Professor • Valdir
Aluno (a): _______________________________________________
POLIEDROS CONVEXOS
01. (UPE/2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas
triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o
número esperado de vértices para este será
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
02. (UECE/2010) O número de arestas de uma pirâmide que tem 12
faces é igual a:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 22
03. Um poliedro convexo de 90 arestas possui faces pentagonais e
hexagonais. A razão entre o número de faces pentagonais e o
número de faces hexagonais é igual a 3/5. Sendo assim, calcule o
número de faces de cada tipo.
04. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e
quadrangulares. Sabendo o os números de faces triangulares e
quadrangulares são diretamente proporcionais aos número 2 e 3 e
que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o
número total de faces desse poliedro.
05. Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os
vértices de um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces
hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Determine o
número de átomos de carbono na molécula e número de ligações
entres esses átomos.
06. (UEPB) Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces
pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são
respectivamente:
a) 14 e 16
b) 12 e 14
c) 10 e 14
d) 10 e 12
e) 10 e 17
07. O tetrahexaedro possui 4 faces triangulares e 6 faces hexagonais.
Determine o número de faces , arestas e vértices desse sólido,
sabendo que ele é euleriano.
08. (UNIFESP SP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de
aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide
regular de base triangular equilateral (os três lados da base da
pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das
pirâmides cortadas. Calcule o número de faces do poliedro
construído.
09. (Valdir) Em todos os vértices de um dodecaedro regular são
recortadas pirâmides como mostra a figura. Após todos os recortes, o
número de arestas do novo sólido geométrico será:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
d) 100
10. Um poliedro convexo de 22 vértices e 50 arestas possui F1 faces
quadrangulares e F2 faces triangulares. Sabendo-se que ele não
possui outro tipo de face, F2 – F1 é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
11. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares e,
portanto, 12 vértices (figura 1). A partir desses vértices, retiram-se 12
pirâmides congruentes . As bases dessas pirâmides são pentágonos
regulares e as medidas de suas arestas laterais são iguais a 1/3 da
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6
1
11/04/2014
Matemática
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na
fabricação da bola de futebol (figura2). Para confeccionar uma bola
de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é
uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro,
ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no
mínimo, um comprimento de linha igual a:
a) 7,0 m
b) 6,3 m
c) 4,9 m
d) 2,1 m
figura 1
figura 2
12. (U.F.Santa Maria) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares
e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o
triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de
todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:
a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π
13. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito
triangulares. Determine o número de faces, arestas e vértices desse
sólido euleriano.
14. Um poliedro convexo possui 2 vértices pentaédricos e dez
vértices triédricos. Sabendo-se que todas as faces desse poliedro
possuem o mesmo número n de lados, pode-se afirmar que n + 1/n é
igual a:
a) 10/3
b) 17/4
c) 26/5
d) 37/6
e) 50/7
15. (Fuvest) Ligando todos os vértices de um dodecaedro de Platão e
escolhendo ao acaso um dos segmentos de reta obtidos, determine a
probabilidade de que o mesmo seja uma diagonal do poliedro.
PRISMAS:
01. (UFMG)
Um reservatório cúbico, de 50 cm de profundidade,
está com água até a metade e precisa ser totalmente esvaziado. O
volume de água a ser retirado desse reservatório é de
a) 62,5 litros
b) 125 litros
c) 250 litros
d) 25 litros
3
02. (UFMS) Calcule o volume, em m , do prisma triangular regular em
que a altura é igual a 10 3 m e a base está inscrita em uma
circunferência de perímetro igual a 4π metros?
03. (UEL) Um fabricante de creme de leite deseja embalar seu
produto em uma caixa de papelão com o formato de um
3
paralelepípedo retângulo e com volume de 432 cm . De acordo com
as máquinas disponíveis e tentando minimizar a quantidade de
material utilizado, verificou que as dimensões da caixa deveriam
obedecer à relação 1:1:2, ou seja, base quadrada e medida da altura
igual ao dobro da medida da aresta da base. A aresta da base da
caixa deve medir, em centímetros:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
04. (FGV /2013) Um prisma reto de base triangular tem área de uma
2
face lateral igual a 20 cm . Se o plano que contém essa face dista 6
3
cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm , é igual a
a) 18.
b) 36.
c) 48.
d) 54.
e) 60.
05. (PUC SP) Um artesão deve recortau 8 cubos iguais, a partir dos
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes
dimensões: 25 cm x 18 cm x 18 cm. Se ele pretende que o peso da
peça obtida seja 6,603 kg e sabendo que a densidade da madeira é
3
0,93 g/cm , a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em
centímetros,
a) 6,5
b) 6
c) 5,5
d) 5
e) 4,5
1
06. (UFMG) Dona Margarida comprou terra adubada para sua nova
jardineira, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas
dimensões internas são: 1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20
3
cm de altura. Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 1,7 dm .
