UNIVERSIDADE DE MARÍLIA
Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia
SISTEMAS ESTRUTURAIS
(NOTAS DE AULA)
Professor Dr. Lívio Túlio Baraldi
MARILIA, 2007
1. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
Força: alguma causa que aterá ou tenta alterar o estado de repouso de um corpo
ou seu estado de movimento uniforme.
Um tipo especial de força, muito importante no cálculo estrutural, é o peso de um
corpo. Cabe destacar que existe uma diferença entre peso e massa:
Massa: é a quantidade de substância contida dentro de um corpo;
Peso: é a força exercida sobre uma massa pela ação da gravidade (g=9,81m/s 2).
Vejamos um exemplo de aplicação de força:
90 Kgf
90 Kgf
50 Kgf
50 Kgf
10 Kgf
10 Kgf
Reações
Centro de gravidade:
Toda partícula, pela qual um corpo é composto e, atraída para baixo.
Para certos cálculos é conveniente assumir que todo o peso do corpo está agindo em
um único ponto. Este ponto é chamado de Centro de Gravidade (CG), e para um corpo
homogêneo a posição do CG depende da forma do corpo. Os livros de Mecânica e
Resistência dos Materiais apresentam tabelas com a posição do CG para as principais
formas geométricas.
2,5 m
CG
5 kN
2,5 m
2 kN/m
10 kN
5 kN
1
O centro de gravidade de um corpo não precisa estar necessariamente dentro do
corpo, como podemos observar nos exemplo a seguir:
Na engenharia estrutural, três requisitos devem ser obedecidos: resistência, rigidez e
estabilidade. O conceito de CG é útil quando considerada a estabilidade de elementos
estruturais isolados ou da estrutura como um todo.
Estável
Estabilizado
Instável
A figura a seguir ilustra a idéia de que um conjunto de forças que pode ser substituída
por uma única força equivalente aplicada no CG da viga, não alterando as reações:
75 Kgf
160 Kgf
75 Kgf
50 Kgf
50 Kgf
35 Kgf
35 Kgf
70
70
90
90
4 x 1,0 m
1,75
2,25
Tensão:
Quando calculando uma estrutura, o engenheiro deve estimar todas as forças agindo
sobre a mesma e suas partes componentes. Os efeitos destas forças são então
considerados em relação à estabilidade da edificação como um todo, e as partes
componentes são feitas fortes o bastante para cumprirem completamente seu papel.
Cabe destacar que as forças a serem consideradas dependem do tipo e propósito da
estrutura. As fibras internas ou partículas das várias partes de uma estrutura são
postas em um estado de tensão pelas forças a que são chamadas a resistir.
As formas básicas de tensão são: tração, compressão, cisalhamento e torção. Temos
ainda a tensão de flexão, que se trata de uma combinação de tensões básicas em um
mesmo elemento.
2
Tração
Compressão
Cisalhamento
Torção
Área da seção transversal e cálculo das tensões:
A seção transversal é obtida por um corte transversal ao eixo longitudinal do elemento
estrutural.
 
F
A
N
mm
2

100 . 000
1 . 250
 80
N
mm
2
 MPa
F = 100 kN
Área da seção
transversal
2
(1250 mm )
Quando a linha de aplicação da força coincide com o CG do elemento, as tensões de
tração e compressão são uniformes em toda a seção transversal. Caso contrário
ocorrerá além das tensões normais de compressão e tração tensão de flexão.
Deformação: todo elemento sujeito a uma tensão, apresenta deformação, ou seja,
tem as suas dimensões alteradas.
3
Tração - Alongamento
Compressão - Encurtamento
Módulo de elasticidade e rigidez:
Alguns materiais são considerados elásticos, ou seja, quando tracionados ou
comprimidos, até certo limite, quando retirada esta força retornam à posição original.
Além disso, existe certa relação entre tensão e deformação para cada material, esta
relação é feita em função do módulo de elasticidade (E)
Lei de Hooke: se a tensão é proporcional à deformação, então dividindo a tensão
pela deformação obtém-se uma constante para cada tipo de material. Esta constante é
chamada de módulo de elasticidade do material (E):

 E

Tensões admissíveis: são valores de resistência máximos a serem utilizados em
projetos, apresentados pelas normas, para cada material. São obtidos a partir das
tensões de ruptura do material, obtidas em ensaios de laboratório, aplicando-se sobre
estes valores coeficientes de segurança.
Ferramentas da engenharia estrutural:
No cálculo estrutural trabalha-se basicamente com ferramentas matemáticas,
conhecimento das propriedades do material e também com a intuição e o sentimento
do calculista.
“Não espere que a estrutura faça as mesmas considerações que você faz” (A. N.
Whitehend)
2. EFEITO DAS FORÇAS; REQUISITOS ESTRUTURAIS

