Determinantes - Matemática II - 2004/05
25
Cálculo do determinante através do Teorema de Laplace
Seja A = [aij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n.
j=1;:::;n
Menor (i; j) da matriz A; Ai;j ; é o determinante da matriz que se obtém de A retirando-lhe a
linha i e a coluna j. Chama-se complemento algébrico ou co-factor de aij a ( 1)i+j Ai;j ;
que se designa por A^i;j :
Exemplo:
2
6
Sendo A = 4
A1;2 = det
A3;1 = det
"
"
2
3
1
8
2
2
#
1
2
2
7
3 5
8 2
#
=
5
3
7
2 5 ; temos, por exemplo:
7
= 3 e A^1;2 = ( 1)1+2 A1;2 =
3
34 e A^1;2 = ( 1)3+1 A1;2 =
34
Teorema de Laplace: Seja A = [aij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n: Então
j=1;:::;n
(i) Se l 2 f1; 2; :::; ng, então det (A) =
linha l)
(ii) Se c 2 f1; 2; :::; ng, então det (A) =
coluna c)
n
X
alj A^l;j : (Desenvolvimento ao longo da
j=1
n
X
aic A^i;c : (Desenvolvimento ao longo da
i=1
Notas:
1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz se pode obter
efectuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos
complementos algébricos e reduz o cálculo de um determinante de ordem n ao cálculo
de determinantes de ordem n
1:
2. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz
com o maior número possível de zeros.
3. Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se simultaneamente
o método de eliminação e o teorema de Laplace. Começa-se o método de eliminação
para obter, por exemplo na 1a coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se de
seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna.
Determinantes - Matemática II - 2004/05
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Exemplos:
2
2
0
0
0
3
7
0
2 7
7
5 7
7
=
2
7
"
4 7
7 Desenv.
0
0 5
4a coluna
2 0
0
2
2 0
6
2+4
2 2 ( 1) det 4 1 1
6
6 2 2
6
6
1. det 6
6 4 5
6
6
4 1 1
0
9
5
5
2
3
2
6
6
6
3+4
( 1) det 6
6
4
2
0
0
3
"
2
2
3
7
2 7
7
7=
0 7
5
2 0
9
5
2 2
1 1
0
#
7
=
=
2 2 ( 1)2+2 det
=
5
2
"
"
0
2
Desenv.
Desenv.
a
4 coluna
2a coluna
2
2 2 ( 4
) = 4 2 16
=
"
Det.
ordem 2
3
2
3
2
2
3
3
6 9
0 1 5
1
2 3
6
7
7
6
6
7
=
det 4 0 1 5 5 =
2. det 4 3
3 det 4 0 1 5 5 =
6 9 5
"
"
2 6 1
2 6 1
2 6 1
1
L1 $ L2
L
3 1
2
3
"
#
1
2 3
1
5
6
7
=
=
3 1 ( 1)1+1 det
=
3 det 4 0 1
5 5
10
5
"
"
0 10
5
Desenv.
2L1 + L3
1a coluna
=
3 ( 55) = 165
"
Det.
ordem 2
2
3
2
3
1
1
1 1
1
1
1
1
6
7
6
7
6 2
7
6 0
7
1
1
1
3
1
1
7
6
7=
3. det 6
=
det
6 1
7
6 0
7
2
1
1
1
2
2
"
4
5
4
5
1
1
2 1
0
2
3
0
L2
2L1 + L2
L3
L1 + L 3
L4
=
( 1)1+1
"
Desenv.
1a coluna
1
L 1 + L2
2
3
6
det 4 1
2
1
2
3
1
3
7
2 5
0
=
"
L 1 $ L2
2
1
6
det 4 3
2
2
1
3
7
1 5=
0
Determinantes - Matemática II - 2004/05
2
3L1 + L2
L3
2
6
det 4 0
0
=
"
L2
1
7
7
2L1 + L3
=
"
Det.
ordem 2
2
k
6
6 1
4. det 6
6 0
4
1
( 28 + 49) =
27
2
3
7
=
7 5
"
4
Desenv.
1a coluna
=
"
Det.
ordem 3
1 7
( 1)
3
1 7
3
Seja A = [aij ] uma matriz de ordem n. De…nem-se as matrizes:
Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos:
h i
A^ = A^ij
n n
Matriz adjunta:
Adj (A) = A^> .
