Professor • Valdir
Aluno (a): _______________________________________________
POLIEDROS CONVEXOS
01. (UPE/2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas
triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o
número esperado de vértices para este será
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
02. (UECE/2010) O número de arestas de uma pirâmide que tem 12
faces é igual a:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 22
03. Um poliedro convexo de 90 arestas possui faces pentagonais e
hexagonais. A razão entre o número de faces pentagonais e o
número de faces hexagonais é igual a 3/5. Sendo assim, calcule o
número de faces de cada tipo.
04. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e
quadrangulares. Sabendo o os números de faces triangulares e
quadrangulares são diretamente proporcionais aos número 2 e 3 e
que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o
número total de faces desse poliedro.
05. Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os
vértices de um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces
hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Determine o
número de átomos de carbono na molécula e número de ligações
entres esses átomos.
06. (UEPB) Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces
pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são
respectivamente:
a) 14 e 16
b) 12 e 14
c) 10 e 14
d) 10 e 12
e) 10 e 17
07. O tetrahexaedro possui 4 faces triangulares e 6 faces hexagonais.
Determine o número de faces , arestas e vértices desse sólido,
sabendo que ele é euleriano.
08. (UNIFESP SP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de
aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide
regular de base triangular eqüilateral (os três lados da base da
pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das
pirâmides cortadas. Calcule o número de faces do poliedro
construído.
09. (Valdir) Em todos os vértices de um dodecaedro regular são
recortadas pirâmides como mostra a figura. Após todos os recortes, o
número de arestas do novo sólido geométrico será:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
d) 100
10. Um poliedro convexo de 22 vértices e 50 arestas possui F1 faces
quadrangulares e F2 faces triangulares. Sabendo-se que ele não
possui outro tipo de face, F2 – F1 é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
11. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares e,
portanto, 12 vértices (figura 1). A partir desses vértices, retiram-se 12
pirâmides congruentes . As bases dessas pirâmides são pentágonos
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6
1
14/09/2013
Matemática
regulares e as medidas de suas arestas laterais são iguais a 1/3 da
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na
fabricação da bola de futebol (figura2). Para confeccionar uma bola
de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é
uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro,
ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no
mínimo, um comprimento de linha igual a:
a) 7,0 m
b) 6,3 m
c) 4,9 m
d) 2,1 m
figura 1
figura 2
12. (U.F.Santa Maria) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares
e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o
triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de
todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:
a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π
13. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito
triangulares. Determine o número de faces, arestas e vértices desse
sólido euleriano.
14. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces
quadrangulares e pentagonais. Determine o número de faces de cada
tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos.
15. (Fuvest) Ligando todos os vértices de um dodecaedro de Platão e
escolhendo ao acaso um dos segmentos de reta obtidos, determine a
probabilidade de que o mesmo seja uma diagonal do poliedro.
PRISMAS:
01. (UFMG)
Um reservatório cúbico, de 50 cm de profundidade,
está com água até a metade e precisa ser totalmente esvaziado. O
volume de água a ser retirado desse reservatório é de
a) 62,5 litros
b) 125 litros
c) 250 litros
d) 25 litros
3
02. (UFMS) Calcule o volume, em m , do prisma triangular regular em
que a altura é igual a 10 3 m e a base está inscrita em uma
circunferência de perímetro igual a 4π metros?
03. (UEL) Um fabricante de creme de leite deseja embalar seu
produto em uma caixa de papelão com o formato de um
3
paralelepípedo retângulo e com volume de 432 cm . De acordo com
as máquinas disponíveis e tentando minimizar a quantidade de
material utilizado, verificou que as dimensões da caixa deveriam
obedecer à relação 1:1:2, ou seja, base quadrada e medida da altura
igual ao dobro da medida da aresta da base. A aresta da base da
caixa deve medir, em centímetros:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
04. (FGV /2013) Um prisma reto de base triangular tem área de uma
2
face lateral igual a 20 cm . Se o plano que contém essa face dista 6
3
cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm , é igual a
a) 18.
b) 36.
c) 48.
d) 54.
e) 60.
05. (PUC SP) Um artesão deve recortau 8 cubos iguais, a partir dos
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes
dimensões: 25 cm x 18 cm x 18 cm. Se ele pretende que o peso da
peça obtida seja 6,603 kg e sabendo que a densidade da madeira é
3
0,93 g/cm , a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em
centímetros,
a) 6,5
b) 6
c) 5,5
d) 5
e) 4,5
1
06. (UFMG) Dona Margarida comprou terra adubada para sua nova
jardineira, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas
dimensões internas são: 1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20
3
cm de altura. Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 1,7 dm .
