Matemática
Aula:
07 e 08/10
Prof. Pedro Souza
UMA PARCERIA
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Isolando c, obtemos:
c=
MATEMÁTICA FINANCEIRA – BANRISUL
PEDRÃO
AULA 07/10 – DESCONTOS
Inicialmente, vamos considerar que há
dois tipos de desconto:
Desconto Racional ou “por dentro”:
é aquele no qual a taxa de desconto incide
sobre o valor presente – VP (capital)
Desconto Comercial ou bancário ou
“por fora”: é aquele no qual a taxa de
desconto incide sobre o valor futuro – VF
(Montante)
DESCONTO SIMPLES
Desconto “por dentro” ou Racional
Simples
M
→ fórmula para
1+ i d .t
cálculo do valor presente – VP (capital)
Isolando id, obtemos:
⎛M
⎞ 1
i d = ⎜ − 1⎟ ⋅ → fórmula para
⎝c
⎠ t
cálculo da taxa de desconto “por dentro” ou
racional simples
Podemos dizer que o desconto é a
diferença entre o valor futuro – VF
(Montante) e o valor presente – VP
(capital):
Dd = M – c
Substituindo c =
M
em
1+ i d .t
Dd = M – c, obtemos:
Dd =
M ⋅ id ⋅ t
→ fórmula para
1+ i d .t
A taxa de juros (id) também pode ser
chamada de taxa de desconto “por dentro”,
taxa de rentabilidade, taxa de desconto
racional simples, taxa efetiva, taxa real,
taxa linear ou taxa implícita.
cálculo do desconto “por dentro” simples
Lembre-se que obtemos os juros
simples pela relação:
Desconto “por fora” ou Bancário ou
Comercial Simples
j = c.i.t
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e
t = tempo.
Lembre-se ainda que obtemos o valor
futuro – VF (Montante) pela relação:
M=c+j
Onde: M = montante, c = capital e j =
juros.
A taxa de juros (if) também pode ser
chamada de taxa de desconto “por fora”,
taxa de desconto comercial, taxa nominal
ou taxa estabelecida.
Na modalidade de juros simples, o
desconto “por fora” incide sobre o valor
futuro – VF (Montante) e possui sempre o
mesmo valor a cada período, e pode ser
calculado, por período, pelo produto do
Montante pela taxa de desconto “por fora”,
que será designada por if.
Df = M . if
Substituindo j = c.i.t em M = c + j,
e chamando de id a taxa de desconto “por
dentro”, obtemos:
M = c + c.id.t
M = c.( 1 + id.t ) → fórmula para
cálculo do valor futuro – VF (Montante)
Considerando-se um intervalo de
tempo t:
Df = M . if . t → fórmula para cálculo
do desconto “por fora” simples
O valor presente – VP (capital) é obtido
pela diferença entre o valor futuro – VF
(Montante) e o desconto “por fora”:
c = M – Df
Substituindo Df = M . if . t em
c = M – Df, obtemos:
c = M – M . if . t
c = M ( 1 – if . t) → fórmula para
cálculo do valor presente – VP (capital)
Importante: o desconto “por dentro”
incide sobre o valor presente – VP (capital),
e sua taxa de desconto (id) é normalmente
chamada de taxa de rentabilidade,
enquanto que o desconto “por fora” incide
sobre o valor futuro – VF (Montante), e sua
taxa de desconto (if) é normalmente
chamada simplesmente de taxa de
desconto.
Exercícios
01) Qual é o valor racional nominal de um
título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois
meses antes do vencimento e cuja taxa
combinada fora de 10% a.m.?
a) R$ 180,00
b) R$ 192,00
c) R$ 200,00
d) R$ 220,00
e) R$ 240,00
02) Qual é o valor comercial atual de um
título, dois meses antes do vencimento,
cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja
taxa combinada fora de 10% a.m.?
a) R$ 180,00
b) R$ 192,00
c) R$ 200,00
d) R$ 220,00
e) R$ 240,00
03) Calcule o desconto por dentro e o valor
atual de um título no sétimo mês após feito
negócio. Sabendo que a taxa combinada
foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1
ano e o valor nominal de R$ 3.000,00?
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00
e)R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00
04) Calcule o desconto por fora e o valor
atual de um título no sétimo mês após feito
negócio. Sabendo que a taxa combinada
foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1
ano e o valor nominal de R$ 3.000,00?
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00
e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00
05) O desconto comercial simples de um
título seis meses antes do seu vencimento
é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de
10%
ao
mês,
obtenha
o
valor
correspondente no caso de um desconto
racional simples.
a) R$ 375,00
b) R$ 600,00
c) R$ 800,00
d) R$ 700,00
e) R$ 500,00
06) Ao descontar um título por fora e por
dentro, verificou-se que a diferença entre
os dois descontos era de R$ 64,00. Sendo
de 80 dias o prazo da operação e de 12%
a.a. a taxa simples dos descontos, o valor
nominal da letra em reais é:
a) 96.000
b) 95.200
c) 94.000
d) 92.400
e) 90.000
07) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 15.000,00.com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 25% a.a. qual o valor atual
racional deste título hoje?
a) R$ 9.600,00
b) R$ 8.700,00
c) R$ 9.500,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 10.000,00
08) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 15:000,00 com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 25% a.a. qual o valor atual
racional deste título daqui a 1 ano?
a) R$ 9.600,00
b) R$ 15.000,00
c) R$ 9.300,00
d) R$ 12.000,00
e) R$ 8.000,00
09) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 10.400,00 com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 24% a.a., qual o valor atual
racional deste título 2 meses antes do seu
vencimento?
a) R$ 10.315.00
b) R$ 12.610,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 9.615,00
e.) R$ 14.655,00
14) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 20.000,00 com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 24% a.a., qual o valor atual
comercial deste título 4 meses depois de
adquirido o título?
a) R$ 11.800,00
b) R$ 11.611,00
c) R$ 8.225,00
d) R$ 9.220,00
e) R$ 12.000,00
10) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 28.000;00 com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 24% a.a., qual! o valor atual
racional deste título 4 meses depois de
adquirido o título?
a) R$ 11.600,00
b) R$ 11.611,00
c) R$ 8.225,00
d) R$ 9.220,00
e) R$ 20.000,0
15) Determine o desconto racional obtido
ao reportar-se uma letra de valor nominal
R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de
seu vencimento.
a) R$ 12,000,00
b) R$ 1.200,00
c) R$ 120,00
d) R$ 120.000,00
e) R$ 12,00
11) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 15.000,00 com vencimento. daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 25% a.a. qual o valor atual
comercial deste título hoje?
a) R$ 9.600,00
b) R$ 8.700,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 10.000;00
16) Determine a desconto comercia! sofrido
por um título de R$ 7.200,00 descontado a
2 meses antes de seu vencimento a uma
taxa de 10% a.m..
a) R$ 144.000,00
b) R$ 14.400,00
c) R$ 8.440,00
d) R$ 1.440,00
e) R$ 11.200,00
12) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 15.000,00 com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 25% a.a., qual o valor atual
comercial deste título daqui a 1 ano?
a) R$ 9.600,00
b) R$ 15.000,00
c) R$ 9.340,00
d) R$ 11.250,00
e) R$ 10.000,00
17) Determine o valor nominal de um título
que descontado 60 dias antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de
10% a.m. apresentou um valor descontado
de R$ 15.000,00.
a) R$ 1.800;00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 18.000,00
d) R$ 1.400,00
e) R$ 1.200,00
13) Se tenho um título com valor nominal
de R$ 10.000,00 e com vencimento daqui a
dois anos e sendo a taxa de juros simples
corrente de 24% .a.a., qual o valor atual
comercial deste título 2 meses antes do
seu vencimento?