Equilíbrio
o Equilíbrio vertical e horizontal
F = 20 kN
 Fv = 0
R = 20 kN
4
F = 20 kN
 Fv = 0
 Fh = 0
F = 10 kN
R = 10 kN
R = 20 kN
o Equilíbrio ao tombamento
Uma vez existente uma reação horizontal, pode ocorrer o tombamento, que também
deve ser evitado.
A
Devido a A
B
Devido a B
o Caminho das forças
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o Equilíbrio na rotação
o Tipos de força
No cálculo estrutural, basicamente trabalhamos com três tipos de forças:
Força distribuída
Concentrada equivalente
Concentrada
Momento
o Considerações gerais
Uma edificação deve apresentar:
Resistência
Global
Cada elemento
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Funcionalidade
Permitir que a edificação cumpra a função para a qual foi projetada
Economia
Viabilidade de execução
Estética
Detalhes arquitetônicos relacionados à estrutura (trabalho em conjunto do
engenheiro e do arquiteto)
Pode-se pensar então na estrutura ideal, como sendo aquela que a princípio é:
Mais estável;
Mais funcional;
Mais econômica;
Mais bonita.
Só que esta estrutura ideal, não é muito fácil de ser obtida devido às muitas variáveis
envolvidas.
3. AÇÕES NAS ESTRUTURAS



