Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein:
entre a métrica e a filosofia
Ramiro Délio Borges de Meneses
Professor Adjunto do Instituto Politécnico de Saúde do Norte – Gandra e
Famalicão – PORTUGAL
Introdução
A generalização operada por A. Einstein atingiu elevado significado que chegou
à formulação seguinte: as leis da física devem ter uma estrutura tal que a sua validade
permanece, em sistemas de referência animados, para qualquer movimento.1
Havendo uma reformulação e generalização da covariância, para os sistemas
inerciais, teremos, pela teoria da relatividade generalizada, uma nova extensão métrica
do espaço-tempo, através de um invariante tensorial:
ds 2 = g ik ⋅ dxi ⋅ dx k .
Na lei da gravitação de Newton, a quantidade (G) era uma constante fixa e
universal, dado que o Universo, muito para além do sistema solar, era conhecido por ser
uniforme.2
A relatividade generalizada afirma que a constante de gravitação é
verdadeiramente uma “constante”.
1
SANTAVY, I. – “Newton’s first law”, in: European Journal of Physics, 7 Bristol, 1986, 133.
NEWTON, I. – Principia della Filosofia Naturale, a cura di A Pala, Unione Tipografico Editrice,
Torino, s/d, 67.
2
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Uma das experiências fundamentais, para interpretar os fenómenos gravíticos,
fora apresentada por Eœtvœs, segundo a qual o fio de uma barra não está pendurado
exactamente na vertical, devido à força centrifuga, causada pela rotação da terra, de
modo que a força gravitacional, no sentido descendente, actuando sobre as esferas, não
será paralela à fibra. Se a gravidade atrai um dos corpos materiais, com mais intensidade
do que outra, então a barra rodará em torno do eixo da fibra.
Porém, todo o instrumento é rodado de maneira que as esferas (massas) trocam
de lugar, sendo a rotação resultante em sentido oposto.
A rotação é detectada, através da observação da luz e reflectida por um espelho
fixo na fibra de suspensão da barra.
A validade lógica destas experiências, fundamentais para a gravitação, resulta do
princípio da equivalência:
G ⋅ m ⋅ m′ r 2 ⋅ x′ r ;
G ⋅ m ⋅ m′ r 2 ⋅ y ′ r ;
G ⋅ m ⋅ m′ r 2 ⋅ z ′ r .
F = − grad (k ⋅ m ⋅ m′ r ) = − grad ⋅ S .3
A força, que actua no campo com massa m , é um gradiente negativo do
potencial gravitacional (Gk , λk ) .
Daqui que será γm = − GM r . A energia potencial do campo gravítico
apresenta-se:
φ = m ⋅ γM = m ⋅ G ⋅ M r = −G ⋅ m ⋅ M r .
A força, agindo sobre uma massa pontual, num mesmo instante, está
determinada pela distância de todas as outras massas e pela própria massa.
3
Idem, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Fromman-Verlag, Stuttgart, 1964, 120.
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Na verdade, a distância das duas massas pontuais possui um significado
invariante. A teoria mecânica da gravitação, como teoria do campo electromagnético da
física pré-relativista, baseia-se numa conjunção uniforme do espaço-tempo.
Para Newton, o fenómeno gravítico resulta do influxo interactivo de dois ou ncorpos, como se assevera no próprio texto
Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica.4
Porém, para Einstein, irá ser a gravitação um efeito da conexão mássicoenergética, curvada geodesicamente, enquanto que, segundo Newton, o fenómeno da
gravitação circunscreve-se à intersecção ou efeito de n-forças mecânicas, sendo
resultante das referidas forças atractivas, não se aplicando ao domínio gravítico.
Newton determinou a intensidade do efeito gravítico entre as duas massas,
mostrando que a força de gravitação é uma atracção e que a sua intensidade se define
pela equação:
F = G ⋅m⋅M r2 .
A teoria newtoniana da gravitação é “covariante”, relativamente ao grupo de
transformação de Galileu, fundando-se no princípio da relatividade clássica do
movimento.
1 – Inícios da Gravitação : de Newton a Einstein
O estudo dos começos da teoria de Newton, feito do ponto de vista da física do
campo, colocou em evidência a necessidade de generalização da Relatividade Restrita,
como teoria conhecida pelo nome de Relatividade Generalizada de Einstein.
A força gravítica distingue-se das demais forças na proporcionalidade da massa
do corpo sobre o qual se exerce.
4
Idem, Ibidem, 120-122.
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r r
A lei ponderomotriz da Mecânica Clássica, m ⋅ r = F , dada em sistemas de
equações, referencia-se em coordenadas cartesianas.
As componentes da força, actuando num corpo, são proporcionais à massa desse
corpo. Como mi é uma “constante”, a aceleração de um corpo é independente da massa,
r
porque no campo da electrostática E , a força, que se exerce sobre uma carga eléctrica,
será dependente do campo.
Tal como se passa no campo electrostático, assim sucede no domínio do peso:
m ⋅ g . A força, agindo sobre um corpo, será: m ⋅ g = P . A carga da gravitação é
r
independente do corpo g no campo.
Logo, a aceleração é definida por:
r
r
mi r = m ⋅ p ⋅ g .
A massa pesada é igual à massa inerte, tal como no campo electrostático, devido à
lei de Coulomb:
r r
r
r
r
E = Er = −δ φ δ r = ε 2 ⋅ r 4π ⋅ ε ⋅ r 3 ;
r
r
r
E = ε 2 ⋅r ε ⋅r3. 5
Daqui se conclui que a aceleração de um sistema de pontos materiais
,no campo gravitacional, é independente das duas massas
(∑ P m )
i
(m ⋅ gi; mi ) para
i
as
velocidades:
(força) = (massa inerte) ⋅ (aceleração)
r
r
F = m⋅a .
Se a força é o peso do corpo, então será:
5
WEYL, H – Espace, Temps et Matiére, leçons sur la relativité générale, traduites sur la 4ª editions
allemand, Librairie Scientifique, Paris, 1922, 197.
