Questão 1
Questão 2
Um jogo consiste num dispositivo eletrônico
na forma de um círculo dividido em 10 setores iguais numerados, como mostra a figura.
A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em
torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos
do ângulo AÔB por θ, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular,
será uma função A, que dependerá do valor
de θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Em cada jogada, um único setor do círculo se
ilumina. Todos os setores com números pares
têm a mesma probabilidade de ocorrer, o
mesmo acontecendo com os setores com números ímpares. Além disso, a probabilidade
de ocorrer o número 3 é o dobro da probabilidade de ocorrer o número 4. Denotando por
p(i) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer
o número i, determine:
a) p(3) e p(4).
b) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer
um número primo maior ou igual a 2.
Resposta
a) Das condições dadas:
p(1) = p(3) = p(5) = p(7) = p(9)
p(2) = p(4) = p(6) = p(8) = p(10)
p(3) = 2 ⋅ p(4)
Portanto, como a soma das probabilidades p(i),
com i variando de 1 a 10, é igual a 1:
1
p(4) =
5 ⋅ p(3) + 5 ⋅ p(4) = 1
15
⇔
p(3) = 2 ⋅ p(4)
2
p(3) =
15
b) Os números primos maiores ou iguais a 2 que
podem ser obtidos no jogo são 2, 3, 5 e 7. Logo a
probabilidade pedida é p(2) + p(3) + p(5) + p(7) =
7
.
= p(4) + 3 ⋅ p(3) =
15
Se OA = 1 m e AC = 3 m, determine:
a) a expressão matemática para a função
A(θ).
b) o valor de θ, em graus, se a área irrigada
for de 8 m2 . (Para facilitar os cálculos, use a
aproximação π = 3.)
Resposta
a) A área irrigada é igual à diferença entre as
áreas dos setores circulares OCD e OAB, de
raios 4 m e 1 m, respectivamente. Assim, em m 2 ,
θ
θ
15
A( θ) =
⋅ π ⋅ 42 −
⋅ π ⋅ 12 =
⋅ θ,
2π
2π
2
0 ≤ θ ≤ 2 π.
15
16
b) A( θ) = 8 ⇔
rad.
θ =8 ⇔θ =
2
15
16 180o
Logo a medida de θ, em graus, é
⋅
≅
15
π
16 180o
≅
⋅
= 64o .
15
3
matemática 2
Assim,
a) det (A − λI) = 0 ⇔
⇔ (2 − λ) ⋅ ((6 − λ) 2 − 9) = 0 ⇔
Questão 3
Considere os números complexos w = 2i e
z = (1 + i). Determine:
a) z2 e (w2 ⋅ z + w), onde z indica o conjugado
de z.
b)|z| e|w|. Mostre que a seqüência (1,|z| ,|w| ,
|zw| , |w2|) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão.
Resposta
a) z 2 = (1 + i) 2 = 12 + 2 ⋅ 1 ⋅ i + i 2 = 2i e
w 2 ⋅ z + w = (2i) 2 ⋅ (1 − i) + 2i =
= ( −4) ⋅ (1 − i) + 2i = −4 + 4i + 2i = −4 + 6i.
b) | z | = 12 + 12 = 2 e |w | = 0 2 + 2 2 = 2 .
Como |w | = | z |2 , a seqüência (1, |z | , |w | , |z w | ,
|w 2 | ) = (1, |z |, |z |2 , |z |3 , |z |4 ) = (1, 2 , 2, 2 2 , 4)
é uma progressão geométrica de razão |z | = 2 .
λ =2
ou
⇔ 6 − λ =3 ⇔
ou
(6 − λ) 2 − 9 = 0
6 − λ = −3
2 − λ =0
ou
⇔
λ =2
ou
⇔ λ =3
ou
λ =9
b) Temos que a matriz incompleta do sistema linear homogêneo dado é A − λI. Logo, como para
λ = −2, det (A − λI) = (2 − ( −2)) ⋅ ((6 − ( −2)) 2 − 9) ≠
≠ 0, a única solução do sistema é a trivial, ou seja,
V = {(0; 0; 0)}.