Ação permanente: são aquelas que apresentam pouca ou nenhuma
variação do seu valor ao longo da vida útil da estrutura. Como exemplo
tem-se o peso próprio da estrutura, peso de equipamentos e elementos
fixos (alvenaria), etc.;
Ação variável: são aquelas que apresentam variações significativas ao
longo da vida útil da estrutura, e com grande probabilidade de ocorrência.
Como exemplo tem-se a ação do vento, variações de temperatura,
sobrecargas de utilização, etc.;
Ação excepcional: são aquelas que apresentam baixa probabilidade de
ocorrência e seus efeitos seriam catastróficos para a estrutura, sendo
consideradas em projeto somente em situações especiais.
4. VIGA: MADEIRA E AÇO
Quando se calcula uma viga para resistir a um esforço com economia, quatro itens
devem ser verificados:
(1) A viga deve ter uma resistência à flexão adequada para resistir aos
momentos fletores;
(2) Não apresentar perigo de ruptura devido à força cortante;
(3) Não apresentar perigo de perder estabilidade lateralmente;
(4) Não apresentar deslocamento excessivo.
No cálculo um destes itens vai ser o fator limitante. As três primeiras verificações
referem-se a estados limites últimos de uma estrutura, ou seja, a verificação da
resistência, e a última verificação refere-se a estado limite de utilização, ou seja, a
verificação do desempenho da estrutura.
Flexão em vigas – Momento fletor:
Analisar-se-á inicialmente os efeitos do momento fletor sobre a viga. Para isso toma-se
como exemplo a viga biapoiada, ilustrada a seguir:
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Neste caso tem-se:
Fibras superiores comprimidas;
Fibras inferiores tracionadas;
Fibras no meio, praticamente sem esforços;
Momento fletor maior no meio do vão.
Outro aspecto a ser destacado é que as tensões em uma mesma seção transversal da
viga variam ao longo da altura da seção.
O material da viga deve garantir um momento resistente suficiente para equilibrar o
momento atuante devido às forças aplicadas.
Quanto maior for o braço “d”, maior o momento resistente (os valores das
tensões atuantes e resistentes são diretamente proporcionais à altura da seção
transversal).
As tensões são maiores nas extremidades da seção transversal e nulas na linha
neutra, portanto, quanto maior for a concentração de área do material da viga afastada
da linha neutra, melhor desempenho ela terá.
A partir do exposto acima, podemos afirmar que as vigas em aço de seção transversal
em “I” representam o perfil ideal para uma viga, pois, apresenta altura elevada e maior
concentração de área nas extremidades da seção transversal. Neste caso têm-se as
flanges ou mesas resistindo ao momento fletor, e a alma resistindo ao cisalhamento.
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A seguir apresentam-se duas configurações de montagem para uma mesma viga. Elas
apresentam a mesma área de seção transversal, entretanto a viga B pode suportar
uma força duas vezes maior que a viga A. Em outras palavras podemos afirmar que a
resistência é proporcional ao quadrado da altura referente ao eixo de flexão.
No exemplo abaixo quatro alternativas diferentes para a execução de uma viga, com
um breve comentário sobre o desempenho de cada uma delas. Deve-se analisar que a
área da viga A é a metade da área das outras três alternativas.
A viga B tem área 2 vezes maior que a viga A, e também é 2 vezes mais resistente. Já
a viga C tem a mesma área que a viga B, e é 2 vezes mais resistente que a viga B e 4
vezes mais resistente que a viga A. No caso da viga D a sua resistência é 3 vezes
maior que a da viga B, só que neste caso, deve-se alertar para o perigo da perda de
estabilidade lateral da viga.
Com isso o objetivo passa a ser determinar uma viga:
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Resistente;
Com a menor área possível;
A melhor forma geométrica.
Analisando o exemplo a seguir podemos verificar que uma viga com três formas
diferentes têm a mesma resistência à flexão, porém com diferentes áreas e
conseqüentemente com diferenças de custo.
15 x 15 cm
A = 225 cm2
7,5 x 21,2
A = 159 cm2
5 x 26 cm
2
A = 130 cm
Na maioria dos casos, as vigas de madeira apresentam seção retangular, o que não é
uma boa alternativa, pois há desperdício de material próximo à linha neutra. Como
alternativa têm-se as vigas compostas de madeira maciça e compensado, como mostra
a figura abaixo. Diferentemente das vigas de madeira, as vigas de aço apresentam
perfis ideais para a utilização na flexão.
Madeira maciça
Compensado
Histórico:
Foi Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806) o primeiro a formular corretamente o
problema da flexão. Até o advento do ferro, as vigas eram feitas de madeira. A primeira
utilização do ferro foi feita no fim do século 18 por James Watt, para vencer um vão de
4,25 metros. Já no século 19 surgiram as primeiras aplicações com o aço.
Flexão em vigas – Força cortante (Cisalhamento):
Se uma viga é dimensionada com capacidade para resistir às tensões de tração e
compressão devidas à flexão, dificilmente apresentará problemas de cisalhamento,
pois, as forças de cisalhamento nas vigas dependem apenas da intensidade das
forças, enquanto a flexão depende da intensidade da força e da distância do ponto de
aplicação da força até um ponto qualquer tomado como referência. Este fato pode ser
analisado pela figura a seguir, onde os esforços de cisalhamento não se alteram da
viga A para a viga B, já para os efeitos do momento fletor, a viga B tem que ser muito
mais rígida que a viga A.
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Na prática o cisalhamento ocorre tanto na vertical quanto na horizontal, resultando,
portanto um esforço final com direção inclinada.
Deslizamento vertical
Deslizamento horizontal
Temos, portanto duas situações para análise de cisalhamento, como pode-se observar
na figura a seguir:
Na prática as vigas de madeira apresentam poucos problemas de resistência ao
cisalhamento. Já as vigas de aço pelo fato de geralmente apresentarem alma com
pequena espessura e grande altura tendem a apresentar deformações laterais que
podem comprometer o desempenho da viga. Este problema é solucionado com a
utilização de enrijecedores.
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Flexão em vigas – Deslocamentos (Flecha):
As vigas devem também apresentar um desempenho satisfatório com relação aos
deslocamentos, de acordo com limites impostos pelas normas.
O deslocamento de uma viga depende diretamente dos seguintes fatores:
Condições de apoio;
Valor e disposição da força;
Vão da viga;
Seção transversal;
Tipo de material.
O exemplo a seguir ilustra bem a influência do vão da viga no cálculo do deslocamento:
Outro fator importante a ser considerado nas vigas é a perda de estabilidade lateral que
pode ocorrer na região comprimida.
5. VIGA E LAJE: CONCRETO ARMADO
O concreto se assemelha muito a uma rocha, sendo inclusive conhecida como rocha
artificial. É um material que apresenta alta resistência a compressão, mas por outro
lado baixa resistência à tração, cerca de 1/10 da resistência a compressão.
A viga de concreto armado:
Como vimos anteriormente as vigas estão sujeitas basicamente a esforços de flexão,
ou seja, uma combinação de tração, compressão e cisalhamento. Uma vez que o
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concreto apresenta baixa resistência à tração, não é um material indicado para esta
situação. Como alternativa, pode-se trabalhar com o concreto em conjunto com o aço,
que é um material que apresenta elevada resistência à tração.