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[força] = [massa pesada] ⋅ [intensidade do campo gravítico]
Logo, considera-se a massa pesada como característica do corpo.
r
A experiência prova que, para um mesmo campo gravítico, a aceleração (r ) é
independente do corpo e o quociente da massa gravítica, pela massa inerte, determina
uma constante independente da natureza do corpo. Desta sorte, a massa gravítica é igual
r r
à massa inerte. A aceleração é, pois, igual à intensidade do campo (r = g ) . A teoria de
Newton admite este facto sem o interpretar.
A massa activa dum sistema isolado, para uma entidade global, em repouso
pelas coordenadas, liga-se à constante α .
Partindo de:
g ik = (ε 1 + α r ) ⋅ δ ik + δ 2 + δ 3 ;
g ik = (1 + 2α r ) + δ 2 + δ 3 ;
g ik = (ε 1 − α r ) ⋅ δ ik + δ 2 + δ 3 .
O valor da constante será:
α = 2 K ⋅ M c 2 ⋅ K ⋅ c 2 ⋅ M 4π .
Contudo, seguindo as equações:
H 0 = 4πα k > 0
e
M = M0
1− v2 c2 ; M 0 = M 0 c2 .
Teremos:
H = M ⋅C2 .
Daqui se aufere que:
Mg = 4π r K ⋅ c 2 = H 0 c 2 = M 0 .
Sendo H 0 = M ⋅ c 2 , substituindo, na parte final da equação, teremos:
M 0 ⋅ c 2 c 2 = Mc .
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A massa gravitacional activa é igual à massa inerte, que, por sua vez, será igual à
massa passiva e define o comprimento da força gravitacional, na qual um campo
gravítico actua num corpo.6
A igualdade dos três tipos de massa é um tratamento matemático na teoria da
gravitação de Einstein.7
Uma simples transformação, para sistemas acelerados de referência, permite a
determinação das quantidades do campo, descrevendo os gravitacionais em sistemas
acelerados.
De acordo com o princípio da equivalência, estas quantidades poderão dar-nos
uma descrição correcta dos campos permanentes da gravitação, visto que R´ surge em
repouso, estando presente um campo gravítico em R´.
Tal julga-se equivalente pela ideia de que R é um referencial admissível, ainda
que não exista campo de peso presente.
A esta hipótese da equivalência física, completada para referenciais R´ e R´,
chama Einstein “princípio da equivalência”.8
Assim, gravitação e equivalência formam um “todo”, como igualdade
fenomenológica para todos os sistemas de referência.
O princípio da equivalência mostra que o movimento acelerado não é absoluto.
As forças de inércia, criadas pela aceleração, não podem distinguir-se das forças
gravitacionais. Tais forças são equivalentes segundo o movimento e a aceleração
relativas.
6
8 - DIRAC, P.M.N. – General Theory of Relativity, J. Weley and Sons, London, 1975, 25-26.
ROSSER, W.G. – Introduction to Relativity, Butterworthes, London, 1967, 260-262.
8
EDDINGTON, A. S. – The Mathematical Theory of Relativity, At the University Press, Cambrigde,
1958, 145.
7
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Todavia, o princípio da equivalência anda ligado ao teorema da igualdade, entre
massa inerte e massa gravítica, passando à generalização do princípio da relatividade
para referenciais que estão animados de movimento não uniforme.
Segundo esta concepção, chegamos à proporcionalidade entre inércia e
gravitação:
[massa inerte] = [massa pesada]
As propriedades do movimento, num referencial não-galilaico, são as mesmas
do que num referencial galilaico na presença do campo gravítico,
Para ilustrar a equivalência dos referenciais de Galileu e dos referenciais não-galilaicos, Einstein determinou um observador isolado e fechado na cabina dum
ascensor. Concluiu-se que todos os objectos têm a mesma aceleração.
O campo equivalente a um referencial animado de movimento uniformemente
acelerado é o mesmo para todo o espaço e tende para infinito.9
O princípio da equivalência pode enunciar-se da seguinte forma: a inércia e o peso
são iguais, [mi = mg ] , no campo gravítico. Assim se exprime matematicamente:
Mi (1) Mg (2) = Mi (Pt ) Mg (Pt ) ou Mi Mg = 0 .
Eœtvœs verificou experimentalmente a lei da equivalência. A sua experiência
consistiu em usar um pêndulo suspenso, à superfície da Terra, na latitude de 45º. Sobre
o pêndulo exerce-se uma força com valor de Mg , orientada na direcção do baricentro
terrestre e, também, com força centrífuga:
Mi 2 ⋅ Rg
9
2.
HENRIQUES, A. B. – “Espaço, tempo e matéria” in: Colóquio de Ciências, 4, Lisboa, 1989, 8-17.
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Mas, de tal forma que o factor i
2 aparece como: cos 45º R (t )
2 , sendo a
distância perpendicular à referida latitude do pêndulo no eixo de rotação da Terra.
Eœtvœs utilizou um instrumento denominado balança de torção.
Segundo a experiência, se M (1) não for igual a M (2) , então a fibra de torção
vai actuar sobre a acção das forças centrífugas não isócronas.
A experiência repetiu-se rodando o aparelho e facilitando a determinação do
valor zero na balança.
Segundo esta experiência, observou-se:
Mi(1) ≠ Mi(2) .
A platina (Pt) foi usada como padrão, verificando-se:
Mi Mg = 0 .
Uma experiência realizada em 1964, por Pollkrikkov-Decke, veio confirmar a
igualdade das categorias da massa até uma parte para 1010. Zeemann repetiu esta
experiência usando isótopos de urânio.
A massa determinada, com um espectógrafo de massa, é a massa inerte. O
resultado de Zeemann (1917) mostrou que a energia de ligação do núcleo de Urânio
também corresponde a uma massa gravitacional, que possui o mesmo quociente
universal para a massa inercial.
A presente situação experimental resume-se nas seguintes conclusões:
1-
O valor de θ ,para um electrão e para um protão, é equivalente ao valor
de θ para um neutrão até uma parte por 107;
2-
O valor de θ, no desenvolvimento da massa nuclear, associada à
energia de ligação nuclear, será igual até a uma parte por 105;
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3-
O valor de θ, para a parte da massa atómica, conjuntamente com a
energia de ligação dos electrões orbitais, será igual à unidade até uma
parte por 200.