Questão 5
Questão 4
Considere função dada por f(x) = 32 x + 1 +
Considere a matriz
⎡ 6 −3 0⎤
A = ⎢−3 6 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 −1 2⎥⎦
a) Determine todos os números reais λ para
os quais se tem det (A − λ I ) = 0, onde I é a
matriz identidade de ordem 3.
b) Tomando λ = −2, dê todas as soluções do
⎧(6 − λ ) x − 3 y = 0
⎪
sistema ⎨−3 x + (6 − λ ) y = 0
⎪ x − y + (2 − λ ) z = 0
⎩
Resposta
−3
0 ⎤
⎡6 − λ
A − λI = ⎢ −3 6 − λ
0 ⎥ e, portanto,
⎢
⎥
−1
2 − λ ⎥⎦
⎣⎢ 1
6 −λ
−3
0
−3
6 −λ
0
=
1
−1
2 −λ
6 −λ
−3
⋅ (2 − λ)
=
−3
6 −λ
det (A − λI) =
= ( −1) 3 + 3
= (2 − λ) ⋅ ((6 − λ) 2 − 9).
+ m 3x + 1 .
a) Quando m = −4, determine os valores de x
para os quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de m
para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem
solução real x.
Resposta
a) Para m = −4:
f(x) = 0 ⇔ 3 2x + 1 − 4 ⋅ 3 x + 1 = 0 ⇔
⇔
y = 3x
3 ⋅ y 2 − 4y + 1 = 0
⇔
y = 3x
x
x
−1
⇔ ⎛
⇔
1 ⎞ ⇔ 3 = 1 ou 3 = 3
⎜ y = 1 ou y = ⎟
⎝
⎠
3
⇔ x = 0 ou x = −1
b) A equação f(x) = m + 1 ⇔
⇔ 3 2x + 1 + m3 x − m = 0 ⇔
y = 3x
3y 2 + my − m = 0
não admite soluções se, e somente se, a equação
3y 2 + my − m = 0 não admite soluções reais ou
admite somente raízes não positivas.
matemática 3
A equação 3y 2 + my − m = 0 não admite soluções reais se, e somente se, ∆ < 0 ⇔
⇔ m 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−m) < 0 ⇔ −12 < m < 0.
A mesma equação admite somente raízes não
positivas se, e somente se,
(m ≤ −12 ou m ≥ 0)
∆ ≥0
m
S ≤0 ⇔ −
≤0
⇔ m = 0.
3
P ≥0
m
−
≥0
3
Observando o gráfico obtido no item a, concluímos que o conjunto verdade da inequação dada é
V = ]2; 4[.
Como 2 < π < 4, π ∈ V e f( π) < g( π) ⇔
π
⇔
< log 2 π.
2
Questão 7
Logo a equação f(x) = m + 1 não admite soluções
se, e somente se, −12 < m ≤ 0.
Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm,
$ é α = 30o, a medida
a medida do ângulo ABD
$ é β e x = BE.
do ângulo AED
Questão 6
Considere
as
funções
f ( x) =
x
2
e
g( x ) = log2 x, para x > 0.
a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas
funções, colocando os pontos cujas abscissas
são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.
b) Baseado na representação gráfica, dê o
x
conjunto solução da inequação
< log2 x, e
2
π
justifique por que
< log2 π.
2
Resposta
a)
Determine:
a) a área do triângulo BDE, em função de x.
b) o valor de x, quando β = 75o.
Resposta
a) A área do triângulo BDE é igual a
1
x ⋅6 ⋅
BE ⋅ BD ⋅ sen 30o
3x
2
cm 2
=
=
2
2
2
$ ) = 180o − 75 o = 105 o e, no
b) Temos que m (BED
$ ) =180o − 30o − 105 o = 45 o .