Portanto, quando uma viga estiver sendo solicitada, na região comprimida tem-se o
concreto resistindo às tensões, enquanto que na região tracionada tem-se o aço
resistindo às tensões.
A resistência de uma viga à flexão está diretamente relacionada com a relação entre a
área de aço e a área de concreto, como ilustra a figura a seguir:
A distribuição das armaduras na viga de concreto segue o diagrama de momentos
fletores, tendo maior quantidade de aço nas regiões tracionadas da viga.
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Armadura de cisalhamento:
Além das armaduras longitudinais responsáveis por resistir aos esforços devidos ao
momento fletor, se deve armar as vigas também para os esforços devidos a força
cortante, isto é feito por meio da armadura transversal ou estribos. A forma de ruptura
por cisalhamento é ilustrada pela figura a seguir.
Como vimos anteriormente existe um esforço resultante inclinado que tende a tracionar
o concreto, principalmente próximo aos apoios. Uma vez que o concreto não tem boa
resistência à tração deve-se utilizar armadura para absorver a estes esforços de tração.
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As barras inclinadas não são mais utilizadas principalmente devido à dificuldade de
montagem das armaduras. Atualmente as barras longitudinais vão até a extremidade
da viga e os estribos são os responsáveis por absorverem as tensões de cisalhamento.
Ancoragem das armaduras:
Em muitas situações é necessário que as barras de aço apresentem comprimentos
maiores que aqueles determinados para suportarem os esforços. Estes comprimentos
adicionais são necessários para se garantir a ancoragem das armaduras e com isso,
tem-se a garantia de que os esforços serão transmitidos integralmente até os
respectivos vínculos da estrutura ou do elemento estrutural.
A laje de concreto armado:
Seja a seguinte situação, necessidade de se vencer um vão utilizando um “piso” (ou
laje) de concreto. A idéia de execução desta laje é semelhante à de uma viga só que
neste caso tem-se a base maior que a altura.
As lajes podem sem classificadas, de acordo com suas dimensões em planta, como
armadas em uma ou armadas em duas direções. Sendo classificada como armada em
duas direções quando a relação entre o maior e o menor vão estiver entre 1 e 2, já se
esta relação for maior que dois tem-se laje armada em uma direção. Com relação à
distribuição das armaduras, no caso de laje armada em uma direção, a armadura é
dividida em armadura principal com maior diâmetro, menor espaçamento e distribuída
paralela ao menor vão da laje, e armadura de distribuição. Enquanto que no caso de
laje armada em duas direções tem-se armadura de mesma ordem de grandeza nos
dois sentidos, ou seja, com diâmetros e espaçamentos muito próximos.
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Geralmente lajes armadas em uma direção requerem espessuras maiores para as
lajes.
A explicação para o caso da armadura principal paralela ao menor vão, pode ser
explicada, devido ao fato que o deslocamento do ponto E (figura a seguir), é o mesmo
para as duas faixas, no vão menor necessita-se de uma força maior para que o
deslocamento seja igual ao apresentado pela faixa do maior vão. Fica claro que a
armadura paralela ao vão menor tem que ser maior.
Uma alternativa à laje maciça é a laje nervurada. A idéia básica é concentrar as
armaduras nas nervuras (vigas) que vão resistir à tração e o restante da laje (mesa)
resiste à compressão.
Quando se necessita de um forro uniforme, pode-se trabalhar com enchimento
cerâmico. Este sistema apresenta duas vantagens principais, a redução das ações e a
economia no volume de concreto.
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Um exemplo de como a escolha do sistema pode influenciar diretamente sobre o custo
de uma obra é apresentado na ilustração a seguir, onde se tem a necessidade de
executar uma laje para cobrir uma área de 8x24 metros:
Espessura de 23 cm
Espessura de 12,5 cm
6. TRELIÇAS
Relembrando a idéia de uma viga ideal, vimos que é necessária maior área nas
extremidades da viga e maior altura para absorver os esforços devidos ao momento
fletor, e a alma da viga absorvendo os esforços devido à força cortante. Aplicando-se
esta mesma idéia para uma treliça, tem-se:
 Banzos suportando os efeitos de compressão (superior) e tração (inferior), com
uma certa distância entre eles para dar resistência e rigidez à “viga”;
 Diagonal com menor seção transversal absorvendo os esforços de tração e
compressão devido ao cisalhamento.
Uma estrutura pode ser classificada como treliça se as ligações entre as barras são
rótulas (nós) e as forças são aplicadas nos nós, obtendo-se assim somente esforços de
tração ou compressão nas barras.
Toda treliça deve ser triangularizada para que tenha maior eficiência (composta de
triângulos). O ideal é trabalhar com estruturas isostáticas que apresentam boa
eficiência facilidades de cálculo. Para isso, existe certa relação a ser observada entre o
número de nós e barras para se obter uma estrutura isostática:
b  2n  3
Nada impede que se aumente o número de barras mais que o necessário para se ter
uma estrutura isostática, neste caso teremos uma estrutura hiperestática que vai
apresentar maior economia de material, porém vai exigir processos de cálculo mais
sofisticados. Caso sejam utilizadas menos barras que o número necessário para a
obtenção de uma estrutura isostática, se tem uma estrutura hipostática, neste caso
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deve-se executar ligações rígidas nos nós, obtendo-se assim, uma estrutura aporticada
e não mais uma treliça.
As primeiras treliças montadas receberam os nomes de seus criadores e são assim
conhecidas até hoje.
As treliças do tipo Pratt são caracterizadas pelo fato de apresentar as diagonais
tracionadas, já as do tipo Howe apresentam diagonais comprimidas, enquanto que as
do tipo Warren apresentam diagonais com esforços alternados de tração e
compressão.
Para um melhor desempenho da treliça e maior economia é conveniente que na
escolha da disposição das barras diagonais as de maior comprimento estejam
tracionadas para as ações permanentes. Caso isto não seja feito, pode-se executar a
treliça, mas as seções das barras maiores submetidas à compressão devem ser
maiores.
As treliças podem ser calculadas como estruturas bidimensionais (isoladas) ou
tridimensionais (em Conjunto).
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7. COLUNAS
É essencialmente um elemento estrutural submetido à compressão. A forma e a força
com que a coluna apresenta ruptura dependem do material de que é feita e da rigidez
da coluna.
Caso tenhamos uma coluna de comprimento pequena, e carregada gradualmente, a
falha ocorrerá somente quando for atingida a resistência última do material,
independente da forma da seção transversal.
Se a coluna for alta e esbelta, a ruptura ocorrerá por flambagem com uma força muito
menor que a que causa ruptura em uma coluna curta. A flambagem é muito
semelhante à flexão, e também neste caso, a forma da seção transversal da coluna é
muito importante.
Podemos comparar a flambagem de uma coluna com a flexão de uma viga, com uma
diferença, nas vigas podemos escolher qual eixo ocorrerá a flexão, e o mesmo não
ocorre com a flambagem nas colunas. No caso das vigas procuramos posiciona-la de
tal forma que a flexão solicite-a no eixo de maior inércia, já para as colunas sempre
ocorrerá a flambagem em relações ao eixo de menor inércia.