Uma experiência com maior precisão foi realizada por R. Digke (1964),
obtendo-se valores diferentes.
Um valor pequeno, para a massa gravítica dos protões, foi definido por R. V.
Pound e A. Rebkar. Estes partiram das equações sobre a frequência de protões, medida
após a queda:
(
)
v = v 1 + 2L c 2 .
O desvio relativo da frequência será:
( )(
∆v v = g L c 2 = 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 3
) (9 ⋅ 10 )
10 2
= 2 ⋅ 10 −15 .
Um efeito, extremamente pequeno, foi observado usando uma fonte de raios
gama (γ). Pound e Rebka encontraram o seguinte valor:
(∆v ) (∆v )cat
= 1,64 ± 0,20 . 10
Porém, muitas foram as confirmações experimentais de tal princípio
fundamental da Relatividade Generalizada. A invariância desta relatividade é mais
“abstracta”, porque “contravariante”. É mais universal, enquanto que a invariância da
Relatividade Restrita é particular e covariante em termos inerciais.
As leis da física devem ter uma estrutura tal que a sua validade permaneça em
sistemas de referência animados de qualquer movimento.
A nova extensão expressa-se no enunciado seguinte: seja Κ um referencial de
Galileu, tal como em relação a uma massa infinitamente afastada de outras massas,
desloca-se em movimento rectilíneo e uniforme. Será Κ´ um segundo sistema de
10
EINSTEIN, A. – La Theórie de la Relativité Restreinte et Générale, Gauthier-Villars, Paris, 1954, 64.
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coordenadas, que tem uma relação a Κ com movimento de translocação uniformemente
acelerado.
Teríamos uma massa suficientemente afastada das outras, como massa animada
de movimento acelerado, relativamente a Κ´, sendo a sua aceleração, tanto em grandeza
quanto em direcção, independente da sua composição material e do seu estado físico.
Poderá um observador em repouso, relativamente a Κ´, encontrar-se sobre um
referencial acelerado? A resposta é negativa.
O referido comportamento das massas move-se livremente em relação a Κ. O
referencial Κ´ não só será animado de movimento acelerado, como também existe um
campo de gravitação, no espaço-tempo, originando tal movimento acelerado dos corpos
em relação a Κ.11
Verificámos, pelo princípio da covariância das leis da física, que a grande
generalização, relativamente ao princípio da relatividade restrita, se operará nos graus
do movimento, passando do movimento uniforme e rectilíneo para o de translação
acelerado. Implica uma remodelação extensiva do sistema de inércia, segundo a lei
geral, que não só são válidos em sistemas inerciais, como igualmente os referenciais não
inerciais.
Segundo Einstein, todos os referenciais são equivalentes para formular as leis da
natureza. Estas são covariantes para transformações de coordenadas, ou seja, devem ser
tais que serão válidas para quaisquer referenciais. A nova extensão exige que as
equações exprimam tais leis, conservando a sua forma num campo gravitacional. Logo:
F ( A, B, ..., dA dx, dB dx ) = 0 , em que A e B são quantidades físicas.
11
EINSTEIN, A. – The Meaning of Relativity, second edition, Princeton University Press, New Jersey,
1945, 103-104.
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Noutro sistema arbitrário de coordenadas (x’), surge a mesma relação funcional
entre as quantidades físicas em x’:
(
)
F A′, B ′, ..., dA′ dx i , dB ′ dx j = 0 .
Estas quantidades determinam as propriedades da Geometria em cada sistema de
coordenadas curvilíneas, definindo a métrica do espaço-tempo de Riemann para o
campo gravítico.
As equações diferenciais, na sua formulação generalizada covariante, serão:
F (g ik , R jo ,..., dg ik dxl ; dg ik dxi ) = F (g ik′ , g ′jl ,..., dg ik dx1k ; dg jl dxl ) .
Nas equações gerais das leis da física, as dimensões tensoriais (covariantes,
contravariantes e mistas) são as mesmas para todo e qualquer sistema inercial ou não.
Para certas regiões, em que o espaço-tempo é vazio, confina-se o uso de
coordenadas lineares de Lorentz. O tensor métrico gik é a continuação do gik do
Minkowki.
As equações, em dimensões tensoriais contravariantes, por contracção dos
índices, passarão a covariantes:
F ( A, B, ..., dA dxi, dB dxi ) = F ( A′, B ′, ..., dA′ dxi, dB ′ dxj ) .
As leis da teoria da relatividade restrita diferem das da Relatividade
Generalizada, em dois aspectos:
-
quantidades físicas;
-
dimensões tensoriais.
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Para se obter a representação das leis da física, segundo a Relatividade
Generalizada, teremos de generalizar os sistemas de coordenadas pseudo-cartesianas,
pelo cálculo tensorial, para traduzir a sua validade, segundo a quantidade
gravitacional.12
Sendo gik a determinação métrica da geodésica do espaço-tempo, condiciona-se
pelo tensor-energia da matéria.
O princípio de Mach pode enunciar-se da forma seguinte: para que o campo
gravítico λ ⋅ g ik tenha condições necessárias e suficientes, encontra-se implícito o tensor
misto de 2ª ordem da energia-densidade de matéria.13
Galileu demonstrou que todos os objectos caem com a mesma velocidade
independentemente do peso.
Newton havia utilizado este conceito na formulação das leis do movimento,
sendo a força da gravidade proporcional à massa.
Daqui que a massa desaparece e todos os objectos cairiam à mesma velocidade.
Todavia, o génio de Einstein determinou o cerne da questão.
Se a aceleração do elevador, em queda livre, pode anular a força da gravidade,
significa que a força e a aceleração são equivalentes.
Imaginemos, segundo o raciocínio de Einstein, um laboratório sem janela que se
encontra à superfície da Terra e um físico lá dentro, podendo medir como é que as
coisas caem segundo a força da gravidade.
Agora, imaginemos o laboratório a flutuar no espaço. O físico não tem
dificuldade em concluir que está em queda livre.
12
13
ANDERSON, J. – Principles of Relativistic Physics, Academic Press, New York, 1967, 331-332.