Exemplo:
1
6
Seja A = 4
0
1
1
2
"
A^1;1 = ( 1)1+1 det
A^1;2 = ( 1)1+2 det
A^1;3 = ( 1)1+3 det
A^2;1 = ( 1)
2+1
det
"
"
"
3
3
7
3 5
1
3
2
0
3
1
0
1
1
2
#
1 3
2
#
#
#
7
7
7
4
=
6
=3
=1
=
6
2
k
7
6
3+3
0 1 5+1 ( 1) det 4 1
1 k
1
Inversa de uma matriz usando determinantes
2
1 det
"
#!
=
21
2
k
7
1
0 1 7
6
3+2
7
=
1 ( 1) det 4 1
1
1 0 7
"
5
1
Desenv.
0
1 k
3a linha
6 + ( k 2 + 7) = k 2 + 1
0
1+1
0 7
3
7
1 1 5=
0 k
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A^2;2 = ( 1)2+2 det
A^2;3 = ( 1)2+3 det
A^3;1 = ( 1)3+1 det
A^3;2 = ( 1)
3+2
A^3;3 = ( 1)
3+3
det
det
2
6
Então A^ = 4
"
3
1
"
1
"
"
"
6
1
2
1
3
1
3
#
3
0
3
1
0
1
#
=
#
#
3
+3
=2 +1
=0
=3
=
3
6
0
#
1
2
3
6
7
+ 3 2 + 1 5e adj (A) = A^> = 4
Teorema: Seja A uma matriz de ordem n. Então A
Demonstração:
2
a1;1 a1;2
6
6 a2;1 a2;2
6
6 ..
..
6 .
.
6
Sendo A = 6
6 ai;1 ai;2
6 .
..
6 ..
.
4
an;1 an;2
e sendo
C = [ci;j ]n
n
=A
28
a1;n
a2;n
..
.
ai;n
..
.
an;n
3
6
3
1
6
0
+3 3
2 +1
3
7
5
Adj (A) = det (A) In .
7
2
7
7
6
7
6
7
7 e Adj (A) = 6
6
7
7
4
7
7
5
A^11 A^21
A^12 A^22
..
..
.
.
A^1;n A^2;n
A^j;1
A^j;2
..
.
A^j;n
f
A^n;1
A^n;2
..
.
A^n;n
3
7
7
7
7
5
Adj (A) ; veri…ca-se que:
ci;j = ai;1 A^j;1 + ai;2 A^j;2 +
Se i = j obtemos ci;i = ai;1 A^i;1 + ai;2 A^i;2 +
+ ai;n A^j;n
+ ai;n A^i;n , valor que, pelo teorema de
Laplace, é igual a det (A) :
Se i 6= j, o valor que se obtém para ci;j corresponde, pelo teorema de Laplace, ao
desenvolvimento do determinante ao longo da linha j da matriz que se obtém de A
substituindo a linha j pela linha i: Como essa matriz tem duas linhas iguais, o seu
determinante é igual a 0:
Conclui-se que A
Adj (A) = det (A) In .
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Corolário: Seja A uma matriz de ordem n.
(a) Se A não é invertível, então A
(b) Se A é invertível, então A
1
Adj (A) é a matriz nula de ordem n.
= (det A)
1
Adj (A).
Notas:
1. A alínea (b) do corolário fornece um novo método de cálculo da matriz inversa.
2. Este método indica explicitamente cada entrada da matriz inversa: Se B = A 1 ; então
bij = (det A) 1 A^ji : Isto permite calcular entradas da matriz inversa de uma matriz,
sem ter de calcular toda a matriz inversa.
3. Este método é também útil para o cálculo de inversas de matrizes em que algumas
entradas não sejam numéricas e para o qual o método de eliminação se torna difícil de
aplicar.
Exemplo:
2
6
Para a matriz do exemplo anterior A = 4
1
0
1
1
2
3
7
3 5 ; det (A) =
então:
2
6
6
adj (A) = 4
1. A
0
0
2. Para os valores de
0
0
e
tais que
0
6
A
1
=
2
6
=4
2
6
=4
1
adj (A) =
det (A)
2
3
6
6 0
1
6
7
+3 3 5=
4 3
6
1
2 +1
=
6
6 +
+3
6 +
6
6 +
3
6 +
1
6 +
1
6 +
1
1
3
6 +
1
6 +
+3
6 +
2 +1
6 +
0
3
(2 + 1)
3
0
7
3
6 5
1
6
7
5
6 6= 0 ( 6= 0 e
e
6 +
6 +
3
6 . Tem-se,
3
0
6
3
7
5=
6= 6) a matriz A é invertível