ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS APLICADO À PARAMETRIZAÇÃO DE MODELOS DE CAPACITORES DE POTÊNCIA SUBMETIDOS A VARIAÇÕES DE TENSÃO
GUILHERME SPAVIERI1, RICARDO T. M. FERREIRA1, GUILHERME G. LAGE1, RICARDO A. S. FERNANDES1, MÁRIO
OLESKOVICZ2.
1.
Laboratório de Smart Grids e Qualidade da Energia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica,
Universidade Federal de São Carlos - UFSCar.
Rodovia Washington Luís, km 235 - SP-310, 13565-905 - São Carlos, SP, Brasil.
[email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
2. Laboratório de Sistemas de Energia Elétrica (LSEE), Departamento de Engenharia Elétrica e de
Computação, Universidade de São Paulo
Avenida Trabalhador São-carlense, 400, 13566-590 - São Carlos, SP, Brasil
[email protected]
Abstract This paper proposes the application of a Particle Swarm Optimization algorithm to model all-film polypropylene
power capacitors fed by sinusoidal 60 Hz voltage signals with variable magnitudes. To accomplish this, laboratory tests with this
capacitor were realized, in which the electric current at the capacitor's terminals was measured, and, then, the particle swarm algorithm was used to optimize the capacitor equivalent electric models proposed in the literature. Thus, the objective of this approach is to minimize the error between the root mean square value of the electric current obtained at the laboratorial tests and
the root mean square value of electric current determined by the equivalent models with their optimized parameters. At last, a
statistical analysis of the distribution of the errors was carried out, from which it was possible to obtain good results that are
properly analyzed and discussed in this paper.
Keywords Power capacitors, capacitors modeling, particle swarm optimization.
Resumo Este artigo propõe a aplicação de um algoritmo de Otimização por Enxame de Partículas para a modelagem de capacitores de potência de polipropileno do tipo all-film quando alimentados por sinais de tensão com magnitude variável e frequência nominal de 60 Hz. Para isto, o capacitor de potência foi submetido a ensaios laboratoriais, onde realizou-se a medição de
corrente elétrica absorvida pelo mesmo e, em seguida, o algoritmo de enxame de partículas foi utilizado para otimizar alguns dos
modelos elétricos equivalentes de capacitores propostos pela literatura correlata. Desta forma, a função objetivo utilizada representa a minimização do erro entre o valor eficaz da corrente obtida nos ensaios e o valor eficaz da corrente obtida pelos modelos
com seus parâmetros otimizados. Por fim, realizou-se uma análise estatística da distribuição dos erros, onde foi possível obter
bons resultados e que são devidamente analisados e discutidos neste artigo.
Palavras-chave Capacitores de potência, modelagem de capacitores, otimização por enxame de partículas.
1
Introdução
Segundo Natarajan (2005), os capacitores de potência são dispositivos constituídos basicamente por
dois ou mais elementos de material condutor separados entre si por um material dielétrico, garantindo a
estes dispositivos a propriedade de armazenar energia
na forma de campo elétrico. Tais capacitores podem
ser fabricados a partir de uma variedade de materiais
condutores e dielétricos que, somados às características geométricas do dispositivo, definem os valores
nominais deste, como por exemplo, a potência máxima de operação, a tensão nominal e o fator de dissipação. Desta forma, destaca-se que este artigo trata
especificamente de capacitores de potência cujo material dielétrico é uma lâmina dupla de polipropileno
e óleo biodegradável, bem como o elemento condutor
é composto por um filme de alumínio, sendo esta
tecnologia conhecida como all-film, conforme mencionado em Takeoka (2003).
De acordo com Stevenson (1982), o estudo da
qualidade da energia elétrica que é entregue às cargas
requer a representação de sistemas elétricos complexos e a modelagem dos elementos que o compõem,
tendo como objetivo principal a realização de simulações computacionais mais semelhantes com a realidade. Além disso, a IEEE Std. 1036-2010 (2010)
indica que os capacitores de potência são de grande
importância, pois influenciam de forma pronunciada
os resultados da análise do sistema.
Neste sentido, cabe mencionar que o modelo elétrico equivalente de um capacitor de potência pode
apresentar, além do elemento capacitivo que representa a capacitância nominal do dispositivo, outros
elementos capacitivos, resistivos e indutivos, que
estão relacionados às características construtivas e
geométricas do capacitor. Em Amaral (2010), Brown,
Gray e Harvey (2006) e Parler (1999) são apresentados diversos modelos equivalentes com distintas
complexidades, que podem possuir inclusive elementos que variam com a frequência. Entretanto, as pesquisas realizadas nesta área consideram apenas o
caso em que o capacitor é alimentado por um sinal de
tensão puramente senoidal e com magnitude constante (normalmente, seu valor nominal), fato este que
não é observado em sistemas de distribuição, onde os
capacitores são constantemente submetidos a variações e desequilíbrios de tensão.