a) R$ 10.315,00
b) R$ 12.610,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 9.600,00
e) R$ 14.855;00
18) Utilizando o desconto racional, o valor
que devo pagar por um título com seu
vencimento daqui a 6 meses, se o seu
valor nominal for de Cr$ 29.500,00 e eu
desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) Cr$ 24.000,00
b) Cr$ 25.000,00
c) Cr$ 27.500,00
d) Cr$ 18.880,00
e) Cr$ 24,190,00
19) Quanto tempo antes de seu vencimento
foi paga uma letra de R$ 20.000,00,
descontada a 6% a.a. o desconto comercial
foi de R$ 2.400,00?
a) 25 meses
b) 1 ano
c) 10 meses
d) 3 anos
e) 2 anos
20) Uma letra, faltando 8 meses para seu
vencimento, sofre o desconto por fora de
R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo
a taxa de 12% a.a.
a) R$ 38.800,00
b) R$ 38.600,00
c) R$ 36.000,00
d) R$ 36.800,00
e) R$ 38.000,00
21) Uma letra de R$ 880.000,00 foi
apresentada para desconto racional,
faltando 1 ano e 3 meses para o seu
vencimento. A que taxa foi descontada, se
pagou R$ 800.000,00?
a) 10% a.a.
b) 9% a.a.
c) 8% a.a.
d) 7% a.a.
e) 6% a.a.
22) Uma letra de R$ 818.000,00 sofre o
desconto por dentro de R$ 240.000,00, à
taxa de 25% ao ano. Quanto tempo
aproximadamente antes do vencimento ela
foi liquidada?
a) 1 ano e 2 meses
b) 14 meses
c) 17 meses
d) 1 ano e 8 meses
e) 19 meses
23) Se o valor atual for igual a 2/3 do valor
nominal e o prazo da aplicação for de 2
anos, qual será a taxa de juros simples
Considerada?
a) 25% a.a.
b.) 30% a.a.
c) 35% a.a.
d) 20% a.a.
e) 15% a.a.
24) O valor nominal título é igual ao dobro
de seu valor de atual. Sabendo-se que a
taxa de juros corrente é a 12,5% a.m.; qual
o prazo de aplicação considerando o
regime de capitalização simples?
a) 8 meses
b) 9 meses
c) 10 meses
d) 11 meses
e) 12 meses
25) O valor atual de um título é igual a 1/2
de seu valor nominal. Calcular a taxa de
desconto sabendo-se que o pagamento foi
antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
26) Qual o valor atual, calculado por
desconto simples racional, à taxa de 37,5%
ao mês, de um título de valor de face de
R$100.000,00 vinte dias antes de seu
vencimento?
a) R$ 62.500,00
b) R$ 70.000,00
c) R$ 72.500,00
d) R$ 75.000,00
e) R$ 80.000,00
27) Qual a diferença entre o desconto
comercial e o desconto racional, 9% a.a.
sobre um título de R$120.000,00, pago 50
dias antes do vencimento?'
a) R$ 18,52
b) R$ 15,80
c) R$ 1,85
d) R$ 1,58
e) R$ 20,00
28) Um comerciante comprou uma certa
quantidade de bombons ao preço de
Cr$120.000,00 a caixa, para pagamento ao
final de 18 meses. No entanto, resolveu
pagá-las à vista, para aproveitar-se do
desconto por fora de 8% a.a., que Ihe fora
concedido sobre aquele prazo. Calcular o
número de caixas de bombons adquiridas,
sabendo-se que o desconto obtido foi no
valor de Cr$ 4.752.000,00.
a) 230
b) 280
c) 350
d) 250
e) 330
29) Admita-se que uma duplicata tenha
sido submetida a 2 tipos da descontos. No
primeiro caso; a juros simples, a uma taxa
de 10% a.a., vencível em 180 dias, com
desconto comercial (por fora). No segundo
caso ,com desconto racional (por dentro),
mantendo as demais condições. Sabendose que a soma dos descontos, por fora e
por dentro, foi de R$635,50, o valor
nominal do título era de R$
a) 6.430,00
b) 6.590,00
c) 5.970,00
d) 6.240,00
e) 6.510,00
30) José descontou 2 duplicatas em um
banco, no regime de juros simples
comerciais a uma taxa de juros de 15%
a.a.. O primeiro título vencia em 270 dias e
o segundo em 160 dias; sendo que o último
era de valor nominal 50% superior ao
primeiro. Sabendo-se que os dois
descontos comerciais somaram o valor de
R$382,50; o título que produziu o maior
desconto tinha o valor nominal em R$, de
a) 1.800.00
b) 1.700,00
c) 1.600,00
d) 1.850,50
e) 1.750,00
Relação entre os descontos “por
dentro” e “por fora” simples
c=
M
→ “por dentro”
1+ i d .t
c = M ( 1 – if . t) → “por fora”
Comparando as duas relações,
obtemos:
c=
M
= M (1 − i f ⋅ t )
1 + i d .t
Isolando id, obtemos:
id =
if
→ fórmula para
1− i f ⋅ t
cálculo da taxa de desconto “por dentro”
em função da taxa de desconto “por fora”
Isolando if, obtemos:
if =
id
→ fórmula para
1+ i d ⋅ t
cálculo da taxa de desconto “por fora” em
função da taxa de desconto “por dentro”
Exercícios
01) Desconto simples por fora a uma taxa
de 20% ao mês aplicado por 1 mês é
equivalente a desconto por dentro, também
aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de:
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
02) Calcule a taxa simples efetiva mensal
de uma aplicação feita utilizando desconto
simples por fora a uma de 20% ao mês por
1 mês.
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
03) Desconto simples por dentro a uma
taxa de 25% ao mês aplicado por 1 mês é
equivalente a desconto por fora, também
aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de:
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
04) Calcule a taxa simples nominal mensal
de uma aplicação feita utilizando desconto
simples por dentro a uma de 25% ao mês
por 1 mês.
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
05) Uma nota promissória de valor nominal
R$ 7.200,00 foi resgatada 50 dias antes do
vencimento, à taxa mensal de 2,4%, com
desconto simples comercial. A taxa efetiva
mensal cobrada nessa transação foi de
a) 2,9%
b) 2,8%
c) 2,6%
d) 2,5%
e) 2,2%
RESUMÃO – DESCONTO SIMPLES
Desconto “por dentro” ou Racional
Simples – VP (capital)
j = c.i.t
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e
t = tempo.
M=c+j
06) Uma promissória de R$240.000,00 é
descontada em um banco 60 dias antes do
vencimento pelo desconto comercial
simples, aplicando-se uma determinada
taxa de desconto. Se a operação resulta
em uma taxa linear efetiva de desconto de
12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto
comercial simples praticada pelo banco é
de
a) 15,0%
b) 10,0%
c) 9,5%
d) 8,5%
e) 6,5%.
07) Calcule taxa de juros simples mensais
que um título descontado pelo desconto
comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5
meses:
a) 0,80%
b) 6,50%
c) 13,3%
d) 40,0%
e) 80,0%.
08) Calcule taxa nominal simples mensal
que um título descontado pelo desconto
racional simples, utilizando taxa de 6% a.m.
em 5 meses:
a) 5,00%
b) 3,59%
c) 2,38%
d) 4,62%
e) 5,50%.
