EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ESTADO GERAL DE TENSÕES ESTADO PLANO DE TENSÕES EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ESTADO PLANO DE TENSÕES EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ESTADO PLANO DE TENSÕES σ x τ xy τ yx σ y onde τxy= τyx para equilíbrio estático EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO Transformações de Coordenadas σ x' = σ y' = σ x +σ y 2 σ x +σ y + − σ x −σ y 2 σ x −σ y 2 2 = σ x + σ y − σ x' cos 2θ + τ xy sin 2θ Para o estado de tensão apresentado determine a tensão normal e cisalhante para uma face que está girada 30o no sentido antihorário. y cos 2θ − τ xy sin 2θ y’ 10 MPa y x’ 20 MPa A x 30o A x 10 MPa τ x' y' = − σ x −σ y 2 sin 2θ + τ xy cos 2θ 1 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO EXEMPLO Solução: Solução: Tensões principais: Tensões principais: y y’ σ x' = σ x' = σx +σ y 2 + σ x −σ y 2 cos 2θ + τ xy sin 2θ τ x' y' = − 20 + (− 10 ) 20 − (− 10 ) + cos 2 30 o + (− 10 ) sin 2 30 o 2 2 ( ) ( ) σ x −σ y 2 sin 2θ + τ xy cos 2θ x’ 3,84 MPa 20 − (− 10 ) sin 2 30 o + 2 + (− 10 ) cos 2 30 o ( ) τ x' y' = − A ( ) σx’ = 3,84 MPa x 17,99 MPa τ x' y' = - 17,99 MPa EM423 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS DIREÇÕES PRINCIPAIS, TENSÕES PRINCIPAIS Resistência dos Materiais EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS DIREÇÕES PRINCIPAIS, TENSÕES PRINCIPAIS O ângulo θp define as direções principais onde as únicas tensões são As tensões normais (σx’ e σy’) e a tensão cisalhante (τx’y’) varia tensões normais. Estas tensões são chamadas tensões principais e suavemente com respeito ao ângulo de rotação θ, conforme são encontradas a partir das tensões originais (expressas nas as equações de transformação de coordenada. direções x,y,z) por: tan 2θ p = 2τ xy σ x −σ y σ 1 ,2 = EM423 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS DIREÇÕES DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE σ x +σ y 2 2 σ x −σ y 2 ± + τ xy 2 Resistência dos Materiais EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS DIREÇÕES DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE Outro ângulo importante (θs) é onde a tensão cisalhante máxima acontece: 2 σ x −σ y σ −σ 2 + τ xy2 = 1 2 2 τ máx = tan 2θ s = − σ1 −σ 2 2τ xy θ s = θ p ± 45 o 2 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS CÍRCULO DE MOHR Introduzido por Otto Mohr em 1882, o Círculo de Mohr ilustra as tensões principais e as transformações de tensão EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Derivação do Círculo de Mohr Para estabelecer o Círculo de Mohr, nós recordamos as fórmulas de transformação de tensão, por meio de um formato gráfico, σ x' − As duas tensões principais são mostradas em vermelho, e a máxima tensão cisalhante é τ x' y' = − Derivação do Círculo de Mohr 2 = σ x −σ y 2 cos 2θ + τ xy sen 2θ σ x −σ y sen2θ + τ xy cos 2θ 2 Usando uma relação trigonométrica básica (cos2θp + sin2θp = 1) combinando as duas equações temos, 2 mostrada em amarelo. EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS σ x +σ y σ +σ y σ −σ y σ x ' − x + τ x2' y ' = x 2 2 2 + τ xy2 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Derivação do Círculo de Mohr Interpretamos σx e σy como sendo as duas tensões principais, A equação do círculo agora assume uma forma mais familiar, e τxy como sendo a tensão cisalhante máxima. Então podemos definir a tensão média, σavg, e um " raio " R (que é igual à tensão cisalhante máxima), σ avg = σ x +σ y 2 ' x ) 2 − σ avg + τ x2' y' = R 2 2 σ −σY 2 R= X + τ xy 2 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Círculo de Mohr (3D) (σ EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO – Construção do Círculo de Mohr Para o estado de Tensão abaixo determine: 1) As tensões principais; 2) A tensão máxima de cisalhamento. y 10 MPa 40 MPa O x 50 MPa 3 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO EXEMPLO Solução: Solução (cont.): y 10 MPa 40 MPa 10 Y 10 MPa 40 MPa Y x O y 10 40 40 40 X X 50 EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO EXEMPLO Solução (cont.): Solução (cont.): y 10 MPa 40 MPa 10 Y 40 Y 40 σ 20 40 - 30 MPa CF = 50 – 20 = 30 MPa 10 MPa 40 MPa D 50 MPa 70 MPa F y 10 x O - 30 MPa 50 τ 50 MPa τ σ 20 40 X Raio = σ máx σ mín 50 E = 50 MPa 402 + 302 = 20 + 50 = 70 MPa = 20 – 50 = - 30 MPa τ σ 40 X 50 50 MPa 70 MPa F 2θ p 20 x O FX = 40 MPa τ 50 MPa 70 MPa F σ - 30 MPa x O 50 MPa tan(2θ p ) = FX 40 = CF 30 2θ p = 51,3o θ p = 26 ,6 o τ max = 50 MPa EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EXEMPLO d Solução (cont.): e σ ' = 20 MPa b σ max = 30 MPa O τ max = 50 MPa y a O 45o σ max = 70 MPa 26,6o O x 4