Equações de 2º grau
Definições
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c
IR e
Exemplo:
•
•
•
•
x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1,
6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6,
7x2 - x = 0
é um equação do 2º grau com a = 7,
x2 - 36 = 0
é um equação do 2º grau com a = 1,
b = -5 e c = 6.
b = -1 e c = -1.
b = -1 e c = 0.
b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma
equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a
é sempre o coeficiente de x²;
b
é sempre o coeficiente de x,
c
é o coeficiente ou termo independente.
Equação completas e Incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando
ambos são iguais a zero. Exemplos:
•
x² - 36 = 0
(b = 0)
•
x² - 10x = 0
(c = 0)
•
4x² = 0
(b = c = 0)
Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,
transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou
conjunto solução. Exemplos:
•
Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
x² - x - 2 = 0 ?
1
Solução
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e
verificamos quais as sentenças verdadeiras.
(-1)² - (-1) - 2 = 0
1+1-2=0
0=0
0² - 0 - 2 = 0
0 - 0 -2 = 0
-2 = 0
1² - 1 - 2 = 0
1-1-2=0
-2 = 0
2² - 2 - 2 = 0
4-2-2=0
0=0
Para x = -1
Para x = 0
Para x = 1
Para x = 2
(V)
(F)
(F)
(V)
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
•
Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0.
Solução
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
•
Logo, o valor de p é
.
Resolução de equações incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas
importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
1º Caso: Equação do tipo
.
Exemplo:
2
•
, sendo
Determine as raízes da equação
.
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo
tem para soluções
e
.
2º Caso: Equação do tipo
Exemplos:
•
Determine as raízes da equação
, sendo U = IR.
Solução
De modo geral, a equação do tipo
número positivo, não tendo raiz real caso
possui duas raízes reais se
for um
seja um número negativo.
Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação
, em que a, b, c
IR e
, desenvolveremos
passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
3
2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
3º passo: adicionar
aos dois membros.
4º passo: fatorar o 1º elemento.
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
6º passo: passar b para o 2º membro.
7º passo: dividir os dois membros por
.
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
Exemplos:
4
•
resolução a equação:
Temos
Discriminante
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega
(delta).
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo
O valor de
.
é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
Exemplo:
•
Para quais valores de k a equação x² - 2x + - 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
Solução
5
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo
O valor de
é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
•
Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p = 0
Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que
.
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo
.
O valor de
não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da
equação são número complexos.
Exemplo:
•
Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
6
Solução
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para
, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para
, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para
, a equação não tem raízes reais.
EQUAÇÕES LITERAIS
As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos
independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.
As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas
parâmetros.
Exemplos:
ax2+ bx + c = 0
incógnita: x
parâmetro: a, b, c
ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0
incógnita: x
parâmetro: a
Equações literais incompletas
A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações
numéricas.
Observe os exemplos:
•
Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.
Solução
7
3x2 - 12m2 = 0
3x2 = 12m2
x2 = 4m2
x=
Logo, temos:
•
Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m
0, sendo y a variável.
Solução
my2 - 2aby = 0
y(my - 2ab)=0
Temos, portanto, duas soluções:
y=0
ou
my - 2ab = 0
my = 2ab
y=
Assim:
Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim
resolvido:
my2 - 2aby= 0
my2 = 2aby
my = 2ab
Desta maneira, obteríamos apenas a solução
.
8
O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.
Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta
maneira a divisão por zero, que é um absurdo.
Equações literais completas
As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:
Exemplo:
Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.
Solução
Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2
Portanto:
Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a
equação.
0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa
Logo:
9
Observe as seguintes relações:
•
Soma das raízes (S)
•
Produto das raízes (P)
Como
,temos:
Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de
aplicação dessas relações.
•
Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.
Solução
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
A soma das raízes é igual a
Assim:
•
.
O produto das raízes é igual a
Assim:
Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de
suas raízes seja igual a 7.
Solução
10
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.
S= x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é -2.
•
Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes
seja igual a -2.