09) Marcos descontou um título 45 dias
antes de seu vencimento e recebeu R$
370.000,00. A taxa de desconto comercial
simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor
nominal do título e o valor mais próximo da
taxa
efetiva
da
operação
são,
respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês
Onde: M = montante, c = capital e j =
juros.
Dd = M – c
Onde: Dd = desconto “por dentro”,
M = montante, c = capital.
Desconto “por fora” ou Bancário ou
Comercial Simples – VF (Montante)
Df = M . if . t
Onde: Df = desconto “por fora”,
M = montante, if = taxa de desconto “por
fora”, t = tempo.
c = M – Df
Onde: c = capital, M = montante,
Df = desconto “por fora”.
DESCONTO COMPOSTO
Desconto “por dentro” ou Racional
Composto
Lembre-se que no regime de juros
compostos, o valor futuro – VF (Montante)
pode ser obtido pela relação:
M = c . ( 1 + i )t → fórmula para
cálculo do valor futuro – VF (Montante)
Onde: M = montante, c = capital e
id = taxa de desconto “por dentro” e
t = tempo.
Isolando c, obtemos:
c=
M
→ fórmula para
(1 + i d )t
calcular o valor presente – VP (capital)
Podemos dizer que o desconto é a
diferença entre o valor futuro – VF
(Montante) e o valor presente – VP
(capital):
Dd = M – c
Substituindo
c=
M
(1 + i d )t
em
Dd = M – c, obtemos:
Dd = M −
M
(1 + i d )t
⎛
1
Dd = M ⋅ ⎜⎜1 −
t
⎝ (1 + i d )
⎞
⎟⎟ →
⎠
fórmula para cálculo do desconto “por
dentro” composto
Desconto “por fora” ou Bancário ou
Comercial Composto
Na modalidade de juros compostos, o
desconto “por fora” incide sobre o valor
futuro – VF (Montante) e o valor presente –
VP (capital) pode ser calculado pela
relação:
c = M . ( 1 – if )t → fórmula para
calcular o valor presente – VP (capital)
Onde: M = montante, c = capital e
if = taxa de desconto “por fora” e t = tempo.
Podemos dizer que o desconto é a
diferença entre o valor futuro – VF
(Montante) e o valor presente – VP
(capital):
Df = M – c
t
Substituindo c = M . ( 1 – if ) em
Df = M – c, obtemos:
Df = M – M . ( 1 – if )t
Df = M . [ 1 – ( 1 – if )t ] →
fórmula para cálculo do desconto “por fora”
composto
Exercícios
01) Determinar o valor do desconto que um
título de R$ 408.150,00, com vencimento
para 4 meses, deverá sofrer se for
descontado a 8% a.m. de desconto
composto?
a) R$ 108.150,00
b) R$ 116.867,00
c) R$ 146.464,54
d) R$ 126.866,56
e) R$ 136.855,25
02) Um título disponível ao fim de 6 meses
foi descontado a juros composto de 8%
a.m. e se reduziu a R$ 40.000,00. Qual o
valor do título?
a) R$ 56.176,26
b) R$ 46.867,50
c) R$ 50.464,54
d) R$ 63.476,00
e) R$ 76.866,56
03) Um título vale em sua data de
vencimento, R$ 121.000,00. Um investidor
quer saber quanto tempo poderá antecipar
seu resgate para que, havendo um
desconto composto de R$ 21.000,00. a
taxa de juros compostos cobrada seja de
10% a.a.
a) 4 anos
b) 3 anos
c) 2 anos
d) 1 ano
e) 7 anos
04) O valor atual de um título de R$
700.000,00 vencível em 4 meses é R$
478.109,72. Qual a taxa de juros
compostos vigente?
a) 9% a.m.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 18% a.m.
e) 8% a.m.
05) Um título de valor nominal R$ 6.500,00,
obteve um desconto de R$ 2.707,26. Se a
taxa de juros de mercado for de 8% a.m.,
qual deverá ser o prazo de antecipação?
a) 3 meses
b) 6 meses
c) 7 meses
d) 12 meses
e) 2 meses
06) Um título disponível ao fim de 6 meses
foi descontado comercialmente a juros
composto de 8% a.m. e se reduziu a R$
12.128,00. Qual o valor do título?
a) R$ 22.175,35
b) R$ 20.000,00
c) R$ 25.464,54
d) R$ 26.866,56
e) R$ 22.345,40
11) Se existe a possibilidade de ganhar 3%
a.m., que desconto racional devo exigir na
compra de um título no valor nominal de R$
15.800,00, vencível em 2 meses?
a) R$ 906,98
b) R$ 868,18
c) R$ 110,11
d) R$ 868,78
e) R$ 915,12
07) Um título vale em sua data de
vencimento, R$ 100.000,00. Um investidor
quer saber quanto tempo poderá antecipar
seu resgate para que, havendo um
desconto comercial composto de R$
27.100,00. a taxa de juros compostos
cobrada seja de 10% a.a.
a) 4 anos
b) 3 anos
c) 2 anos
d) 1 ano
e) 7 anos
12) André receberá R$ 31.470,38 como
parte sua numa herança. Contudo,
necessitando do dinheiro 4 meses antes da
data de recebimento propõe a um amigo a
venda de seus direitos por R$ 20.000,00.
Que taxa de juros mensal André pagou?
a) 5,00%
b) 43,77%
c) 12,0%
d) 46,69%
e) 66,66%
08) O valor atual comercial de um título de
R$ 700.000,00 vencível em 4 meses é R$
479.990,00. Qual a taxa de juros
compostos vigente?
a) 9% a.m.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 18% a.m.
e) 8% a.m.
13) Quanto sofrerá de desconto um título
de R$ 700.000,00, 3 meses antes de seu
vencimento se foi descontado a 5% ao mês
de desconto composto?
a) R$ 94.417,77
b) R$ 85.013,98
c) R$ 95.313,68
d) R$ 85.310,00
e) R$ 90.300,78
09) Uma letra de câmbio no valor nominal
de R$ 8.000,00 foi resgatada 4 meses
antes de seu vencimento. Qual é o valor de
resgate, se a taxa composta de juros
corrente for de 4% a.m.?
a) R$ 6.638,66
b) R$ 5.832,63
c) R$ 3.238,22
d) R$ 5.855,52
e) R$ 6.838,63
14) Uma Nota Promissória foi quitada 6
meses antes de seu vencimento à taxa de
6,0% ao mês de desconto composto.
Sendo o valor nominal da promissória R$
670.000,00. Qual o valor do desconto
concedido?
a) R$ 227.676,42
b) R$ 197.676,43
c) R$ 337.654,82
d) R$ 187.876,88
e) R$ 145.663,13
10) Pedro receberá R$ 20.000,00 como
parte sua numa herança. Contudo,
necessitando do dinheiro 4 meses antes da
data de recebimento propõe a um amigo a
venda de seus direitos por R$ 16.454,05.
Que taxa de juros anual Pedro pagou?
a) 5,00% a.a.
b) 73,77% a.a. c) 9,50% a.a.
d) 79,59% a.a.
e) 55,55% a.a.
15) Em um título no valor nominal de R$
6.500,00, o desconto racional sofrido foi de
R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de
mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá
ser o prazo de antecipação?
a) 3 meses
b) 6 meses
c) 7 meses
d) 12 meses
e) 2 meses
16) Determinar o prazo de antecipação de
um título de R$ 600.000,00, que deverá ser
descontado a 8% ao mês de desconto
composto e que gerou um desconto de R$
158.982,10.
a) 4 meses
b) 8 meses
c) 1 ano e 8 meses
d) 12 meses
e) 2 anos e 3 meses
17) Determinar o prazo de antecipação de
um título de R$ 236.736,30, que deverá ser
descontado a 9% ao mês de desconto
composto e que gerou um valor
descontado de R$ 100.000,00.
a) 4 meses
b) 8 meses
c) 1 ano e 8 meses
d) 10 meses
e) 2 anos e 3 meses
18) Pedro receberá R$ 20.000,00 como
parte sua numa herança. Contudo,
necessitando do dinheiro 4 meses antes da
data de recebimento propõe a um amigo a
venda de seus direitos por R$ 16.454,05.