SCHROEDINGER, E. – Space, Time Structure, At the University Press, Cambrigde, 1934, 84-85.
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Com efeito, o que sucede, se o laboratório for empurrado por uma força
constante, com o mesmo valor que a força da gravidade, à superfície da Terra, cujo
sentido é para cima em termos de disposição, relativamente ao chão e ao tecto do
laboratório.
Tudo o que está no interior do laboratório imaginário segue segundo uma força
que o mantém para baixo, enquanto o laboratório está a ser acelerado para cima.
Contudo, o físico pode repetir todas as suas experiências e obter os mesmos
resultados, quando o laboratório estava estacionário no chão. Não há maneira de
determinar se o laboratório está a ser acelerado para cima. A gravidade e a aceleração
são “equivalentes”.14
Como o laboratório está a ser empurrado pelo espaço fora, através duma força
constante, o físico instala uns feixes de luz, de tal modo que começa num dos
laboratórios e atravessa até ao outro extremo.
A luz demora uma quantidade de tempo definida para atravessar o laboratório.
Durante esse tempo, este estará em aceleração para cima, de modo que a parede se
desloca um pouco antes de o feixe de luz a ser atingido.
O físico pode medir na parede a distância que o ponto da luz desceu, deduzindo
que o seu laboratório está a ser “acelerado”. Pode mesmo medir a aceleração,
determinando o grau de curvatura do feixe.
É como se houvesse uma maneira de distinguir a gravidade e a aceleração.
Recorde-se que a gravidade e a aceleração são equivalentes até prova em contrário. Se o
fluxo de luz se encurvar num sistema de referência, em aceleração, então, se a teoria for
14
LANDAU, L. D. ; LIFCHITZ, E – Theóries des Champs, traduit du russe, par E. Gloukhian. Editions
Mir, Moscow, 1970, 299-325.
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correcta, o fluxo de luz deve-se encurtar pela gravidade, apresentando uma quantidade
equivalente.
Einstein desenvolveu estas ideias, transformando-as na Teoria da Relatividade
Generalizada, prevendo, pois, que a luz pode ser deflectida pela gravitação.
2 – Invariância e Covariância na Relatividade Generalizada
A expressão analítico-geométrica, tendo como instrumentos matemáticos a
análise tensorial e a geometria de Riemann, usa-se para a métrica do campo gravítico
como surgiu, em 1915, a partir de Einstein.
Considerando que, em vez do sistema local de características especiais, se
adopta como referencial um sistema quadridimensional qualquer, como elemento de
linha ou só um par de pontos-acontecimentos, corresponderá, também, um determinado
diferencial dx1 ,..., dx 4 de coordenadas:
ds 2 = ∑ g ik ⋅ dxi ⋅ dx k . 15
ik
Os seus valores poderão depender da orientação e do estado de movimento dos
sistemas de coordenadas locais, se admitirem, como definição para o ds2, uma grandeza
associada a pares de pontos-instantes (acontecimentos), considerados no espaço-tempo,
independentemente de qualquer escolha particular de coordenadas e determinável por
meio da medição da régua e do relógio.
Pela definição que acabámos por determinar para ds2, poderá passar-se para o
caso da teoria da relatividade, sempre que haja condicionamento particular dos gik, ao
estabelecer um sistema de referência, onde os mesmos impliquem valores constantes.
15
SYNGE, J. L. – Relativity: The Special Theory, second edition, North-Holland, Amsterdam, 1972, 5559.
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− 1
0

0

0
0
0
−1
0
0
−1
0
0
0
0 
0

− 1
Porém, a presença de um campo de gravidade aparece-nos associado a
variabilidade espaço-temporal dos gik . A gravidade desempenha, na teoria da
relatividade, uma relação com outras forças e particularmente com forças
electromagnéticas, visto que as funções - gik -, que fazem a descrição do campo
gravítico, determinam as propriedades métricas do espaço quadridimensional.
A distância (ds) entre dois pontos adjacentes, nas superfícies, corresponde a
valores de parâmetros, determinados em coordenadas, apresentando ds2 a seguinte
expressão:
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ;
ds 2 = − dx12 − dx 22 − dx32 + dx 42 . Mais precisamente para S ′ e S ′′ , virá:
− dx12 − dx 22 − dx 32 + dx 42 = − dx1′ 2 − dx 2′ 2 − dx3′ 2 + dx 4′ 2 .
A distância ds, na formulação quadrática, será:
(
)
(
)
(
)
ds 2 = g11 dx 1 ⋅ dx 1 + g12 dx 1 ⋅ dx 2 + g 22 dx 2 ⋅ dx 2 + ...
Os coeficientes tensoriais do campo apresentam os seguintes valores:
g11 = (dF dx ) + (dG dx ) + (dH dx ) ;
2
2
2
g12 = g 21 = dF dx ′ ⋅ dE dx 2 + dG dx 2 + dG dx 2 + dH dx 1 ⋅ dH dx 2 ;
(
g 22 = dF dx 2
) + (dG dx ) + (dH
2
2 2
)
2
dx 2 .
A expressão trigonométrica dos ângulos, formados por m e n, será:
cos θ = g11 ⋅ dx1 ⋅ Dx1 = g12 ⋅ dx1 ⋅ Dx 2 + g 21 ⋅ dx 2 ⋅ Dx1 + g 22 ... δs ⋅ Ds
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Se as componentes da linha do elemento são generalizadas, nas suas direcções,
por estas coordenadas curvadas teremos:
(dx ) = (δx ,0); (∆x′) = (0, dx ); (∆x′) = (0, dx ) ;
1
1
2
2
δs = ( g11 ) ⋅ dx1 ; ∆s = ( g 22 ) ⋅ dx 2 .
12
12
A métrica ds2 é a distância entre dois acontecimentos ou pontos de espaçotempo.
Para o ângulo dado, seguir-se-á, então:
cos θ = g12 ( g11 ⋅ g 22 ) ;
12
senθ = (1 − cos θ )
12
= ( g g11 ⋅ g 22 ) .
