Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Disciplina: Álgebra Linear
Lista 1 de Exercı́cios
Exercı́cio 1 Resolva, se possı́vel, os seguintes sistemas lineares (Dica: use o escalonamento e depois
a retrosubstituição)
2x − 3y = −8
x − 3y = 4
x − 3y = 4
x + 2y = 8
a)
b)
c)
d)
3x − 4y = 5
−2x + 6y = 5
−2x + 6y = −8
3x − 4y = 4


 2x − 3y + 4z = −12
 x + 2y − 3z = 2
x + y − 2z = 5
x − 2y + z = −5
2x + 3y + z = 4 g)
e)
f)
2x + 3y + 4z = 2


3x + y + 2z = 1
3x + 4y + 5z = 8
Exercı́cio 2 Determine se o conjunto V é fechado em relação às operações indicadas:
a) V é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais (x,y), em que x > 0 e y > 0 e as
operações de soma e multiplicação por escalar são as usuais.
b) V é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo (0,y, z), em que a soma
é usual e a multiplicação por escalar é dada por c(0, y, z) = (0, 0, cz).
c) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at2 + bt + c em que b = a + 1 (a, b e c são números
reais) e as operações de soma e multiplicação por escalar são as usuais.
a b
em que a = d e as operações de soma e
d) V é o conjunto de todas as matrizes 2 × 2
c d
multiplicação por escalar são as usuais.
Exercı́cio 3 Determine se o conjunto V juntamente com as operações indicadas é um espaço vetorial:
a) V é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais (x, y, z), em que a soma é dada
por (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x0 , y + y 0 , z) e a multiplicação por escalar é a usual (dada por c(x, y, z) =
(cx, cy, cz)).
b) V é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais (x, y, z), em que a soma é a
usual (dada por (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x0 + x0 , y + y 0 , z + z 0 )) e a multiplicação por escalar é dada por
c(x, y, z) = (x, 1, z).
c) V é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo (0, 0, z), em que a soma é
dada por (0, 0, z)+(0, 0, z 0 ) = (0, 0, z +z 0 ) e a multiplicação por escalar é dada por c(0, 0, z) = (0, 0, cz).
d) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at3 + bt2 + ct + d em que a > 0 (a, b, c e d são
números reais) e as operações de soma e multiplicação por escalar são as usuais.
e) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at3 +bt2 +ct+d em que b = 0 (a, b, c e d são números
reais), a operação de soma é dada por (at3 +0t2 +ct+d)+(a0 t3 +0t2 +c0 t+d0 ) = (a+a0 )t3 +0t2 +ct+(d+d0 )
e a multiplicação por escalar é a usual.
f ) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at4 + bt3 + ct2 + dt + e em que b = c = d = 0
(a, b, c, d e e são números reais), a operação de soma é dada por (at4 + 0t3 + 0t2 + 0t + e) + (a0 t4 +
0t3 + 0t2 + 0t + e0 ) = (a + a0 )t4 + 0t3 + 0t2 + 0t + (e + e0 ) e a multiplicação por escalar é dada por
c(at4 + 0t3 + 0t2 + 0t + e) = cat4 + 0t3 + 0t2 + 0t + ce.
a b
g) V é o conjunto de todas as matrizes 2 × 2
em que b = c e as operações de soma e
c d
multiplicação por escalar são as usuais.
Exercı́cio 4 Quais dos seguintes subconjuntos de R3 são subespaços de R3 :
a) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,2);
b) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,c) em que c = a + b;
c) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,c) em que c > 0;
d) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,c) em que a = c = 0;
e) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,c) em que a = −c;
f ) o conjunto de todos os vetores do tipo (a,b,c) em que b = 2a + 1;
Exercı́cio 5 Seja P2 o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a2 , a1 e a0 são
números reais. Quais dos seguintes subconjuntos de P2 são subespaços de P2 :
a) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a0 = 1;
b) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a0 = 2
c) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a2 + a1 = a0
d) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a1 = a2 = 0
e) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a1 = 2a0
f ) o conjunto de todos os polinômios do tipo a2 t2 + a1 t + a0 em que a2 + a1 + a0 = 2
Exercı́cio 6 Seja M23
a b c
em que a, b, c, d, e e f são
o conjunto de todas as matrizes do tipo
d e f
números reais. Quais dos seguintes subconjuntos de M23 são subespaços de M23 :
a b c
a) o conjunto de todas as matrizes do tipo
em que b = a + c;
d 0 0
a b c
b) o conjunto de todas as matrizes do tipo
em que c > 0
d 0 0
a b c
em que a = −2c e f = 2e + d
c) o conjunto de todas as matrizes do tipo
d e f
a b c
em que a = 2c + 1
d) o conjunto de todas as matrizes do tipo
d e f
0 1 c
e) o conjunto de todas as matrizes do tipo
d e 0
a b c
f ) o conjunto de todas as matrizes do tipo
em que a + c = 0 e b + d + f = 0
d e f
Exercı́cio 7 Para cada item, determine se o vetor v dado pertence a [{v1 , v2 , v3 }] em que v1 =
(1, 0, 0, 1), v2 = (1, −1, 0, 0) e v3 = (0, 1, 2, 1);
a) v = (−1, 4, 2, 2); b) v = (1, 2, 0, 1); c) v = (−1, 1, 4, 3); d) v = (0, 1, 1, 0)
Exercı́cio
2
−1
5
a)
−1
A3 =
1 −1
1 1
8 Qual dos vetores a seguir são combinações lineares de A1 =
, A2 =
e
0 3
0 2
2
:
1
1
−3 −1
3 −2
1 0
; b)
; c)
; d)
9
3
2
3 2
2 1
Exercı́cio 9 Para cada item, determine se o vetor p(t) dado pertence a [{p1 , p2 , p3 }] em que p1 = t2 −t,
p2 = t2 − 2t + 1 e p3 = −t2 + 1;
a) p(t) = 3t2 − 3t + 1; b) p(t) = t2 − t + 1; c) p(t) = t + 1; d)p(t) = 2t2 − t − 1