MARTINS, E.M.
Teorema 0.1 (Fórmula de Recorrência para a secante) Seja n ∈ N, então vale a
fórmula de recorrência:
∫
secn−2 xtgx n − 2
sec xdx =
+
n−1
n−1
∫
n
secn−2 xdx.
Prova. A demonstração desse fato decorre da integração por partes. Escreva
∫
∫
n
sec xdx = secn−2 x sec2 xdx.
Fazendo u = secn−2 x e dv = sec2 xdx (e portanto v = tgx) temos por integração por
partes que:
∫
∫
n
secn−2 x sec2 xdx
∫
n−2
= sec
xtgx − tgx(n − 2) secn−3 x sec xtgxdx
∫
n−2
= sec
xtgx − (n − 2) tg2 x secn−2 xdx.
sec xdx =
utilizando a identidade trigonométrica tg2 x = sec2 x − 1, tem-se
∫
∫
n
n−2
sec xdx = sec
xtgx − (n − 2) tg2 x secn−2 xdx
∫
= sec
n−2
= sec
n−2
xtgx − (n − 2)
(sec2 x − 1) secn−2 xdx
∫
xtgx − (n − 2)
∫
sec xdx + (n − 2)
n
secn−2 xdx.
De modo que obtemos a igualdade
∫
∫
∫
n
n−2
n
sec xdx = sec
xtgx − (n − 2) sec xdx + (n − 2) secn−2 xdx,
o que nos leva à
∫
∫
(n − 1)
e portanto
∫
n
sec xdx = sec
n−2
xtgx + (n − 2)
secn−2 xtgx n − 2
sec xdx =
+
n−1
n−1
n
secn−2 xdx,
∫
secn−2 xdx.
∫
Exemplo 0.1 Calcular
sec3 xdx.
MARTINS, E.M.
Solução: Pela fórmula de recorrência para a secante
∫
∫
sec xtgx 3 − 2
3
sec xdx =
+
sec xdx
3−1
3−1
=
sec xtgx 1
+
2
2
(1)
∫
sec xdx.
∫
Basta portanto que calculemos
sec xdx. Note que podemos multiplicar e dividir o
integrando por sec x + tgx e escrever
∫
∫
sec x(sec x + tgx)
sec xdx =
dx.
sec x + tgx
Tomando u = sec x + tgx temos que du = sec xtgx + sec2 x (que é exatamente o que
aparece no numerador. Assim, obtem-se
∫
du
= ln|u| + C, em que C é constante,
u
o que nos permite concluir que
∫
sec xdx = ln| sec x + tgx| + C.
Substituindo em (1) temos
∫
sec xtgx 1
sec3 xdx =
+ ln| sec x + tgx| + C.
2
2
.
∫
Exemplo 0.2 Calcular
sec5 xdx.
Solução: Pela fórmula de recorrência para a secante
∫
∫
sec5−2 xtgx 5 − 2
5
sec xdx =
+
sec5−2 xdx
5−1
5−1
3
=
Pelo exemplo anterior
∫
sec3 x =
sec xtgx 3
+
4
4
(2)
∫
sec3 xdx
sec xtgx 1
+ ln| sec x + tgx| + C.
2
2
Assim, ao substituir esta igualdade em (2), obtemos
)
(
∫
sec3 xtgx 3 sec xtgx 1
5
sec xdx =
+
+ ln| sec x + tgx| + C
4
4
2
2
.
MARTINS, E.M.
∫
Exemplo 0.3 Calcular
tg2 x sec3 xdx.
Solução: Como tg2 x = sec2 x − 1, temos que
∫
∫
2
3
tg x sec xdx =
(sec2 x − 1) sec3 xdx
∫
∫
5
=
sec xdx − sec3 xdx.
Pelos Exemplos 0.1 e 0.2,
∫
sec3 x =
e
∫
sec xtgx 1
+ ln| sec x + tgx| + C
2
2
sec3 xtgx 3
sec xdx =
+
4
4
5
(
)
sec xtgx 1
+ ln| sec x + tgx| + C.
2
2
Subtraindo a última igualdade da primeira, obtém-se a integral procurada:
∫
sec3 xtgx 1
11
tg2 x sec3 xdx =
− sec xtgx + ln| sec x + tgx| + C.
4
8
8