Comprimento efetivo de colunas
A forma como as extremidades da coluna são fixas interfere diretamente na capacidade
de carga da coluna. Quanto mais rígida a ligação (vínculos) maior será a força
necessária para flambar a coluna, por outro lado, maiores serão os custos com a
execução das ligações, porém maior economia existirá na execução da coluna.
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Lef=Comprimento
efetivo de
flambagem
(a) Coluna bi-rotulada;
(b) Coluna rotulada-engastada;
(c) Coluna bi-engastada.
A rigidez (índice de esbeltez) é definida como:
 
L ef
i mín
A definição do eixo de flambagem de uma coluna é feita em função das propriedades
geométricas da seção transversal e também do comprimento efetivo de flambagem. Os
cálculos são feitos para os dois eixos cartesianos e aquele que apresentar maior valor
de índice de esbeltez será o eixo de flambagem.

Forças excêntricas
Quando temos a força de compressão aplicada diretamente sobre o centro de
gravidade da seção transversal, ocorre a compressão centrada. Neste caso qualquer
seção da coluna esta solicitada pela mesma tensão de compressão definida como:
 
F
A
.
Em muitas situações temos a força de compressão aplicada fora do centro de
gravidade da seção transversal, neste caso, temos a flexo-compressão (compressão e
flexão agindo simultaneamente), fazendo com que a coluna perca a estabilidade com
uma força menor do que se estivesse solicitada por compressão centrada. A tensão
atuante é calculada por:
 
F
A

F e
I
y
. Quanto maior for a distância (e) da força em
relação ao centro de gravidade mais crítico será o efeito da flambagem. As
excentricidades podem ocorrer tanto pela própria disposição dos elementos estruturais
como por falhas de execução da estrutura.
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