Que taxa de juros mensal Pedro Pagou?
a) 5,00%
b) 73,77%
c) 9,50%
d) 79,59%
e) 55,55%
19) Um título cujo o valor nominal é R$
1.610.510,00. Qual o seu valor atual (ou
presente) se a taxa de juros composto é de
10% a.m. e seu vencimento é daqui a 5
meses.
a) R$ 2.000.000,00
b) R$ 1.000.000,00
c) R$ 3.000.000,00
d) R$ 4.000.000,00
e) R$ 500.000,00
20) Um título de valor nominal igual a R$
10.000,00 é resgatado 2 meses antes de
seu vencimento, segundo o critério de
desconto racional composto, sabendo-se
que a taxa de juro composto é de 10%
a.m., qual o valor do desconto?
a) R$ 3.885,54
b) $ 8.264,46
c) R$ 738,88
d) R$ 2.785,13
e) R$ 1.735,54
21) Um título vai ser resgatado dois meses
antes do seu vencimento. Sabendo que foi
adotado o critério do desconto racional
composto, a taxa de 15% a.m., qual o valor
descontado desse título de valor nominal
igual a R$ 100.000,00?
a) R$ 75.614,37
b) R$ 95.619,25
c) R$ 99.694,35
d) R$ 55.514,57
e) R$ 72.214,22
22) Qual o prazo de antecipação de um
título de valor nominal de R$ 100.000,00.
Sabendo-se que o valor do desconto
composto foi de R$ 25.378,36 e a taxa de
desconto foi de 5% a.m.
a) 2 meses
b) 3 meses
c) 4 meses
d) 5 meses
e) 6 meses
23) O valor atual de R$ 112.360,00, 2
meses antes de seu vencimento, à taxa de
6% ao mês de juros compostos é:
a) R$ 350.000,00
b) R$ 100.000,00
c) R$ 200.000,00
d) R$ 240.000,00
e) R$ 150.000,00
24) Qual o valor atual composto de um
título de R$ 750.000,00 vencível em 8
meses, se a taxa de juros compostos
vigente é de 5% ao mês?
a) R$ 507.629,52
b) R$ 447.825,51
c) R$ 207.529,51
d) R$ 427.223,51
e) R$ 307.621,11
25) O valor atual de um título de R$
700.000,00 vencível em 4 meses é R$
495.897,00. Qual a taxa de juros
compostos vigente?
a) 9% a.m.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 18% a.m.
e) 8% a.m.
AULA 08/10 – EQUIVALÊNCIAS DE
CAPITAIS
Muitas são as vezes nas quais é
necessário fazer a troca de um ou mais
títulos por outro(s), esta é uma situação
que ocorre com freqüência, pois nem
sempre um comerciante consegue honrar
a(s) data(s) de vencimento de seu(s)
título(s), e então efetua a troca entre os
títulos. É importante destacar que nestas
situações, estamos falando de títulos com
valores
diferentes,
com
datas
de
vencimento diferentes, mas que em certo
momento possuem valores iguais, e este
momento é chamado de data focal.
A data focal é o momento utilizado
como referência para a comparação dos
valores
que
possuem
datas
de
“vencimento” diferentes.
Na data focal, os títulos (com valores
diferentes) devem possuir um mesmo valor,
que será considerado como o valor
presente – VP (capital), e então serão
chamados de capitais equivalentes.
Podemos então dizer que os capitais
serão equivalentes quando os seus valores
presentes – VPs (capitais) forem iguais:
c1 = c2 = c3 = ...
Equivalências de capitais em juros
simples
É fundamental que seja observado se o
exercício está sendo dado em função de
um desconto racional (“por dentro”) ou de
um desconto comercial (“por fora”), pois as
relações a serem utilizadas em cada caso
serão diferentes.
Equivalências de capitais com
desconto “por dentro” ou racional
simples
Para trabalharmos com capitais
equivalentes devemos sempre isolar o
valor presente – VP (capital) nas relações.
Lembre-se que as relações utilizadas para
o desconto “por dentro” ou racional são:
j = c.i.t
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e
t = tempo.
M=c+j
Onde: M = montante, c = capital e j =
juros.
Dd = M – c
Onde: Dd = desconto “por dentro”,
M = montante, c = capital.
Substituindo j = c.i.t em M = c + j,
e isolando c, obtemos:
c=
M
1+ i d .t
Então podemos escrever:
c=
M3
M1
M2
=
=
= ...
1 + i .t1 1 + i .t 2 1 + i .t 3
→ fórmula para cálculo de capitais
equivalentes com desconto racional ou “por
dentro” simples.
Exercícios
01) Qual o valor do capital, disponível em
120 dias, equivalente a R$ 10.500,00
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao
mês de desconto simples racional?
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 12.250,00
e) R$ 12.600,00
02) Uma empresa deve um título de valor
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo
por um outro que vencerá na data 5,
usando uma taxa simples de 10% ao
período, qual o valor do novo título.
a) R$ 1.400,00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 1.300,00
d) R$ 1.200,00
e) R$ 1.500,00
03) Uma empresa deve um título de valor
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo
por um outro que vencerá na data 5,
usando uma taxa simples de 10% ao
período, qual o valor do novo título. Utilize
a data focal 5 para a equivalência.
a) R$ 1.460,00
b) R$ 1.500,00
c) R$ 1.560,00
d) R$ 1.600,00
e) R$ 1.760,00
04) Uma impressora é vendida à vista por
R$ 300,00 à vista ou com uma entrada de
30% e mais um pagamento de R$ 220,50
após 30 dias. Qual a taxa simples mensal
envolvida na operação?
a) 5%
b) 2%
c) 10%
d) 6%
e) 20%
05) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com
vencimentos respectivos em 150 e 360
dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal
de desconto simples racional vigente?
a) 4%
b) 5%
c) 6%
d) 7%
e) 8%
06) Um som é vendido da seguinte forma:
entrada de R$ 500,00 e duas prestações
iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30
dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja
opera com uma taxa simples de desconto
igual a 20% a.m., qual o preço à vista deste
som?
a) R$ 1.375,00
b) R$ 1.220,00
c) R$ 1.750,00
d) R$ 1.300,00
e) R$ 1.500,00
07) Ume empresa devedora de três títulos
pagáveis em 6, 12 e 18 meses, com
valores respectivamente de R$ 4.400,00,
R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando
que apenas daqui a 12 meses possuirá
recursos disponíveis, propõe liquidar esses
três títulos nesta data. Qual será o valor
deste pagamento, se a taxa de juros
simples for de 20% a.a.?
a) R$ 15.000,00
b) R$ 17.500,00
c) R$ 20.000,00
d) R$ 22.500,00
e)R$ 18.000,00
08) Precisamos trocar três títulos com
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros
títulos de mesmo valor nominal com
vencimento daqui a 4 e 6 meses.