12
O valor determinante, para estas componentes, será:
g = g11 ⋅ g 22 − g 22 =
g11
g 21
g12
⋅g
g 22 ik
Assim, g é o determinante no esquema dos números tensoriais: gik.16
Todas as quantidades geométricas são expressas em coordenadas únicas, sem
referência às variáveis do espaço tridimensional, no qual a superfície é suposta para se
interpretar. Se g ik = g ki , ki origina funções de coordenadas xki.
As linhas de elemento serão:
ds 2 = g ik ⋅ dxi ⋅ dxk .
No desenvolvimento do determinante, teremos:
2
ds 2 = g11 ⋅ dx112 + g 22 ⋅ dx22
+ ... + g 34 ⋅ dx3 ⋅ dx4 = ∑ g ik ⋅ dxi ⋅ dxk .
16
BERGMANN, R. G – Introduction to the theory of relativity, Prentice Hall, New York, 1946, 161-174.
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Os coeficientes gik são funções de coordenadas e dependem das transformações
seguintes:
X 1 = i ( x 11 ; x 21 ; x 31 ; x 41 ) ;
X 4 = r4 (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) .
Pela sua formulação geral, podemos escrever a quadrática de x0:
g ik = −∑ (δf i δxm ) ⋅(δf i δxk ) ;
dX 1 = ∑ δf i δxi .
Os coeficientes do determinante gik serão:
 g11
g
 21
 g 31

 g 41
g12
g 22
g 32
g 42
g13
g 23
g 33
g 43
g14 
g 24 
g 34 

g 44 
Os gik são funções de coordenadas especiais
(x
2
1
, x22 , x32
)
e da coordenada
( )
temporal x 0 , sendo dezasseis potenciais, uma vez que, obtendo g ik = g ki , podemos
reduzir a dez potenciais. Estes são elementos fundamentais do campo:
Gik = λ ⋅ g ik .17
O ds2 é independente do sistema de coordenadas como “invariante” ou como
tensor de ordem zero. A equação quadrática:
ds 2 = g ik ⋅ (dx ) ⋅ (dx ) ,
i
k
mostra-nos que gik (dx )2 é multiplicada por um vector “contravariante” determinado
(dx )k
ou “tensor nulo”. Logo, gik (dx )k é um vector e gik é um tensor. Einstein chamou-
lhe “tensor fundamental”.18
17
18
Idem – The Meaning of Relativity, second edition, Princeton University Press, New Jersey, 1945, 75-76.
SYNGE, J. L. – Ibidem, 80-88.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Todavia, o estudo dos campos de gravitação exige o exame dos fenómenos em
referenciais arbitrários, desenvolvendo-se a Geometria a 4-dimensões (geometria de
Riemann), sob forma válida para as coordenadas x 0 , x1 , x 2 , x 3 e noutras x′ 0 , x′1 , x′ 2 , x′3
surgirá, então:
x i = r i ( x′ 0 , x′1 , x′ 2 , x′ 3 )
Os diferenciais destas coordenadas transformam-se segundo as fórmulas
seguintes:
dx i = dx i δx ik ⋅ δx ik .
Chamamos “quadrivector contravariante” ao conjunto de quatro quantidades,
que se transformam segundo a relação:
Ai = δx i δx k ⋅ δA k .
A fórmula seguinte designa-se como “vector covariante”:
Ai = δx k δx i ⋅ Ak .
As regras, segundo as quais se mantém “invariantes” os gik, são por
multiplicação ou contracção dos quadrivectores, substituindo-se em coordenadas
curvilíneas:
dx i = δx i δx k ⋅ δx ik .
Chamamos, pois, “quadrivector contravariante” ao conjunto de quatro
quantidades, que se transformam segundo a relação:
Ai = Ax i δx k ⋅ Ak .
As regras, pelas quais surgem os invariantes gik, obtém-se por multiplicação ou
contracção dos quadrivectores, substituindo-se as coordenadas curvilíneas. Para as leis
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de transformação de coordenadas tensoriais, a “quadrática” e demais teoremas mantêmse invariáveis e constantes para qualquer mudança de coordenadas gaussianas.19
O quadrado do elemento dos comprimentos, em coordenadas curvilíneas, é uma
“forma quadrática” dos diferenciais (dx ) , ou seja:
i
ds 2 = g ik ⋅ dxi ⋅ dxk .
Os tensores gik são simétricos para os índices i e k em g ik = g ki pelo tensor
contravariante e para dxi e dx k , por forma escalar. Os gik constituem um “tensor
métrico”.
As únicas quantidades susceptívas de se ligarem umas às outras são as
componentes do “tensor métrico”. Esta ligação é dada pela seguinte fórmula:
Ai = g ik ⋅ Aki .
Para um sistema galilaico, o tensor métrico tem, por componentes, os valores
definidos no determinante seguinte:
− 1 0 0 0 
 0 −1 0 0 

g ik = g ik = 
 0 0 −1 0 


 0 0 0 − 1
Assim, a adaptação dum tensor físico opera-se à custa dum tensor métrico.
A Relatividade Generalizada está constituída segundo o cálculo tensorial, em
coordenadas gaussianas, e segundo uma Geometria não-euclidiana. Nas leis do campo
gravítico não há solução para este sistema de 10 equações diferenciais de 2ª ordem. Os
valores dos potenciais gik são calculados por meio dos coeficientes da métrica ds2.20
19
BIRKHOFF, G. D. – Relativity and Modern Physic, Harvard University Press, Cambridge, 1925, 225-230.
20
EINSTEIN, A. – Ibidem, 79-80.
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3 - Leis Gerais do Campo Gravítico
A simetria e a homogeneidade da lei do campo gravítico não são propriedades
do mundo externo, mas antes uma qualidade interna do mesmo campo.21
Na verdade, as equações fundamentais do campo exprimem-se em formas
diferenciais, de derivadas parciais de 2ª ordem, que limitam os potenciais da gravitação
gik, mediante duas condições:
Rik − 1 2 g ik ⋅ R = Qik
→
Rik − 1 2 g ik ⋅ R = 0 →
interno
externo.