Solução
Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.
P= x1. x2= -2
Logo, o valor de m é
•
.
Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos diversos
de suas raízes seja igual a 8.
Solução
Considere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corresponde a
.
Assim:
Logo, o valor de k é -8.
•
Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2
= 0 admita:
11
a) raízes simétricas;
b) raízes inversas.
Solução
Se as raízes são simétricas, então S=0.
Se as raízes são inversas, então P=1.
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a
Como
, obtemos:
, podemos escrever a equação desta maneira.
x2 - Sx + P= 0
Exemplos:
•
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução
A soma das raízes corresponde a:
12
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
•
Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das
raízes é
.
Solução
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz
, a outra raíz será
.
Assim:
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.
FORMA FATORADA
Considere a equação ax2 + bx + c = 0.
Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
13
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:
a.(x - x') . (x - x'') = 0
Exemplos:
•
Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x-2).(x-3) = 0
•
Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.
Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0
•
Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.
Solução
Como o
, a equação não possui raízes reais.
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
14
Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo
em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
6x4 + 2x3 - 2x = 0
x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só
possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,
transformando-a numa equação do 2º grau.
Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação
biquadrada.
15
Seqüência prática
•
•
•
Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
Resolva a equação ay2 + by + c = 0
Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c =
0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá
origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma
raiz real para a mesma.
Exemplos:
•
Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4
e
y''=9
Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
•
Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
16
y'=6 e y''= -10
Como x2= y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade:
•
Determine a soma das raízes da equação
.
.
Solução
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
y2 - 3y = -2
y2 - 3y + 2 = 0
y'=1 e y''=2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
17
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
•
resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução
Fazendo x3=y, temos:
y2 + 117y - 1.000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
y'= 8 e y''= - 125
Então:
Logo, V= {-5, 2 }.
Composição da equação biquadrada
Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0
Exemplo:
•
Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
Solução
a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0
b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
x2(x2 -49) = 0
(x2-a2) (x2-b2) = 0
x4 - 49x2 = 0
x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0
18
PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação
do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.
De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a
biquadrada. Assim:
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:
1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a .
3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a
.
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
19
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são
irracionais.
Ou seja:
Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la
inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a
uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as
raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação
irracional dada ( verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a
uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
•
Solução
Logo, V= {58}.
•
Solução
20
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
•
Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
•
Solução
21
Logo, V={9}; note que
é uma raiz estranha a essa equação irracional.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2.
Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192
4x2 + 4xy = 192
22
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16
1
x2 +xy = 48
2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim:
2x + y = 16
1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 , temos:
x2 + x ( 16 - 2x) = 48
x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0
Multiplicando ambos os membros por -1.
x2 - 16x + 48 = 0
x'=4
e
x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da
quadra:
Comprimento
=2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura
=2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
23
Isolando y em 1
y - 3x = -1
y = 3x - 1
Substituindo em 2
x2 - 2x(3x - 1) = -3
x'=1
x2 - 6x2 + 2x
= -3
-5x2 + 2x + 3
=0
5x2 - 2x - 3
=0
e
Multiplicando ambos os membros por -1.
x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e
.
Logo, temos para conjunto verdade:
PROBLEMAS DO 2º GRAU
Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática
•
•
•
Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a
linguagem matemática.
Resolva a equação ou o sistema de equações.
Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do
problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
•
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja
.
Solução
24
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão
.
representados por
Temos estão a equação:
.
Resolvendo-a:
Observe que a raiz
não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
•
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,
obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendose que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por
10y + x.
Observe:
Número:
10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:
10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
25
Isolando y em 1 :
-x + y = 3
y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy = 18
x ( x + 3)
= 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o
número
36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
•
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais
que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque
isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a
2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão
correspondente:
do tanque; observe a equação
26
Resolvendo-a, temos:
6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 - 7x - 30 = 0
x'= - 3
e x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
•
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$
24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes
recebeu um acréscimo deR$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram presentes nesse
jantar?
Solução
Podemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.
27