Lista II
Prof. Leandro Colau Merlo
Os exercı́cios desta lista devem ser feitos sem o uso de coordenadas.
1. Neste exercı́cio use a figura F1 .
(a) Determine a distância entre cada ponto da figura;
~ ~v = CD
~ e esboce as seguintes combinações lineares:
(b) Considere ~u = AB,
ii) − 12 ~v
i) 2~u
1
iii) 2~u − ~v
2
iv) 3~v − 2~u.
Os quadrados menores
das grades nas figuras
abaixo tem lado 1.
2. Neste exercı́cio use os vetores da figura F2 .
(a) Represente w
~ como combinação linear de ~u e ~v ;
(b) Represente ~t como combinação linear de ~u e ~v ;
(c) Represente ~u como combinação linear de ~v e w;
~
(d) Represente ~u como combinação linear de ~v e ~t;
(e) Represente ~v como combinação linear de w
~ e ~t;
(f) Determine:
i) |~u|
ii) |~v |
iii) |w|
~
Figura F1
iv) |~t |
(g) Determine cos θ, onde:
i) θ = ](~u, w)
~
ii) θ = ](~u, ~t )
iii) θ = ](~v , ~t )
iv) θ = ](w,
~ ~t )
(h) Determine:
ii) h~u, ~t i
i) h~u, wi
~
iii) h~v , ~t i
iv) hw,
~ ~t i
Figura F2
(i) Determine:
i) P roj~v ~u
ii) P roj~u w
~
iii) P rojw~ ~u
iv) P roj~v ~t
(j) Supondo que os vetores estão em E determine o módulo dos vetores abaixo e diga quais
deles apontam para a folha e quais apontam para você:
ii) ~u × ~t
i) ~u × w
~
iii) ~v × ~t
iv) w
~ × ~t
3. Sabendo que θ = ∠(~u, ~v ), determine h~u, ~v i, h~u, −~v i e h~u, 2~u + 3~v i nos seguintes casos:
(a) |~u| = 2, |~v | = 3 e θ = π3
√
(b) |~u| = 2, |~v | = 5 e θ =
π
4
(c) |~u| = 31 ,
(d) |~u| = a,
|~v | = π e θ = 3π
4
|~v | = b e θ = π2
4. * Numa folha de papel represente um vetor w
~ com |w|
~ = 1.
(a) É possı́vel encontrar ~u, ~v com |~u| = |~v | = 1 e tais que ~u + ~v = w
~ ?
(b) Para quais valores de a ∈ R podemos encontrar ~u, ~v com |~u| = |~v | = a e tais que ~u + ~v = w
~ ?
5. * Seja P0 um ponto e sejam ~u e ~v vetores. Nas equações abaixo determine as constantes e as variáveis
e diga se o conjunto determinado por elas é uma reta, um plano ou outro.
(a) A : hP − P0 , ~u i = 0 em ~P;
~
(b) B : hP~0 P , ~u i = 0 em E;
(c) C : P = Po + t~u × ~v , t ∈ R em ~P;
~
(d) D : P = Po + t~u × ~v , t ∈ R em E;
(e) E : (P − P0 ) × ~u = t~v , t ∈ R;
(f) F : (P − P0 ) × t~u = ~v , t ∈ R.