Fazendo uma substituição, surgirá a equação:
dg = g ⋅ g ik ⋅ g ik = − g ⋅ g ik ⋅ dg ik
Daqui, então, seguir-se-á:
δ − g = −1 2 ⋅ − g ⋅ δg = −1 2 ⋅ − g ⋅ g ik ⋅ δg ik
Refere-se, então:
δ ∫ R ⋅ − g ⋅ dΩ = ∫ (Rik − 1 2 g ik ⋅ R ) ⋅ δg ik ⋅ − g
Para calcular δRik , notaremos que as quantidades γ ik não constituem um tensor.
As suas variações δγkl i constituem então um “tensor”.22
Com efeito, γil k ⋅ Ak ⋅ dk i é uma quantidade, na qual varia um vector no
transporte paralelo dum ponto para outro.
Entretanto, no ponto dado, γkl i = 0 , servimo-nos da expressão:
21
22
SOURIAN, D. – Géométrie et Relativité, Hermann, Paris, 1964, 338.
MØLLER, C. – The Theory of Relativity, At the Clarendon Press, Oxford, 1972, 402-407
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Rik = dγ lik / dx i = dγ lik / dx k ⋅ γ lik ⋅ γ mkm − γ ilm ⋅ γ lkm .
O número de potenciais gravíticos é de dez, correspondendo a dez equações
fundamentais do campo. As suas derivadas estão implicadas nas equações geodésicas,
por meio dos símbolos de Christofell-Riemann, definindo o campo de gravitação num
sistema de coordenadas gaussianas.
A lei geral do campo gravítico deduz-se a partir do princípio da acção mínima de
Maupertuis:
δ(Sm + Sg ) = 0
A acção da gravitação e da matéria relacionam per se os potenciais do campo
gravítico: gik.
Calculando a variação de δg , surgirá então a formulação seguinte:
δ ∫ R ⋅ − g ⋅ dΩ = δ ∫ g ik Rik ⋅ g ⋅ g ⋅ dΩ =
(
)
= ∫ Rik − g ⋅ δg ik + Rik ⋅ g ik ⋅ δ g + g ik ⋅ − g ⋅ δRik ⋅ dΩ
Mas do tensor de Ricci seguir-se-á:
[
g ik ⋅ γRik = g ik δ δx i , δγ lik − δ δx k
]
dγ ik = g ik ⋅ δ δxi ⋅ δγ ik = g ik ⋅ δ δx ⋅ δγ ik = δw δxi .
Daqui teremos que:
wl = g ik ⋅ δγ ik ⋅ g il ⋅ δγ ik .
Assim, wl é um vector escrito por relações métricas em sistemas de coordenadas:
g ik ⋅ δRik = i
− g ⋅ δ δx l
(
)
− g ⋅ wil .
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Com
Aii = 1
efeito,
substituindo
(
δw k δµ l
por
wil
e
utilizando
)
− g ⋅ δ − g ⋅ Ai δx i , segundo o integral da segunda dimensão, determinamos
que:
δ ∫ R ⋅ g ⋅ dΩ = ∫ (Rik − 1 2 ⋅ g ik ⋅ R ) ;
δ ⋅ g ik − g ⋅ dΩ + ∫ g ik ⋅ δRik ⋅ − g ⋅ dΩ .
Daqui, auferimos o seguinte valor:
∫g
ik
⋅ δRik ⋅ − g ⋅ dΩ = ∫ δ − g ⋅ wl 2 x l ⋅ dΩ .23
A variação de dS’ será:
δS ′g = − c 3 16π ⋅ k ∫ (Rik − 1 2 g ik ⋅ R ) ⋅ δ ⋅ g ik ⋅ − g ⋅ dΩ .
Partindo da equação da acção do campo:
S = − c 3 16π k ∫ G ⋅ − g ⋅ dΩ , obteremos:
[(
)
(
]
)
δSg = − c 3 16π k ∫ δ G ⋅ − g δg ik ⋅ δ δx l ⋅ δ G ⋅ − g δg ik δx ⋅ δg ik ⋅ dΩ .
Comparando com as anteriores equações, surgirá a seguinte relação:
Rik − 1 2 g ik ⋅ R = 1
[(
)
(
)
]
− g δ G − g δg ik ⋅ δ δx l ⋅ δ G − g δg ik δx .
Para a variação da matéria, escreveremos, em virtude de:
δS = 1 2 ⋅ c ∫ Tik ⋅ δ ⋅ g ik ⋅ − g ⋅ dΩ = −1 2 ⋅ c ∫ T ik ⋅ δg ik ⋅ g ⋅ dΩ
a seguinte equação tensorial:
S m = 1 2 c ∫ Tik ⋅ δg ik ⋅ − g ⋅ dΩ .
Será Tik o “tensor da massa-energia” da matéria. Atendendo ao princípio de
Maupertuis (princípio da mínima acção), chegaremos a:
(
)
− c 3 16π ⋅ k ∫ Rik − 1 2 Ri − 8πk c 4 ⋅ Tik δ ⋅ g ik ⋅ − g ⋅ dΩ = 0 .
23
BERGMANN, P. G. – Ibidem, 212-220.
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Mas, aplicando o método da redução para a solução da anterior equação ou para
o método da substituição, virá:
Rik − 1 2 g ik ⋅ R = 8πk c 4 ⋅ Tik .
Aqui, temos a equação tensorial que define metricamente o “campo gravítico”.24
Para o caso de componentes mistas, apresentamos o seguinte corolário:
Rik − 1 2 d ik ⋅ R = 8πk c 4 ⋅ T k .
O complexo formado por este corolário significa o conjunto das equações do
campo de gravitação.
Porém, contrariando os índices dos tensores mistos, obteremos o corolário:
R = − 8πk c 4 ⋅ T .
Poderemos transpor as equações do campo da forma seguinte:
(
)
Rik = 8πk c 4 T ik − 1 2 g ik ⋅ T .