Considerando o regime de desconto
simples racional, a uma taxa de 10% a.m.,
qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 2.250,00
b) R$ 2.750,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 3.750,00
e) R$ 4.250,00
09) Qual o valor do capital, disponível em
180 dias, equivalente a R$ 12.000,00
disponível em 60 dias à taxa de 5% ao mês
de desconto simples racional?
a) R$ 10.900,00
b) R$ 13.000,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 12.500,00
e) R$ 14.000,00
10) Qual o valor do capital, disponível em
150 dias, equivalente a R$ 12.000,00
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao
mês de desconto simples racional?
a) R$ 12.000,00
b) R$ 13.000,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 12.500,00
e) R$ 15.000,00
11) Uma empresa deve um título de valor
R$ 1.300,00 na data 6 e desejá-lo trocá-lo
por um outro que vencerá na data 10,
usando uma taxa simples de 5% ao
período, qual o valor do novo título.
a) R$ 1.400,00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 1.300,00
d) R$ 1.200,00
e) R$ 1.500,00
12) Qual o valor do capital, disponível em
150 dias, equivalente a R$ 10.500,00
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao
mês de desconto simples racional?
a) R$ 12.450,00
b) R$ 12.750,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 12.250,00
e) R$ 13.125,00
13) Em uma determinada loja, um cliente
possui duas alternativas para compra um
TV à cores. A primeira alternativa é
pagamento à vista de R$ 480.000,0, a
segunda alternativa é o pagamento de uma
parcela de R$ 280.000,00 e a segunda
após 60 dias. Sabendo que a opção de
pagamento a prazo o preço do televisor
seria de R$ 600.000,00, qual é a taxa de
juros anual cobrada?
a) 360% a.a.
b) 120% a.a.
c) 200% a.a.
d) 240% a.a.
e) 180% a.a.
14) Um fogão é vendido por Cr$
600.000,00 à vista ou com uma entrada de
22% e mais um pagamento de Cr$
542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de
juros mensal envolvida na operação?
a) 5%
b) 12%
c) 15%
d) 16%
e) 20%
15) Uma loja vende seus produtos com
pagamento em duas prestações mensais
iguais, “sem juros”. A primeira prestação é
paga no ato da compra e a segunda, um
mês após. Entretanto um desconto de 10%
é concedido se o cliente pagar à vista. Na
realidade, essa loja cobra, nas vendas a
prazo, juros mensais de:
a) 10%
b) 20%
c) 25%
d) 20%
e) 30%
16) Um título de valor nominal de R$
500,00 com vencimento daqui a 1 mês,
precisa ser trocado por outro de valor
nominal de R$ 700,00 com vencimento
daqui a três meses. Supondo o critério de
desconto racional simples, qual a taxa
mensal que deverá ser considerada?
a) 25%
b) 20%
c) 30%
d) 15%
e) 10%
17) Qual será a taxa anual de desconto
necessário, para que os capitais de R$
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a
2 e 3 anos, respectivamente, sejam
equivalentes na data atual pelo regime de
capitalização simples? (utilize desconto
racional)
a) 12,5%
b) 8,5%
c) 11,5%
d) 11,4%
e) 11%
18) Um vídeo game é vendido da seguinte
forma. Entrada de R$ 500,00 e duas
prestações iguais a R$ 1.560,00. A primeira
daqui a 60 dias e a segunda daqui a 90
dias. Se a loja opera com uma taxa de
desconto igual a 10% a.m., qual o preço à
vista? (utilize desconto racional)
a) R$ 2.500,00
b) R$ 2.750,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 3.250,00
e) R$ 3.500,00
19) Aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo
prazo de 9 meses contratando-se a taxa de
juros de 28% a.a. Além desta aplicação,
existe outra de valor nominal de R$
8.000,00 com vencimento a 18 meses.
Considerando-se a taxa de juros de 10%
a.m. e a data focal 12, qual é a soma das
aplicações sob o critério do desconto
racional?
a) R$ 8.146,00
b) R$ 8.100,00
c) R$ 8.150,00
d) R$ 8.175,00
e) R$ 9.550,00
Equivalências de
desconto “por fora”
simples
capitais com
ou comercial
Para trabalharmos com capitais
equivalentes devemos sempre isolar o
valor presente – VP (capital) nas relações.
Lembre-se que as relações utilizadas para
o desconto “por dentro” ou racional são:
Df = M . if . t
Onde: Df = desconto “por fora”,
M = montante, if = taxa de desconto “por
fora”, t = tempo.
c = M – Df
Onde: c = capital, M = montante,
Df = desconto “por fora”.
Substituindo Df = M . if . t em
c = M – Df, obtemos:
c = M ( 1 – i . t) → fórmula para
cálculo do valor presente – VP (capital)
Então podemos escrever:
c = M1 ( 1 – i . t1) = M2 ( 1 – i . t2) =
M3 ( 1 – i . t3) → fórmula para cálculo
de capitais equivalentes com desconto
comercial ou “por fora” simples.
Exercícios
01) Uma empresa deve um título de valor
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo
por um outro que vencerá na data 5,
usando uma taxa simples comercial de
10% ao período, qual o valor do novo título.
a) R$ 1.760,00
b) R$ 1.820,00
c) R$ 1.950,00
d) R$ 1.880,00
e) R$ 1.700,00
02) Um capital de R$ 900,00 disponível em
40 dias, é equivalente a outro capital,
disponível em 100 dias, à taxa de 60% a.a.
de desconto simples comercial, qual o valor
do outro capital?
a) R$ 1.000,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 1.008,00
03) Um título de R$ 7.000,00 com
vencimento para 120 dias, deve ser
substituído por outro título, com vencimento
para 90 dias. Se a taxa de desconto
simples comercial vigente é de 10% ao
mês, qual será o valor do novo título?
a) R$ 3.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 7.000,00
04) Uma empresa deve um título de valor
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo
por um outro que vencerá na data 5,
usando uma taxa simples comercial de
10% ao período, qual o valor do novo título.
Utilize a data focal 5 para a equivalência.
a) R$ 1.500,00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 1.550,00
d) R$ 1.625,00
e) R$ 1.750,00
05) Um negociante tem duas dívidas a
pagar, uma de R$ 2.000,00, com 45 dias
de prazo e outra de R$ 11.000,00, pagável
em 60 dias. O negociante quer substituir
essas duas dívidas por uma única, com 30
dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de
desconto comercial é de 10% a.m., o valor
nominal
dessa
dívida
será
de
aproximadamente:
a) R$ 11.666,00
b) R$ 12.000,00
c) R$ 11.000,00
d) R$ 10.500,00
e) R$ 11.800,00
06) Uma empresa devedora de dois títulos
de $ 30.000,00 cada, vencíveis em 3 e 4
meses, deseja liquidar a dívida com um
único pagamento no quinto mês. Calcular o
valor desse pagamento empregando a taxa
simples comercial de 15% a.m.
a) $ 114.000,00
b) $ 90.000,00
c) $ 100.000,00
d) $ 110.000,00
e) $ 120.000,00
07) Precisamos trocar três títulos com
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros
títulos de mesmo valor nominal com
vencimento daqui a 4 e 6 meses.
Considerando o regime de desconto
simples comercial, a uma taxa de 10%
a.m., qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 2.100,00
d) R$ 2.300,00
e) R$ 2.400,00
08) Determinar a taxa de juros mensal para
que sejam equivalentes hoje os capitais de
Cr$ 1.000,00 vencível em dois meses e Cr$
1.500,00 vencível em três meses,
considerando-se o desconto simples
comercial.