∆BDE, m (BDE
x
< log 2 x é satisfeita se, e so2
mente se, o ponto de abscissa x do gráfico de
x
está abaixo do ponto de abscissa x do
f(x) =
2
gráfico de g (x ) = log 2 x .
b) A inequação
Aplicando a lei dos senos ao ∆BDE temos:
BE
BD
=
⇔
sen 45 o sen 105 o
x
6
⇔
=
⇔
sen 45 o sen (60o + 45 o )
matemática 4
x
6
⇔
=
2
3
2
1
2
⋅
+
⋅
2
2
2
2
2
x
6
⇔
=
⇔ x = 6( 3 − 1) cm
2
2 ( 3 + 1)
2
4
⇔
⎛ 2 21 6
Portanto Q = ⎜
;
5
⎝ 5
reta pedida PQ é:
6
− ( −3)
5
y − ( −3) =
(x
2 21
−0
5
⎞
⎟ e uma equação da
⎠
− 0) ⇔ y =
21
x −3
2
Questão 8
Considere a circunferência x2 + ( y − 2)2 = 4 e
o ponto P (0, −3).
a) Encontre uma equação da reta que passe
por P e tangencie a circunferência num ponto
Q de abscissa positiva.
b) Determine as coordenadas do ponto Q.
Resposta
Questão 9
Do solo, você observa um amigo numa roda
gigante. A altura h em metros de seu amigo
em relação ao solo é dada pela expressão
π
h(t) = 11,5 + 10 sen ⎡
( t − 26)⎤, onde o tem⎣⎢ 12
⎦⎥
po t é dado em segundos e a medida angular
em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mínima e máxima
que seu amigo alcança e o tempo gasto em
uma volta completa (período).
Resposta
a) Para t = 0 temos h(0) = 11,5 +
⎡ π
⎤
+10 ⋅ sen ⎢
⋅ (0 − 26) ⎥ =
⎣ 12
⎦
⎛ 13 π ⎞
= 11,5 + 10 ⋅ sen ⎜ −
⎟ =
⎝
6 ⎠
π⎞
⎛
= 11,5 + 10 ⋅ sen ⎜ −2 π − ⎟ =
⎝
6⎠
2
A circunferência x + (y − 2)
R = (0; 2) e raio 4 = 2 .
2
= 4 tem centro
No triângulo PQR, PQ = PR 2 − QR 2 =
= (2 − ( −3)) 2 − 2 2 = 21 .
Pelas relações métricas no mesmo triângulo:
PR ⋅ QS = QR ⋅ PQ
RS ⋅ PR = QR
2 21
5
⇔
6
b =
5
a=
2
⇔
5 ⋅ a = 2 ⋅ 21
(2 − b) ⋅ 5 = 2 2
⇔
⎛ π⎞
= 11,5 + 10 ⋅ sen ⎜ − ⎟ =
⎝ 6⎠
⎛ 1⎞
= 11,5 + 10 ⋅ ⎜ − ⎟ = 6,5 m.
⎝ 2⎠
b) A altura máxima e mínima é obtida quando
⎡ π
⎤
sen ⎢
(t − 26) ⎥ é, respectivamente, máximo e
⎣ 12
⎦
mínimo, ou seja, 1 e −1. Desse modo a altura máxima é 11,5 + 10 ⋅ 1 = 21,5 m e a mínima,
11,5 + 10 ⋅ ( −1) = 1,5 m.
O tempo gasto em uma volta completa é igual ao
2π
período da função h(t), ou seja,
= 24 segunπ
12
dos.
matemática 5
Questão 10
Um recipiente tampado, na forma de um cone
circular reto de altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura
1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura 2).
Resposta
$
$
$
a) Como m (ABC)
=
= m (DEC)
= 90o e m (BCA)
$
= m (ECD), pelo caso AA, ∆ABC ~ ∆DEC .
AB
BC
6
18
=
⇔
=
⇔ R = 5 cm e o
DE
EC
R
15
volume do líquido no cone é igual a
1
⋅ π ⋅ 5 2 ⋅ 15 = 125 π cm 3 .
3
Logo
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,
a) determine R e o volume do líquido no cone
em cm3 (figura 1), como múltiplo de π.
b) dado que r = 3 91 , determine a altura H da
parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a
aproximação 3 91 ≅ 9/2.)
b) O triângulo retângulo de catetos r e H, na figura 2, é semelhante ao triângulo ABC. Portanto
r
H
=
⇔ H = 3r = 3 3 91 cm. Usando a aproxi6
18
9
9
mação 3 91 ≅ , H ≅ 3 ⋅
= 13,5 cm.
2
2