Devido ao fato de que diferentes modelos podem
ser utilizados para representar um capacitor de potência e os dispositivos comerciais não possuem em
suas especificações os parâmetros que constituem tais
modelos equivalentes, para que suas parametrizações
sejam devidamente realizadas, alguns ensaios específicos são importantes, entretanto, resultariam na retirada do dispositivo de seu ponto de acoplamento.
Seguindo o contexto supracitado, este artigo
propõe a utilização de um algoritmo de otimização
por enxame de partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) para a estimação paramétrica dos modelos equivalentes que possam representar um capacitor
de potência. Ressalta-se que tal capacitor foi submetido a ensaios laboratoriais para que os parâmetros de
cada modelo equivalente pudessem ser definidos em
comparação a um valor de referência (valores medidos durante os ensaios). A partir desta comparação,
pretende-se estabelecer o modelo mais apropriado/confiável ao capacitor ensaiado em relação às
restrições paramétricas definidas e também às variações de tensão.
2 Modelos Equivalentes de Capacitores de Potência e Ensaios Laboratoriais
2.1 Modelagem de capacitores de potência.
Conforme descrito por Brown (2007), o modelo
comumente utilizado para capacitores de potência
(Figura 1) proporciona uma modelagem razoável
para a maioria das aplicações em baixa frequência, de
modo que todos os parâmetros deste modelo são assumidos fixos e não variam com a frequência. A resistência equivalente em série (RES) modela as perdas
ôhmicas no capacitor, incluindo dissipação resistiva
no filme metálico e as perdas por corrente induzida.
A indutância equivalente em série (LES) representa a
autoindutância do capacitor. A capacitância equivalente em série (CES) representa a capacitância total
manifestada pelo capacitor e a condutância equivalente em série (GES) representa as perdas por dispersão no dielétrico e ao redor deste. Como em grande
parte dos casos a corrente de fuga no dielétrico é
extremamente baixa, esta pode ser desprezada, eliminando assim o parâmetro GES do modelo equivalente.
Capacitor
RRsES
L
GES
Rp
LES
CES
C
Figura 1. Modelo equivalente simplificado de um capacitor de
potência.
No entanto, este é um modelo simplificado que,
apesar de permitir uma modelagem prática, não considera tanto altas frequências quanto o efeito das características construtivas do capacitor (por exemplo,
geometria e resistividade do filme metálico).
Um capacitor de potência também pode ser representado por meio de uma modelagem com parâmetros distribuídos, a qual é baseada em vários estágios que são compostos por micro capacitores conectados em série (Figura 2). Este tipo de modelagem é
mais complexa e requer diversos ensaios específicos,
porém, representa de maneira mais exata as características físicas e elétricas do capacitor. Cabe destacar
que, para fins práticos, um número limitado de estágios é utilizado na modelagem de um capacitor de
potência.
Figura 2. Modelo equivalente de um capacitor de potência considerando parâmetros distribuídos.
2.2 Ensaios Laboratoriais.
O capacitor de potência utilizado foi produzido à
base de polipropileno com tecnologia all-film, capacitância nominal de 12 µF e potência nominal de 2,5
kvar. Cabe ainda comentar que os ensaios foram realizados em uma bancada contida no laboratório de
Qualidade de Energia Elétrica (LAMQEE) do Departamento de Energia Elétrica e de Computação da
Universidade de São Paulo – Campi São Carlos. A
bancada de ensaios pode ser observada por meio da
Figura 3.
Fonte de
Alimentação
Programável
Microcomputador
para Aquisição
dos Dados
Capacitor
de Potência
Figura 3. Bancada de ensaios disponibilizada pelo LAMQEE.
A fonte de tensão utilizada para alimentar o capacitor de potência é fabricada pela empresa California Instruments, podendo suportar uma potência aparente de até 5 kVA. O controle desta fonte de tensão
e a aquisição dos dados de ensaio foram feitos por
meio do software CIGui, onde os seguintes dados
foram obtidos:

Frequência, tensão RMS, corrente RMS,
ângulos de fase, potências ativa e aparente,
fator de potência, corrente de pico e fator de
crista;
 Formas de onda de corrente, tensão e potência do capacitor ensaiado.