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 33,33%
09) O capital R$ 700.000,00 vencível em
40 dias, é equivalente ao capital R$
800.000,00 à taxa de 75% ao ano de
desconto simples comercial. Em que data o
capital R$ 800.000,00 estará disponível?
a) 75 dias
b) 85 dias
c) 95 dias
d) 105 dias
e) 115 dias
10) Um título de valor nominal de R$
500.000,00 com vencimento daqui a 1 mês
precisa se trocado por outro de valor
nominal de R$ 700.000,00 com vencimento
daqui a três meses. Supondo o critério de
desconto comercial simples, qual a taxa
mensal que deverá ser considerada?
a) 12,5%
b) 11,5%
c) 10,5%
d) 10,0%
e) 8,75%
11) Qual será a taxa anual de desconto
necessário, para que os capitais de R$
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a
2 e 3 anos, respectivamente, sejam
equivalentes na data atual pelo regime de
capitalização simples? (utilize desconto
comercial)
a) 7,69%
b) 7,15%
c) 5,34%
d) 5,8%
e) 5%
12) Um comerciante deve pagar, ao final de
60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porem, o
comerciante, somente poderá efetuar o
pagamento ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto simples comercial vigente é
100% ao ano, qual será o valor do novo
pagamento?
a) R$ 375,00
b) R$ 475,00
c) R$ 575,00
d) R$ 400,00
e) R$ 350,00
13) Um título de R$ 50.000,00 e outro de
R$ 80.000,00, vencem respectivamente em
60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de
um único título com vencimento par 30
dias, a fim de substituir os dois primeiros. A
taxa de desconto simples comercial é de
20% ao mês.
a) R$ 57.500,00
b) R$ 72.000,00
c) R$ 55.000,00
d) R$ 60.500,00
e) R$ 65.000,00
14) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias
e R$ 200,00 ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto simples comercial de mercado
é 20% ao mês?
a) R$ 300,00
b) R$ 450,00
c) R$ 370,00
d) R$ 350,00
e) R$ 200,00
15) O portador de um título de R$
800.000,00 com vencimento para 60 dias,
quer trocá-lo por dois outros, de igual valor,
vencíveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de
cada novo título se a taxa de desconto
simples comercial de mercado é 120% ao
ano?
a) R$ 250.000,00
b) R$ 350.000,00
c) R$ 450.000,00
d) R$ 550.000,00
e) R$ 400.000,00
16) Um vídeo game é vendido da seguinte
forma. Entrada de R$ 500,00 e duas
prestações iguais a R$ 600,00. A primeira
daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90
dias. Se a loja opera com uma taxa de
desconto igual a 20% a.m., qual o preço à
vista? (utilize desconto comercial)
a) R$ 1.220,00
b) R$ 1.120,00
c) R$ 1.200,00
d) R$ 1.100,00
e) R$ 1.320,00
17) Precisamos trocar três títulos com
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros
títulos de mesmo valor nominal com
vencimento daqui a 4 e 6 meses.
Considerando o regime de desconto
comercial simples, a uma taxa de 8% a.m.,
qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.100,00
e) R$ 1.920,00
Equivalências de capitais em juros
compostos
Equivalências de capitais com desconto
“por dentro” ou racional composto
Para trabalharmos com capitais
equivalentes devemos sempre isolar o
valor presente – VP (capital) nas relações.
Lembre-se que na relação utilizada para o
regime de juros compostos, o valor futuro –
VF (Montante) pode ser obtido pela
relação:
M = c . ( 1 + i )t → fórmula para
cálculo do valor futuro – VF (Montante)
Onde: M = montante, c = capital e
id = taxa de desconto “por dentro” e
t = tempo.
Isolando c, obtemos:
c=
M
(1 + i ) t
Então podemos escrever:
c=
M3
M1
M2
=
=
= ...
(1 + i )t1 (1 + i )t2 (1 + i )t3
→ fórmula para cálculo de capitais
equivalentes com desconto racional ou “por
dentro” composto.
Exercícios
01) Um capital de R$ 900,00 disponível em
90 dias, é equivalente a outro capital,
disponível em 150 dias, à taxa de 5% a.m.,
qual o valor do outro capital?
a) R$ 879,35
b) R$ 987,70
c) R$ 992,25
d) R$ 995,50
e) R$ 1.008,00
02) Qual o valor do capital, disponível em
120 dias, equivalentes a R$ 10.000,00,
disponível em 90 dias, à taxa de 15% a.m.?
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,0
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 11.500,00
03) Qual o valor do capital, disponível em
210 dias, equivalentes a R$ 10.000,00,
disponível em 90 dias, à taxa de 10% a.m.?
a) R$ 13.331,00
b) R$ 14.641,00
c) R$ 15.400,00
d) R$ 17.350,00
e) R$ 18.151,00
04) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias
e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto composto de mercado é 10%
a.m.?
a) R$ 398,00
b) R$ 405,15
c) R$ 370,18
d) R$ 359,00
e) R$ 365,00
05) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias
e R$ 220,00 ao final de 180 dias, se a taxa
de desconto composto de mercado é 10%
a.m.?
a) R$ 323,86
b) R$ 353,15
c) R$ 363,29
d) R$ 456,52
e) R$ 498,75
06) Devo saldar uma dívida da seguinte
maneira: pagando R$ 20.000,00 hoje, R$
12.000,00 daqui a 30 dias e R$ 10.500,00
daqui a 60 dias. Como só terei recursos
daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% a.m.
proposta pelo credor muito atraente, resolvi
quitar a dívida ao fim de 30 dias, em
comum acordo com o credor. De quanto
deverá ser este pagamento único?
a) R$ 42.023,00
b) R$ 42.500,00
c) R$ 43.000,00
d) R$ 48.000,00
e) R$ 45.000,00
07) Devo saldar uma dívida da seguinte
maneira: pagando R$ 20.000,00 hoje, R$
12.000,00 daqui a 1 mês, R$ 10.000,00
daqui a 2 meses, R$ 10.000,00 daqui a 3
meses e R$ 10.000,00 daqui a 4 meses.
Como só terei recursos daqui a 30 dias e
achei a taxa de 10% a.m. proposta pelo
credor muito atraente, resolvi quitar a
dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo
com o credor. De quanto deverá ser este
pagamento único?
a) R$ 78.354,35
b) R$ 65.545,48
c) R$ 58.868,52
d) R$ 58.459,75
e) R$ 60.456,18
08) Precisamos trocar três títulos com
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros
títulos de mesmo valor nominal com
vencimento daqui a 4 e 6 meses.
Considerando o regime de desconto
composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o
valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 1.915,40
c) R$ 1.800,75
d) R$ 1.993,48
e) R$ 1.887,70
09) Qual o valor do capital com vencimento
para 5 meses, equivalente ao capital R$
900.000,00, com vencimento para 3 meses,
à taxa de 6% ao mês de juros compostos?
a) R$ 1.500.000,00
b) R$ 1.000.500,00
c) R$ 1.500.200,00
d) R$ 3.033.240,00
e) R$ 1.011.240,00
10) Um capital de R$ 1.000,00 disponível
em 90 dias, é equivalente a um outro
capital, disponível em 150 dias, à taxa de
5% ao mês de desconto composto, qual o
valor do outro capital?
a) R$ 1.276,30
b) R$ 1.107,70
c) R$ 1.102,50
d) R$ 1.055,50
e) R$ 1.108,00
11) Qual será a taxa anual de desconto
necessário, para que os capitais de R$
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a
2 e 3 anos, respectivamente, sejam
equivalentes na data atual pelo regime de
capitalização composta.
a) 12,5%
b) 8,5%
c) 11,5%
d) 11,4%
e) 10%
12) Qual o valor do capital, disponível em
60 dias, equivalente a R$ 800,00,
disponível em 150 dias à taxa de 8% ao
mês de desconto composto?
a) R$ 700,08
b) R$ 915,56
c) R$ 625,15
d) R$ 705,56
e) R$ 635,07
13) Qual o valor do capital, disponível em
120 dias, equivalentes a R$ 10.000,00,
disponível em 90 dias, à taxa de 10% ao
mês de desconto composto?