Nesse caso, para encher totalmente a jardineira, a quantidade de
terra que Dona Margarida deverá utilizar é, aproximadamente,
a) 85,0 kg.
b) 8,50 kg.
c) 29,4 kg.
d) 294,1 kg.
07. (UFMS) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço
de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura e 30 cm de
comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram
retirados quadrados idênticos de lados com x cm de comprimento
( 0 < x < 8 ) . Depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. A
expressão que representa a área lateral da caixa é
2
2
2
a) 92x − 8x
b) 62x − 6x
c) 72x − 6x
2
2
d) 46x − 4x
e) 32x − 4x
08. (UNICAMP/2013) Numa piscina em formato de paralelepípedo,
as medidas das arestas estão em P.G. de razão q > 1.
a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e
o perímetro da face de menor área.
b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total
2
do paralelepípedo igual a 252 m .
09. (UFTM/2013) Um rótulo de forma retangular (figura 1) será
colado em toda a superfície lateral de um recipiente com a forma de
um prisma hexagonal regular (figura 2), sem haver superposição.
Considerando 3 = 1,73 , é correto afirmar que a capacidade desse
recipiente é, em mL, aproximadamente,
a) 934.
b) 1 150.
c) 650.
d) 865.
e) 1 350.
10. (PUC RJ/2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23
e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de
medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão
nas linhas pontilhadas.
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos
quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro
cantos.
c) Determine o volume da caixa formada.
11. (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos
internos de todas as faces é 7200º. O número de vértices deste
prisma é igual a:
a) 11
b) 32
c) 10
d) 20
e) 22
12. (FGV /2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser
construído. A escala é 1 : 500, ou seja, 1cm, na representação,
corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em
metros cúbicos, do depósito?
13. (FGV /2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma
chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de
comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de
lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes
retangulares, conforme sugere a figura a seguir. Assim, o volume, em
3
dm , da caixa assim obtida é
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2
3
a) 80x – 36x + 4x
2
3
b) 80x + 36x + 4x
2
3
c) 80x – 18x + x
2
3
d) 80x + 18x + x
2
3
e) 20x – 9x + x
14. (MACK SP/2013) Se no cubo da figura, FI = 4 6 , então a razão
entre o volume e a área total desse cubo é
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e)2
15. (UERJ/2010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal
regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma.
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na
embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da
aresta da base do prisma é igual a:
a) 2 2
b) 3 2 / 4
c) ( 2 + 1)/2
d) 2
(
)
2 -1
16. (UFAL/2011) Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo
retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de
duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento
da diagonal da face superior, como estão indicados na figura. Qual o
volume do paralelepípedo?
3
a) 23cm
3
b) 24cm
3
c) 25cm
3
d) 26cm
3
e) 27cm
17. (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de
dimensões 2 × 2 × 7 , sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a
a)
11
4
b)
14
4
c)
11
2
d)
13
2
e)
3 7
2
18. (UFPE) Uma calha tem a forma de um prisma reto de base
triangular. A altura do prisma é 1m, e sua base é um triângulo
isósceles com lados congruentes, medindo 0,4m e formando entre si
um ângulo α . Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume,
em litros, que a calha pode ter?
19. (FGV) Antes que fosse reparado, um vazamento em uma piscina
retangular, com 20 m de comprimento e 10 m de largura, ocasionou
uma perda de 20 000 litros de água, fazendo com que o nível de água
baixasse em:
a) 1 m
b) 0,5 m
c) 0,1 m
d) 0,2 m
e) 0,01 m
POLIEDROS:
01. E
02. D
03. F1 = 12 e F2 = 20
04. 20
05. 60, 90 06. E
07. 10,24,16
08. 14
09. D
10. C
11. B
12. E
13. 14, 24, 12
14. 5 e 2
15. 10/19
PRISMAS:
04) E
05) D
06) C
01) A
02) 90 m3 03) C
07) A
08) a) q; b) 216m3.
09) A
10) a) 74; b) 286;
3
c) 408
11) E
12) 3240 m
13) A
14) E
15) C
16) E
17) B
18) 80
19) C
20) D
2