Os ensaios foram repetidos cinco vezes com o
intuito de eliminar possíveis dados incoerentes causados por interferências eletromagnéticas ou erros de
medição do próprio equipamento. Assim, foram configuradas formas de onda com tensão puramente senoidal, onde o valor RMS da tensão foi variado entre
209 V e 231 V, em intervalos de 0,5 V.
Depois de realizados os ensaios supracitados,
iniciou-se o processo de organização e tratamento
dos dados obtidos, com o objetivo de facilitar o processo de otimização dos modelos a serem utilizados.
(gB) associada a todo o enxame e a melhor posição
individual que cada partícula já percorreu no espaço
(pB) que é associada a cada partícula do enxame.
Ambas as métricas são medidas por uma função de
aptidão, f(p), que corresponde à otimização do problema tratado. A influência exercida pelas métricas
gB e pB no movimento das partículas pode ser definida por duas constantes, a saber: o fator social (φS) e o
fator cognitivo (φC). Além disso, a capacidade de
exploração do espaço de busca pela partícula é controlada pelo fator de inércia (ω).
Assim, uma partícula pi irá se mover em uma determinada direção que é função de: sua posição atual
xi(t), sua velocidade vi(t), melhor posição da partícula
até o momento (pB) e melhor posição global já percorrida (gB). Portanto, a velocidade de uma partícula
será ajustada por meio da Equação 1:
vi(t+1) = ω×vi(t) + φC×(pB – xi(t)) + φS×(gB – xi(t))
(1)
3 Otimização por Enxame de Partículas
O algoritmo de otimização por enxame de partículas foi introduzido por James Kennedy e Russell
Eberhart em 1995, onde o mesmo foi empregado a
problemas no domínio contínuo. Este algoritmo é
baseado no comportamento social observado em muitas espécies de animais como: pássaros, peixes e o
próprio ser humano; e avalia as interações sociais por
meio da avaliação das próprias experiências e das
experiências dos indivíduos ao seu redor. Estes dois
tipos de experiência correspondem à aprendizagem
cognitiva e à aprendizagem social. De acordo com
Kennedy, Eberhart e Shi (2001), o desenvolvimento
do PSO se deu com base em três princípios básicos:
1. Avaliação – os indivíduos são capazes de
avaliar a situação atual em que se encontram
e suas experiências;
2. Comparação – os indivíduos são capazes de
comparar suas próprias experiências e a de
seus vizinhos;
3. Imitação – se baseia na comparação das experiências do grupo, ou seja, os indivíduos
imitam os vizinhos que obtiveram as melhores experiências.
Segundo Siciliano (2007) e Serapião (2009), no
PSO, os indivíduos são representados por pontos
denominados partículas, que percorrem um determinado espaço de busca com dimensão que varia de
acordo com a quantidade de variáveis associadas ao
problema. Portanto, a posição de cada partícula no
espaço de busca define a movimentação desta e a
influência dela no movimento de suas vizinhas. Tal
topologia de vizinhança, em que todas as partículas
estão conectadas entre si, é denominada global best
(gbest). Ademais, o conjunto de todas as partículas é
chamado de enxame.
O algoritmo de PSO utilizado neste trabalho utiliza dois valores como princípios sócio-métricos do
movimento das partículas: a melhor posição no espaço de busca já percorrida por alguma das partículas
Tendo a velocidade da partícula para o instante
(t+1) calculada, pode-se obter a nova posição que a
partícula ocupará no espaço de busca para a próxima
iteração pela Equação 2:
xi(t+1) = xi(t) + vi(t+1)
(2)
Entretanto, para garantir que a partícula não extrapole o espaço de busca, a velocidade e a posição
das partículas são limitadas pelos valores vmax e xmax.
Os cálculos de velocidade e posição são então
calculados de forma iterativa até que um critério de
parada seja atingido, como por exemplo, até que a
velocidade das partículas seja próxima de zero ou até
que um determinado número de iterações seja realizado.
4 Metodologia Proposta e Análise de Resultados
A modelagem do capacitor de potência all-film
de polipropileno foi realizada por meio de dois modelos equivalentes, conforme apresentados pelas Figuras 1 e 2. Tais modelos foram implementados e
simulados empregando-se a Toolbox Simulink contida no software Mathworks Matlab.
Estes modelos foram considerados, pois, são divergentes em termos de complexidade e, portanto,
uma análise comparativa de ambos é de grande interesse. Além disso, tal comparação permite que o PSO
também seja devidamente avaliado.