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 11.500,00
14) Qual o valor do capital, vencível em 3
anos, equivalente a R$ 115.927,40 vencível
em 8 anos, à taxa de 3% ao ano de
desconto composto?
a) R$ 260.000,00
b) R$ 166.056,56
c) R$ 1.66.250,00
d) R$ 160.500,25
e) R$ 100.000,00
15) Um título de R$ 7.700,00 com
vencimento para 120 dias, deve ser
substituído por outro título, com vencimento
para 90 dias. Se a taxa de desconto
composto vigente é 10% ao mês, qual será
o valor do novo título?
a) R$ 3.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 7.000,00
16) Um comerciante deve pagar, ao final de
60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porém, o
comerciante somente poderá efetuar o
pagamento ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto composto vigente é 5% ao
mês, qual será o valor do novo
pagamento?
a) R$ 335,75
b) R$ 475,75
c) R$ 575,00
d) R$ 455,75
e) R$ 330,75
17) O capital R$ 700.000,00 vencível em
60 dias, é equivalente ao capital R$
805.000,00 à taxa de 15% ao mês de
desconto composto. Em que data o capital
R$ 805.000,00 estará disponível?
a) 7 meses
b) 5 meses
c) 4 meses
d) 3 meses
e) 1 mês
18) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com
vencimentos respectivos em 150 e 360
dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal
de desconto composto vigente?
a) 4% a.m.
b) 5% a.m.
c) 6% a.m.
d) 7% a.m.
e) 8% a.m.
19) Um título de valor nominal de R$
500,00 com vencimento daqui a 1 mês,
precisa ser trocado por outro de valor
nominal de R$ 700,00 com vencimento
daqui a três meses. Supondo o critério de
desconto racional composto, qual a taxa
mensal aproximadamente que deverá ser
considerada?
a) 25%
b) 9%
c) 30%
d) 15%
e) 18%
20) Deverei pagar R$ 300.000,00 em 120
dias. Porém, em 60 dias quero fazer um
pagamento de R$100.000,00 por conta do
débito. Se a taxa de juros compostos de
mercado é 10% ao mês, quanto deverei
ainda pagar no vencimento?
a) R$ 109.000,00
b) R$ 79.000,00
c) R$ 179.000,00
d) R$ 100.000,00
e) R$ 125.000,00
21) Um título de R$ 50.000,00 e outro de
R$ 80.000,00, vencem respectivamente em
60 dias e 120 dias. Calcular o valor nominal
de um único título com vencimento para 30
dias, a fim de substituir os dois primeiros. A
taxa de desconto composto é de 10% ao
mês.
a) R$ 105.559,73
b) R$ 72.089,85
c) R$ 155.569,93
d) R$ 60.523,65
e) R$ 50.845,50
22) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias
e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto composto de mercado é 10%
ao mês?
a) R$ 310,00
b) R$ 340,15
c) R$ 370,18
d) R$ 329,00
e) R$ 350,23
23) Um título de R$ 6.000.000,00 com
vencimento ao final de 6 meses, a contar
da época atual. Deve ser liquidado por
meio de 2 pagamentos iguais, o primeiro,
ao final de 3 meses, e o segundo, ao final
de 5 meses. Sendo a taxa de juros
compostos de mercado 10% ao mês,
calcular o valor de cada pagamento.
a) R$ 2.468.120,12
b) R$ 1.418.120,11
c) R$ 2.400.000,00
d) R$ 1.468.120,00
e) R$ 2.000.000,00
24) Um comerciante deverá pagar, ao final
de 150 dias, R$ 3.509.568,00. Quanto o
comerciante poderá pagar em duas
parcelas iguais, ao final de 60 dias e de
120 dias, para saldar seu débito se a taxa
de juros compostos de mercado é 8% ao
mês?
a) R$ 1.220.000,00
b) R$ 1.220.000,00
c) R$ 1.520.000,00
d) R$ 1.500.000,00
e)R$ 1.220.200,00
25) Uma empresa deverá efetuar os
seguintes pagamentos: R$ 350.000,00 em
3 meses, R$ 560.000,00 em 5 meses, R$
700.000,00 em 6 meses e R$ 450.000,00
em 8 meses. A empresa quer saldar seus
débitos por meio de 3 pagamentos iguais,
vencendo o primeiro a vista, o segundo em
2 meses e o terceiro em 4 meses. Sendo a
taxa de juros compostos vigente 5% ao
mês, qual o valor de cada pagamento?
a) R$ 574.430,00
b) R$ 474.400,00
c) R$ 584.880,00
d) R$ 500.000,00
e) R$ 674.030,00
26) Devo saldar uma dívida da seguinte
maneira pagando R$ 20.000,00 hoje, R$
12.000,00 daqui a 30 dias e R$ 10.000,00
daqui a 60 dias. Como só terei recursos
daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% ao
mês proposta pelo credor muito atraente,
resolvi quitar a dívida, ao fim de 30 dias,
em comum acordo com o credor. De
quanto deverá ser este pagamento único?
a) R$ 42.023,00
b) R$ 42.500,00
c) R$ 42.523,00
d) R$ 43.000,00
e) R$ 43.023,00
27) O portador de um título de R$
2.900.000,00 com vencimento para 2 anos,
quer trocá-lo por dois outros, de igual valor,
vencíveis em 1 a 3 anos. Qual o valor de
cada novo título se a taxa de desconto
composto de mercado é 150% ao ano?
a) R$ 2.050.000,00
b) R$ 1.350.000,00
c) R$ 1.450.000,00
d) R$ 1.550.000,00
e)R$ 1.000.000,00
28) Uma empresa devedora de dois títulos
de R$ 30.000,00, vencíveis em 3 e 4
meses respectivamente, deseja resgatar a
dívida com um único pagamento no fim de
5 meses. Calcular o valor desse
pagamento empregando a taxa composta
de 15% a.m.
a) R$ 114.000,00
b) R$ 90.000,00
c) R$ 100.000,00
d) R$ 110.000,00
e) R$ 74.175,00
29) Precisamos trocar três títulos com
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros
títulos de mesmo valor nominal com
vencimento daqui a 4 e 6 meses.
Considerando o regime de desconto
composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o
valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 1.915,40
c) R$ 1.800,75
d) R$ 1.986,56
e) R$ 1.887,70
Equivalências de capitais com desconto
“por fora” ou comercial composto
Na modalidade de juros compostos, o
valor presente –VP (capital) pode ser
calculado pela relação:
c = M . ( 1 – i )t → fórmula para
calcular o valor presente – VP (capital)
Onde: M = montante, c = capital e
if = taxa de desconto “por fora” e t = tempo.