Aqui se expressa o lema da reciprocidade, visto que estas equações não são
lineares, resultando que os princípios da sobreposição não são válidos para os campos
gravitacionais, por oposição ao que acontece com o campo electromagnético. Mas, pela
operação de passagem ao limite, nos índices dos tensores da curvatura, pelos potenciais
gravíticos, obteremos: Rik = 0 e T ik = 0 , definidos como potenciais de Newton.25
Para determinar a distribuição e o movimento da matéria, no caso do campo
gravítico, é necessário associar, às equações de Einstein, a equação do estado da
matéria.26
24
LANDAU, L. D.; LIFCHITZ, E. – Ibidem, 373-378; 416-422.
EINSTEIN, A. – Ibidem, 103-107.
26
MEYERS et alii, R. A. – “General Relativity” in: Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics,
Academic Press, London, 1989, 535.
25
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Segundo Einstein, para um sistema qualquer, a massa total do mesmo, bem
como o efeito gravítico, devem depender da energia total.
As equações do campo gravítico tiveram grandes implicações desde a ciência até
à filosofia. Mas, atingem, no aspecto matemático, grande influência nos modelos
cosmológicos, designados como “relativistas”, tendo como sua base o paradigma do
“Big-Bang”.
O Universo apresentar-se-ia como hipercilíndrico, limitado a uma “esfera curva”
a três dimensões e o seu eixo refere o tempo linear. As outras duas soluções estatísticas
foram as De Sitter e de Minkowsky.27
Einstein não conhecia a expansão do Universo, porque a descoberta da
velocidade de recessão galáctica foi apresentada em 1927. Einstein já tinha sugerido o
seu modelo cosmológico.28
Einstein inferiu as regras segundo as quais os componentes tensoriais se
calculam para um sistema de coordenadas. Não obstante, os tensores do campo e da
matéria caracterizam as equações de transformação para as suas componentes, como
lineares e homogéneas. A lei da covariância generalizada engloba o domínio dos
sistemas inerciais e não inerciais (aceleração).
4. Significado Ontológico da Gravitação
Einstein sugeriu diversas verificações experimentais para as distorções do
espaço-tempo, sendo uma delas referente à deformação produzida pela “gravidade
solar”, durante um eclipse total. Encontrando-se o disco solar obstruído pela Lua, é
possível detectar ligeira deslocação das estrelas, próximas da órbita do Sol, em relação
às posições que ocupam e que constam da cartografia celeste. A luz proveniente destas
estrelas passa perto do Sol, sendo desviada pelo campo gravitacional deste.
27
CARRIGAN ,R.A.;TROWER, W. H. (edit.) – Particle Physics in the Cosmos, W. H. Freeman and
Company, New York, 1987, 22-24.
28
BARROW,J. A.; SILK, J.- A mão esquerda da Criação, tradução do inglês, Gradiva, Lisboa, 1989, 1420.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Tais provas, bem como outras, envolvendo campos gravitacionais, mais intensos
das estrelas de neutrões, convenceram os físicos de que a “gravitação” deforma
realmente o “espaço-tempo”.
A gravidade é uma propriedade ou qualidade primária inerente a todo e qualquer
porção de matéria.
Embora, a teoria da gravitação de Newton permaneceu válida durante mais de
duzentos anos, viria a ser generalizada pela nova física, que irrompeu no século XX.29
A teoria de Newton conserva a sua validade, nas aplicações aproximativas, em
pequena escala (como seja a navegação aérea espacial) e constitui instrumento
adequado à descrição da maior parte dos sistemas astronómicos. Falha, contudo, sempre
que os campos gravíticos forem demasiado intensos, como acontece na vizinhança
deste, sejam com estrelas de neutrões, sejam com buracos negros.
Segundo Einstein, a gravidade não é uma força, mas surge como manifestação
da curvatura ou da distorção do espaço-tempo. A gravidade não obriga os corpos a
descreverem trajectórias curvas, sendo os próprios corpos a seguirem o caminho mais
fácil num espaço-tempo curvo.
Mas, a curvatura espacio-temporal detecta-se para campos gravíticos não muito
intensos. Não obstante, a gravitação, segundo a moderna teoria, é efeito da curvatura
métrica do espaço-tempo.
A expressão gravítica de Newton é uma lei de causalidade actual. O efeito
colocado à distância implica uma total realização das n-forças que originam o
fenómeno.
29
Pais, A. – Subtil é o Senhor, tradução do inglês, Gradiva, Lisboa, 1993, 325-350.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
A gravitação, segundo Newton, traduz-se como “causa”, enquanto que para
Einstein trata-se de um fenómeno ou efeito físico. Mas esquematicamente surge:
•
r
Gravitação (segundo Newton) → F (n-causas);
•
Gravitação (segundo Einstein) → efeito da curvatura.
Para Newton, entende-se a gravidade como relação causa-efeito, uma vez que
resulta da interacção de n-forças, manifestando-se como causalidade actual e eficiente
dos fenómenos astronómicos. Aquilo que determina o influxo no esse fenomenológico
será a interacção entre massas pelas atracções ou repulsões da Terra (m) e do Sol (M).
Porém, além de ser uma causalidade eficiente, caracteriza-se por ser a
causalidade actual pelo facto de existir na ordem fenomenológica.30
O fenómeno gravítico, além de ser uma expressão do determinismo físico, é uma
“qualidade primária”.
Newton preocupou-se em explicar o fenómeno gravítico, segundo uma
orientação ontológica. Se a gravitação, para Newton, é resultante de uma interacção de
n-causas, implicada pelo conceito de força, para Einstein, a gravitação será uma
interacção de n-efeitos.
Como realidade dinâmica, a gravitação, segundo Newton, é “actual”, enquanto
que, segundo Einstein, a gravitação é um fenómeno potencial, constituindo-se pela
interacção de n-efeitos como expressão cinemática.
Porém, o efeito é potencial, surgindo in fieri. A gravitação não está em acto, mas
antes em potência, porque adquire novas formas de perfeição acidental, tratando-se de
uma força fraca. A gravitação determina um grau de perfeição acidental por se tratar de
uma propriedade métrica. Logo, a gravitação passou de causa a efeito, porque, segundo
Einstein, é efeito cinemático resultando da métrica curvada.
30
EINSTEIN, A. – The Meaning of Relativity, 80-82.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
O fundamento da gravitação é a própria curvatura do espaço-tempo, causada
pela densidade de distribuição da massa-energia. A experiência mostra que as
propriedades e estrutura do espaço-tempo se relacionam com a presença da matériaenergia.