Para ambos os modelos, a população do enxame
no algoritmo de PSO utilizado foi definido de forma
empírica como sendo 50 partículas, onde cada qual
ocupa uma posição aleatória inicial no espaço de
busca. Este espaço possui dimensão igual ao número
de elementos que constituem o modelo equivalente
considerado e cada dimensão possui suas respectivas
restrições. Assim, o enxame é inicializado com todas
as partículas em posições aleatórias que representam
soluções do problema, ou seja, valores de cada um
dos parâmetros a serem otimizados para cada modelo
do capacitor. Desta forma, estes valores são inseridos
em cada modelo que, na sequência, é simulado com
tensões de alimentação senoidais que são idênticas
àquelas utilizadas durante os ensaios laboratoriais,
isto é, entre 209 V e 231 V. Assim, a corrente absorvida pelo capacitor pode ser obtida e comparada à
corrente medida durante os ensaios. Cabe comentar
que esta comparação entre as correntes simulada e
ensaiada é feita pela função objetivo, onde o erro
entre elas é calculado e pode ser definida uma aptidão para cada partícula. A da aptidão de cada partícula e da melhor aptidão obtida entre todas as partículas do enxame, as partículas têm suas velocidades e
posições recalculadas para que a busca possa ser realizada, ou seja, para que novos parâmetros do modelo
sejam analisados.
Conforme comentado, a função aptidão compara
os sinais de corrente obtidos pela simulação do modelo e pelos ensaios laboratoriais. Para tanto, calculase o erro quadrático entre o valor eficaz das duas
correntes, o qual pode ser definido por meio da
Equação 3:
Erro = (IRMS(PSO) – IRMS(ENSAIO))2
(3)
O PSO realiza o processo supracitado a cada iteração e tem como critério de parada o número máximo de 50 iterações. O modelo otimizado obtido pelo
algoritmo é considerado como sendo o de menor erro
quadrático.
Neste sentido, a Tabela 1 indica os parâmetros
utilizados no PSO desenvolvido neste artigo. Cabe
mencionar que tais valores foram definidos de maneira empírica.
Tabela 1. Parâmetros utilizados no algoritmo de PSO.
Número máximo de iterações
Número de partículas do enxame
Fator de inércia
Fator cognitivo
Fator social
50
50
1,20
1,25
1,25
tacado (tracejado em vermelho) na Figura 4. A medida de dispersão apropriada foi a distância interquartílica, que foi utilizada justamente devido à presença
de valores extremos na distribuição. A distância interquartílica da distribuição apresentada na Figura 5
foi de 1,8821e-7 A.
Figura 4. Distribuição do erro para diferentes tensões – modelo
simplificado.
A distância interquartílica foi aproximadamente
três vezes maior do que o valor central, demonstrando alta dispersão na distribuição dos erros e indicando que há grande influência da tensão de alimentação
na eficácia do PSO para a modelagem do capacitor
de potência pelo modelo simplificado.
4.3 Análise dos resultados obtidos para o modelo
com parâmetros distribuídos.
O mesmo intervalo de tensões de alimentação foi
utilizado e a modelagem realizada pelo PSO para o
modelo equivalente com parâmetros distribuídos
apresentou erros da ordem de miliampéres, sendo o
maior 4,8425e-3 A. A distribuição dos erros em relação à tensão de alimentação é apresentada na Figura
5.
4.1 Análise dos resultados obtidos para o modelo
simplificado.
Os erros obtidos considerando-se o modelo simplificado para um intervalo de tensões de alimentação
entre 209 V e 231 V foram todos menores que
3,1242e-6 A que representa um valor satisfatório,
pois, indica boa exatidão para a representação de um
capacitor real. A distribuição dos erros de acordo
com a tensão de alimentação pode ser observada na
Figura 4.
A distribuição dos erros possui diversos valores
extremos que prejudicam a análise da média do erro
obtido. Portanto, a medida de tendência central apropriada para a avaliação desta distribuição foi o valor
central (ou mediana) de 5,8989e-8 A, o qual está des-
Figura 5. Distribuição do erro para diferentes tensões – modelo
com parâmetros distribuídos.
A medida central utilizada para a análise da distribuição do erro no modelo com parâmetros distribuídos foi a média aritmética dos erros obtidos, de
1,2529e-3 A. A média está destacada por uma linha
tracejada vermelha na Figura 5. Já a medida de dispersão utilizada para a análise da distribuição foi o
desvio padrão que apresentou ±1.3316e-3 A. Comparando o desvio padrão com o valor médio é possível
notar que a dispersão do erro em relação à tensão de
alimentação, apesar de não ser baixa, é muito melhor
que a obtida para o modelo simplificado.
