1 ( A + B ) B − 1 .
5.4.2: Método da Adjunta para o cálculo da matriz inversa
Definição 6 Chama-se adjunta de A, à matriz que se obtém de AT por
substituição de cada elemento, pelo respectivo complemento algébrico. A
adjunta de A denota-se por Adj ( A) .
Exercício 10: Calcule a matriz adjunta das matrizes seguintes
⎡ 1 3⎤
10.1: A = ⎢
⎥
⎣− 2 4 ⎦
⎡ 4 −1 0 ⎤
10.2: A = ⎢− 1 4 − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 − 1 4 ⎥⎦
Esta definição permite o cálculo da inversa de uma matriz do seguinte
modo:
A⎯
⎯→ AT ⎯
⎯→ Adj ( A) ⎯
⎯→ A −1 =
Adj ( A)
det ( A)
Nota: Só podemos calcular a inversa de A se det ( A) ≠ 0 .
12
Exercício 11: Calcule inversa de cada uma das matrizes usando a matriz
adjunta.
⎡2 1 0⎤
11.2: A = ⎢ 3 4 − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 2 5 4 ⎥⎦
⎡3 4 ⎤
11.1: A = ⎢
⎥
⎣5 7 ⎦
5.5. Resolução de Sistemas de Equações Lineares: Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equações lineares:
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎡ a11
⎪
⎢
⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ⇔ ⎢a21
⎪a x + a x + a x = b
⎢⎣a31
⎩ 31 1
32 2
33 3
3
a12
a22
a32
a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
a23 ⎥ ⎢ x2 ⎥ = ⎢b2 ⎥ ⇔ Ax = b
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦
Suponhamos que det ( A) ≠ 0 , então existe a inversa A− 1 de A, logo
Ax = b ⇔ A−1Ax = A−1b ⇔ Ix = A−1b ⇔ x = A−1b ⇔ x =
( )
( )
( )
( )
(
( )
( )⎥
⎥⎢ ⎥
+ det ( A33 ) ⎥ ⎣⎢ b3 ⎦⎥
⎦
( )
+ det ( A22 )
− det ( A23 )
⎡ + det A
⎡x ⎤
11
⎢
⎢ 1⎥
1 ⎢
⇔ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ =
⎢ − det A
12
det ( A) ⎢
⎢ ⎥
⎢
x
⎣⎢ 3 ⎦⎥
⎢⎣ + det A13
1
Adj ( A) b
det ( A)
+ det A31 ⎤ ⎡ b ⎤
⎥ 1
⎥⎢ ⎥
− det A32 ⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥ ⇔
− det A21
( )
)
⎧
det A11 b1 − det A21 b2 + det A31 b3
⎪x =
⎪ 1
det ( A)
⎪
⎪
− det A12 b1 + det A22 b2 − det A32 b3
⇔ ⎪⎨ x2 =
det ( A)
⎪
⎪
det A13 b1 − det A23 b2 + det A33 b3
⎪
x
=
⎪ 3
det ( A)
⎪
⎩
(
( )
)
(
(
(
)
)
(
)
)
13
onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Daqui resulta:
x1 =
b1
b2
b3
a12 a13
a22 a23
a32 a33
det ( A)
;
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a
b a33
x2 = 31 3
det ( A)
;
x3 =
a11
a21
a31
a12 b1
a22 b2
a32 b3
.
det ( A)
Esta propriedade pode ser generalizada através da seguinte regra:
Regra de Cramer : Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular,
então o sistema Ax = b tem uma única solução dada por x j =
det (C j )
det ( A)
onde C j é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j pela matriz
coluna b.
Exercício 12: Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
⎧ 2x + y = 8
12.1: ⎨
⎩− x + 2 y = 7
⎧ 2x + y − z = 1
⎪
12.2: ⎨− x + 5 y − 4 z = 0
⎪ 3x − y + 2z = 2
⎩
14
5.6 Exercı́cios
1. Calcule os seguintes determinantes:
1 3 ;
(a) −2 4 0 2 ;
(b) −1 4 1 −1 .
(c) −2
2 2. Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
1 −1
3
(a) −2
4
2
1
2 −3
;
2 1 3
(b) 1 0 2
1 4 2
;
√
0 − 2
5
√
√
(c) 2
2
2
√
1
2 − 2
3. Calcule o seguinte determinante, usando a eliminação de Gauss 4. Calcule os seguinte determinantes,
(i) usando a eliminação de Gauss;
(ii) usando a fórmula de Laplace.
2 1 3
(a) 1 0 2
1 4 2
(d) ;
0 2 0 0
1 0 1 0
0 3 0 3
0 0 4 0
2 0 0 2
(b) 2 1 0 ;
0 0 a 0 0 0 0 0 0 b ;
0 c 0 0 0 0 d 0 (c) 0 1 0 0 1 0 1 0 ;
0 1 0 1 0 0 1 0 1
2
−2
0
2
3 −4 1 (e) .
−1 −2
0
2
0
2
5 3 1
.
1 1 1 1 1 1 1 2 .
1 1 3 1 1 4 1 1 5. Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as técnicas
aprendidas) os seguinte determinantes:
−2 1
3
(a) 1 1 −2
0 0 −4
(c) ;
1
2
2
3
1
0 −2
0
3 −1
1 −2
4 −3
0
2
1
0 −1
0
1 2 2
1
0
−2
0
1
0
0
1
2 −1 2 (b) ;
3 −1
2
3
1
2
3
0
3
0
3
0
1
1
1
1
1 1 2
1
3
2 3
0
1 −2 .
; (d) 1 −1
4
3
2
2 −1 −1 6. Sendo A n × n, qual é a relação com detA de :
(a) det(2A) ?
(b) det(−A) ?
(c) det(A2 ) ?
7. Se A é uma matriz invertı́vel de ordem n, mostre que det(A−1 ) =
1
.
det(A)
8. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os
valores dos parâmetros para os quais a matriz é invertı́vel.