Então podemos escrever:
c = M1 . ( 1 – i )t1 = M2 . ( 1 – i )t2 =
M3 . ( 1 – i )t3
Exercícios
01) Qual o valor do capital, disponível em
120 dias, equivalentes a R$ 8.500,00,
disponível em 90 dias, à taxa de 15%
a.m.?(utilize o desconto comercial)
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 11.500,00
02) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 162,00 ao final de 60 dias
e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto comercial composto é 10%
a.m.?
a) R$ 390,00
b) R$ 405,00
c) R$ 230,10
d) R$ 300,00
e) R$ 270,00
03) Qual o valor do capital, disponível em
120 dias, equivalentes a R$ 8.100,00,
disponível em 60 dias, à taxa de 10%
a.m.?(utilize o desconto comercial)
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 11.500,00
04) Qual o valor do capital, disponível em
150 dias, equivalentes a R$ 16.290,00,
disponível em 30 dias, à taxa de 5%
a.m.?(utilize o desconto comercial)
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 11.500,00
06) Qual o valor do pagamento ao final de
90 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 184,00 ao final de 60 dias
e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa
de desconto comercial composto é 8%
a.m.?
a) R$ 250,00
b) R$ 275,00
c) R$ 300,00
d) R$ 292,00
e) R$ 270,00
05) Qual o valor do capital, disponível em
60 dias, equivalentes a R$ 10.000,00,
disponível em 210 dias, à taxa de 7%
a.m.?(utilize o desconto comercial)
a) R$ 8.400,00
b) R$ 6.957,00
c) R$ 6.017,00
d) R$ 7.563,00
e) R$ 7.125,00
07) Qual o valor do pagamento ao final de
60 dias, capaz de substituir os seguintes
pagamentos: R$ 500,00 ao final de 90 dias
e R$ 1.000,00 ao final de 150 dias, se a
taxa de desconto comercial composto é
10% a.m.?
a) R$ 729,00
b) R$ 829,00
c) R$ 929,00
d) R$ 1.029,00
e) R$ 1.179,00
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
(1 + i)t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1%
1,0100
1,0201
1,0303
1,0406
1,0510
1,0615
1,0721
1,0829
1,0937
1,1046
1,1157
1,1268
1,1381
1,1495
1,1610
1,1726
1,1843
1,1961
2%
1,0200
1,0404
1,0612
1,0824
1,1041
1,1262
1,1487
1,1717
1,1951
1,2190
1,2434
1,2682
1,2936
1,3195
1,3459
1,3728
1,4002
1,4282
3%
1,0300
1,0609
1,0927
1,1255
1,1593
1,1941
1,2299
1,2668
1,3048
1,3439
1,3842
1,4258
1,4685
1,5126
1,5580
1,6047
1,6528
1,7024
4%
1,0400
1,0816
1,1249
1,1699
1,2167
1,2653
1,3159
1,3686
1,4233
1,4802
1,5395
1,6010
1,6651
1,7317
1,8009
1,8730
1,9479
2,0258
5%
1,0500
1,1025
1,1576
1,2155
1,2763
1,3401
1,4071
1,4775
1,5513
1,6289
1,7103
1,7959
1,8856
1,9799
2,0789
2,1829
2,2920
2,4066
6%
1,0600
1,1236
1,1910
1,2625
1,3382
1,4185
1,5036
1,5938
1,6895
1,7908
1,8983
2,0122
2,1329
2,2609
2,3966
2,5404
2,6928
2,8543
7%
1,0700
1,1449
1,2250
1,3108
1,4026
1,5007
1,6058
1,7182
1,8385
1,9672
2,1049
2,2522
2,4098
2,5785
2,7590
2,9522
3,1588
3,3799
8%
1,0800
1,1664
1,2597
1,3605
1,4693
1,5869
1,7138
1,8509
1,9990
2,1589
2,3316
2,5182
2,7196
2,9372
3,1722
3,4259
3,7000
3,9960
9%
1,0900
1,1881
1,2950
1,4116
1,5386
1,6771
1,8280
1,9926
2,1719
2,3674
2,5804
2,8127
3,0658
3,3417
3,6425
3,9703
4,3276
4,7171
10%
1,1000
1,2100
1,3310
1,4641
1,6105
1,7716
1,9487
2,1436
2,3579
2,5937
2,8531
3,1384
3,4523
3,7975
4,1772
4,5950
5,0545
5,5599
12%
15%
18%
1,1200 1,1500 1,1800
1,2544 1,3225 1,3924
1,4049 1,5209 1,6430
1,5735 1,7490 1,9388
1,7623 2,0114 2,2878
1,9738 2,3131 2,6996
2,2107 2,6600 3,1855
2,4760 3,0590 3,7589
2,7731 3,5179 4,4355
3,1058 4,0456 5,2338
3,4785 4,6524 6,1759
3,8960 5,3503 7,2876
4,3635 6,1528 8,5994
4,8871 7,0757 10,1472
5,4736 8,1371 11,9737
6,1304 9,3576 14,1290
6,8660 10,7613 16,6722
7,6900 12,3755 19,6733
FATOR DE ATUALIZAÇÃO DE CAPITAL NO DESCONTO COMERCIAL
(1 - i)t
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1%
0,9900
0,9801
0,9703
0,9606
0,9510
0,9415
0,9321
0,9227
0,9135
0,9044
0,8953
0,8864
0,8775
0,8687
0,8601
0,8515
0,8429
0,8345
2%
0,9800
0,9604
0,9412
0,9224
0,9039
0,8858
0,8681
0,8508
0,8337
0,8171
0,8007
0,7847
0,7690
0,7536
0,7386
0,7238
0,7093
0,6951
3%
0,9700
0,9409
0,9127
0,8853
0,8587
0,8330
0,8080
0,7837
0,7602
0,7374
0,7153
0,6938
0,6730
0,6528
0,6333
0,6143
0,5958
0,5780
4%
0,9600
0,9216
0,8847
0,8493
0,8154
0,7828
0,7514
0,7214
0,6925
0,6648
0,6382
0,6127
0,5882
0,5647
0,5421
0,5204
0,4996
0,4796
5%
0,9500
0,9025
0,8574
0,8145
0,7738
0,7351
0,6983
0,6634
0,6302
0,5987
0,5688
0,5404
0,5133
0,4877
0,4633
0,4401
0,4181
0,3972
6%
0,9400
0,8836
0,8306
0,7807
0,7339
0,6899
0,6485
0,6096
0,5730
0,5386
0,5063
0,4759
0,4474
0,4205
0,3953
0,3716
0,3493
0,3283
7%
0,9300
0,8649
0,8044
0,7481
0,6957
0,6470
0,6017
0,5596
0,5204
0,4840
0,4501
0,4186
0,3893
0,3620
0,3367
0,3131
0,2912
0,2708
8%
0,9200
0,8464
0,7787
0,7164
0,6591
0,6064
0,5578
0,5132
0,4722
0,4344
0,3996
0,3677
0,3383
0,3112
0,2863
0,2634
0,2423
0,2229
9%
0,9100
0,8281
0,7536
0,6857
0,6240
0,5679
0,5168
0,4703
0,4279
0,3894
0,3544
0,3225
0,2935
0,2670
0,2430
0,2211
0,2012
0,1831
10%
0,9000
0,8100
0,7290
0,6561
0,5905
0,5314
0,4783
0,4305
0,3874
0,3487
0,3138
0,2824
0,2542
0,2288
0,2059
0,1853
0,1668
0,1501
12%
0,8800
0,7744
0,6815
0,5997
0,5277
0,4644
0,4087
0,3596
0,3165
0,2785
0,2451
0,2157
0,1898
0,1670
0,1470
0,1293
0,1138
0,1002
15%
0,8500
0,7225
0,6141
0,5220
0,4437
0,3771
0,3206
0,2725
0,2316
0,1969
0,1673
0,1422
0,1209
0,1028
0,0874
0,0743
0,0631
0,0536
18%
0,8200
0,6724
0,5514
0,4521
0,3707
0,3040
0,2493
0,2044
0,1676
0,1374
0,1127
0,0924
0,0758
0,0621
0,0510
0,0418
0,0343
0,0281