1
4
Encontre o comprimento arco da curva dada por r(t) = t i + t3/2 j + t2 k entre t = 0 e
3
2
t = 2.
Da definição da função r(t) identificamos as funções componentes e calculamos suas derivas:
x0 (t) = 1
y 0 (t) = 2t1/2
z 0 (t) = t
dessa forma
Z
L =
2
q
2
(1)2 + (2t1/2 ) + (t)2 dt
Z0 2 √
=
1 + 4t + t2 dt
0
Z 2p
=
(t + 2)2 − 3 dt
0
a solução dessa equação requer utilizar as seguentes substituições:
n= t+2
dn =
dt
vamos solucionar a integral indefinida, assim a integral muda para
I=
R√
n2 − 3dn
utilizando substituição trigonométrica, vemos que colocando u na hipotenusa e
adjacente, então
√
√
n2 − 3 =
3 tan θ
n
√ =
sec θ
3
√
dn =
3 sec θ tan θdθ
de onde
R
I = 3 sec θ tan2 θdθ
R
= 3 sec θ (sec2 θ − 1) dθ
R
R
= 3 sec3 θdθ − 3 sec θdθ
1
√
3 no cateto
resolvendo cada uma das integrais:
I2 =
R
sec θ + tan θ
dθ
sec θ + tan θ
sec2 θ + sec θ tan θ
=
dθ
sec θ + tan θ
sec θdθ =
R
sec θ
fazemos
u = sec θ + tan θ
du = (sec θ tan θ + sec2 θ) dθ
assim
R 1
du
u
I2 = ln |sec θ + tan θ| + C1
I2∗ =
A I integral:
I1 = sec3 θdθ
integrando por partes:
dv = sec2 θdθ
v = tan θ
u = sec θ
du = sec θ tan θdθ
assim
R
sec3 θdθ = sec θ tan θ − (sec3 θ − sec θ) dθ
R
2 sec3 θdθ = sec θ tan θ − sec θdθ
1
1
sec θ tan θ − ln |sec θ + tan θ| + C2
sec3 θdθ =
2
2
assim a integral original fica
I=
1
1
sec θ tan θ + ln |sec θ + tan θ| + C
2
2
como
t+2
sec θ = √
3
então
p
tan θ =
(t + 2)2 − 3
√
3
p
Z p
t + 2 + p(t + 2)2 − 3
2−3
(t
+
2)
(t
+
2)
3
√
(t + 2)2 − 3 dt =
− 2
2
3
2