Nesse caso, para encher totalmente a jardineira, a quantidade de
terra que Dona Margarida deverá utilizar é, aproximadamente,
a) 85,0 kg.
b) 8,50 kg.
c) 29,4 kg.
d) 294,1 kg.
07. (UFMS) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço
de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura e 30 cm de
comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram
retirados quadrados idênticos de lados com x cm de comprimento
( 0 < x < 8 ) . Depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. A
expressão que representa a área lateral da caixa é
2
2
2
a) 92x − 8x
b) 62x − 6x
c) 72x − 6x
2
2
d) 46x − 4x
e) 32x − 4x
08. Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de
volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou
uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado,
e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da
caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso.
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do
nível da água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?
a) 0,2 m³
b) 0,48 m³
c) 4,8 m³
d) 20 m³ e) 48 m³
2
3
a) 80x – 36x + 4x
2
3
b) 80x + 36x + 4x
2
3
c) 80x – 18x + x
2
3
d) 80x + 18x + x
2
3
e) 20x – 9x + x
14. (MACK SP/2013) Se no cubo da figura, FI = 4 6 , então a razão
entre o volume e a área total desse cubo é
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
15. Um prisma hexagonal regular possui todas as arestas de medidas
igual a 12 cm. Dele é retirado um, como mostra a figura a seguir, uma
pirâmide ABCD fazendo um corte que contém os pontos A, B e C.
Sendo assim, pode-se afirmar que o volume da pirâmide ABCD é igual
12 cm
a:
3
a) 144 3 cm .
A
3
b) 288 3 cm .
D
3
B
12 cm
c) 72 3 cm .
3
d) 108 3 cm .
3
e) 256 3 cm .
C
09. (UFTM/2013) Um rótulo de forma retangular (figura 1) será
colado em toda a superfície lateral de um recipiente com a forma de
um prisma hexagonal regular (figura 2), sem haver superposição.
Considerando 3 = 1,73 , é correto afirmar que a capacidade desse
recipiente é, em mL, aproximadamente,
a) 934.
b) 1 150.
c) 650.
d) 865.
e) 1 350.
10. (UFPE) Uma calha tem a forma de um prisma reto de base
triangular. A altura do prisma é 1m, e sua base é um triângulo
isósceles com lados congruentes, medindo 0,4m e formando entre si
um ângulo α . Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume,
em litros, que a calha pode ter?
11. Resolva os probleminhas:
a) Diminuindo-se de 1 m a aresta de um cubo, o seu volume diminui
3
2
61 m . Calcule área total desse cubo em m .
b) O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m³. Calcule a
área total do paralelepípedo sabendo que as medidas de suas arestas
são proporcionais aos números 3, 4 e 5.
12. (FGV/2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser
construído. A escala é 1 : 500, ou seja, 1cm, na representação,
corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em
metros cúbicos, do depósito?
16. A embalagem de papelão de um determinado chocolate,
representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal
reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere que cada
um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120° e as arestas
AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do
qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m² e que 3 = 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto
somente com o papelão é aproximadamente igual a:
a) 0,50
b) 0,95
c) 1,50
d) 1,85
e) 0,07
17. (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de
dimensões 2 × 2 × 7 , sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a
a)
11
4
b)
14
4
c)
11
2
d)
13
2
e)
3 7
2
18. Operários rolam um cubo de granito de 1 m de aresta até ele dar
uma volta completa. A rolar o cubo, sempre uma de suas arestas fica
em contato com o solo sem deslisar. Assim, a distância, em metros,
percorrida por um vértice é de:
a)
13. (FGV/2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma
chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de
comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de
lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes
retangulares, conforme sugere a figura a seguir. Assim, o volume, em
3
dm , da caixa assim obtida é
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(1 + 2)π
2
b)
(2 + 2)π
2
POLIEDROS: 01. E
02. D
04. 20
05. 60, 90 06. E
09. D
10. C
11. B
14. B
15. 10/19
PRISMAS: 01) A
02) 90 m3
06) C
07) A
08) A.
11) a) 150m2; b) 846 m2;12) 3240 m3
15) A
16) B
17) B
c)
3π
2
d)
3 2π
2
03. F1 = 12 e F2 = 20
07. 10,24,16
08. 14
12. E
13. 14, 24, 12
03) C
09) A
04) E
10) 80
13) A
05) D
14) E
18) B
2