Tais fenómenos são manifestação da deformação existente na presença de
matéria. Se se submete a lei determinada, por Einstein, então referimos a essência e a
natureza do fenómeno gravítico pela equação do campo:
Rik − 1 2 ⋅ g ik ⋅ R
≡
8πK c 4 ⋅ Tik
Curvatura métrica do
espaço-tempo ou
acontecimento curvado
Distribuição da
densidade de matéria
“efeito”
“causa”
A lei geral do campo gravítico, como enunciado sintético ou progressivo a posteriori
(universal e transcendental), exprime, ontologicamente, a causalidade formal.
Com efeito, a gravitação, como fenómeno real, é um efeito ou resultante da
curvatura do espaço-tempo. Contudo, no segundo membro, surge a causa do campo
gravítico. Formalmente, a “gravitação” traduz-se no primeiro membro da equação.
A gravitação é um efeito de densidade da massa-energia curvada espaciotemporalmente. Na verdade, a gravitação é efeito da estrutura curvada do Universo.
Mas, a lei geral indica uma causalidade potencial, in fieri, porque o fenómeno da
gravitação está a evoluir na medida em que a massa-energia adquire novas formas de
curvatura (forma de perfeição acidental), tal como é ditado pela essência do invariante
da Relatividade Generalizada:
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
ds 2 = g ik ⋅ dxi ⋅ dxk .31
A gravitação manifesta-se como influxo da interacção de duas massas. Tal
interacção é formada por uma força que coloca um efeito à distância, requerendo-se
uma velocidade infinita para a propagação dessas forças. Daqui resulta que a gravitação
surge como efeito de n-forças:
r
M ⋅m r
F = −G ⋅ 2 ⋅ r
r
“causa” → “efeito”
A equação de Einstein determina a curvatura geométrica do espaço-tempo a
partir da densidade de matéria. Mas, esta interpretação é análoga a outra que refere a
distribuição da matéria no espaço-tempo, causando a curvatura. Tal interpretação será
mais importante, provocando a matéria curvada uma nova métrica do espaço-tempo.
A equação do campo, no aspecto gnoseológico, não se traduz ipso facto por
qualquer Geometria do espaço-tempo, nem com qualquer distribuição da matéria.32
O adágio ontológico – actus et potentia sunt in eodem genere – enquadra-se, na
teoria de Einstein, porque se o acto pertence à ordem acidental, então a potência
pertence a essa ordem.
Este é o princípio segundo o qual a “potência” se encontra ordenado ao acto. Se
o acto é da ordem substancial, também a potência é ontologicamente.
Aplicando virá:
31
MATVEEV, A. N. – Mechanics and Theory of Relativity, Mir Publishers, Moscow, 1989, 301-303.
GEROCH , R. – Relatividade Geral de A a Z, tradução do inglês, Editorial Presença, Lisboa, 1991, 3945.
32
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Distribuição de
matéria
Curvatura do
espaço-tempo
(acto)
(potência)
Predicamentalmente, a gravitação fundamenta-se no correlação primária da
quantitas et qualitas, como se apresenta ontologicamente pela equação do campo
gravítico:
Rik − 1 2 ⋅ g ik ⋅ R
≡
Quantitas et qualitas
8πK c 4 ⋅ Tik
Qualitas
Os tensores definem a direcção e sentido das geodésicas, traduzindo
formalmente a qualitas do fenómeno gravítico como indicadores da curvatura do
espaço-tempo, auferindo-se pela determinação dos gik.
A grandeza R, orientadora do parâmetro escalar, induz a existência dos
potenciais clássicos, salientando a quantidade. A gravitação fundamenta-se, também, na
relação diádica e secundária: actio-patio. O fenómeno gravítico aufere-se como acção e
como paixão, devido à curvatura do espaço-tempo:
Rik − 1 2 ⋅ g ik ⋅ R
patio
≡
8πK c 4 ⋅ Tik
actio
O princípio – actio est in passo – induz que toda a acção surge no efeito
geométrico, que sofre uma modificação da curvatura não linear para o espaço-tempo.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
A novidade constitui a própria deformação espacio-temporal expressa na sua
densidade.
O tensor Tik, ao implicar esta nova forma de perfeição fenoménica, dá origem à
deformação espacio-temporal, que é a gravitação segundo Einstein.
Assim, a “gravitação” existe como qualidade primária dos fenómenos físicos.
Resumidamente, a gravitação torna-se efeito cinemático, como fenómeno
independente da causa, porque é resultante da curvatura espacio-temporal.33
Conclusão
A teoria da gravitação evoluiu, desde Newton, como leitura ontológica, explicada
pelo princípio de causalidade actual, para um discurso fenomenológico com Einstein.
O novo discurso, sobre a gravitação, segundo a semântica lógica, determinou uma
orientação isomórfica perante a concepção newtoniana. Einstein, ao analisar o
fenómeno gravítico, faz uma descrição do que “aparece“ no espaço-tempo curvado,
como “efeito”. Logo, segundo a perspectiva einsteiniana, a gravitação surge como
fenómeno consequente, enquanto que, para Newton, é uma entidade antecedente.
Ontologicamente, o fenómeno gravítico, segundo Einstein, rege-se pela causalidade
potencial.
Assim, Einstein deu um novo sentido à teoria da gravitação, desde o aspecto físico
até ao domínio filosófico.
A causa do fenómeno gravítico não se encontra na força, mas, antes, encontra-se
na distorção da massa-energia, que permite a deformação ou a curvatura do espaçotempo.
33
HAWKING , S. W. – Breve História do Tempo, tradução do inglês, Gradiva, Lisboa, 1988, 117-139.
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Borges de Meneses, R. D.: «Significado Ontológico da Gravitação segundo Einstein…»
Porém, gnoseologicamente, existe uma complementaridade entre as noções de
“gravitação”, sendo a mais geral e universal enumerada por Einstein, porque a equação
de Newton se encontra englobada na formulação gravítica moderna, expressa pelo
cálculo tensorial.
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