Comparando as medidas de tendência central obtidas na distribuição dos erros para o modelo simplificado e para o modelo com parâmetros distribuídos é
possível notar que o erro do PSO na modelagem do
capacitor de potência por um modelo de parâmetros
distribuídos foi mais de vinte mil vezes maior que o
erro médio obtido para o modelo simplificado, indicando que o PSO é mais eficaz na modelagem do
capacitor de potência all-film de polipropileno pelo
modelo simplificado, ou seja, pelo modelo menos
complexo.
É interessante notar também que, apesar de o erro para o modelo com parâmetros distribuídos ser
muito maior, a dispersão dos erros em relação à tensão de alimentação do capacitor foi menor que a dispersão dos erros em relação à tensão de alimentação
para o modelo simplificado, indicando que para o
modelo com parâmetros distribuídos a eficácia da
parametrização realizada pelo PSO sofre menos influência da variação da tensão de alimentação.
5 Conclusão
O PSO mostrou-se eficaz na modelagem do capacitor de potência all-film de polipropileno utilizando o modelo equivalente série simplificado para capacitores de potência. Entretanto, o erro obtido pela
modelagem em relação ao valor real da corrente nos
terminais do capacitor variou com a tensão de alimentação aplicada, de forma que em sistemas com
variação de tensão ou desequilibrados a eficácia do
PSO varia para os diferentes níveis de tensão.
Em contrapartida, o PSO obteve erros muito
maiores para a modelagem realizada empregando-se
parâmetros distribuídos, tendo demonstrado menor
eficácia do algoritmo com a utilização de um modelo
equivalente mais complexo. Porém, os erros obtidos
para o modelo com parâmetros distribuídos mostram
que tal modelo possui menor dependência da tensão
de alimentação, indicando que a aplicação deste tipo
de modelo é mais apropriada para capacitores de
potência alocados em sistemas que possam apresentar
forte desiquilíbrio de tensão.
É importante salientar que o PSO foi escolhido
devido à necessidade de se configurar apenas os parâmetros cognitivo e social, no entanto, outras metaheurísticas poderiam ser empregadas. Porém, é provável, que seus resultados fossem bastante semelhantes e, desta forma, apenas o tempo computacional
seria distinto. Entretanto, por este ser um problema
onde o tempo real é indiferente, não houve a real
necessidade em se empregar outro algoritmo.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer ao CNPq
(Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico), à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e à FAPESP
(Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São
Paulo).
Referências Bibliográficas
Amaral, A. R (2010). Técnicas de Medida para a
Caracterização do Circuito Equivalente de Condensadores Eletrolíticos de Alumínio. Universidade de Coimbra, Coimbra.
Brown, R. W., Gray D. C. e Harvey A (2006). A
Classical Capacitor Equivalent Circuit with Dependent Values. IEEE Region 10 Conference TENCON; pp. 1-4.
Brown, R. W (2007). Electrical and Thermal Modelling of Low Power Metallised Polypropylene
Capacitors. Ph.D. Thesis, School of Electrical
and Computer Engineering, Melbourne.
IEEE Std. 1036-2010 (2010). IEEE Guide for Application of Shunt Power Capacitors.
Kennedy, J., Eberhart, J. C. e Shi, Y. (2001). Swarm
Intelligence. Morgan Kaufmann/Academic Press,
San Francisco.
Natarajan, R. (2005). Power System Capacitors. CRC
Press, Boca Raton - FL.
Parler, S. G (1999). Thermal Modelling of Aluminum
Electrolytic Capacitors. Industry Applications
Conference.
Serapião, A. S (2009). Fundamentos de Otimização
por Inteligência de Enxames: Uma Visão Geral.
Revista Controle & Automação, Vol. 20, No. 3;
pp. 271-304.
Siciliano, A. V (2007). Algoritmos Genéticos e Particle Swarm Optimization e suas Aplicações
Problemas de Guerra Eletrônica. IX Simpósio de
Guerra Eletrônica.
Stevenson, W. D (1982). Elements of Power System
Analysis. 4th Ed. McGraw-Hill, New York.
Takeoka, H. (2003). Development of Polypropylene
Film Capacitor Using Double Metallizing Technology. Proceedings of the 7th International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials, vol. 3, pp. 1198-1201.