1 0 −1
0
1 0
−1
0



α β 0


 1 λ
 1 α α2 + β
1
1 
αβ





(a)  1 α β  ; (b) 
 ; (c) 
 0 0
 0 1


1 −1 
α
β



β 0 0
1 λ
1
λ
1 α α2 + β α + αβ




.


9. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertı́vel tal que A = T BT −1 .
Prove que se A e B forem semelhantes então det A = det B.
10. Calcule o determinante
1 1 1 2 2 2 3 3 .
3 4 4 4 5 5 5 6 2



11. Mostre que a matriz A = 

valor de a.
0 1
0



−1  é não singular, independentemente do

3a − 4 0 a + 1
−3 5

1 1 1


12. considere a função f (x) = det  a b x

a2 b2 x2



, com a e b números reais distintos.

(a) Mostre que f (x) é uma função quadrática, isto é, é dada por um polinómio de grau 2
em x.
(b) Explique porque é que f (a) = f (b) = 0. Conclua que f (x) = k(x − a)(x − b) para
uma certa constante k. Calcule k.
(c) Para que valores de x é que esta matriz é invertı́vel?
13. A matriz B foi obtida a partir da matriz A (4X4), através das seguintes operações elementares: 2L1 , L2 ↔ L3 e L4 = L4 + 2L1 .
(a) Sabendo que det(A) = 1, calcule det(B).

3 10
13
π

 0 −1 1 −5

10
(b) Se C = 
√
 0 0
2 −1

0 0
0 −1




, calcule det(BC −1 B T ).


14. Resolva as seguintes equações:
x −4 0 x x+1 (a) (b) 1 −x 1 = 2
=0
−4 x + 1 2 x 5 15. Calcule

1


(a)  0

0
a matriz adjunta de:


2 3
1 2 3




(b)  0 1 2
1 2 


0 0
0 0 1






x+a
b
c
(c) c
x+b
a
a
b
x+c
5 0 0 2



 1 1 0 2 


(c) 

 0 0 2 1 


1 0 0 1
3
=0




−1 −2 −2
−4 −3 −3








16. Considere as matrizes A =  2
1 −2  e B =  1
0
1 .




2 −2 1
4
4
3
(a) Mostre que Adj(A) = 3AT .
(b) Verifique que Adj(B) = B.

4
−1

0

2 −3
1


1 1 1










17. Considere as matrizes A =  −1 4 −1 , B =  3 1 −1  e C =  1 2 2





0 −1 4
1 −1 −1
1 2 3



.

(a) Determine a adjunta de cada uma das matrizes.
(b) Calcule o determinante de cada uma das matrizes e a sua inversa.
18. Considere a equação matricial AXB −1 = ( 41 I)−1 , onde A e B representam matrizes invertı́veis e I representa a matriz identidade.
(a) Explicite X.




1 −1 0
1 2 3








(b) Sabendo que A =  −1 3 2  e B =  0 2 2 , calcule:




2
2 5
3 0 0
i. Adj(A).
ii. X.
19. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer:

 x + 3x = 0
1
2
(a)
 2x1 + 4x2 = 6
(b)



x + 4x2 − x3 = 1

 1
x1 + x2 + x3 = 0



 2x1 + 3x3 = 0
4
(c)



2x − 5x2 + 2x3 = 7

 1
x1 + 2x2 − 4x3 = 3



 3x1 − 4x2 − 6x3 = 5




α 0 1
β


 


 
20. Considere as matrizes A =  2 α −1  e b =  1 , com α, β ∈ IR.


 
−1 0 1
0
(a) Discuta o sistema Ax = b em função dos parâmetros α e β.
(b) Determine os valores do parâmetro α para os quais a matriz é invertı́vel.
(c) Considere α = −2 e β = 2.
i. Determine, usando o método da adjunta, a matriz inversa de A.
−1 2 T (A ) A
ii. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det
.
2
iii. Resolva o sistema Ax = b, usando a regra de Cramer.
5